1.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

第一章　三角函数 §4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 R R 栏目导航 第一章　三角函数 1 －1 1 [－1,1] 2kπ，k∈Z　 1 (2k＋1)π，k∈Z －1 [－1,1] 栏目导航 第一章　三角函数 1 2π 2π 栏目导航 第一章　三角函数 1 相等 sin α 相等 cos α 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 03 课后案·学业评价 点击进入Word 栏目导航 栏目导航 第一章　三角函数 1 谢谢观看 栏目导航 第一章　三角函数 1 学业标准 素养目标 1．理解并掌握正弦函数、余弦函数的基本性质．(重点) 2．能用正余弦函数的基本性质解决相关问题．(难点) 通过正(余)弦函数基本性质的学习，提升直观想象、逻辑推理等核心素养. 导学　单位圆与正(余)弦函数的基本性质 借助单位圆和正(余)弦函数的定义，如图，探究余弦函数u＝cos α的基本性质． (1)研究u＝cos α的值域． [提示]　由单位圆知－1≤u≤1，即值域为[－1,1]． (2)研究u＝cos α的周期性． [提示]　∵对任意的k∈Z，α＋2kπ与α终边相同， ∴cos(α＋2kπ)＝cos α， ∴2kπ(k∈Z且k≠0)为余弦函数的周期． (3)研究u＝cos α的单调性． [提示]　根据余弦函数的定义，在单位圆中，当角α由－π增加到0时，cos α的值由－1增加到1；当α由0增加到π时，cos α的值由1减小到－1，因此u＝cos α在[－π，0]上递增，在[0，π]上递减，由余弦函数的周期性对任意k∈Z，余弦函数在[2kπ－π，2kπ]上递增，在[2kπ，2kπ＋π]上递减． ◎结论形成 1．正(余)弦函数的基本性质 性质 v＝sin α u＝cos α 定义域 ______ ______ 最值 的值域 当α＝________________时， vmin＝________； 当α＝________________时， vmax＝______． 值域是______________ 当α＝____________________时， umax＝______； 当α＝____________________时， umin＝________． 值域是______________ 2kπ－eq \f(π,2)，k∈Z 2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ，2kπ＋π))，k∈Z 周期性 周期函数，周期为________ 周期函数，周期为________ 单调性 在区间_______________________上单调递增； 在区间_______________________上单调递减 在区间_______________________ 上单调递增； 在区间_______________________ 上单调递减 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))，k∈Z eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))，k∈Z eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－π，2kπ))，k∈Z 2．终边相同角的正(余)弦值 终边相同的角的正弦函数值________，即对任意k∈Z，sin(α＋2kπ)＝_________，α∈R； 终边相同的角的余弦函数值________，即对任意k∈Z，cos(α＋2kπ)＝_________，α∈R. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)μ＝sin α在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))上是增函数．(　　) (2)μ＝cos α在区间[0,2π]上的周期为2π.(　　) (3)μ＝sin x在区间(0,2π]上有3个不同零点．(　　) (4)μ＝cos α在区间(0，π)上的最大值为1，最小值为－1.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．sin 1 860°等于(　　) A．eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C．eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2) 解析　sin 1 860°＝sin(60°＋5×360°)＝sin 60°＝eq \f(\r(3),2). 答案　C 3．函数y＝eq \f(1,sin α)的定义域为________． 解析　由sin α≠0，即α≠kπ，k∈Z， 故定义域为{α|α≠kπ，k∈Z}． 答案　{α|α≠kπ，k∈Z} 4．函数y＝cos α在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(2π,3)))上的最大值为________，最小值为__________． 解析　如图． ymax＝1， ymin＝－eq \f(1,2). 答案　1　－eq \f(1,2) 题型一　正(余)弦函数周期性的应用 求值： (1)sin(－1 320°) cos 1 110°＋cos(－1 020°)·sin 750°＋cos 495°； (2)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,3)))＋sineq \f(17π,4). [解析]　(1)原式＝sin(－4×360°＋120°)·cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)·sin(2×360°＋30°)＋cos(360°＋135°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋cos 135° ＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)－eq \f(\r(2),2)＝1－eq \f(\r(2),2). (2)原式＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋－4×2π))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2×2π))＝coseq \f(π,3)＋sineq \f(π,4)＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),2). 利用终边相同角的正(余)弦函数值相等求值的步骤 (1)定形：把已知的任意角写成2kπ＋α，α∈(0,2π)，k∈Z或k·360°＋α，k∈Z,0°＜α＜360°的形式． (2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值． (3)求值：若角为特殊角，直接求出该角的三角函数值． [触类旁通] 1．(1)sineq \f(26π,3)＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))＝________. (2)(2024·汕头高一统考期末)函数f(x)是定义在R上的偶函数且满足f(x)＝－f(x＋π)，当x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝2sin x，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,3)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,4)))＝________. 解析　(1)原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8π＋\f(2π,3)))＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π－\f(π,4))) ＝sineq \f(2π,3)＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4))) ＝sineq \f(2π,3)＋coseq \f(π,4) ＝eq \f(\r(　,3),2)＋eq \f(\r(　,2),2)＝eq \f(\r(　,3)＋\r(　,2),2). (2)由题意f(x＋2π)＝f(x＋π＋π)＝－f(x＋π)＝f(x)，所以f(x)是周期函数，周期是2π，又f(x)是偶函数， 所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,3)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,4)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13π,3)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,4))) ＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝2sineq \f(π,3)＋2sineq \f(π,4)＝eq \r(3)＋eq \r(2). 故答案为eq \r(2)＋eq \r(3). 答案　(1)eq \f(\r(　,3)＋\r(　,2),2)　(2)eq \r(2)＋eq \r(3) 题型二　正(余)弦函数的单调性 多维探究 角度1　求正(余)弦函数的单调区间 求下列函数的单调区间． (1)v＝sin α，α∈[－π，π]； (2)u＝cos α，α∈[0,4π]． [解析]　(1)正弦函数的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)， 当k＝0时，得eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))⊂[－π，π]． 正弦函数的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)， 当k＝0时，得eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))， 又α∈[－π，π]，即eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))； 当k＝－1时，得eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，－\f(π,2)))， 又α∈[－π，π]，即eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2))). 综上，v＝sin α的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))， 单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2))). (2)余弦函数的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ](k∈Z)， 当k＝1时，得[π，2π]；当k＝2时，得[3π，4π]． 余弦函数的单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z， 当k＝0时，得[0，π]；当k＝1时，得[2π，3π]． 综上，u＝cos α的单调递增区间为[π，2π]，[3π，4π]， 单调递减区间为[0，π]，[2π，3π]． 角度2　比较正(余)弦函数值的大小 比较下列各组数的大小． (1)sin 220°与sin 230°； (2)coseq \f(17π,8)与coseq \f(22π,9). [解析]　(1)因为函数y＝sin x在[90°，270°]上单调递减， 且90°＜220°＜230°＜270°，所以sin 220°＞sin 230°. (2)coseq \f(17π,8)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,8)))＝coseq \f(π,8)，coseq \f(22π,9)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(4π,9)))＝coseq \f(4π,9). 因为函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，且0＜eq \f(π,8)＜eq \f(4π,9)＜π， 所以coseq \f(π,8)＞coseq \f(4π,9)，故coseq \f(17π,8)＞coseq \f(22π,9). [素养聚焦]　在正(余)弦函数单调性的应用过程中，体现了逻辑推理、直观想象等核心素养． (1)求正(余)弦函数的单调区间可借助单位圆，也可利用基本性质(单调性)． (2)比较正(余)弦函数值的大小，必须强调“两同”，即同名、角处同一单调区间． [触类旁通] 2．(1)函数y＝－cos α在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上(　　) A．单调递增　　　　 B．单调递减 C．先减后增 D．先增后减 (2)比较sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,18)))与sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,10)))的大小． 解析　(1)因为y＝cos α在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上先增后减， 所以y＝－cos α在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上先减后增． (2)∵－eq \f(π,2)＜－eq \f(π,10)＜－eq \f(π,18)＜eq \f(π,2)， ∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,10)))＜sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,18))). 答案　(1)C　(2)略 题型三　正(余)弦函数的最值、值域问题 一题多变 (1)求函数y＝2cos α，α∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(2π,3)))的最小值及取最小值时自变量α的值； (2)求函数y＝sin2α－sin α＋1，α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(3π,4)))的值域． [解析]　(1)y＝cos α在区间eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))上单调递增， 在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))上单调递减， ∴eq \f(\r(3),2)＜cos α≤1或－eq \f(1,2)≤cos α≤1， 即－eq \f(1,2)≤cos α≤1，故－1≤2cos α≤2， 即ymin＝－1，此时α＝eq \f(2π,3). (2)y＝sin2 α－sin α＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin α－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)， 又α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(3π,4)))，所以sin α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)). 设t＝sin α，则有y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))上递增， 所以y∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3－\r(2),2)，1))，即值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3－\r(2),2)，1)). [母题变式] (变条件、变结论)本例(1)变为：已知函数y＝2asin α＋b(a≠0)的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，值域为[－5,1]，则a＝________，b＝________. 解析　∵－eq \f(π,3)≤α≤eq \f(2π,3)，∴－eq \f(\r(3),2)≤sin α≤1. 若a＞0，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＋b＝1，,－\r(3)a＋b＝－5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝12－6\r(3)，,b＝－23＋12\r(3).)) 若a＜0，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＋b＝－5，,－\r(3)a＋b＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－12＋6\r(3)，,b＝19－12\r(3).)) 答案　12－6eq \r(3)　－23＋12eq \r(3)或－12＋6eq \r(3)　19－12eq \r(3) 求含正(余)弦函数的最值的常用方法 (1)可化为y＝Asin α＋B(A≠0)的形式，利用正弦函数的性质求最值，必要时对A讨论； (2)转化成关于正弦函数的二次函数的形式，即y＝Asin2 α＋Bsin α＋C，换元t＝sin α，注意t的范围，利用配方法求解． [触类旁通] 3．(1)若α是△ABC中的最小内角，则y＝sin α的值域为(　　) A．[－1,1] B．(0,1] C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) (2)函数y＝cos2 α－1，α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))的最大值为________． 解析　(1)在△ABC中，可知A＋B＋C＝π， 因为α是△ABC中的最小内角，所以3α≤π，可得0＜α≤eq \f(π,3)， 又由函数y＝sin α在区间eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上单调递增， 且sin 0＝0，sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)，所以sin α∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))， 即函数y＝sin α的值域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2))). (2)y＝cos α在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))上是减函数， ∴eq \f(1,2)≤cos α≤eq \f(\r(3),2)，∴－eq \f(3,4)≤y≤－eq \f(1,4). 故函数的最大值为－eq \f(1,4). 答案　(1)C　(2)－eq \f(1,4) 知识落实 技法强化 正(余)弦函数的基础性质及简单应用. 1．转化法、分类讨论法、换元法． 2．公式中kπ(k∈Z)与k·360°实质不同．|sin α|≤1，|cos α|≤1，注意α的取值范围. $$