1.6.3 探究A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x＝对称的是(　　) A．y＝2sin　 B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 解析　由函数的最小正周期为π，可排除C．由函数图象关于直线x＝对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于A，因为sin＝－1，所以选项A正确．对于B，sin＝sin＝1，所以选项B正确．对于选项D，sin＝.故D不正确． 答案　AB 2．(多选题)设函数f(x)＝cos，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的一个周期为－2π B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x＋π)的一个零点为x＝ D．f(x)在上单调递减 解析　函数f(x)＝cos的图象可由y＝cos x的图象向左平移个单位得到，如图可知，f(x)在上先递减后递增，D选项错误． 答案　ABC 3．(2024·北师大二附中校考)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)在同一周期内，当x＝时函数取得最大值2，当x＝时函数取得最小值－2，则该函数的解析式为(　　) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 解析　由题可知|A|＝2，＝－＝，因为T＝，由选项可知A＝2，ω＝3， 所以此时函数为y＝2sin(3x＋φ)， 又该函数过点， 所以2＝2sin， 得φ＝＋2kπ，y＝2sin，故选B． 答案　B 4.(多选题)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则以下关于函数f(x)性质的叙述正确的是(　　) A．最小正周期为π B．是偶函数 C．x＝－是其一条对称轴 D．是其一个对称中心 解析　由图象可知，A＝2，设函数y＝f(x)的最小正周期为T，则＝－＝，则T＝π，ω＝＝2，此时，f(x)＝2sin(2x＋φ)，f＝2sin＝2，得sin＝1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z，又|φ|＜，所以当k＝0时，φ＝－，所以f(x)＝2sin，A选项正确；该函数既不是奇函数，也不是偶函数，B选项错误；f＝2sin＝－2，C选项正确；f＝2sin＝－2sin ＝－1≠0，D选项错误． 答案　AC 5．函数y＝sin 取最大值时自变量的取值集合是________． 解析　当－＝＋2kπ，k∈Z， 即x＝＋4kπ，k∈Z时，函数取最大值． 答案　 6．已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的图象如图所示，则f＝________. 解析　函数的周期为T＝＝， 则图中相邻两个零点之间的距离为，又＋＝，所以f＝0. 答案　0 7．(2024·南昌十中校考)如果将函数f(x)＝sin(3x＋φ)(－π<φ<0)的图象向左平移个单位长度所得的图象关于y轴对称，那么φ＝______. 解析　将函数f(x)＝sin(3x＋φ)的图象向左平移个单位长度，得g(x)＝sin＝sin，由题意，知g(x)的图象关于y轴对称， 则有g(－x)＝g(x)， 即sin＝sin， 则－3x＋＋φ＋3x＋＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z， 又φ∈(－π，0)，所以φ＝－.故答案为－. 答案　－ 8．已知函数f(x)＝3sin 的图象的一条对称轴是直线x＝. (1)求φ值； (2)求函数y＝f(x)的单调递增区间和对称中心． 解析　(1)∵x＝是f(x)的图象的一条对称轴， ∴sin ＝±1， ∴＋φ＝kπ＋，k∈Z. ∵0＜φ＜，∴φ＝. (2)由(1)知y＝3sin . 由题意，得2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z， 即4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z， ∴函数f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)． 由x＋＝kπ，k∈Z，得x＝2kπ－，k∈Z， 故该函数的对称中心为(k∈Z)． [关键能力·综合提升] 9．(多选题)(2024·宜春高一校考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，下列结论中正确的是(　　) A．直线x＝－是函数f(x)图象的一条对称轴 B．函数f(x)的图象关于点，k∈Z对称 C．函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z D．将函数f(x)的图象向右平移个单位得到函数g(x)＝sin的图象 解析　观察图象，知A＝1，函数f(x)的周期T＝4＝π，有ω＝＝2， 由f＝－1，得2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，而|φ|<，则k＝0，φ＝， f(x)＝sin， 对于A，因为f＝sin＝0，则直线x＝－不是函数f(x)图象的对称轴，A不正确； 对于B，由2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－＋，k∈Z，则函数f(x)的图象关于点，k∈Z对称，B正确； 对于C，由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 则函数f(x)的单调递增区间为 ，k∈Z，C正确； 对于D，g(x)＝f＝sin＝sin，D正确．故选BCD． 答案　BCD 10．(多选题)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称 B．函数f(x)的图象关于点对称 C．函数f(x)在区间上单调递增 D．函数y＝1与y＝f(x)的图象的所有交点的横坐标之和为 解析　由图可知，A＝2，＝－＝， ∴T＝＝π，则ω＝2， 又2×＋φ＝π，∴φ＝，满足0＜|φ|＜π， 则f(x)＝2sin. ∵f＝－1， ∴f(x)的图象不关于直线x＝对称，A错误； ∵f＝0， ∴f(x)的图象关于点对称，B正确； 由x∈，得2x＋∈， 则f(x)在区间上单调递增，C正确； 由f(x)＝2sin＝1， 得sin＝， ∴2x＋＝＋2kπ或2x＋＝＋2kπ，k∈Z. 取k＝0，得x＝0或；取k＝1，得x＝π或. ∴函数y＝1与y＝f(x)的图象的所有交点的横坐标之和为＋π＋＝，D正确，故选BCD． 答案　BCD 11．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________． 解析　由f(x)在区间上具有单调性，且f＝－f知，为函数f(x)的对称中心． 由f＝f知，函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x＝＝. 设函数f(x)的最小正周期为T， 则T≥－，即T≥， 所以－＝，则T＝π. 答案　π 12．(2022·全国乙卷)记函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T，若f(T)＝，x＝为f(x)的零点，则ω的最小值为______． 解析　f(T)＝f(0)＝cos φ＝，且0<φ<π，故φ＝，f＝cos＝0⇒ω＋＝＋kπ(k∈Z)⇒ω＝3＋9k(k∈Z)， 又ω>0，故ω的最小值为3. 答案　3 13．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)． (1)若函数f(x)＝sin(2x＋φ)为偶函数，求φ的值； (2)若函数f(x)＝sin(2x＋φ)关于x＝对称，求出φ的值及f(x)的对称轴方程及对称中心． 解析　(1)因为f(x)为偶函数，所以φ＝kπ＋，k∈Z， 又φ∈(0，π)，所以φ＝. (2)因为f(x)＝sin(2x＋φ)关于x＝对称， 所以f(0)＝f， 即sin φ＝sin＝cos φ， 所以tan φ＝1，φ＝kπ＋，k∈Z. 又φ∈(0，π)，所以φ＝， 所以f(x)＝sin . 由2x＋＝kπ＋，k∈Z， 得x＝＋，k∈Z， 由2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－，k∈Z， 所以f(x)的对称轴方程为x＝＋，k∈Z， 对称中心为(k∈Z)． [核心价值·探索创新] 14．(2024·全国高一专题练习)已知函数y＝f(x)的表达式为f(x)＝Asin(2x＋φ)－，y＝f(x)的图象与y轴的交点为(0,1)，且关于直线x＝对称，若存在x∈，使m2－3m≥f(x)成立，则m的取值范围为________． 解析　由y＝f(x)的图象与y轴的交点为(0,1)，得f(x)＝Asin φ－＝1⇒Asin φ＝， 由y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，得2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，又0<φ<， ∴φ＝，∴Asin＝⇒A＝， ∴f(x)＝sin－， 当x∈时，2x＋∈， 故当2x＋＝，即x＝时，f(x)min＝－2，故存在x∈，使m2－3m≥f(x)成立等价于m2－3m≥－2，解得m≤1或m≥2. 故答案为∪. 答案　∪ 15．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求方程f(x)－lg x＝0的解的个数． 解析　(1)由题图知，A＝2，由函数图象过点(0,1)，得f(0)＝1，即sin φ＝， 又|φ|＜，所以φ＝. 易知点是五点作图法中的第五点，所以ω＋＝2π，所以ω＝2. 因此所求函数的解析式为f(x)＝2sin. (2)在同一平面直角坐标系中作函数y＝f(x)和函数y＝lg x的图象如图所示． 因为f(x)的最大值为2，令lg x＝2，得x＝100， 令＋kπ＜100，k∈Z，得k≤30，k∈Z. 而＋31π＞100，且＋30π＋＜100， 所以在区间(0,100]内有31个形如(k∈Z,0≤k≤30)的区间． 在每个区间上y＝f(x)与y＝lg x的图象都有两个交点，故这两个函数的图象在上有2×31＝62(个)交点． 另外，两函数的图象在上还有一个交点，所以方程f(x)－lg x＝0共有63个实数解． 学科网（北京）股份有限公司 $$