专题01 菱形的性质与判定（考点清单，3考点12题型+命题预测）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（鲁教版）

专题01 菱形的性质与判定 （3个考点梳理+12种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 菱形的定义 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 【易错点】 1）对于菱形的定义要注意两点（缺一不可）：①是平行四边形；②一组邻边相等. 2）定义说有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，不要错误地理解为有一组邻边相等的四边形是菱形. 清单02 菱形的性质 性质定理 符号语言 图示 边 四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=CD=AD=BC 对角线 对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 【补充】 1）菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一切性质； 2）菱形的两条对角线互相垂直，且对角线将菱形分成四个全等的直角三角形. 3）对角线互相垂直的四边形不一定是菱形. 4）菱形的面积公式： ①菱形的面积=底×高，即 ②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即. 清单03 菱形的判定 判定定理 符号语言 图示 边 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形 【解题思路】判定一个四边形是菱形时，可先证明它是平行四边形，再证明它的一组邻边相等或它的对角线互相垂直，也可直接证明它的四条边都相等或它的对角线互相垂直平分． 【考点题型一】利用菱形的性质求角度（） 1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交于点；③分别以点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）如图，在菱形中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，，作直线交于点，连接，，则的度数为 ． 3．（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，是菱形的对角线，，F是上一点，且垂直平分，垂足为E，连接，求的度数． 【考点题型二】利用菱形的性质求线段长（） 4．（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，菱形的对角线交于点O，且，，则菱形的高的长是（   ） A．10 B．96 C．9.6 D．以上都不对 5．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，菱形的对角线与相交于点O，若，，则的长为（   ） A．3 B．5 C．8 D． 6．（2024·甘肃·中考真题）如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【考点题型三】利用菱形的性质求周长（） 7．（22-23八年级上·山东泰安·期末）如图，菱形中，，，E、F分别是、的中点，连接，则的周长为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·山西大同·期中）如图，菱形的对角线，交于点．若，，则菱形的周长是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）如图，四边形是菱形，对角线，于H，， (1)求菱形的周长． (2)求的长． 【考点题型四】利用菱形的性质求面积（） 10．（24-25八年级下·山东威海·阶段练习）已知菱形的周长为，一条对角线长为，该菱形的面积为 ． 11．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）一个菱形的两条对角线的长分别是10和，则这个菱形的面积为（） A． B． C．35 D． 12．（22-23八年级下·山东东营·期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，，，与交于点F．若，，则菱形的面积为 ． 【考点题型五】利用菱形的性质求坐标（） 13．（23-24八年级下·山东东营·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为2，点B在y轴上，，则点B的坐标为 ． 14．（23-24八年级下·山东淄博·期中）如图，菱形的对角线交点是坐标原点，已知点，则点的坐标为 ． 【考点题型六】添加一个条件使四边形是菱形（） 15．（23-24八年级下·山东滨州·期末）若四边形中，，，再添加一个下列条件能使其成为菱形的是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，依次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，添加的条件正确的是（　　） A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·山西太原·期末）已知，四边形是平行四边形，对角线，交于点．若增加一个条件，将它边的数量关系特殊化，可使，则增加的一个条件可以是 ．（写出一个即可） 18．（22-23八年级下·山东济宁·期末）如图，在四边形中，对角线相交于点，已知．请你添加一个条件 ，使四边形是菱形． 【考点题型七】证明四边形是菱形（） 19．（24-25八年级下·山东淄博·阶段练习）如图，中，，，．将沿射线方向平移，得到，A，，的对应点分别是D，E，F，连接．求证：四边形是菱形． 20．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在 中， ，D、E分别是、的中点，连接，过点E作，交于点 F．求证：四边形是菱形．    21．（2023·山西·模拟预测）如图，在菱形中 ，是对角线，点E 是延长线上的一点，在线段的延长线上截取，连接，，，，试判断四边形的形状，并说明理由． 22．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，在四边形中，是对角线上的两点，且．若平分，求证：四边形是菱形． 【考点题型八】根据菱形的性质与判定求角度（） 23．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，对角线与相交于点O，平分，过点B作交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 24．（22-23八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，是它的一条对角线，作的垂直平分线，分别交于点．    (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 25．（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，在中，点D，E分别是边的中点，，交的延长线于点F，连接交于点O．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【考点题型九】根据菱形的性质与判定求线断长（） 26．（23-24八年级下·山东潍坊·阶段练习）如图，在中，，用剪刀沿其边上的中线将剪成两部分，将沿进行折叠，得到，连接交于F点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 27．（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，在四边形中，，，为对角线的中点，为边的中点，连接、． (1)求证：四边形为菱形； (2)连接交于点，若，，求的长． 28．（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，在中，，点D是的中点，连接，过点B作，过点C作，、相交于点E． (1)判断四边形的形状并说明理由； (2)过点D作于点F，交于点G，连接EG．若，，求的长． 29．（22-23八年级下·山东济南·期末）已知：如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点，分别在，的延长线上，且，连接，，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若平分，，，求四边形的周长． 30．（22-23八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，在平行四边形中，，平分，交于点E，过点E作交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为16，，求的大小． 【考点题型十】根据菱形的性质与判定求面积（） 31．（21-22九年级下·辽宁鞍山·期中）如图，有一块五边形空地，某社区计划将其布置成疫情时期核酸检测场地两个区域，测得，，，，，求五边形的面积．（要求：结果保留根号） 32．（22-23八年级下·山东滨州·期中）如图，在中，，，，点为是边的中点，点是边上一点，连接并延长至，使得．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求长． 33．（22-23八年级上·山东济南·期末）如图，在四边形中，与交于点O，且，点E在线段BO上，．    (1)求证：四边形是平行四边形： (2)若，，，求四边形的面积． 34．（22-23八年级下·山东济南·期末）如图，中，，是边上的中线，过点C作，过点A作交于点E，连接，点O为与的交点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【考点题型十一】与菱形有关的最值问题（） 35．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图菱形的对角线，点E为边的中点，点F、P为边上的动点，则的最小值为 . 36．（22-23八年级上·山东泰安·期末）如图，在菱形中，E，F分别是边CD，上的动点，连接，，G，H分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 37．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在菱形中，，，点E、F分别是边上的两个动点，连接，若平分，则的最小值为 ．    38．（22-23八年级下·山东泰安·期末）如图，菱形的边长为4，且，是的中点，为上一点且的周长最小，则的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【考点题型十二】与菱形有关的折叠问题（） 39．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点C落在（点P为中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕．则的大小为 40．（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）如图，在菱形纸片中，，为的中点，折叠该纸片使点落在点处，且点在上，折痕为，则的度数为( ) A． B． C． D． 41．（23-24八年级下·山东淄博·期末）在综合与实践课上，同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动. 【操作探究】 同学们用一张钝角三角形纸片（为钝角），进行了如下操作： 第一步：如图1，折出的角平分线； 第二步：如图2，展平纸片，再次折叠该三角形纸片，使点A与点D重合，折痕分别与交于点E，F； 第三步：如图3，再次展平纸片，连接，可得四边形. 【问题解决】 （1）在图4的中利用尺规作出折痕；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）试判断图3中四边形的形状，并写出证明过程. 【命题预测】 1．（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）如图，在中，添加下列条件仍不能判定是菱形的是（） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A．24度 B．25度 C．40度 D．65度 4．（23-24八年级下·山东东营·开学考试）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，点坐标为，将菱形绕原点逆时针旋转，当点恰好在轴正半轴上时停止，此时点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·山东临沂·期末）小明用四个全等的含角的直角三角板拼成如图所示的三个图案，其中是菱形的有（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（23-24八年级下·山东滨州·期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点O，点E为的中点，连接并延长交于点F，，．下列结论：①；②；③四边形是菱形；④，其中，判断正确的是（    ）    A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 7．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，，，点、分别为、上的动点，，点从点向点运动过程中，的长度（　　） A．逐渐增加 B．先减小再增加 C．恒等于9 D．恒等于6 8．（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，已知菱形的边长为，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，在菱形中，，点分别为边上的动点，点从点开始沿方向向点运动，点从点开始沿方向向点运动，在运动过程中，始终保持．若，则的长度为 ． 10．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，、分别是，边上的中点，连接．若，，则菱形的面积为 ． 11．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，在边长为4的菱形中，，点M是的中点，连接，将菱形翻折，使点A落在线段上的点E处，折痕交于点N，则线段的长为 ． 12．如图，在的两边上分别截取，，使；分别以点A，B为圆长为半径作弧，两弧交于点C；连接，，，．若，四边形的面．则的长为 ．    13．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，平行四边形的对角线相交于点O，平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 14．（23-24八年级下·山东济南·开学考试）如图，在中，对角线的垂直平分线与交于点O，与交于点E，与交于点F，连接， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 15．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，点是菱形对角线上任意一点，连接，，．点是延长线上一点，连接，交于点，且． (1)求的度数； (2)若，请直接写出，，的数量关系，不需要证明． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 菱形的性质与判定 （3个考点梳理+12种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 菱形的定义 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 【易错点】 1）对于菱形的定义要注意两点（缺一不可）：①是平行四边形；②一组邻边相等. 2）定义说有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，不要错误地理解为有一组邻边相等的四边形是菱形. 清单02 菱形的性质 性质定理 符号语言 图示 边 四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=CD=AD=BC 对角线 对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 【补充】 1）菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一切性质； 2）菱形的两条对角线互相垂直，且对角线将菱形分成四个全等的直角三角形. 3）对角线互相垂直的四边形不一定是菱形. 4）菱形的面积公式： ①菱形的面积=底×高，即 ②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即. 清单03 菱形的判定 判定定理 符号语言 图示 边 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形 【解题思路】判定一个四边形是菱形时，可先证明它是平行四边形，再证明它的一组邻边相等或它的对角线互相垂直，也可直接证明它的四条边都相等或它的对角线互相垂直平分． 【考点题型一】利用菱形的性质求角度（） 1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交于点；③分别以点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：由作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）如图，在菱形中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，，作直线交于点，连接，，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查了垂直平分线的作图以及性质，菱形的性质以及等边对等角的性质，根据作图可知垂直平分，即可得出，根据等边对等角得出，根据菱形的性质可得出，，根据角的和差关系即可求解． 【详解】解∶由作图可知：垂直平分， ∴， ∴， ∵是菱形， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，是菱形的对角线，，F是上一点，且垂直平分，垂足为E，连接，求的度数． 【答案】 【分析】由垂直平分线可得，由菱形的性质可得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：为的垂直平分线，， ∴， 四边形是菱形， ∴， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质，等边对等角，三角形内角和定理．熟练掌握垂直平分线的性质，菱形的性质，等边对等角，三角形内角和定理是解题的关键． 【考点题型二】利用菱形的性质求线段长（） 4．（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，菱形的对角线交于点O，且，，则菱形的高的长是（   ） A．10 B．96 C．9.6 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，利用菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长即可． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O， ∴，， ∴， ∵是菱形的高， ∴，即：， ∴； 故选C． 5．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，菱形的对角线与相交于点O，若，，则的长为（   ） A．3 B．5 C．8 D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理、菱形的性质的等知识，根据菱形的性质得到,，，再利用勾股定理即可求出答案. 【详解】解：∵菱形的对角线与相交于点O，若，， ∴,， ∴， 故选：D 6．（2024·甘肃·中考真题）如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】结合图象，得到当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到中点时，的长为，解得即可． 本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】结合图象，得到当时，， 当点P运动到点B时，， 根据菱形的性质，得， 故， 当点P运动到中点时，的长为， 故选C． 【考点题型三】利用菱形的性质求周长（） 7．（22-23八年级上·山东泰安·期末）如图，菱形中，，，E、F分别是、的中点，连接，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．根据菱形的邻角互补和直角三角形两锐角互余的数量关系，推出，再根据等边三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：连接， 菱形， ，， E、F分别是、的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， 与是等边三角形， ， ，， ， ， 是等边三角形， 的周长是． 故选B． 8．（23-24八年级下·山西大同·期中）如图，菱形的对角线，交于点．若，，则菱形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，由四边形是菱形得，，，，，最后由勾股定理即可求解，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴菱形的周长是， 故选：． 9．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）如图，四边形是菱形，对角线，于H，， (1)求菱形的周长． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理： （1）根据菱形的性质得到，，则可证明是等边三角形，得到，据此可得答案； （2）由三线合一定理得到，由勾股定理可得． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴菱形的周长； （2）解：由（1）得是等边三角形， ∵， ∴， ∴． 【考点题型四】利用菱形的性质求面积（） 10．（24-25八年级下·山东威海·阶段练习）已知菱形的周长为，一条对角线长为，该菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质和菱形的面积公式，掌握菱形的面积公式是解题的关键．因为周长是，所以边长是．根据对角线互相垂直平分得直角三角形，运用勾股定理求另一条对角线的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算求解． 【详解】解：因为周长是，所以边长是． 如图所示：，． 根据菱形的性质，，， 在中， 根据勾股定理，， ． 菱形的面积为． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）一个菱形的两条对角线的长分别是10和，则这个菱形的面积为（） A． B． C．35 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形面积等于对角线乘积的一半．根据菱形面积等于对角线乘积的一半进行计算即可． 【详解】解：根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得：． 故选：D． 12．（22-23八年级下·山东东营·期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，，，与交于点F．若，，则菱形的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理等；由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得，再判定四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得，由，即可求解；掌握菱形的性质，平行四边形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ； 故答案：． 【考点题型五】利用菱形的性质求坐标（） 13．（23-24八年级下·山东东营·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为2，点B在y轴上，，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质，勾股定理．连接交于点D，根据菱形的性质可得，，可证明是等边三角形，可得，再由勾股定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点D， ∵菱形的边长为2， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点B在y轴上， ∴点B的坐标为． 故答案为：． 14．（23-24八年级下·山东淄博·期中）如图，菱形的对角线交点是坐标原点，已知点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是菱形的性质，关于原点对称的性质．菱形的对角线相互平分可知点与关于原点对称，从而得结论． 【详解】解：四边形是菱形， ，即点与点关于原点对称， 点， 点的坐标是． 故答案为：． 【考点题型六】添加一个条件使四边形是菱形（） 15．（23-24八年级下·山东滨州·期末）若四边形中，，，再添加一个下列条件能使其成为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的判定，根据菱形的判定进行逐一判断即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， A、当时，四边形是矩形，故不符合题意； B、当时，四边形是菱形，故符合题意； C、当时，四边形不一定是菱形，故不符合题意； D、当时，四边形是矩形，故不符合题意； 故选：B． 16．（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，依次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，添加的条件正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 根据中点四边形可得四边形是平行四边形，进而添加一个直角或者对角先线相等，可得矩形，而添加邻边相等得出四边形为菱形，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接， 依题意，． ∴， ∴四边形是平行四边形， A．添加，则四边形为矩形，故该选不符合题意； B．添加，可得四边形为菱形，符合题意；     C．添加，可得四边形为矩形，故该选不符合题意； D．添加，则，可得四边形为矩形，故该选不符合题意； 故选：B． 17．（24-25九年级上·山西太原·期末）已知，四边形是平行四边形，对角线，交于点．若增加一个条件，将它边的数量关系特殊化，可使，则增加的一个条件可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查菱形的判定和性质，根据菱形是特殊的平行四边形，只需要增加菱形所特有的性质即可．掌握菱形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴当时，为菱形， 此时． ∴增加的一个条件可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 18．（22-23八年级下·山东济宁·期末）如图，在四边形中，对角线相交于点，已知．请你添加一个条件 ，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，证明得到，即可得四边形是平行四边形，再由即可求证，掌握菱形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：添加条件：，理由如下： ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故答案为：． 【考点题型七】证明四边形是菱形（） 19．（24-25八年级下·山东淄博·阶段练习）如图，中，，，．将沿射线方向平移，得到，A，，的对应点分别是D，E，F，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，勾股定理，平移的性质，熟练掌握平移的性质和勾股定理是解题的关键． 根据平移的性质可得，，再在中利用勾股定理求出，根据四条边都相等的四边形是菱形得到结论． 【详解】证明：由平移变换的性质得： ，， ，，， ， ， 四边形是菱形． 20．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在 中， ，D、E分别是、的中点，连接，过点E作，交于点 F．求证：四边形是菱形．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了菱形的判定，三角形中位线的判定以及性质，由已知条件可得出是的中位线，由三角形中位线的性质可得出，，进一步即可得出四边形是平行四边形．由线段的中点可得出，再结合已知条件可得出，则可证明四边形是菱形． 【详解】证明∶∵D、E分别是、的中点，， ∴是的中位线， ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形． ∵ D是的中点， ∴ ∵， ∴． ∴四边形是菱形． 21．（2023·山西·模拟预测）如图，在菱形中 ，是对角线，点E 是延长线上的一点，在线段的延长线上截取，连接，，，，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形是菱形，见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质； 根据菱形的性质求出，，则四边形是平行四边形，再根据可得四边形是菱形． 【详解】四边形是菱形； 理由：连接与交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 22．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，在四边形中，是对角线上的两点，且．若平分，求证：四边形是菱形． 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键． 根据平行线的性质可得，可求出，可证，可得四边形是平行四边形，再根据平分，可得，，结合菱形的判定方法即可求证． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∵平分  ， ∴ ， 又∵， ∴， ∴ ， ∴平行四边形是菱形． 【考点题型八】根据菱形的性质与判定求角度（） 23．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，对角线与相交于点O，平分，过点B作交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】该题主要考查了平行四边形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点， （1）根据平分，得到，结合四边形是平行四边形，证出，，得出四边形是菱形，即可得． （2）根据四边形是平行四边形，得到，根据勾股定理得出，设，则，即可求解； 【详解】（1）证明：∵平分， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是菱形， ． （2）解：∵四边形是平行四边形， ， ∵，， ， ， 设，则， 解得：， ． 24．（22-23八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，是它的一条对角线，作的垂直平分线，分别交于点．    (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，作出图形，根据中垂线性质，结合三角形全等的判定与性质即可求证； （2）由（1）知，利用全等性质得到对角线相互平分，再结合中垂线性质得到四边形是菱形，由菱形性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图所示：   四边形是平行四边形， ，， ， 垂直平分， ， 在和重 ， ， ， ，， ； （2）解：连接，如图所示： 由（1）知， ，， ∴四边形是平行四边形， 垂直平分，即， ∴四边形是菱形， ， ， 菱形中，对角线平分， ． 【点睛】本题考查平行四边形及特殊平行四边形综合，涉及平行四边形的判定与性质、中垂线性质、三角形全等的判定与性质、菱形的判定与性质，熟练掌握平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 25．（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，在中，点D，E分别是边的中点，，交的延长线于点F，连接交于点O．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）通过证明四边形为平行四边形，即可求解； （2）根据中位线的性质可得，，可得平行四边形为菱形，利用菱形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：∵点D，E分别是边的中点， ∴ 又∵ ∴四边形为平行四边形， ∴ （2）解：∵点D，E分别是边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴平行四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 【考点题型九】根据菱形的性质与判定求线断长（） 26．（23-24八年级下·山东潍坊·阶段练习）如图，在中，，用剪刀沿其边上的中线将剪成两部分，将沿进行折叠，得到，连接交于F点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)四边形为菱形；理由见详解 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、勾股定理等知识，灵活利用菱形的性质是解答本题的关键． （1）利用直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，再根据翻折的性质即可求解； （2）利用，AD⊥CE，可得BE⊥CE，利用来菱形的性质证得BC=2BE，再利用勾股定理即可求出BE，则问题即可得解． 【详解】（1）证明：四边形为菱形；理由如下： ∵为的中线， ∴， 由折叠可知： ∴ ∴四边形为菱形； （2）解： ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 27．（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，在四边形中，，，为对角线的中点，为边的中点，连接、． (1)求证：四边形为菱形； (2)连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查中位线的性质，菱形的判定及性质，勾股定理． （1）由中位线的性质可得，，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形，又，即可得证菱形； （2）根据菱形的对角线互相垂直平分，并结合勾股定理可求得，进而得到，，最后在中，根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明：∵为对角线的中点，为边的中点， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形为菱形； （2）解：如图，与交于点 ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴在中，， ∴在菱形中，， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴在中，． 28．（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，在中，，点D是的中点，连接，过点B作，过点C作，、相交于点E． (1)判断四边形的形状并说明理由； (2)过点D作于点F，交于点G，连接EG．若，，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据题意证明四边形是平行四边形，再利用直角三角形性质得到，即可证明四边形是菱形； （2）利用直角三角形性质得到，利用勾股定理得到，结合菱形性质得到，并证明，利用全等的性质结合勾股定理即可得到的长． 【详解】（1）解：四边形是菱形．理由如下： ，， 四边形是平行四边形， 在中，，且点D是的中点， ， 四边形是菱形； （2）解：， ， ， ， 在中，， ， 四边形是菱形， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定及性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 29．（22-23八年级下·山东济南·期末）已知：如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点，分别在，的延长线上，且，连接，，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若平分，，，求四边形的周长． 【答案】(1)详见解析 (2)32 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、菱形的周长等知识，证明，以及在平分的条件下证明四边形为菱形是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，而，所以，即可证明四边形是平行四边形； （2）由，，推导出，则，推出四边形是菱形，而，则是等边三角形，得出，即可求得四边形周长是． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵平分， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形周长是． 30．（22-23八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，在平行四边形中，，平分，交于点E，过点E作交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为16，，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，解题的关键是利用这些性质和判定解决问题． （1）由题意可得四边形是平行四边形，由平分，可得，则结论可得 （2）连接交于点；则于点．由题意可得，，，可得的长即可求的长． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，即 ， ， ∴四边形为平行四边形， 平分， ， ∵， ， ， ， ∴四边形是菱形； （2）解：连接交于点，    ∵四边形为菱形， ∴，， ，， ， ∵菱形的周长为， ， 在中， ， 由勾股定理可得：， ． 【考点题型十】根据菱形的性质与判定求面积（） 31．（21-22九年级下·辽宁鞍山·期中）如图，有一块五边形空地，某社区计划将其布置成疫情时期核酸检测场地两个区域，测得，，，，，求五边形的面积．（要求：结果保留根号） 【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，连接与交于点．根据勾股定理求出，然后证明出四边形是菱形，求出，，然后分别求出和，进而求出五边形的面积． 【详解】解：连接，连接与交于点． ∵， ∴ ∵ ∴   ∴四边形是菱形 ∴， ∴在中， ∴    ∴ 答：五边形的面积为． 32．（22-23八年级下·山东滨州·期中）如图，在中，，，，点为是边的中点，点是边上一点，连接并延长至，使得．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）由线段中点的定义得，再由，即可得出结论； （2）证四边形是菱形，得，设，再由勾股定理得，，，然后由菱形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）证明：点为是边的中点， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：，四边形是平行四边形， 四边形是菱形， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， ， ， ， 即的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证得四边形为菱形是解题的关键． 33．（22-23八年级上·山东济南·期末）如图，在四边形中，与交于点O，且，点E在线段BO上，．    (1)求证：四边形是平行四边形： (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)120 【分析】（1）先证明得到，再根据平行四边形的判定可得结论； （2）先根据等腰三角形的性质得到，可证四边形是菱形，再利用勾股定理求得，进而求解即可． 【详解】（1）证明：在和中， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）∵，， ∴， 由（1）知，四边形是平行四边形， 四边形是菱形 在中，， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定及性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定和等腰三角形的性质是解答的关键． 34．（22-23八年级下·山东济南·期末）如图，中，，是边上的中线，过点C作，过点A作交于点E，连接，点O为与的交点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)平行四边形是菱形，见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明即可证明四边形是菱形； （2）先证明四边形是平行四边形，再由30度角的性质求出，然后根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）∵ ∴四边形是平行四边形 ∵，是这上的中线 ∴， ∴平行四边形是菱形 （2）由（1）得四边形是菱形 ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ 在中 ∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 【考点题型十一】与菱形有关的最值问题（） 35．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图菱形的对角线，点E为边的中点，点F、P为边上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于的对称点，过作的垂线交于点，则的长度即为的最小值，最后根据菱形的面积求出的长度即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线， ∴ ， 作E关于的对称点，过作的垂线交于点，则的长度即为的最小值， ∵ ∴ 即 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质及最短路径，解题的关键在于要利用菱形的轴对称的特性将点E从边变换到边上，再根据垂线段最短即可得到的最小值． 36．（22-23八年级上·山东泰安·期末）如图，在菱形中，E，F分别是边CD，上的动点，连接，，G，H分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ， ，分别为，的中点， 是的中位线， ， 当时，最小，得到最小值， 则， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即的最小值为， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 37．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在菱形中，，，点E、F分别是边上的两个动点，连接，若平分，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 过点作于点，由菱形的性质得出，求出．根据菱形的性质及角平分线得到，推出．得出当时，最小，即最小． 【详解】解：过点作于点，    ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ， 平分， ， ， ， 当时，最小，即最小， 的最小值． 故答案为：． 38．（22-23八年级下·山东泰安·期末）如图，菱形的边长为4，且，是的中点，为上一点且的周长最小，则的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由菱形的性质可得点与点关于对称，连接交于点，连接，则的周长，此时的周长最小，过点作交的延长线于，由菱形的性质和可得，从而可得，最后由勾股定理计算得出，即可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， 点与点关于对称， 如图，连接交于点，连接， ， 则， 的周长，此时的周长最小， 是的中点，菱形的边长为4， ， 过点作交的延长线于， 四边形为菱形，边长为4， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的周长的最小值， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、轴对称的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质、轴对称的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，添加适当的辅助线，求出的长，是解题的关键． 【考点题型十二】与菱形有关的折叠问题（） 39．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点C落在（点P为中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕．则的大小为 【答案】/30度 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质及内角和定理，连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，P为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为菱形，， ∴为等边三角形，， ∵P为的中点， ∴为的平分线，即， ∴， ∴由折叠的性质得到， 在中，， ∴， 故答案为： 40．（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）如图，在菱形纸片中，，为的中点，折叠该纸片使点落在点处，且点在上，折痕为，则的度数为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，折叠的性质，熟练掌握并灵活运用相关知识点是解题的关键．连接，易得为等边三角形，根据三线合一，易得，利用菱形的性质，易得：，根据折叠的性质，易得． 【详解】解：∵在菱形纸片中，， ∴， 连接， ∴为等边三角形， ∵P为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵折叠该纸片使点C落在点处且点P在上，折痕为， ∴． 故选C． 41．（23-24八年级下·山东淄博·期末）在综合与实践课上，同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动. 【操作探究】 同学们用一张钝角三角形纸片（为钝角），进行了如下操作： 第一步：如图1，折出的角平分线； 第二步：如图2，展平纸片，再次折叠该三角形纸片，使点A与点D重合，折痕分别与交于点E，F； 第三步：如图3，再次展平纸片，连接，可得四边形. 【问题解决】 （1）在图4的中利用尺规作出折痕；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）试判断图3中四边形的形状，并写出证明过程. 【答案】（1）见详解（2）四边形为菱形，见详解 【分析】（1）利用基本尺规作图作出图形； （2）根据折叠的性质、线段垂直平分线的性质得到，，证明，，根据菱形的判定定理证明结论； 本题考查的是尺规作图、菱形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：（1）如图4，，即为所求； （2）四边形为菱形， 证明：由折叠可知，是的角平分线，是的垂直平分线， ，，， ，， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； 【命题预测】 1．（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）如图，在中，添加下列条件仍不能判定是菱形的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键．根据菱形的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴添加，能判定是菱形，故A不符合题意； 添加，能判定是菱形；故B不符合题意； 添加，则是矩形，不能判定是菱形；选项C符合题意； 添加，能判定是菱形；选项D不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中点四边形、菱形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理和菱形的判定是解题的关键．根据三角形的中位线定理可得，，，，，，得到四边形为平行四边形，再结合选项逐个分析判断即可得出结论． 【详解】解：分别为的中点， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， A、添加条件，则有，此时为矩形，不符合题意； B、添加条件，此时为平行四边形，不符合题意； C、添加条件，此时为平行四边形，不符合题意； D、添加条件，则有，此时为菱形，符合题意； 故选：D． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A．24度 B．25度 C．40度 D．65度 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握性质是解题的关键； 先根据菱形的性质得，再根据菱形的对角线平分一组对角求出的度数，然后根据直角三角形两锐角互余，同角的余角相等即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 4．（23-24八年级下·山东东营·开学考试）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，点坐标为，将菱形绕原点逆时针旋转，当点恰好在轴正半轴上时停止，此时点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，含直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得，，由含直角三角形的性质可求，，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于， ∵将菱形绕原点逆时针旋转， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：B． 5．（23-24八年级下·山东临沂·期末）小明用四个全等的含角的直角三角板拼成如图所示的三个图案，其中是菱形的有（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查的是菱形的判定，全等三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据菱形的判定方法逐一分析即可； 【详解】解：四个全等的含角的直角三角板拼成如图所示的三个图案中， 第一个与第三个四边形的四条边都相等， ∴第一个与第三个图形是菱形， 如图， 由四个全等的含角的直角三角板拼成的四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴,， ∴, ∴， ∴四边形是菱形； 故选D 6．（23-24八年级下·山东滨州·期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点O，点E为的中点，连接并延长交于点F，，．下列结论：①；②；③四边形是菱形；④，其中，判断正确的是（    ）    A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】通过判定为等边三角形求得，利用等腰三角形的性质求得，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④． 【详解】解：点为的中点， ， 又， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 即，故①正确； 在平行四边形中，，，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形，故③正确； ， 在中，， ，则，故②正确； 在平行四边形中，， 又点为的中点， ，故④正确； 正确的结论①②③④． 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含的直角三角形的性质，三角形的中线性质，掌握菱形的判定是解题关键． 7．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，，，点、分别为、上的动点，，点从点向点运动过程中，的长度（　　） A．逐渐增加 B．先减小再增加 C．恒等于9 D．恒等于6 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，连接，由菱形的性质推出，，判定是等边三角形，得到，，由，推出，由判定，得到，于是得到． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 8．（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，已知菱形的边长为，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由菱形，，可得，，证明，则，如图，作于，作于，则，，可知当三点共线且时，最小为，由，可得，由勾股定理求，进而可得的最小值． 【详解】解：∵菱形，， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， 如图，作于，作于， ∴， ∴， ∴当三点共线且时，最小为， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理是解题的关键． 9．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，在菱形中，，点分别为边上的动点，点从点开始沿方向向点运动，点从点开始沿方向向点运动，在运动过程中，始终保持．若，则的长度为 ． 【答案】6 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，连接，由菱形的性质推出，判定是等边三角形，得到，由，推出，判定，得到，于是得到． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6． 10．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，、分别是，边上的中点，连接．若，，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，首先利用三角形的中位线定理得出，进一步利用菱形的性质和勾股定理求得，然后由菱形面积等于对角线乘积的一半即可求解． 【详解】解：，分别是，边上的中点，， ， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， 菱形的面积为． 故答案为：． 11．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，在边长为4的菱形中，，点M是的中点，连接，将菱形翻折，使点A落在线段上的点E处，折痕交于点N，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形．过点作于点，根据在边长为2的菱形中，，为中点，得到，从而得到，，进而利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图所示：过点作延长线于点， 在边长为4的菱形中，，为中点， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12．如图，在的两边上分别截取，，使；分别以点A，B为圆长为半径作弧，两弧交于点C；连接，，，．若，四边形的面．则的长为 ．    【答案】4 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．菱形的面积等于对角线乘积的一半，判断出四边形是菱形，是解题的关键． 【详解】解：根据作图得：， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， ， 故答案为：4． 13．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，平行四边形的对角线相交于点O，平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记菱形的判定与性质是解本题的关键； （1）证明，结合平行四边形的性质证明，可得，从而可得结论； （2）证明，四边形是矩形，从而可得答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵平行四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 14．（23-24八年级下·山东济南·开学考试）如图，在中，对角线的垂直平分线与交于点O，与交于点E，与交于点F，连接， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查了菱形的判定和性质、中垂线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）证明，再结合即可证明． （2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可； 【详解】（1）证明：在中，． ∴． 在与中， ， ∴． ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴． 15．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，点是菱形对角线上任意一点，连接，，．点是延长线上一点，连接，交于点，且． (1)求的度数； (2)若，请直接写出，，的数量关系，不需要证明． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，证明得出，再由等边对等角得出，由平行线的性质结合三角形内角和定理得出，即可得出答案； （2）在上截取，连接，证明，得出，，再证明为等边三角形，得出，即可得解． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：， 如图，在上截取，连接， ， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴、为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$