专题05 二次根式的运算（考点清单，7考点15题型+命题预测）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（鲁教版）

专题05 二次根式的运算 （7个考点梳理+15种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 二次根式的乘法 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 积的算术平方根：积的算术平方根等于积的中每个因式的算术平方根的乘积.即： 清单02 二次根式的除法 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 商的算术平方根：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.即 清单03 最简二次根式与同类二次根式 定义：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式. 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 【补充】1）同类二次根式类似于整式中的同类项,如：是同类二次根式. 2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数可以完全互不相同，如：. 3）判断两个根式是不是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后看被开方数是否相同. 清单04 二次根式的加减 二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 合并同类二次根式的方法：合并同类二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变． 清单05 二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 【补充】1）在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用； 2）在二次根式混合运算中，要结合题目特点，灵活运用二次根式的性质. 二次根式运算时的注意事项： 1）结果要化为最简二次根式或整式； 2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 清单06 分母有理化 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 清单07 二次根式的化简 二次根式的化简：1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ， 化简二次根式的步骤: 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【考点题型一】最简二次根式的判断（） 1．（23-24八年级下·山东淄博·期中）有下列二次根式：，，，，，，．其中，是最简二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．1个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义(被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式)． 根据最简二次根式的定义即可判断． 【详解】解： ， ，，，； 只有，是最简二次根式，共2个 故选：A． 2．（23-24八年级下·山东东营·开学考试）在，，，，，，中，最简二次根式的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查最简二次根式的两个条件的运用，比较简单．最简二次根式是被开方数里不含分母，不含开得尽方的因数或因式． 【详解】解： ，，，都不是最简二次根式， 是最简二次根式， 最简二次根式有3个， 故选：C． 【考点题型二】化为最简二次根式（） 3．（23-24八年级下·山东烟台·期中）将 化为最简二次根式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查最简二次根式，正确理解概念是解题的关键． 最简二次根式的概念：“（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”，依据概念化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知一个矩形的两条边长分别和，则它的对角线的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，根据矩形的对角线的平方等于矩形一组邻边的平方和进行求解即可． 【详解】解：∵一个矩形的两条边长分别和， ∴矩形的对角线长为， 故答案为：． 5．（22-23八年级下·浙江·单元测试）写出一个与是同类二次根式的最简二次根式 ．（不与原数相等） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据同类二次根式的概念和最简二次根式的概念即可求解． 【详解】∵， ∴与是同类二次根式的最简二次根式有（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查同类二次根式的概念和最简二次根式的概念，解题的关键是能够掌握同类二次根式的概念和最简二次根式的概念． 6．（22-23八年级下·广东广州·期中）已知，，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，根据算术平方根的非负性可求得结果，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： ． 【考点题型三】已知最简二次根式求参数（） 7．（23-24八年级下·山东德州·期末）与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，掌握知识点是解题关键．先把化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到，然后解方程即可． 【详解】解： ， 又 与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）把二次根式与分别化成最简二次根式后，能够合并，如果是非负整数，求符合条件的的值． 【答案】符合条件的的值有： 【分析】本题主要考查最简二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的概念．由二次根式有意义的条件及是非负整数得到，根据，且与是同类二次根式，知，分别取即可得答案． 【详解】解：根据题意得：，且， ， ，且与是同类二次根式， ， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 符合条件的的值有：． 【考点题型四】二次根式的乘除混合运算（） 9．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式乘除法的混合运算，熟练掌握运算顺序以及运算法则是解题的关键．根据二次根式乘除法的运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 10．（23-24八年级上·上海静安·期末）计算：（）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式乘除法和性质，先根据二次根式的乘除法运算法则计算，再利用性质化简即可求解．掌握二次根式的运算法则是解答的关键． 【详解】解： ． 11．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)3y 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算． （1）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （2）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （3）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （4）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： • • ． 【考点题型五】将根号外的因式移到根号内求其结果（） 12．（21-22八年级下·山东·期中）若把根号外的因式移到根号内，得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把4写成的形式，利用二次根式的乘法法则即可得到． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法法则，以及二次根式的化简，解题的关键是避免出现符号错误的问题． 13．（2023八年级上·全国·专题练习）把根号外的因式移到根号内结果为 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是根据题意得出． 14．（23-24八年级下·全国·课后作业）请观察式子：，，仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，化简的结果是___________． 【答案】(1)①，②，③． (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简． （1）根据公式当时，，把根号外的因式，平方后移入根号内再化简即可． （2）根据公式当时，，把根号外的因式，平方后移入根号内再化简即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③． （2）， 故答案为： 【考点题型六】同类二次根式的判断（） 15．（23-24八年级下·山东德州·开学考试）下列二次根式化简后可以合并的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可．此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫作同类二次根式． 【详解】解：A、化简得：和不是同类二次根式； B、和不能化简，不是同类二次根式； C、化简得：和，不是同类二次根式； D、化简得：和，是同类二次根式． 故选：D． 16．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）在，，中与可以合并的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念解答即可． 【详解】解：，与可以合并， ，与可以合并； ，与不可以合并； 则与可以合并的个数有2个． 故选：C． 17．（23-24八年级下·山东淄博·期末）若与可以合并，则的最小整数值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了同类二次根式，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，化简，根据同类二次根式的定义即可得出答案． 【详解】解： ， ∴m的最小整数值是6． 故答案为：6． 18．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）若最简二次根式和是同类二次根式，则的平方根 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，最简二次根式的定义，求一个数的平方根，根据二次根式的定义得到得到，再由同类二次根式的定义得到，则，据此根据平方根的定义求解即可． 【详解】解；∵是二次根式， ∴， ∴， ∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴， ∴， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是， 故答案为：． 【考点题型七】分母有理化（） 19．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握化简方法是解题的关键．分子、分母都乘以，即可去掉分母中的根号，从而得出最后结果． 【详解】解：， 故答案为：． 20．（23-24八年级下·山东日照·阶段练习）关于的方程的解是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解一元一次方程，先利用分母有理化进行化简计算，然后再按照解一元一次方程的步骤进行计算，即可解答．掌握二次根式的分母有理化是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴． 故答案为：． 21．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）阅读下面解题过程． 例：化简． 解：． 请回答下列问题． (1)归纳：请直接写出下面式子的结果：__________． (2)应用：化简； (3)拓展：__________．（用含的式子表示，为正整数） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的化简、二次根式的加减、分母有理数，会利用类比方法求解是解答的关键． （1）仿照例题求解过程求解即可； （2）根据例题和（1）中结果可得出变化规律，进而求解即可； （3）仿照（2）中计算过程求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：由例题和（1）中结果可得， ， ∴ ； （3）解：∵ ， ∴ ． 【考点题型八】二次根式的加减运算（） 22．（23-24八年级下·山东济宁·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算． （1）原式各项化为最简二次根式，合并即可得到结果； （2）先利用完全平方公式和平方差公式进行计算，化为最简二次根式，合并即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的性质及化简，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先化简二次根式，计算立方根，再计算加减即可； （2）先化简二次根式，利用完全平方公式和平方差去掉括号，再计算加减即可； （3）先化简二次根式，计算乘除法，再计算加减即可； （4）先化简二次根式，计算乘法，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 24．（22-23八年级上·全国·单元测试）观察下列等式： ，，． 将以上三个等式相加得 ， (1)猜想并写出：________； (2)根据上面的算式求下列式子的计算结果： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了化简绝对值及二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键． （1）利用绝对值的性质进行化简即可； （2）先去绝对值，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）, 故答案为：； （2） 【考点题型十】比较二次根式的大小（） 25．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）比较大小：① ；② ；③ （填“”，“”，“”号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，第一空直接根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可；第二空两数平方，平方大的数大；第三空利用作差法求解即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ，由于，则， ∴ 故答案为：；；． 26．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）比较大小： ； （填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，根据可得第一空答案；根据，则，据此可得第二空答案． 【详解】解：∵， ∴；， ∵， ∴， ∴ 故答案为：；． 27．（23-24八年级下·山东济宁·期中）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）根据所得规律计算即可； （3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是； 故答案为：，； （2）解： ； （3）． 理由如下： ∵，， ∵， ∴， ∴． 【考点题型十一】已知字母的值，对二次根式进行化简求值（） 28．（23-24八年级下·山东淄博·期末）已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值： （1）先求出，再根据进行求解即可； （2）先求出，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解： ，， ， ； （2）解： ，， ； ． 29．（23-24八年级下·山东淄博·期末）（1）计算：； （2）求值：已知，，求的值. 【答案】（1）1（2） 【分析】（1）根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算，即可作答． （2）将已知字母的值代入原式进行计算，注意先算乘方，然后算乘除，最后算加减． 本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式和平方差公式的结构是解题关键． 【详解】解：（1） （2）当，时， ， 的值为． 30．（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2)4 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）变形为，代入计算即可； （2）变形为，代入计算即可． 【详解】（1）当时， （2）当时， 【考点题型十二】已知条件式，对二次根式进行化简求值（） 31．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知，先化简再求的值． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，先根据非负数的性质求出，再根据二次根式乘除法法则把所给代数式化简，再把代入计算即可． 【详解】解：由题意得， 解得， 原式 ， 当，时， 原式 32．（2025八年级下·全国·专题练习）若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 设，再利用完全平方公式运算求解即可． 【详解】解：设， 则， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点题型十三】二次根式混合运算的实际应用（） 33．（2025八年级下·山东·专题练习）【阅读】 我们很早就学习了求三角形面积的公式，三角形的面积底高，学习了勾股定理和二次根式运算后，我们还有其他方法求三角形面积，这里介绍著名的海伦-秦九韶公式，它们分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式都可以已知三边求出三角形面积，两个公式分别为： 海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，那么这个三角形的面积； 秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积 【尝试公式应用】 （1）已知一个三角形的三边长分别为9，10，11．请分别应用上述两个公式求出三角形的面积． 【尝试新方法】 尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算解决下面的问题：（用上面的公式不给分） （2）已知一个中，，，．求面积． 【答案】（1）；（2）9 【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积公式、二次根式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先根据求出p，再代入计算即可得解；或将三边代入公式计算即可得解； （2）作于D，则，设，则，由勾股定理得出，求出x的值，从而得出，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：（1）由题意得：， ∴ ； ； （2）如图：作于D，则， 设，则， 由勾股定理可得：， ， ∴， 解得：， ∴， ∴． 34．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）一公园内有一个长方形花坛，它的长为，宽为（，求这个花坛的面积和对角线的长． 【答案】面积为，对角线为 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据长方形面积公式求解即可 【详解】解：面积为 ∵ ∴对角线为： 答：面积为，对角线为． 35．（23-24八年级下·宁夏石嘴山·期中）【阅读下列材料】 若，则（注：）． ．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大：当时，取等号．） 【例】：若，求的最小值． 解：， ． 时，的最小值为8． 【解决问题】 (1)若，求的最大值； (2)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (3)用一段长为的篱笆围成一个长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面积是多少． 【答案】(1) (2)这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； (3)菜园的长为，宽为时，面积最大为平方米 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用． （1）根据基本不等式即可求解； （2）设这个长方形的长为x米，则另一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可； （3）设一边为，则另一边长为，则，根据基本不等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当时，的最大值为； （2）解：设这个长方形的长为x米，另一边为米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， ， ∵当且仅当时，的值最小，最小值为， ∴或（舍去）． ∴这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； （3）解：设一边为，则另一边长为，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当时的最大值为 ∴当时，菜园的面积有最大值为平方米， 答：菜园的长为，宽为时，面积最大为平方米． 【考点题型十四】与二次根式有关的新定义问题（） 36．（23-24八年级下·广西贺州·期中）对于任意的正数x、y的新定义运算为：，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算，二次根式混合．理解新定义和掌握二次根式加减运算法则是解题的关键． 先根据新定义运算，将原式转化成二次根式加减运算，再根据二次根式加减运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 37．（23-24八年级下·山东威海·期末）定义：若两个二次根式，满足，且为有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)与是关于______的共轭二次根式； (2)若与是关于2的共轭二次根式，则______； (3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 【答案】(1)1； (2)； (3)． 【分析】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算． （1）根据共轭二次根式的定义，即可得解； （2）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可； （3）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可； 【详解】（1）解：， ∴ 与是关于1的共轭二次根式， 故答案为：1； （2）解：∵与是关于2的共轭二次根式， ∴ ∴， 故答案为：； （3）解：∵与是关于12的共轭二次根式， ∴ ∴， ∴． 38．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为=，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为 所以 (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解方程： 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式有意义的条件、二次根式的性质、平方差公式的应用等知识点，掌握二次根式的运算法则为解题的关键． （1）运用平方差公式进行变形，然后整体代入计算即可； （2）根据（1）构成方程组求解，然后再检验即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：由题意可得：，则， 解得：， 经检验，是方程的根． ∴方程的解为． 【考点题型十五】与二次根式有关的阅读理解问题（） 39．（21-22八年级下·安徽芜湖·期中）阅读下面的化简过程，仿做后面的各小题： 化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将变形为，然后得出，求出结果即可； （2）将变形为，然后得出，求出结果即可； （3）将变形为，然后得出，求出结果即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了利用二次根式性质化简，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，理解题意． 40．（22-23八年级下·山东淄博·期末）阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ∵ ∵ ∴ 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据材料给出的“构造对偶式”方法，先计算的值，然后即可求出问题的解． （2）根据（1）及题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解： = = =， ， ． （2）解：由（1）得， 得，解得． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法、加减法运算及理解材料方法是解题关键． 41．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： 例如：当时，求的最小值． 解：，又 ，，当时取等号．的最小值为8． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 　　；当时，的最大值为 　　． (2)当时，求的最小值． (3)请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 【答案】(1)6， (2) (3)60米 【分析】本题考查了配方法的应用，二次根式的应用，理解题中例题解法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）根据例题中的公式计算即可； （2）先化简，再运用公式计算即可； （3）由题意得篱笆的长为米，再根据例题中的公式计算即可． 【详解】（1）解：， ， 又， ，当且仅当时取等号． 的最小值为6； ， ， ， 又， ，当且仅当时取等号． ， 的最大值为． 故答案为：6；； （2）解：， ， ， 又， ，当且仅当时取等号， 的最小值为， 的最小值为， 即的最小值为； （3）解：根据题意可得，垂直于墙的一边长为米，则篱笆的长为米， ， ， 又， ，当且仅当时取等号， 的最小值为60， 即需要用的篱笆最少是60米． 42．（20-21八年级下·山东德州·期中）阅读下列解题过程： ﹣1；则： （1）　 　；　 　； （2）观察上面的解题过程，请直接写出式　 　； （3）利用这一规律计算：的值． 【答案】（1）；（2）；（3）2019． 【分析】（1）根据题目给出的解题过程依次求解即可； （2）根据题目给出的解题过程求解即可； （3）先将化简为，最后进行求解即可． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3） = = = =2019． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 【命题预测】 1．（24-25八年级上·山东济南·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的除法法则对B选项进行判断；根据完全平方公式对C选项进行判断；根据平方差公式对D选项进行判断． 【详解】解：A．与不能合并，所以A选项不符合题意 B．，所以B选项不符合题意； C．，所以C选项不符合题意； D．，所以D选项符合题意 故选：D． 2．（24-25八年级上·山东济南·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件： （1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、，不是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、2不能再开方，是最简二次根式； D、，不是最简二次根式． 故选：C． 3．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）化简时，甲的解法是：原式，乙的解法是： 原式，以下判断正确的是（   ） A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确 C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了分母有理化、运用平方差公式进行计算，根据甲的做法是将分母有理化，乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分化简，判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：甲的做法是将分母有理化，运用分数的基本性质，分子、分母都乘以不为0的同一个数；乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分化简；均正确， 故选：C． 46．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）下列二次根式中能与合并的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式、二次根式的性质等知识，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，然后根据同类二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】解：、，不能与合并，故A不符合题意； B、，不能与合并，故B不符合题意； C、，不能与合并，故C不符合题意； D、，能与合并，故D符合题意， 故选：D． 4．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）的整数部分是x，小数部分是y，则的值是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算和二次根式的性质，由于，由此可确定的整数部分x，接着确定小数部分y，然后代入所求代数式中恰好利用平方差公式计算出结果． 【详解】解：∵， ∴的整数部分，小数部分， ∴． 故选：A． 5．（23-24八年级下·山东临沂·期末）估计的值应在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，以及无理数的估算，解题的关键是掌握运算法则正确进行化简．由二次根式的性质进行化简，然后对无理数进行估算，即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴的值应在2和3之间． 故选：B． 6．（23-24八年级下·山东临沂·期末）若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，分腰长为和两种情况，可求得三角形的三边，再利用三角形的三边关系进行验证，可求得其周长．掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，注意利用三角形的三边关系进行验证．也考查了二次根式的加减运算． 【详解】解：∵，， 当腰长为时，此时三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴以，，为边的三角形不存在； 当腰长为时，此时三角形的三边长分别为，，， 且， ∵， ∴这个三角形的周长为． 故选：C． 7．（24-25八年级上·山东济南·期末）计算 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式乘法运算，根据二次根式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：2． 8．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）已知，，则代数式的值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式等知识，先化简x、y的值，然后把变形为，再把x、y的值代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故答案为：13． 9．（24-25八年级上·山东德州·开学考试）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减，先化简 ，然后根据二次根式的加减法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·山东聊城·期末）数学课上，嘉嘉做了几道计算题：①，②，③，④，⑤；请你当小老师检查一下，嘉嘉做对了 道题 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，根据运算法则分别计算即可判断． 【详解】解：①，故错误； ②与不是同类二次根式，不能合并，故错误； ③，故正确； ④，故错误； ⑤，故正确； 故正确的有2题， 故答案为：2． 11．（24-25八年级上·山东青岛·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． （1）利用平方差公式，完全平方公式计算即可； （2）先计算乘除，再计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（24-25八年级上·山东济南·期中）观察下列等式： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：_________________； (2)利用以上规律计算：； (3)求的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查规律型—数字的变化类，二次根式的混合运算， （1）先根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可求出第四个等式； （2）把所给式子相加，找出规律即可进行计算； （3）根据所给规律探索将原式转化为，再根据平方差公式易得结果； 解题的关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 【详解】（1）解：， 故答案为：；；； （2） ； （3） ． 13．（24-25八年级上·山东济南·期中）阅读与思考∶请仔细阅读下面的内容，并完成相应任务． 比较与的大小 “善思小组”的思路：将，两个式子分别平方后，再进行比较． “智慧小组”的思路：以，，为三边构造一个，再利用三角形的三边关系进行比较． 任务： (1)填空： ； (2)①判断的形状，并说明理由； ②直接判断与的大小； (3)延伸拓展：直接判断与的大小． 【答案】(1) (2)①为直角三角形，见解析，② (3) 【分析】（1）利用完全平方公式求解即可； （2）①根据勾股定理的逆定理进行判断即可； ②根据三角形三边关系进行判断即可． （3）将，两个式子分别平方后，再进行比较． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①是直角三角形，理由如下： ，，， ， 是直角三角形； ②三角形任意两边之和大于第三边， ． （3）解：，， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，勾股定理的逆定理，三角形三边关系的应用，实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式性质和混合运算法则． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二次根式的运算 （7个考点梳理+15种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 二次根式的乘法 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 积的算术平方根：积的算术平方根等于积的中每个因式的算术平方根的乘积.即： 清单02 二次根式的除法 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 商的算术平方根：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.即 清单03 最简二次根式与同类二次根式 定义：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式. 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 【补充】1）同类二次根式类似于整式中的同类项,如：是同类二次根式. 2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数可以完全互不相同，如：. 3）判断两个根式是不是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后看被开方数是否相同. 清单04 二次根式的加减 二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 合并同类二次根式的方法：合并同类二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变． 清单05 二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 【补充】1）在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用； 2）在二次根式混合运算中，要结合题目特点，灵活运用二次根式的性质. 二次根式运算时的注意事项： 1）结果要化为最简二次根式或整式； 2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 清单06 分母有理化 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 清单07 二次根式的化简 二次根式的化简：1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ， 化简二次根式的步骤: 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【考点题型一】最简二次根式的判断（） 1．（23-24八年级下·山东淄博·期中）有下列二次根式：，，，，，，．其中，是最简二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．1个 D．4个 2．（23-24八年级下·山东东营·开学考试）在，，，，，，中，最简二次根式的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点题型二】化为最简二次根式（） 3．（23-24八年级下·山东烟台·期中）将 化为最简二次根式为 ． 4．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知一个矩形的两条边长分别和，则它的对角线的长为 ． 5．（22-23八年级下·浙江·单元测试）写出一个与是同类二次根式的最简二次根式 ．（不与原数相等） 6．（22-23八年级下·广东广州·期中）已知，，化简 ． 【考点题型三】已知最简二次根式求参数（） 7．（23-24八年级下·山东德州·期末）与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 8．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）把二次根式与分别化成最简二次根式后，能够合并，如果是非负整数，求符合条件的的值． 【考点题型四】二次根式的乘除混合运算（） 9．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）计算：． 10．（23-24八年级上·上海静安·期末）计算：（）． 11．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点题型五】将根号外的因式移到根号内求其结果（） 12．（21-22八年级下·山东·期中）若把根号外的因式移到根号内，得（    ） A． B． C． D． 13．（2023八年级上·全国·专题练习）把根号外的因式移到根号内结果为 ． 14．（23-24八年级下·全国·课后作业）请观察式子：，，仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，化简的结果是___________． 【考点题型六】同类二次根式的判断（） 15．（23-24八年级下·山东德州·开学考试）下列二次根式化简后可以合并的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 16．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）在，，中与可以合并的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 17．（23-24八年级下·山东淄博·期末）若与可以合并，则的最小整数值是 ． 18．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）若最简二次根式和是同类二次根式，则的平方根 ． 【考点题型七】分母有理化（） 19．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）化简的结果是 ． 20．（23-24八年级下·山东日照·阶段练习）关于的方程的解是 ． 21．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）阅读下面解题过程． 例：化简． 解：． 请回答下列问题． (1)归纳：请直接写出下面式子的结果：__________． (2)应用：化简； (3)拓展：__________．（用含的式子表示，为正整数） 【考点题型八】二次根式的加减运算（） 22．（23-24八年级下·山东济宁·期末）计算： (1)； (2)． 23．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 24．（22-23八年级上·全国·单元测试）观察下列等式： ，，． 将以上三个等式相加得 ， (1)猜想并写出：________； (2)根据上面的算式求下列式子的计算结果： 【考点题型十】比较二次根式的大小（） 25．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）比较大小：① ；② ；③ （填“”，“”，“”号）． 26．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）比较大小： ； （填“”或“”或“”） 27．（23-24八年级下·山东济宁·期中）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 【考点题型十一】已知字母的值，对二次根式进行化简求值（） 28．（23-24八年级下·山东淄博·期末）已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 29．（23-24八年级下·山东淄博·期末）（1）计算：； （2）求值：已知，，求的值. 30．（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【考点题型十二】已知条件式，对二次根式进行化简求值（） 31．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知，先化简再求的值． 32．（2025八年级下·全国·专题练习）若，求的值． 【考点题型十三】二次根式混合运算的实际应用（） 33．（2025八年级下·山东·专题练习）【阅读】 我们很早就学习了求三角形面积的公式，三角形的面积底高，学习了勾股定理和二次根式运算后，我们还有其他方法求三角形面积，这里介绍著名的海伦-秦九韶公式，它们分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式都可以已知三边求出三角形面积，两个公式分别为： 海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，那么这个三角形的面积； 秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积 【尝试公式应用】 （1）已知一个三角形的三边长分别为9，10，11．请分别应用上述两个公式求出三角形的面积． 【尝试新方法】 尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算解决下面的问题：（用上面的公式不给分） （2）已知一个中，，，．求面积． 34．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）一公园内有一个长方形花坛，它的长为，宽为（，求这个花坛的面积和对角线的长． 35．（23-24八年级下·宁夏石嘴山·期中）【阅读下列材料】 若，则（注：）． ．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大：当时，取等号．） 【例】：若，求的最小值． 解：， ． 时，的最小值为8． 【解决问题】 (1)若，求的最大值； (2)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (3)用一段长为的篱笆围成一个长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面积是多少． 【考点题型十四】与二次根式有关的新定义问题（） 36．（23-24八年级下·广西贺州·期中）对于任意的正数x、y的新定义运算为：，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 37．（23-24八年级下·山东威海·期末）定义：若两个二次根式，满足，且为有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)与是关于______的共轭二次根式； (2)若与是关于2的共轭二次根式，则______； (3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 38．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为=，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为 所以 (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解方程： 【考点题型十五】与二次根式有关的阅读理解问题（） 39．（21-22八年级下·安徽芜湖·期中）阅读下面的化简过程，仿做后面的各小题： 化简： (1)； (2)； (3)． 40．（22-23八年级下·山东淄博·期末）阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ∵ ∵ ∴ 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 41．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： 例如：当时，求的最小值． 解：，又 ，，当时取等号．的最小值为8． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 　　；当时，的最大值为 　　． (2)当时，求的最小值． (3)请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 42．（20-21八年级下·山东德州·期中）阅读下列解题过程： ﹣1；则： （1）　 　；　 　； （2）观察上面的解题过程，请直接写出式　 　； （3）利用这一规律计算：的值． 【命题预测】 1．（24-25八年级上·山东济南·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东济南·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）化简时，甲的解法是：原式，乙的解法是： 原式，以下判断正确的是（   ） A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确 C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确 46．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）下列二次根式中能与合并的是（ ）． A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）的整数部分是x，小数部分是y，则的值是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24八年级下·山东临沂·期末）估计的值应在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 6．（23-24八年级下·山东临沂·期末）若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（    ） A． B． C． D．或 7．（24-25八年级上·山东济南·期末）计算 ． 8．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）已知，，则代数式的值为 ． 9．（24-25八年级上·山东德州·开学考试）计算 ． 10．（23-24八年级下·山东聊城·期末）数学课上，嘉嘉做了几道计算题：①，②，③，④，⑤；请你当小老师检查一下，嘉嘉做对了 道题 11．（24-25八年级上·山东青岛·期末）计算： (1) (2) 12．（24-25八年级上·山东济南·期中）观察下列等式： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：_________________； (2)利用以上规律计算：； (3)求的值． 13．（24-25八年级上·山东济南·期中）阅读与思考∶请仔细阅读下面的内容，并完成相应任务． 比较与的大小 “善思小组”的思路：将，两个式子分别平方后，再进行比较． “智慧小组”的思路：以，，为三边构造一个，再利用三角形的三边关系进行比较． 任务： (1)填空： ； (2)①判断的形状，并说明理由； ②直接判断与的大小； (3)延伸拓展：直接判断与的大小． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$