精品解析：吉林省白城市实验高级中学2025届高三第一次模拟考试数学试题

白城实验高级中学2025年第一次模拟考试 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，图中阴影部分为集合，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 某学校组队参加辩论赛，在1名男生和4名女生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，在男生入选的条件下，男生担任一辩的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则下列命题正确的是（ ） A. ，使得 B. 方程有两个不同实根，则实数的取值范围是 C. ，使得 D. 若，则实数的取值范围是 4. 若复数为实数，则实数等于（ ） A. B. C. D. 2 5. 若，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 无最小值 6. 已知函数，的定义域为，且．若是偶函数，，是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是（ ） A. B. C. D. 8. 某农机合作社于今年初用98万元购进一台大型联合收割机，并立即投入生产.预计该机第一年（今年）的维修保养费是12万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一年增加4万元.若当该机的年平均耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是（ ） A. 6年 B. 7年 C. 8年 D. 9年 二、多项选择题（本大题共4小题.每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.） 9. 函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，然后向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. 的解析式为 C. 是图象的一个对称中心 D. 的单调递减区间是， 10. 广东省湛江市2017年到2022年常住人口变化图如图所示，则（    ） A. 湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万 B. 湛江市2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势 C. 湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为703.54万 D. 湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的中位数为717.02万 11. 已知直线与双曲线交于两点，为的中点，为坐标原点，若直线的斜率小于，则双曲线的离心率可能为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 12. 已知为偶函数，且在上单调递增，若，则实数a的取值范围是______． 13. 已知，，是抛物线：上一点，则的最小值是______． 14. 已知复数z满足，则其共轭复数的虚部为___________． 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在平面直角坐标系xOy中，已知点M（0，），点P到点M的距离比点P到x轴的距离大，记P的轨迹为C． （1）求C的方程； （2）过点P（，）（其中）的两条直线分别交C于E，F两点，直线PE，PF分别交y轴于A，B两点，且满足．记为直线EF的斜率，为C在点P处的切线斜率，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 16. 如图1，在四边形ABCD中，为DC的中点，.将沿BD折起，使点到点，形成如图2所示的三棱锥.在三棱锥中，，记平面PEO、平面PDC、平面PBC分别为. （1）证明:； （2）若，求与的夹角的大小. 17. 如图，在正四棱台中，. （1）证明：； （2）若为的中点，求直线与平面的夹角的正弦值. 18. 如图①，在梯形中，，，，E为的中点，，以 DE 为折痕把折起，连接,得到如图②的几何体，在图②的几何体中解答下列问题． （1）证明:； （2）请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求平面与平面 夹角的余弦值． ①四棱锥的体积为2； ②直线与所成角的余弦值为. 19. 在平面直角坐标系中， 椭圆：的左，右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，，． （1）求椭圆的方程； （2）不过点的直线交椭圆于、两点，记直线、、的斜率分别为、、.若，证明直线过定点， 并求出定点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白城实验高级中学2025年第一次模拟考试 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，图中阴影部分为集合，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由Ven图得到求解. 【详解】如图所示， 又因为，， 所以， 所以， 即， 所以 的元素个数为3， 故选：C. 2. 某学校组队参加辩论赛，在1名男生和4名女生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，在男生入选的条件下，男生担任一辩的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由排列数的计算以及古典概型概率计算公式即可得解. 【详解】在1名男生和4名女生中选出4人分别担任一、二、三、四辩， 在男生入选的条件下，男生担任一辩的概率是. 故选：A. 3. 已知函数，则下列命题正确的是（ ） A. ，使得 B. 方程有两个不同实根，则实数的取值范围是 C. ，使得 D. 若，则实数的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可判断A；方程有两个不同实根，即与的图象有两个交点，求出的值域可判断B；由题意证得对可判断C；分类讨论，，，与的大小可判断D. 【详解】对，都有 所以，为奇函数，A错； 当时，， 易知在上单调递增，此时， 当时，， 在上单调递减，此时 时，， 时，， 而，所以，方程仅有一根，B错； 时，， 此时 = 而函数在上单调递增，得时， 所以对，C错； 综上，时，，此时 时，，此时 时，，此时，D对. 故选：D. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 4. 若复数为实数，则实数等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法把化简，表示成复数的代数形式，由虚部为0，求的值. 【详解】，若复数为实数， 则，即. 故选：D. 5. 若，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 无最小值 【答案】C 【解析】 【分析】将式子配凑成，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】若，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8． 故选：C． 6. 已知函数，的定义域为，且．若是偶函数，，是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据是奇函数，得出的对称性，然后得出关于的恒等式，与联立得出的周期性，然后求出一个周期内的各个值即可. 【详解】由是奇函数可知，函数的图象关于点对称， 所以，则， 将其代入，得，所以. 又是偶函数， 所以函数的图象关于直线对称，则． 由，得，所以． 由，得，所以， 则，所以，所以的周期为8． 由，，得，所以， 由，得，，所以， 由， 得，，，， 即， 所以 ． 故选：C． 7. 已知函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移伸缩变换可得函数解析式，再整体代换求解即可得答案. 【详解】函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍， 得到图象的解析式为，再向右平移个单位， 得到图象的解析式为， 令，解得， 当时，， 所以是函数的一个对称中心. 故选:C. 8. 某农机合作社于今年初用98万元购进一台大型联合收割机，并立即投入生产.预计该机第一年（今年）的维修保养费是12万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一年增加4万元.若当该机的年平均耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是（ ） A. 6年 B. 7年 C. 8年 D. 9年 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质以及求和公式，结合基本不等式即可求解. 【详解】设第年的维修保养费为万元，数列的前项和为，该机的年平均耗费为， 据题意，数列是首项为12，公差为4的等差数列. 则. 当且仅当，即时，取最小值38. 所以这台冰激凌机的使用年限是7年. 故选:. 二、多项选择题（本大题共4小题.每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.） 9. 函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，然后向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. 的解析式为 C. 是图象的一个对称中心 D. 的单调递减区间是， 【答案】ABD 【解析】 【分析】先利用三角函数的图象求得的解析式，再利用三角函数平移的性质与正弦函数的性质即可得解. 【详解】依题意，由图象可知，，则，故A正确； 因为，所以，则，所以， 因为的图象过点，所以， 则，即， 又，则，所以， 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，得到的图象， 纵坐标变为原来的2倍，得到的图象， 向左平移个单位长度，得到函数的图象，故B正确； 因为，故C错误； 令，解得， 所以的单调递减区间是，，故D正确. 故选：ABD. 10. 广东省湛江市2017年到2022年常住人口变化图如图所示，则（    ） A. 湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万 B. 湛江市2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势 C. 湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为703.54万 D. 湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的中位数为717.02万 【答案】AD 【解析】 【分析】由图可知，根据极差判断A,计算中位数判断C，D，根据趋势单调性判断B. 【详解】由图可知，湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为(万)，A正确； 这6年的常住人口前3年呈递增趋势，后三年也递增，但后三年的常住人口低于前3年，B错误； 湛江市2017年到2022年这6年的常住人口按照从小到大的顺序排列为698.12，703.09，703.54，730.50，732.20，736.00， ，所以第60百分位数为730.50万，中位数为（万），C错误，D均正确. 故选：AD 11. 已知直线与双曲线交于两点，为的中点，为坐标原点，若直线的斜率小于，则双曲线的离心率可能为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】易知，即，设，联立双曲线方程，利用韦达定理表示出，结合中点坐标公式和两点坐标表示斜率公式计算即可求解. 【详解】由题意知，即，所以，设， 由，得， ， 则，， 得，所以， 即，可得且. 故选：BC 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 12. 已知为偶函数，且在上单调递增，若，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中条件得到的图象关于对称，结合函数单调性，建立不等式，解出即可. 【详解】因为为偶函数，所以， 函数的图象关于对称， 又在上单调递增，， 所以，解得． 故答案为：. 13. 已知，，是抛物线：上一点，则的最小值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】 设，用向量的数量积的坐标表示得到，根据消去，得到关于的一元二次函数，即可求出． 【详解】设，则，， 从而． 因为点在抛物线上，所以， 所以，当且仅当时取等号． 故答案为：5 【点睛】本题主要考查向量的数量积的坐标表示，以及抛物线的简单几何性质的应用，属于较易题． 14. 已知复数z满足，则其共轭复数的虚部为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出，再求出共轭复数即得. 【详解】依题意，，因此， 所以的虚部为. 故答案为： 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在平面直角坐标系xOy中，已知点M（0，），点P到点M的距离比点P到x轴的距离大，记P的轨迹为C． （1）求C的方程； （2）过点P（，）（其中）的两条直线分别交C于E，F两点，直线PE，PF分别交y轴于A，B两点，且满足．记为直线EF的斜率，为C在点P处的切线斜率，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】（1）或 （2）不是定值，理由： 当直线PE、PF不是切线时，因为， 所以△PAB为等腰三角形，即直线PE与PF的斜率存在且互为相反数，即． 设点，，直线PE的方程为， 联立直线PE与抛物线方程，消去y并整理得 ，于是，故， 因为直线PE与PF的斜率互为相反数，令代替k，得 所以， 又，所以，即， 当PE与PF有一条为切线，则P为切点，不妨设PF为切线，所以点F与点B重合， 因，所以， 若，则， 所以，即矛盾. 综上所述，不为定值． 【解析】 【分析】（1）结合抛物线的定义以及已知条件求得的方程. （2）根据直线是不是切线进行分类讨论，结合反证法作出判断. 【小问1详解】 由题可知，点P到点的距离与P到直线的距离相等， 轨迹一：点P的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 此时，所以C的方程为． 轨迹二：点P的轨迹在y轴上，， 综上所述，C的方程为或． 【小问2详解】 略 16. 如图1，在四边形ABCD中，为DC的中点，.将沿BD折起，使点到点，形成如图2所示的三棱锥.在三棱锥中，，记平面PEO、平面PDC、平面PBC分别为. （1）证明:； （2）若，求与的夹角的大小. 【答案】（1） 证明：在三棱锥中， 为DC的中点，. 由已知得平面平面BCD. 平面BCD. 又平面. 平面平面平面PEO. 又平面PDC， 平面平面PDC，即； （2）. 【解析】 【分析】（1）先证平面BCD，由线面垂直性质可得，由等腰三角形性质结合面面垂直判定定理可证； （2）以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，由（1）可知是平面PEO的法向量，然后求出平面PBC的法向量，由面面夹角的向量公式求解可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由(1)知OC、OD、OP两两垂直. 分别以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， 根据已知得，. . 由（1）知平面PEO，故是平面PEO的法向量. 设为平面PBC的法向量， 则，取，则. 是平面PBC的法向量. 设与的夹角的大小为，则， 且. . 与的夹角的大小等于. 17. 如图，在正四棱台中，. （1）证明：； （2）若为的中点，求直线与平面的夹角的正弦值. 【答案】（1） 设，，连接， 则平面且平面， 又，所以， ，则， 如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，， 所以，即，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）设，，连接，由正四棱台的性质可知平面，求出线段的长度，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出，即可得证； （2）利用空间向量法求出线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，所以， ， 设平面的法向量为，则，取， 设直线与平面的角为，则， 所以直线与平面的夹角的正弦值为. 18. 如图①，在梯形中，，，，E为的中点，，以 DE 为折痕把折起，连接,得到如图②的几何体，在图②的几何体中解答下列问题． （1）证明:； （2）请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求平面与平面 夹角的余弦值． ①四棱锥的体积为2； ②直线与所成角的余弦值为. 【答案】（1）证明：在图①中，连接，因为，，为的中点，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以，同理可证， 在图②中，取的中点，连接，， 则，因为，所以，， 因为，，平面，所以平面，因为平面，所以. 图① （2）选①；选② 【解析】 【分析】（1）根据，，则平面，继而证明； （2）若选①，根据四棱锥的体积，可求得其高与相等，可得平面，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用两个平面夹角的余弦值的向量表达式，进行计算即可；若选②，中利用余弦定理可求得，继而可得，利用面面垂直的性质定理可知平面，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用两个平面夹角的余弦值的向量表达式，进行计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若选择①：由（1）知平面， 平面， 所以平面平面，且交线为， 所以过点作交于点， 则平面， 因为， 所以四棱锥的体积， 所以，所以与重合， 所以平面， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 因为，， 所以， 取， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 若选择②：因为， 所以即为异面直线与所成的角， 中，, 所以,所以, 即, 又平面， 平面， 所以平面平面，且交线为， 所以平面， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 因为，， 所以， 取， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 在平面直角坐标系中， 椭圆：的左，右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，，． （1）求椭圆的方程； （2）不过点的直线交椭圆于、两点，记直线、、的斜率分别为、、.若，证明直线过定点， 并求出定点的坐标． 【答案】（1） ； （2）设直线的方程为，，． 直线不过点，因此． 由 ，得， 时，，， ∴ ， 由，可得，即， 故的方程为，恒过定点． 【解析】 【分析】（1）写出的坐标，求出向量坐标，根据向量的关系即可列出方程组，求得和椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，，．联立直线与椭圆方程， 根据韦达定理得到根与系数的关系，求出，根据即可求得和 的关系，即可证明直线过定点并求出该定点． 【小问1详解】 由题意知，，，， ∵，， ∴，解得，从而， ∴椭圆的方程为. 【小问2详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $