专题04 二次根式（考点清单，3考点9题型+命题预测）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（鲁教版）

清单04 二次根式 （3个考点梳理+9种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 二次根式 二次根式的定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 【补充说明】 1）二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数； 2）二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式； 3)二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足𝑎≥0； 4)在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了𝑎≥0. 清单02 二次根式有意义的条件 1）单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2）二次根式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b≥0； 3）二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎>0； 解决二次根式有无意义的关键： 1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 清单03 二次根式的性质 1）式子（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性； 2），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 3），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. ①一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它本身，记为； ②当一个数为负数时，它的平方的算术平方根等于它的相反数，记为. 【考点题型一】二次根式的识别（） 1．（23-24八年级下·山东泰安·期中）下列各式中，属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，理解定义是解题的关键． 根据二次根式的定义逐项分析判断即可， 【详解】A． 是分式，不是二次根式，故该选项不符合题意； B． ，是整式，不是二次根式，故该选项不符合题意； C． 是二次根式，故该选项符合题意； D． 是三次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（21-22八年级下·河北邯郸·期中）对于代数式①：；②：做出下列判断，其中正确的是（    ） A．①、②均是二次根式 B．①、②均不是二次根式 C．①是二次根式，②不是二次根式 D．①不是二次根式，②是二次根式 【答案】D 【分析】根据二次根式的概念求解即可． 【详解】①：不是二次根式， ②：是二次根式． 故选：D． 【点睛】此题考查了二次根式的概念，负整数幂，解题的关键是熟练掌握二次根式的概念．形如的式子是二次根式， 3．（23-24八年级下·山东东营·开学考试）已知下列各式：，，，，，，，其中二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，正确理解二次根式的定义是解题的关键．一般形如（）的代数式叫做二次根式．根据二次根式的定义，即得答案． 【详解】二次根式是，， ，共有3个． 故选C． 【考点题型二】二次根式有意义的条件（） 4．（2024·山东临沂·模拟预测）若二次根式 有意义，则x 的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，如果一个式子中含有二次根式，那么它们有意义的条件是：二次根式中的被开方数都必须是非负数．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不为零，据此列式解答即可． 【详解】解：若二次根式有意义， 则且， 解得且． 故答案为：且． 5．（23-24八年级下·山东东营·期末）二次根式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，由题意得，据此即可求解． 【详解】解：由题意得： ∴ 故答案为： 6．（2024·重庆潼南·模拟预测）函数的自变量的取值范围为 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解：∵要有意义， ∴， ∴， ∴函数的自变量的取值范围为， 故答案为：． 7．（21-22八年级上·湖南邵阳·期末）先阅读，后回答问题：x为何值时，有意义？ 解：要使该二次根式有意义，需，由乘法法则得或，解得或∴当或有意义． 体会解题思想后，请你解答：x为何值时，有意义？ 【答案】x≥1或x＜-2 【分析】根据题目信息，列出不等式组求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：要使该二次根式有意义，需， 由乘法法则得或，解得x≥1或x＜-2， 当x≥1或x＜-2时，有意义． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键． 【考点题型三】求二次根式的值（） 8．（24-25九年级上·山东德州·开学考试）当时，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，把代入计算即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·全国·课后作业）（1）当a为 时，＋1的值最小，为 ； （2）当a为 时，的值最大，为 ． 【答案】 1 2 【分析】本题主要考查二次根式的性质： （1）根据即可求出的值，以及所求式子的最小值； （2）根据即可求出的值，以及所求式子的最大值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴的最小值为1， 此时，解得． 所以，当时，的值最小，为1． 故答案为：；1； （2）∵， ∴， ∴的最大值为2． 此时，解得． 所以，当时，的值最大，为2． 故答案为：，2 10．（20-21八年级下·吉林四平·期末）若的值为零，则的值为 ． 【答案】2 【分析】直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零进而得出答案． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴=0且x+2≠0， 即=0且x≠-2， 解得：x=2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握相关定义是解题关键． 11．（20-21八年级上·四川·阶段练习）若，则 ． 【答案】或 【分析】由于算术平方根等于本身的数有0和1，所以2x-1=0或2x-1=1，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴2x-1=0或2x-1=1， 解得： 或1． 故答案为或． 【点睛】本题考查了算术平方根等于本身的数，理解题意列出方程是解题的关键． 【考点题型四】由二次根式的非负性求字母的值（） 12．（23-24八年级下·山东济宁·期末）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为_______； (2)若为实数，且，求的值； (3)若实数满足，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)9901 【分析】本题考查二次根式的双重非负性，二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，根据题意，利用的双重非负性灵活运用是解决问题的关键． （1）利用二次根式非负性，，，当时，只有才能满足题意，解出代入代数式即可得到答案； （2）由二次根式有意义的条件得到，从而确定，将代入代数式即可得到答案； （3）由二次根式有意义的条件得到，从而可化为，即，两边同时平方即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， ，解得， ， 故答案为：； （2）解：中；中； ，则，即， 当时，；当时，； （3）解： 中， ， 可化为，即， 将两边同时平方可得，则． 13．（20-21七年级下·山东临沂·期末）已知+=0，则 的值为（   ） A．0 B．2021 C．-1 D．1 【答案】D 【分析】根据二次根式与绝对值的非负性，求出a，b的值，再代入求值，即可． 【详解】解：∵+=0且≥0，≥0， ∴=0，=0， ∴a=2020，b=-2021， ∴=， 故选D． 【点睛】本题主要考查二次根式求值，掌握二次根式与绝对值的非负性，是解题的关键． 14．（19-20八年级下·云南玉溪·期末）△ABC的三边的长a、b、c满足：，则△ABC的形状为（    ）． A．等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由的关系，可推导得到△ABC为直角三角形． 【详解】∵ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴△ABC为直角三角形 故选：D． 【点睛】本题考查了平方、二次根式、绝对值和勾股定理逆定理的知识；求解的关键是熟练掌握二次根式、绝对值和勾股定理逆定理，从而完成求解． 15．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）已知、、满足． (1)求 、、 的值； (2)判断： 以 、、为三角形的三边长能否构成三角形?若能，判断这个三角形的形状；若不能，请说 明理由． 【答案】(1)，， (2)以 、、为三角形的三边长能构成三角形，这个三角形是直角三角形 【分析】（1）根据非负数之和等于零，则每个非负数等于零，分别建立方程求解即可； （2）用较小两边之和与最大边比较即可判断能够构成三角形；然后根据勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ，，， 解得：，，； （2） ，，，且， ， 以 、、为三角形的三边长能构成三角形； ， 这个三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查了非负数的性质，二次根式有意义的条件和构成三角形的条件，勾股定理的逆定理，解题的关键是灵活运用相关知识． 【考点题型五】由二次根式的非负性求字母的取值范围（） 16．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）如果二次根式有意义，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式中的被开方数是非负数求解可得． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 故选：B． 17．（24-25九年级上·河南新乡·期中）若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质和解不等式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键； 根据二次根式的性质得到，求解即可； 【详解】解：由题意可得：， 解得：； 故答案为： 18．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题二次根式有意义的条件、二次根式非负性、解不等式等知识，先由二次根式有意义的条件得到，再由二次根式非负性得到，从而得到的取值范围，熟记二次根式有意义的条件、二次根式非负性是解决问题的关键． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，，即， ，且， ，解得， 的取值范围是， 故答案为：． 19．（2025九年级下·湖北·学业考试）已知函数的自变量的取值范围是全体实数，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据绝对值的意义，得到当时，这个距离之和最小，最小值为5，根据二次根式有意义的条件，得到恒成立，即可得出结果． 【详解】解：表示在数轴上表示数的点到表示数3与表示数的点的距离之和， 当时，这个距离之和最小，最小值为5，即 ∵函数的自变量的取值范围是全体实数，恒成立， ． 20．（2025八年级下·全国·专题练习）若成立，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的乘除法、二次根式有意义的条件，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法法则、二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组得到答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， 故选：C． 【考点题型六】由二次根式的值求参数（） 21．（23-24九年级上·甘肃天水·阶段练习）计算：如果，那么 ； ． 【答案】 5 【分析】根据二次根式的非负性解答即可，即． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：5，． 【点睛】本题考查了二次根式的双重非负性，熟知是解题的关键． 22．（22-23八年级上·四川达州·期中）已知有理数满足，则的值是 . 【答案】 【分析】将已知等式整理得，由a，b为有理数，得到，求出a，b的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵a，b为有理数， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了求二次根式中的参数，将已知等式整理后得到对应关系，由此求出a，b的值是解题的关键． 23．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，解二元一次方程组，由二次根式有意义的条件得，即得，，再根据二次根式的非负性得，，即得，再解方程组求出的值即可求解，掌握二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 由，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 24．（2023八年级下·江苏·周测）已知a为整数，且满足，则a的值为 ． 【答案】 【分析】利用二次根式的性质把5写成二次根式的形式，再解不等式组求出a的范围得解． 【详解】解：， ， ， 又∵为整数， ． 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质和不等式组的解法是解决本题的关键． 25．（21-22八年级下·山东滨州·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 ． 【答案】5 【分析】首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【详解】解：， ∵是整数， ∴n的最小值是5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了二次根式的定义和性质．能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键． 【考点题型七】根据二次根式是整数求字母的值（） 26．（21-22八年级上·湖南长沙·期末）二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是 ． 【答案】2 【分析】根据二次根式的乘法，可得答案． 【详解】解：， 由二次根式是一个整数，那么正整数a最小值是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，利用二次根式的乘法是解题关键． 27．（21-22八年级下·山东济宁·期末）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 ． 【答案】18 【分析】根据当151+n是最小的平方数时，n最小，从而得出答案． 【详解】解：∵122＝144，132＝169， ∴151+n＝169， ∴n＝18． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了二次根式，掌握算术平方根与平方的关系是解题的关键． 28．（20-21八年级·全国·假期作业）（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 【答案】（1）自然数的值为，，，，；（2）正整数的最小值为． 【分析】（1）根据二次根式结果为整数，确定出自然数n的值即可； （2）根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的最小值即可． 【详解】（1）∵是整数， ∴，，，，， 解得：，，，，， 则自然数的值为2，9，14，17，18； （2）∵是整数，为正整数， ∴正整数的最小值为． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解本题的关键． 【考点题型八】利用二次根式的性质化简（） 29．（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）把式子中根号外的移到根号内，结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质的应用，先根据二次根式有意义的条件求出，再根据二次根式的性质把根号外的因式平方后移入根号内，即可得出答案． 【详解】∵要是根式有意义，必须， ∴， ∴ ， 故选：C． 30．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果等于（　　） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，整式的加减计算．根据数轴得出，，根据二次根式的性质化简可得． 【详解】解：由数轴知，， 则，， ∴ ． 故选：D． 31．（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴、化简二次根式、整式的加减等知识，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，，从而可得，，，再化简二次根式和绝对值，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，，， ∴ ， 故选：A． 32．（24-25八年级下·山东威海·阶段练习）化简下列二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了二次根式的性质；关键在于理解二次根式的化简方法，即通过将根号内的数分解为质因数的乘积，然后利用根式化简的规则，提取平方根，最终得到最简形式． （1）根据二次根式的性质化简即可求解； （2）被开方数先化为分数，再根据二次根式的性质化简即可求解； （3）被开方数先化为假分数，再根据二次根式的性质化简即可求解； （4）根据二次根式的性质化简即可求解； （5）先提公因式，再根据二次根式的性质化简即可求解； （6）根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 33．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）已知，，是的三边长，若，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的化简，三角形三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 根据三角形三边关系确定出每个括号内的正负，然后根据二次根式的性质去根号即可． 【详解】∵，，是的三边长， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴． 【考点题型九】复合二次根式的化简（） 34．（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【答案】(1)3； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意． （1）将4看成是，则，由此求解即可； （2）将7看成是，则，由此求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴； ∴； （2）解： ． 35．（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 标题：双层二次根式的化简 内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有， ，_______． 这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法． 任务： (1)文中的________． (2)化简：________． (3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值． (4)化简：________．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3)7或13 (4)当时，，当时， 【分析】本题主要考查了复合二次根式的化简： （1）根据题目所给信息即可得到答案； （2）根据结合完全平方公式求解即可； （3）根据，得出，，根据x，y为正整数，求出，或，，最后求出a的值即可． （4）根据进行化简求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：由题意得， ∴，， ∵x，y为正整数， ∴，或，， ∴或． （4）解： ， 当，即时，则原式； 当，即时，则原式； 综上所述，当时，，当时，． 36．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）阅读下面这道例题的解法，并回答问题． 例如：化简． 解：． 依据上述计算，填空： (1) ， ； (2)根据上述方法求值：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式： （1）根据例题的方法，凑完全平方公式，然后根据二次根式的性质化简即可求解； （2）根据例题的方法，凑完全平方公式，然后根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：；； （2）解： ． 【命题预测】 1．（24-25八年级上·山东滨州·期末）若代数式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，明确二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零是解题关键． 根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可． 【详解】解：代数式有意义， ，． 解得∶且． 故选：D． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期中）实数、在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用数轴判断式子的正负、二次根式和绝对值的化简、合并同类项，先由数轴知，，则，再利用二次根式和绝对值的性质化简，然后合并同类项即可． 【详解】解：由数轴知，，则， ∴ ， 故选：A． 3．（24-25八年级上·山东菏泽·阶段练习）已知，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据，列出不等式，求解即可． 【详解】解：， ， 解得： 故选：C． 4．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）如果实数满足．那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，绝对值，实数的运算，由二次根式中的被开方数是非负数，得到，即可得．解题的关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，绝对值的意义． 【详解】解：∵实数满足， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．（23-24八年级下·山东烟台·期末）若成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的定义，以及解一元一次不等式，掌握二次根式有意义的基本条件是解题关键．根据二次根式的定义分别列出不等式，求解即可． 【详解】解：成立， ，， 解得：， 故选：C． 6．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的意义，熟练掌握二次根式是解题的关键．根据得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， 解得， 故选D． 7．（23-24八年级下·山东烟台·期末）关于的方程有两个实数根，则的取值范围为（    ） A．且 B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、一元二次方程根与判别式的关系等知识点，掌握一元二次方根的判别式点是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件和一元二次方程根情况可得且，然后解不等式组即可． 【详解】解：根据题意得：解得：且． 故选C． 8．（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，数轴上点表示的数为，化简 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简和化简绝对值，利用数轴表示数的方法得到，再利用完全平方公式和二次根式的性质化简原式，然后去绝对值后合并即可． 【详解】解：根据数轴点表示的数得， 所以， ． 故答案为：1． 9．（24-25八年级上·山东青岛·期中）的算术平方根是 ；的倒数是 ； ． 【答案】 / 【分析】本题考查了算术平方根，分母有理化，二次根式的性质；根据算术平方根，分母有理化，二次根式的性质进行计算即可求解． 【详解】解：的算术平方根是；的倒数是； 故答案为：，，． 10．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】且且 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数；分式有意义的条件：分母不等于0，零指数幂的底数不等于0是解决问题的关键．根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数；再根据分式有意义的条件：分母不等于0，以及零指数幂的底数不等于0即可得出答案． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， 解得， ∴实数x的取值范围是且且． 故答案为：且且． 47．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知实数x、y满足值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及乘方的运算，关键是掌握二次根式中被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件可得，进而可得出，然后可得，再进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴，则， ∴． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·山东菏泽·阶段练习）已知，当x分别取1，2，3，……，2022时，所对应的y值的总和是 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握绝对值的性质以及二次根式的性质． 依据二次根式的性质化简，即可得到，再根据绝对值的性质化简，即可得到对应的y值的总和． 【详解】解：∵， ∴当时，， 即当时，； 当时，， 即当x分别取2，3，…，2022时，y的值均为1， ∴当x分别取1，2，3，…，2022时，所对应的y值的总和是． 故答案为：2024． 12．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知． (1)计算：当时，___________，___________； 当时，___________，___________； 当时，___________，___________； (2)猜想：无论为任何非负数时，___________始终成立（填“”，“”，“”，“”或“”）； (3)请说明（）中猜想的合理性． 【答案】(1)，；，；， (2) (3)证明见解析 【分析】（）把的值分别代入计算即可求解； （）根据（）所得结果即可判断求解； （）分别求出，再利用作差法比较出的大小，进而即可求证； 本题考查了二次根式运算和性质，掌握二次根式的运算是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，，， 故答案为：，； 当时，，， 故答案为：，； 当时，，； 故答案为：，； （2）解：猜想：无论为任何非负数时，， 故答案为：； （3）证明：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 13．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 设 （其中，，，均为正整数），则有．∴．这样小明就找到了一种把部分（的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，且，，均为正整数，求的值； (2)请化简： 【答案】(1)的值为或 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式； （1）根据完全平方公式求出，求出，，求出，根据、为正整数得出，或，，再求出即可． （2）根据，进而根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， 、都为正整数， ，或，， 当，时，； 当，时，， 所以的值是7或13． （2）解：∵， ∴ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 二次根式 （3个考点梳理+9种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 二次根式 二次根式的定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 【补充说明】 1）二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数； 2）二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式； 3)二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足𝑎≥0； 4)在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了𝑎≥0. 清单02 二次根式有意义的条件 1）单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2）二次根式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b≥0； 3）二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎>0； 解决二次根式有无意义的关键： 1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 清单03 二次根式的性质 1）式子（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性； 2），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 3），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. ①一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它本身，记为； ②当一个数为负数时，它的平方的算术平方根等于它的相反数，记为. 【考点题型一】二次根式的识别（） 1．（23-24八年级下·山东泰安·期中）下列各式中，属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级下·河北邯郸·期中）对于代数式①：；②：做出下列判断，其中正确的是（    ） A．①、②均是二次根式 B．①、②均不是二次根式 C．①是二次根式，②不是二次根式 D．①不是二次根式，②是二次根式 3．（23-24八年级下·山东东营·开学考试）已知下列各式：，，，，，，，其中二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点题型二】二次根式有意义的条件（） 4．（2024·山东临沂·模拟预测）若二次根式 有意义，则x 的取值范围是 ． 5．（23-24八年级下·山东东营·期末）二次根式有意义，则x的取值范围是 ． 6．（2024·重庆潼南·模拟预测）函数的自变量的取值范围为 7．（21-22八年级上·湖南邵阳·期末）先阅读，后回答问题：x为何值时，有意义？ 解：要使该二次根式有意义，需，由乘法法则得或，解得或∴当或有意义． 体会解题思想后，请你解答：x为何值时，有意义？ 【考点题型三】求二次根式的值（） 8．（24-25九年级上·山东德州·开学考试）当时，的值是 ． 9．（23-24八年级下·全国·课后作业）（1）当a为 时，＋1的值最小，为 ； （2）当a为 时，的值最大，为 ． 10．（20-21八年级下·吉林四平·期末）若的值为零，则的值为 ． 11．（20-21八年级上·四川·阶段练习）若，则 ． 【考点题型四】由二次根式的非负性求字母的值（） 12．（23-24八年级下·山东济宁·期末）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为_______； (2)若为实数，且，求的值； (3)若实数满足，求的值． 13．（20-21七年级下·山东临沂·期末）已知+=0，则 的值为（   ） A．0 B．2021 C．-1 D．1 14．（19-20八年级下·云南玉溪·期末）△ABC的三边的长a、b、c满足：，则△ABC的形状为（    ）． A．等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 15．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）已知、、满足． (1)求 、、 的值； (2)判断： 以 、、为三角形的三边长能否构成三角形?若能，判断这个三角形的形状；若不能，请说 明理由． 【考点题型五】由二次根式的非负性求字母的取值范围（） 16．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）如果二次根式有意义，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·河南新乡·期中）若，则的取值范围是 ． 18．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，则的取值范围是 ． 19．（2025九年级下·湖北·学业考试）已知函数的自变量的取值范围是全体实数，则的取值范围为 ． 20．（2025八年级下·全国·专题练习）若成立，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考点题型六】由二次根式的值求参数（） 21．（23-24九年级上·甘肃天水·阶段练习）计算：如果，那么 ； ． 22．（22-23八年级上·四川达州·期中）已知有理数满足，则的值是 . 23．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ． 24．（2023八年级下·江苏·周测）已知a为整数，且满足，则a的值为 ． 25．（21-22八年级下·山东滨州·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 ． 【考点题型七】根据二次根式是整数求字母的值（） 26．（21-22八年级上·湖南长沙·期末）二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是 ． 27．（21-22八年级下·山东济宁·期末）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 ． 28．（20-21八年级·全国·假期作业）（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 【考点题型八】利用二次根式的性质化简（） 29．（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）把式子中根号外的移到根号内，结果是（   ） A． B． C． D． 30．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果等于（　　） A．0 B． C． D． 31．（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：（    ） A． B． C． D． 32．（24-25八年级下·山东威海·阶段练习）化简下列二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 33．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）已知，，是的三边长，若，求的值． 【考点题型九】复合二次根式的化简（） 34．（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 35．（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 标题：双层二次根式的化简 内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有， ，_______． 这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法． 任务： (1)文中的________． (2)化简：________． (3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值． (4)化简：________．（直接写出答案） 36．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）阅读下面这道例题的解法，并回答问题． 例如：化简． 解：． 依据上述计算，填空： (1) ， ； (2)根据上述方法求值：． 【命题预测】 1．（24-25八年级上·山东滨州·期末）若代数式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 2．（24-25八年级上·山东青岛·期中）实数、在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东菏泽·阶段练习）已知，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）如果实数满足．那么的值是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·山东烟台·期末）若成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·山东烟台·期末）关于的方程有两个实数根，则的取值范围为（    ） A．且 B． C．且 D．且 8．（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，数轴上点表示的数为，化简 ． 9．（24-25八年级上·山东青岛·期中）的算术平方根是 ；的倒数是 ； ． 10．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 47．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知实数x、y满足值是 ． 11．（24-25八年级上·山东菏泽·阶段练习）已知，当x分别取1，2，3，……，2022时，所对应的y值的总和是 ． 12．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知． (1)计算：当时，___________，___________； 当时，___________，___________； 当时，___________，___________； (2)猜想：无论为任何非负数时，___________始终成立（填“”，“”，“”，“”或“”）； (3)请说明（）中猜想的合理性． 13．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 设 （其中，，，均为正整数），则有．∴．这样小明就找到了一种把部分（的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，且，，均为正整数，求的值； (2)请化简： 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$