1.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．函数y＝的定义域为(　　) A．R　　　　　　　 B． C．[－1,0)∪(0,1] D．{α|α≠0} 解析　由cos α≠0，得α≠kπ＋，k∈Z.故选B． 答案　B 2．sin＋cos·sin 16π的值是(　　) A．0 B．1 C． D． 解析　原式＝sin＋cos·sin(16π＋0)＝sin＋cossin 0＝. 答案　C 3．y＝sin x－|sin x|的值域是(　　) A．[－1,0] B．[0,1] C．[－1,1] D．[－2,0] 解析　y＝sin x－|sin x|＝ 因此函数的值域为[－2,0]． 答案　D 4．函数y＝－cos α，α∈(0,2π)的单调性是(　　) A．在(0，π)上是增函数，在[π，2π)上是减函数 B．在，上是增函数，在上是减函数 C．在[π，2π)上是增函数，在(0，π)上是减函数 D．在上是增函数，在，上是减函数 解析　函数y＝－cos α的单调递减区间是[π＋2kπ，2π＋2kπ](k∈Z)，单调递增区间是[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)．∵α∈(0,2π)，∴y＝－cos α在(0，π)上是增函数，在[π，2π)上是减函数． 答案　A 5．函数y＝－2cos α，α∈的值域为______． 解析　∵y＝cos α在区间上单调递增， ∴＜cos α≤1， 在区间上单调递减，∴－1≤cos α≤1， 在区间上单调递增，∴－1≤cos α≤－， 故－1≤cos α≤1，即－2≤y≤2. 答案　[－2,2] 6．设点P(a,2)是405°角终边上一点，则a值为______． 解析　∵sin 405°＝sin(360°＋45°)＝sin 45°＝，∴＝，解得a＝±2. 又405°是第一象限，∴a＞0，即a＝2. 答案　2 7．已知f(x)为奇函数，且周期为，若f＝－1，则f＝________. 解析　∵T＝， ∴f＝f＝f ＝－f＝－(－1)＝1. 答案　1 8．求函数y＝3－2sin α的最值及取到最值时的自变量α的集合． 解析　∵－1≤sin α≤1，∴当sin α＝－1，即α＝2kπ－，k∈Z，α＝4kπ－π，k∈Z时，ymax＝5， 此时自变量α的集合为{α|α＝4kπ－π，k∈Z}； 当sin α＝1，即α＝2kπ＋，k∈Z，α＝4kπ＋π，k∈Z时，ymin＝1， 此时自变量α的集合为{α|α＝4kπ＋π，k∈Z}． [关键能力·综合提升] 9．(多选题)下列大小关系正确的是(　　) A．sin 3＜sin 2 B．cos＜cos C．sin＜sin D．sin 1＜cos 2 解析　∵＜2＜3＜π，又y＝sin α在上是减函数，∴sin 2＞sin 3，故A正确； ∵－＜－＜－＜0， ∴cos＜cos，故B错误； 因为sin ＝sin＝sin ， sin ＝sin＝sin . 又0＜＜＜，且y＝sin x在区间上单调递增，所以sin ＜sin ， 即sin ＜sin .故C正确； 因为sin 1＞0，cos 2＜0，∴sin 1＞cos 2，故D错误． 故选AC． 答案　AC 10．(2024·全国高一专题练习)条件甲：sin x＝sin y是条件乙：x＝y的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　若sin x＝sin y，则x＝y＋2kπ，k∈Z或x＝π－y＋2kπ，k∈Z；若x＝y，则sin x＝sin y显然成立，综上可得，条件甲：sin x＝sin y是条件乙：x＝y的必要不充分条件，故选B． 答案　B 11．(2024·江苏镇江高一期末)已知函数f(x)＝2ksin α＋3，若对任意α∈都有f(α)≥0恒成立，则实数k的取值范围为________． 解析　由α∈得sin α∈. 当k≥0时，－k＋3≤2ksin α＋3≤k＋3，由f(α)≥0得－k＋3≥0，解得0≤k≤3； 当k＜0时，k＋3≤2ksin α＋3≤－k＋3，由f(α)≥0得k＋3≥0，解得－3≤k＜0. 综上所述，k的取值范围是[－3,3]． 答案　[－3,3] 12．函数y＝cos x在区间[－π，a]上单调递增，则a的取值范围是________． 解析　∵y＝cos x在[－π，0]上单调递增， ∴[－π，a]⊆[－π，0]，即－π＜a≤0. 答案　(－π，0] 13．求使函数y＝－sin2x＋sin x＋取得最大值和最小值时自变量x的集合，并求出函数的最大值和最小值． 解析　令t＝sin x，则－1≤t≤1， ∴y＝－t2＋t＋＝－2＋2. 当t＝时，ymax＝2，此时sin x＝， 即x＝2kπ＋或x＝2kπ＋，k∈Z. 当t＝－1时，ymin＝－. 此时sin x＝－1，即x＝2kπ＋，k∈Z. 综上，使函数y＝－sin2x＋sin x＋取得最大值时自变量x的集合为，且最大值为2. 使函数y＝－sin2x＋sin x＋取得最小值时自变量x的集合为，且最小值为－. [核心价值·探索创新] 14．若点A(cos θ，sin θ)关于y轴的对称点为B，写出θ的一个取值为________． 解析　∵A(cos θ，sin θ)与B关于y轴对称， 即θ，θ＋关于y轴对称，θ＋＋θ＝π＋2kπ，k∈Z，则θ＝kπ＋，k∈Z， 当k＝0时，可取θ的一个值为.故答案为. . 答案　 15．设函数f(x)＝sin ，x∈R. (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值． 解析　(1)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， ∴函数f(x)的单调递增区间是 (k∈Z)． (2)令t＝2x－， 则由≤x≤可得0≤t≤， ∴当t＝，即x＝时，ymin＝×＝－1， ∴当t＝，即x＝时，ymax＝×1＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$