2.6.1 第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

第二章　平面向量及其应用 6.1　余弦定理与正弦定理 第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 03 课后案·学业评价 点击进入Word 栏目导航 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 谢谢观看 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 学业标准 素养目标 1．理解并正确使用仰角、俯角、方向角等测量中常用名称、术语．(难点) 2．能够运用正、余弦定理解决与距离、高度、角度等有关的实际问题． (重点) 1．通过常用测量概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过正、余弦定理解决与三角形有关的实际问题，提升数学建模、数学运算等核心素养. 导学　实际测量中的有关名称、术语 方向角的表示方法． 如图所示，图①中的m°角描述为________，图②中的n°角描述为________． [提示]　北偏西m°　南偏东n° ◎结论形成 实际测量中的有关名称、术语 名称 定义 图示 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°) 南偏西60°(指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角) 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)东偏北45°的方向就是东北方向．(　　) (2)两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解．(　　) (3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　) (4)如图所示，为了测量隧道AB的长度，可测量数据a，b，γ进行计算．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20 n mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行3 h后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为(　　) A．eq \f(10,3)(eq \r(6)＋eq \r(2))n mile/h B．eq \f(10,3)(eq \r(6)－eq \r(2))n mile/h C．eq \f(10,3)(eq \r(6)＋eq \r(3))n mile/h D．eq \f(10,3)(eq \r(6)－eq \r(3))n mile/h 解析　如图所示，设货轮航行到了点A，可利用正弦定理解△AMS.设货轮速度为x n mile/h，则AM＝3x，在△AMS中，由正弦定理eq \f(AM,sin S)＝eq \f(MS,sin∠MAS)，得eq \f(3x,sin 30°)＝eq \f(20,sin 105°)，所以x＝eq \f(10,3)(eq \r(6)－eq \r(2))． 答案　B 3.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出四种测量方案(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)． ①测量角A，角C，b； ②测量a，b，角C； ③测量角A，角B，a； ④测量a，b，角B． 则一定能确定A，B间距离的方案是(　　) A．①②③　 B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 解析　对于①，利用内角和定理先求出B＝π－A－C，再利用正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，解出c的值是唯一的；对于②，直接利用余弦定理cos C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，即可解出c的值是唯一的；对于③，利用正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，求出b，再利用余弦定理可求出c的值是唯一的；对于④，利用余弦定理求c时可能会有两个不同结果，故不一定能唯一确定点A，B间的距离．故选A． 答案　A 4．在高出海平面200 m的小岛顶点A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为________m. 解析　过点A作AH⊥BC于点H，由图易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200 m，则BH＝AH＝200 m，CH＝AH·tan 60°＝200eq \r(3) m．故两船距离BC＝BH＋CH＝200(eq \r(3)＋1)m. 答案　200(eq \r(3)＋1) 题型一　测量距离问题 一题多解 某基地进行实兵对抗演习，红方为了准确分析战场形势，从相距eq \f(\r(3),2)a km的军事基地C和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队间的距离． [解析]　方法一　∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°. ∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°， ∴AD＝CD＝eq \f(\r(3),2)a(km)． 在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理eq \f(BD,sin∠BCD)＝eq \f(CD,sin∠DBC)， 得BD＝CD·eq \f(sin∠BCD,sin∠DBC)＝eq \f(\r(3),2)a·eq \f(\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(2),2))＝eq \f(3＋\r(3),4)a(km)． 在△ADB中，由余弦定理，得 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB ＝eq \f(3,4)a2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3＋\r(3),4)a))2－2·eq \f(3＋\r(3),4)a·eq \f(\r(3),2)a·eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3,8)a2， ∴AB＝eq \f(\r(6),4)a(km)． 故蓝方这两支精锐部队间的距离为eq \f(\r(6),4)a km. 方法二　在△BCD中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理，得eq \f(BC,sin 30°)＝eq \f(CD,sin 45°)，则BC＝eq \f(CDsin 30°,sin 45°)＝eq \f(\r(6),4)a(km)， 在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°， 所以△ACD为等边三角形． 因为∠ADB＝∠BDC，所以BD为正△ACD的AC边上的中垂线， 所以AB＝BC＝eq \f(\r(6),4)a(km)． 测量不能到达的两点间的距离的方法及关键 (1)方法：测量不能到达的两点间的距离，利用正、余弦定理解斜三角形是一个重要的方法． (2)关键：构造一个或几个三角形，测出有关边长和角，用正、余弦定理进行计算． [触类旁通] 1.如图，货轮在海上以40 km/h的速度由B向C航行，航行的方位角∠NBC＝140°，A处有灯塔，方位角∠NBA＝110°.在C处观察灯塔A的方位角∠N′CA＝35°，由B到C需要航行半小时，则C到灯塔A的距离是(　　) A．10eq \r(6) km　　　　　 B．10eq \r(2) km C．10(eq \r(6)－eq \r(2)) km D．10(eq \r(6)＋eq \r(2)) km 解析　在△ABC中根据题意可得，∠ABC＝30°，∠ACB＝75°，∠BAC＝75°，BC＝20 km， 根据正弦定理，得eq \f(BC,sin∠BAC)＝eq \f(AC,sin∠ABC). 所以AC＝eq \f(BC,sin∠BAC)·sin∠ABC＝eq \f(20,sin 75°)·sin 30°＝10(eq \r(6)－eq \r(2))(km)， 故选C． 答案　C 题型二　测量高度问题 一题多变 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一塔顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此塔顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此塔的高度CD＝________m. [解析]　依题意，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°. 在△ABC中，因为∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，所以∠ACB＝45°，因为AB＝600 m，由正弦定理可得eq \f(600,sin 45°)＝eq \f(BC,sin 30°)， 即BC＝300eq \r(2) m. 在Rt△BCD中，因为∠CBD＝30°，BC＝300eq \r(2) m， 所以tan 30°＝eq \f(CD,BC)＝eq \f(CD,300\r(2))，所以CD＝100eq \r(6) m. [答案]　100eq \r(6) [母题变式] (变条件、变结论)本例变为：A在塔底D的正西面，在A处测得塔顶C的仰角为45°，B在塔底D的南偏东60°处，在塔顶C处测得B的俯角为30°，AB间距84 m，则塔高为(　　) A．24 m B．12eq \r(5) m C．12eq \r(7) m D．36 m 解析　由题意画出图形． 则∠CBD＝30°， ∠ADB＝90°＋60°＝150°， 且AB＝84， 设CD＝h，则在Rt△ADC中，AD＝CD＝h. 在Rt△BDC中， BD＝eq \f(CD,tan∠CBD)＝eq \f(h,tan 30°)＝eq \r(3)h. 在△ABD中，由余弦定理得， AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB， 即842＝h2＋(eq \r(3)h)2－2h×eq \r(3)h×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))， ∴7h2＝842，∴h＝12eq \r(7)(m)．故选C． 答案　C 测量高度问题的解题思路 高度的测量主要涉及一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需要测量物体的高度． [触类旁通] 2．济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m，到达B点，又测得泉标顶部仰角为80°.你能帮李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m) 解析　如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端． 依题意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2(m)， 则∠ABD＝100°，故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°. 在△ABD中，根据正弦定理，得eq \f(BD,sin 60°)＝eq \f(AB,sin∠ADB). ∴BD＝eq \f(AB·sin 60°,sin 20°)＝eq \f(15.2·sin 60°,sin 20°)≈38.5(m)． 在Rt△BCD中，CD＝BDsin 80°＝38.5·sin 80°≈38(m)， 即泉城广场上泉标的高约为38 m. 题型三　测量角度问题 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在北偏东45°，距离为10 n mile的C处，并测得渔轮正沿南偏东75°的方向，以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(参考数据：sin 21.8°≈\f(3\r(3),14))) [解析]　如图所示，根据题意可知AC＝10 n mile，∠ACB＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在B处与渔轮相遇，则AB＝21t n mile，BC＝9t n mile，在△ABC中，根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°，所以441t2＝102＋81t2＋2×10×9t×eq \f(1,2)， 即360t2－90t－100＝0， 解得t＝eq \f(2,3)或t＝－eq \f(5,12)(舍去)． 所以舰艇靠近渔轮所需的时间为eq \f(2,3) h. 此时AB＝14 n mile，BC＝6 n mile. 在△ABC中，根据正弦定理，得eq \f(BC,sin∠CAB)＝eq \f(AB,sin 120°)， 所以sin ∠CAB＝eq \f(6×\f(\r(3),2),14)＝eq \f(3\r(3),14)， 即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去)，即舰艇航行的方向为北偏东45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以北偏东66.8°航行，需eq \f(2,3) h才能靠近渔轮． [素养聚焦]　本题主要考查运用正、余弦定理分析、解决实际问题的能力，突出考查数学运算、数学建模等核心素养． 解决测量角度问题的基本思路 明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，将实际问题转化为可用数学方法解决的问题． [触类旁通] 3．如图，为了了解某海域海底的构造，在海平面内对一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，则∠DEF的余弦值为________． 解析　如图所示，作DM∥AC交BE于点N，交CF于点M，作FH∥AC交BE于点H. 由题中所给数据得 DF＝eq \r(MF2＋DM2)＝eq \r(302＋1702)＝10eq \r(298)(m)， DE＝eq \r(DN2＋EN2)＝eq \r(502＋1202)＝130(m)， EF＝eq \r(EH2＋FH2)＝eq \r(902＋1202)＝150(m)． 在△DEF中，由余弦定理， 得cos∠DEF＝eq \f(DE2＋EF2－DF2,2×DE×EF) ＝eq \f(1302＋1502－102×298,2×130×150)＝eq \f(16,65). 所以∠DEF的余弦值为eq \f(16,65). 答案　eq \f(16,65) [缜密思维提能区]　规范答 函数与方程思想在正、余弦定理解决实际问题中的运用 (13分)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min 后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，sin B＝eq \f(63,65)，sin C＝eq \f(4,5)，cos A＝eq \f(12,13). (1)求索道AB的长； (2)乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ [审题指导]　(1)利用正弦定理求出AB的长； (2)先设再建立时间t与甲、乙间距离d的函数关系式，利用关系式求最值． [规范解答]　(1)在△ABC中，由正弦定理eq \f(AB,sin C)＝eq \f(AC,sin B)， 得AB＝eq \f(AC,sin B)·sin C＝eq \f(1 260,\f(63,65))×eq \f(4,5)＝1 040(m)①. 所以索道AB的长为1 040 m．(4分) (2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理，得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×eq \f(12,13)＝200(37t2－70t＋50)．(8分) 由于0≤t≤eq \f(1 040,130)②，即0≤t≤8，(10分) 因此当t＝eq \f(35,37)时， 乙在缆车上与甲的距离最短．(13分) 知识落实 技法强化 1．测量中的有关概念． 2．常见的三个实际问题. 1．转化的思想、数形结合． 2．注意有些元素可以设而不求，有时用两个三角形相结合解决问题. $$