第1章 教考衔接1 函数y＝Asin(ωx＋φ)中ω的求解策略(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

第一章　三角函数 教考衔接1　 函数y＝Asin(ωx＋φ)中ω的求解策略 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 答案　D 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 谢谢观看 栏目导航 第一章　三角函数 1 一、真题展示 1．(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)的图象向左平移eq \f(π,2)个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　) A．eq \f(1,6)　　　　　　　 B．eq \f(1,4) C．eq \f(1,3) D．eq \f(1,2) 2．(2022·全国乙卷)记函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)＝eq \f(\r(3),2)，x＝eq \f(π,9)为f(x)的零点，则ω的最小值为______． 二、真题溯源 (教材P75复习题一C组第1题)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))上具有单调性，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))，试画图找出f(x)的最小正周期． 三、类法探究 三角函数是高中数学的重要组成部分，而ω是三角函数内容中的主要要素，求ω的值主要通过三角函数的性质来求解．数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算可促进学生思维的发展；而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式．运算和推理贯穿于探究数学问题的始终，可交替使用、相辅相成． 类型一　三角函数的单调性与ω的关系 已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))(ω>0)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递减，则实数ω的取值范围是(　　) A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(4,3))) C．[1,2) D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)) [解析]　依题意，eq \f(T,2)≥π－eq \f(π,2)＝eq \f(π,2)， 即T≥π，又T＝eq \f(2π,ω)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(2π,ω)≥π，,ω＞0，)) 解得0＜ω≤2，又x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))， 所以ωx＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)ω＋\f(π,6)，πω＋\f(π,6)))， 所以eq \f(π,6)＜eq \f(π,2)ω＋eq \f(π,6)≤eq \f(7π,6)， 要使函数在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递减，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(π,2)≤\f(π,2)ω＋\f(π,6)，,πω＋\f(π,6)≤\f(3π,2)，))解得eq \f(2,3)≤ω≤eq \f(4,3)，故选B． [答案]　B 若已知三角函数的单调性，则转化为集合的包含关系，进而建立ω所满足的不等式(组)求解． 类型二　三角函数的对称性与ω的关系 记函数f(x)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)的最小正周期为T，且y＝f(x)的图象关于x＝eq \f(π,6)对称，当ω取最小值时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T,2)))＝________. [解析]　由y＝f(x)的图象关于x＝eq \f(π,6)对称，则ω×eq \f(π,6)＋eq \f(π,3)＝kπ，k∈Z， ∴ω＝6k－2，k∈Z，又ω>0，∴当k＝1时，ω取得最小值4， 此时f(x)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3)))，T＝eq \f(2π,4)＝eq \f(π,2)， ∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4×\f(π,4)＋\f(π,3)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))＝－eq \f(1,2). 故答案为－eq \f(1,2). [答案]　－eq \f(1,2) 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为eq \f(T,2)，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为eq \f(T,4)，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究“ω”的取值范围． 类型三　三角函数的周期T与ω的关系 为了使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为(　　) A．98π B．eq \f(197,2)π C．eq \f(199,2)π D．100π [解析]　由题意，至少出现50次最大值即至少需用49eq \f(1,4)个周期，所以eq \f(197,4)T＝eq \f(197,4)·eq \f(2π,ω)≤1，所以ω≥eq \f(197,2)π.故选B． [答案]　B 解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T＝eq \f(2π,ω)与所给区间的关系，从而建立不等关系． 类型四　三角函数的最值与ω的关系 已知函数f(x)＝2sin ωx在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最小值为－2，则ω的取值范围是________． [解析]　由题意显然ω≠0，分两种情况：若ω>0，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4)))时，－eq \f(π,3)ω≤ωx≤eq \f(π,4)ω.因为函数f(x)＝2sin ωx在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最小值为－2，所以－eq \f(π,3)ω≤－eq \f(π,2)，解得ω≥eq \f(3,2). 若ω＜0，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4)))时，eq \f(π,4)ω≤ωx≤－eq \f(π,3)ω，因为函数f(x)＝2sin ωx在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最小值为－2，所以eq \f(π,4)ω≤－eq \f(π,2)，解得ω≤－2.综上所述，符合条件的实数ω≤－2或ω≥eq \f(3,2). [答案]　eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(ω\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(ω≤－2或ω≥\f(3,2))))) 若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或范围． [跟踪训练] 1．已知直线x＝eq \f(π,6)为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))图象的一条对称轴，f(x)的图象与直线y＝eq \f(1,2)的交点中，相邻两点间的最小距离为eq \f(π,3)，那么函数f(x)＝(　　) A．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3))) B．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))) C．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))) D．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) 解析　由sin(ωx＋φ)＝eq \f(1,2)，得ωx1＋φ＝eq \f(π,6)＋2kπ(k∈Z)或ωx2＋φ＝eq \f(5π,6)＋2nπ(n∈Z)，所以相邻两点间的距离为ω|x2－x1|＝eq \f(2π,3)或ω|x2－x1|＝eq \f(4π,3)，所以相邻两点中距离较小时应满足ω|x2－x1|＝eq \f(2π,3)，又由|x2－x1|min＝eq \f(π,3)，所以ω＝2，故f(x)＝sin(2x＋φ)，因为直线x＝eq \f(π,6)为f(x)图象的一条对称轴，所以2×eq \f(π,6)＋φ＝eq \f(π,2)＋mπ(m∈Z)，解得φ＝eq \f(π,6)＋mπ(m∈Z)，因为|φ|＜eq \f(π,2)，所以φ＝eq \f(π,6)，故f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).故选D． 2．已知函数f(x)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)的一条对称轴为直线x＝eq \f(π,3)，一个对称中心为点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))，则ω有(　　) A．最小值2 B．最大值2 C．最小值1 D．最大值1 解析　∵函数的中心到对称轴的最短距离是eq \f(T,4)，两条对称轴间的最短距离是eq \f(T,2)，∴对称中心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))到对称轴x＝eq \f(π,3)间的距离用周期可表示为eq \f(π,3)－eq \f(π,12)≥eq \f(T,4)，又T＝eq \f(2π,ω)，∴eq \f(\f(2π,ω),4)≤eq \f(π,4)，∴ω≥2， ∴ω有最小值2，故选A． 答案　A $$