专题14 分式（竞赛培优讲义）-【竞赛】2024-2025学年初中数学竞赛能力培优教程（全国通用）

全国初中数学竞赛培优教程 专题14 分式 真题重现 （2024九年级·全国·竞赛）已知实数满足，求证：为定值． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查分式的运算，将变形为，再利用分式的基本性质即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ． 即为定值． 考点突破 一、十字相乘 【学霸笔记】 一、分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母. 1. 分式的三个条件：①形如的这种形式；②A、B都是整式；③分母中含有字母，且分母不为0； 2. 判断一个代数式是否是分式不能先化简，如是分式，但是化简后就成了xy，是一个整式，所以分式只看形式，不看化简后的结果； 3. 分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母； 4. 分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性，分数是分式中字母取特定值后的特殊情况； 5. 分式可看成是两个整式的商，如可以表示为，但不满足分式的形式，它不是分式； 6. π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如是一个整式，不是分式. 二、分式的基本性质 1. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变； 2. 字母表示：（A、B、C都是整式，且B≠0，C≠0）； 3. 在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化，如，变形后，字母x的取值范围变大了； 4. 分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身，这三个的正负号同时改变两个，分式值也不会改变，如； 5. 若分式的分母与分子是多项式，在运用分式基本性质时，应先将分式的分子与分母用括号括起来，再把分子与分母都乘（或除以）同一个不为0的整式. 【典例】（2024九年级上·浙江宁波·竞赛）使得为整数的自然数的个数为 个． 【答案】6 【分析】本题考查了分式的值，将分式变形为，即可得出，再根据的值为整数且x为自然数计算即可． 【详解】解： ， ∵分式的值为整数且x为自然数， ∴或2或3或4或6或12， ∴或1或2或3或5或11， 共6个， 故答案为：6． 【巩固】（2024八年级·全国·竞赛）若关于的方程不会产生增根，则的取值满足的条件为 ． 二、分式的运算 【典例】（2024七年级·全国·竞赛）已知实数满足等式，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，代数式求值；解题的关键是令求出、、的值． 令，求得，，，结合题意求出、、的值，代入即可求解． 【详解】解：设， 故，，， 则， 即， 解得：； ∴，，， ∴． 故答案为：． 【巩固】（2024九年级·全国·竞赛）若，求的值． 三、整体代入求值 【典例】（2024八年级·全国·竞赛）若，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的化简求值和完全平方公式，根据得出，再将变形为，将整体代入求值即可． 【详解】解： ， ， ， 故选B． 【巩固】 （2024九年级下·浙江宁波·竞赛）已知，则的值为 ． 四、利用倒数求值 【典例】已知，，，则的值等于（    ）. A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用倒数的方法，得出，然后得出的值即可 【详解】由题设可知，，. 从而有，，. 三式相加有. 从而. 立即有， 故知. 【点睛】本题考查了分式的运算，利用倒数的方法是解题的关键 【巩固】 已知，，，都是非零实数，且，，，求的值. 五、借助参数求值 【典例】已知a，b，c为非零实数，且a+b+c≠0，若，则等于（　　） A．8 B．4 C．2 D．1 【解答】解：∵， ∴1， ∴2a＝b+c，2c＝a+b，2b＝a+c， ∴8， 故选：A． 【巩固】 已知a，b，c均为非零实数，设k，则k的值为　　． 模拟演练 1．设，并且，则与之间的关系是（    ）． A． B． C． D．不能确定 2．已知抛物线．当时，抛物线与轴的正半轴相交于点；当时，抛物线与轴的正半轴相交于点．若点在点的左边，则与的大小关系是（    ）． A． B． C． D．无法比较 3．使分式有意义的的取值范围是 ． 4．计算： ． 5．比较大小： 0（填“”、“”或“”）． 6．已知实数、、满足下列等式：，，，那么代数式的值为 ． 7．已知实数，满足条件，则代数式 ． 8．在这2016个整数中，使得是最简分数的n共有 个． 9．先化简，再求值：，其中满足． 10．求值： 11．(1)求证：； (2)计算：． 12．甲、乙二人同时从A地出发沿条路线去B地，中点站是C．若甲从A至C以a千米/小时的速度行走，从C至B以b千米/小时的速度行走，而乙用一半的时间以a千米/小时的速度行走，另一半时间以b千米/小时的速度行走（a，b均是正数，且）．问谁先到达B地，为什么？ 13．有一道题：“先化简，再求值：，其中”．小颖同学做题时把“”错抄成“”，但他的计算结果也是正确的．请你解释这是为什么？ 14．有甲、乙两个杯子，甲杯装有V克豆浆，乙杯装有V克牛奶（都不是满杯），小芳同学用如下方法配制豆浆奶：先从乙杯中取出a克牛奶倒入甲杯中，充分搅匀后，再从混合液中取出克倒入乙杯中，得到两杯豆浆奶．小芳同学通过思考说，现在甲杯中含牛奶的比率与乙杯中含豆浆的比率相同．请你用所学的知识判断小芳的说法是否正确，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国初中数学竞赛培优教程 专题14 分式 真题重现 （2024九年级·全国·竞赛）已知实数满足，求证：为定值． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查分式的运算，将变形为，再利用分式的基本性质即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ． 即为定值． 考点突破 一、十字相乘 【学霸笔记】 一、分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母. 1. 分式的三个条件：①形如的这种形式；②A、B都是整式；③分母中含有字母，且分母不为0； 2. 判断一个代数式是否是分式不能先化简，如是分式，但是化简后就成了xy，是一个整式，所以分式只看形式，不看化简后的结果； 3. 分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母； 4. 分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性，分数是分式中字母取特定值后的特殊情况； 5. 分式可看成是两个整式的商，如可以表示为，但不满足分式的形式，它不是分式； 6. π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如是一个整式，不是分式. 二、分式的基本性质 1. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变； 2. 字母表示：（A、B、C都是整式，且B≠0，C≠0）； 3. 在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化，如，变形后，字母x的取值范围变大了； 4. 分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身，这三个的正负号同时改变两个，分式值也不会改变，如； 5. 若分式的分母与分子是多项式，在运用分式基本性质时，应先将分式的分子与分母用括号括起来，再把分子与分母都乘（或除以）同一个不为0的整式. 【典例】（2024九年级上·浙江宁波·竞赛）使得为整数的自然数的个数为 个． 【答案】6 【分析】本题考查了分式的值，将分式变形为，即可得出，再根据的值为整数且x为自然数计算即可． 【详解】解： ， ∵分式的值为整数且x为自然数， ∴或2或3或4或6或12， ∴或1或2或3或5或11， 共6个， 故答案为：6． 【巩固】（2024八年级·全国·竞赛）若关于的方程不会产生增根，则的取值满足的条件为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的增根，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程不会产生增根，得到，即可得出k的值． 【详解】解：， 去分母，得：， 由分式方程不会有增根，得到，即， 将代入整式方程，得，无解， 将代入整式方程，得， 解得：， 综上，不会产生增根，则的取值满足的条件为， 故答案为：． 二、分式的运算 【典例】（2024七年级·全国·竞赛）已知实数满足等式，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，代数式求值；解题的关键是令求出、、的值． 令，求得，，，结合题意求出、、的值，代入即可求解． 【详解】解：设， 故，，， 则， 即， 解得：； ∴，，， ∴． 故答案为：． 【巩固】（2024九年级·全国·竞赛）若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，涉及整体代入法；先化简分式，再由，得到，变形为，即可求得的值．关键是由已知变形求得． 【详解】解： ； ∵， ∴， ∴， ∴， 即原式． 三、整体代入求值 【典例】（2024八年级·全国·竞赛）若，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的化简求值和完全平方公式，根据得出，再将变形为，将整体代入求值即可． 【详解】解： ， ， ， 故选B． 【巩固】 （2024九年级下·浙江宁波·竞赛）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，通过对完全平方公式变形求值，求一个数的算术平方根等知识点，将变形为是解题的关键． 先将变形为，进而可得，然后展开，得到，再两边求算术平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 四、利用倒数求值 【典例】已知，，，则的值等于（    ）. A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用倒数的方法，得出，然后得出的值即可 【详解】由题设可知，，. 从而有，，. 三式相加有. 从而. 立即有， 故知. 【点睛】本题考查了分式的运算，利用倒数的方法是解题的关键 【巩固】 已知，，，都是非零实数，且，，，求的值. 【答案】 【分析】利用倒数的方法，得出，然后得出的值即可 【详解】由条件式得出，， 从而，∴. 【点睛】本题考查了分式的运算，利用倒数的方法是解题的关键 五、借助参数求值 【典例】已知a，b，c为非零实数，且a+b+c≠0，若，则等于（　　） A．8 B．4 C．2 D．1 【解答】解：∵， ∴1， ∴2a＝b+c，2c＝a+b，2b＝a+c， ∴8， 故选：A． 【巩固】 已知a，b，c均为非零实数，设k，则k的值为　　． 【解答】解：∵k， ∴ak＝b+c①，bk＝a+c②，ck＝a+b③， ∴①﹣②，可得（a﹣b）k＝b﹣a， 若a≠b，可得k1， 若a＝b，同理可得b＝c，a＝c， ∴a＝b＝c， ∴k2， 综上可得k的值为2或﹣1． 模拟演练 1．设，并且，则与之间的关系是（    ）． A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质，根据得出，进而根据等式的性质变形得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．已知抛物线．当时，抛物线与轴的正半轴相交于点；当时，抛物线与轴的正半轴相交于点．若点在点的左边，则与的大小关系是（    ）． A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】根据题意可得，，则，再根据点在点的左边，且位于正半轴，则，，得到，即可得到答案． 本题考查了二次函数的性质、分式的混合运算等知识，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 【详解】解：将和代入抛物线解析式中可得：， ， 将和代入抛物线解析式中可得：， ， ， 点在点的左边，且位于正半轴， ，， ， ． 故选：A 3．使分式有意义的的取值范围是 ． 【答案】，且 【分析】本题考查分式有意义，二次根式有意义的条件．根据题意分别列出当分式有意义时的式子解出即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，解得：， ∴，且， 故答案为：，且． 4．计算： ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，先将二次根式化简，再根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】原式 . 故答案为：． 5．比较大小： 0（填“”、“”或“”）． 【答案】> 【分析】本题考查了实数的比较大小，异分母分式的运算．熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 设，根据作答即可． 【详解】解：设， ∴， 故答案为：． 6．已知实数、、满足下列等式：，，，那么代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分数的混合运算法则是解题的关键． 根据分式的性质将分式适当变形后进行计算即可． 【详解】由题意知、、都不为零， ∴， 即， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 7．已知实数，满足条件，则代数式 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查代数式求值，先将变形为，再把变形为，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：1． 8．在这2016个整数中，使得是最简分数的n共有 个． 【答案】1008 【分析】本题考查了完全平方公式、分式的除法，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先将转化为，从而可得要使是最简分数，则只需是最简分数，再判断出是偶数，由此即可得． 【详解】解：， 要使得是最简分数，则只需是最简分数， 所以是奇数，即是偶数， 因为在这2016个整数中，共有个偶数， 所以使得是最简分数的共有1008个， 故答案为：1008． 9．先化简，再求值：，其中满足． 【答案】，6 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、分式有意义的条件以及解一元二次方程等知识点，化简分式是解答本题的关键，确定x的值是解答本题的易错点． 先解一元二次方程，再根据分式的混合运算法则把原式化简，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴解得：或， ， ∵当时，分式无意义，故， 当时，． 10．求值： 【答案】1 【分析】本题考查了繁分式的计算，设，变形计算即可． 【详解】解：设， 则原式． 11． (1)求证：； (2)计算：． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，数字规律的运算； 对于（1），先将等式左边通分，再根据完全平方公式整理可得答案； 对于（2），先根据（1）整理得，再计算加减即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）由（1）可知， 则原式= = =． 12．甲、乙二人同时从A地出发沿条路线去B地，中点站是C．若甲从A至C以a千米/小时的速度行走，从C至B以b千米/小时的速度行走，而乙用一半的时间以a千米/小时的速度行走，另一半时间以b千米/小时的速度行走（a，b均是正数，且）．问谁先到达B地，为什么？ 【答案】乙用时较少，乙先到达B地 【分析】本题主要考查了分式混合运算的应用．设千米，则甲用时小时，设乙用时为，可得，再求出，即可求解． 【详解】解：设千米，则甲用时（小时）， 设乙用时为，则， ． ， ， ， ， ， 即乙用时较少，乙先到达B地． 13．有一道题：“先化简，再求值：，其中”．小颖同学做题时把“”错抄成“”，但他的计算结果也是正确的．请你解释这是为什么？ 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据分式的混合计算法则把原式化简得到，再代值计算即可得到答案． 【详解】解： ． 当时，原式． 14．有甲、乙两个杯子，甲杯装有V克豆浆，乙杯装有V克牛奶（都不是满杯），小芳同学用如下方法配制豆浆奶：先从乙杯中取出a克牛奶倒入甲杯中，充分搅匀后，再从混合液中取出克倒入乙杯中，得到两杯豆浆奶．小芳同学通过思考说，现在甲杯中含牛奶的比率与乙杯中含豆浆的比率相同．请你用所学的知识判断小芳的说法是否正确，并说明理由． 【答案】小芳的说法正确，理由见解析 【分析】此题考查了代数式的列法，以及分式的混合运算，列代数式要正确分析数量关系，理清顺序，列出相应的代数式，分式的混合运算，加减运算关键是通分，通分的关键是找各分母的最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时遇到多项式要分解因式． 根据题意，把豆浆杯含牛奶比率及牛奶杯含豆浆比率分别表示出来，把求出的两分式化简，即可判断出两式相等． 【详解】解：小芳的说法正确，理由如下： 豆浆杯含牛奶比率为， 牛奶杯含豆浆比率为， ，小芳的说法正确． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$