4.2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)若cos α＝－，α是第三象限角，则下列说法正确的是(　　) A．sin α＝－ B．sin α＝ C．sin＝ D．sin＝－ 解析　因为cos α＝－，α是第三象限角，所以sin α＝－，由两角和的正弦公式可得sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋×＝－. 答案　AD 2．若sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于(　　) A．1　　　　　　　 B．－1 C．0 D．±1 解析　sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝sin[(α＋β)－β]＝sin α＝0，sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝sin αcos 2β＋cos αsin 2β＋sin αcos 2β－cos αsin 2β＝2sin αcos 2β＝0. 答案　C 3．已知α为锐角，sin＝－，则tan＝(　　) A．－3　　　　　　　　 B．3 C． D．－ 解析　由sin＝－，得cos α＝. 又α为锐角，∴sin α＝，∴tan α＝2. ∴tan＝tan＝＝. 答案　C 4．(多选题)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是(　　) A．A＋B＝2C B．tan(A＋B)＝－ C．tan A＝tan B D．cos B＝sin A 解析　∵C＝120°，∴A＋B＝60°， ∴2(A＋B)＝C，∴tan(A＋B)＝，∴A，B都错误； ∵tan A＋tan B＝(1－tan A·tan B)＝， ∴tan A·tan B＝，① 又tan A＋tan B＝，② 由①②联立解得tan A＝tan B＝，所以cos B＝sin A，故C，D正确．故选CD． 答案　CD 5．在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C等于________． 解析　因为cos B＝且0<B<π， 所以sin B＝.又A＝， 所以sin C＝sin(A＋B)＝sin cos B＋cos sin B＝×＋×＝. 答案　 6．已知tan α＝，tan(α－β)＝－，则tan(2α－β)＝________. 解析　tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝＝. 答案　 7．已知α，β都是锐角，sin α＝，cos(α＋β)＝，则cos α＝________；sin β＝________. 解析　因为α，β都是锐角，所以α＋β∈(0，π)， 又sin α＝，cos(α＋β)＝， 所以cos α＝，sin(α＋β)＝， 所以sin β＝sin[(α＋β)－α] ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝×－×＝. 答案　　 8．已知cos＝，x∈. (1)求sin x的值； (2)求sin的值． 解析　(1)sin x＝sin ＝sincos＋cossin ＝ ＝， 因为x∈，所以x－∈， 所以sin＝＝， 所以sin x＝×＝. (2)因为sin x＝，x∈，所以cos x＝－，所以sin＝sin xcos ＋cos xsin ＝×＋×＝. [关键能力·综合提升] 9．设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　) A．3α－β＝ B．3α＋β＝ C．2α－β＝ D．2α＋β＝ 解析　由tan α＝，得＝，得sin αcos β－cos αsin β＝cos α， 即sin(α－β)＝sin. 又α∈，β∈， 故α－β＝－α，即2α－β＝. 答案　C 10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acos B＝(c－b)cos A，则角A的大小为(　　) A．　　 B． C．　　 D． 解析　由正弦定理得sin Acos B＝(sin C－sin B)cos A，即sin(A＋B)＝sin Ccos A，即sin C＝sin Ccos A，即cos A＝，故A＝. 答案　B 11．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin＝________. 解析　sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α ＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α ＝sin[(α－β)－α]＝－sin β＝， 即sin β＝－，又β是第三象限角， 所以cos β＝－， 所以sin＝sin βcos ＋cos βsin ＝×＋×＝. 答案　 12．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3，tan2B＝tan A·tan C，则∠B等于________． 解析　由公式变形得： tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B) ＝tan(180°－C)(1－tan Atan B) ＝－tan C(1－tan Atan B) ＝－tan C＋tan Atan Btan C． ∴tan A＋tan B＋tan C ＝－tan C＋tan Atan Btan C＋tan C ＝tan Atan Btan C＝3. ∵tan2B＝tan Atan C， ∴tan3B＝3. ∴tan B＝，又B∈(0°，180°)，∴B＝60°. 答案　60° 13．已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈. 求：(1)cos(2α－β)的值； (2)β的值． 解析　(1)因为cos α＝，且α∈， 所以sin α＝，因为α，β∈， 所以－<α－β<， 所以cos(α－β)＝＝， 所以cos(2α－β)＝cos[(α－β)＋α] ＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝×－×＝. (2)cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝×＋×＝， 又因为β∈，所以β＝. [核心价值·探索创新] 14．形如的式子叫做行列式，其运算法则为＝ad－bc，则行列式的值是________． 解析　＝sin 15°－cos 15° ＝2＝2sin(15°－45°) ＝2sin(－30°)＝－1． 答案　－1 15．是否存在锐角α，β，使得①α＋2β＝，②tan tan β＝2－同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，请说明理由． 解析　假设存在锐角α，β使得①α＋2β＝， ②tan tan β＝2－同时成立． 由①得＋β＝， 所以tan＝＝. 又tan tan β＝2－， 所以tan ＋tan β＝3－， 因此tan ，tan β可以看成是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根，解得x1＝1，x2＝2－. 若tan ＝1，则α＝，这与α为锐角矛盾， 所以tan ＝2－，tan β＝1， 所以α＝，β＝， 所以满足条件的α，β存在，且α＝，β＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$