3.3 垂径定理 课件 2024--2025学年北师大版九年级数学下册

3.3 垂径定理 第三章 圆 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点） 学习目标 如图，AB是☉O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M. （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ A B C D O M 这个图形是轴对称图形，对称轴是直径CD所在的直线． 核心知识点一： 垂径定理及其推论 （2）你能找出图中有哪些等量关系？说一说你的理由。 线段: AM=BM 弧: AC=BC, AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP重合，AC和BC,AD与BD重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 想一想： 能不能用所学过的知识证明你的结论？ 已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为M. 求证：AM=BM， AC =BC, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AD =BD. 证明：连接OA、OB则OA=OB. 即△AOB是等腰三角形. ∵AB⊥CD， ⌒ ⌒ AC =BC. ∴AD =BD， ⌒ ⌒ ∴AM=BM， ∠AOC=∠BOC. 从而∠AOD=∠BOD. A B C D O M 推导证明 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. ∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件) ∴ AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD.(结论) 推导格式： 注意：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如. A B C D O M 归纳总结 练一练：判断下列图形，能否使用垂径定理？ O C D B A 注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦. × × √ B O C D A O C D E 2. (1)如图，⊙O的半径为13，弦AB＝24，OC⊥AB于点C，则OC的长为( ) A．10 B．6 C．5 D．12 C (2)如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为___________． 尝试练习 原创新课堂P163 想一想：如图，AB是☉O 的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M. （1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由. A B C D O M ③CD⊥AB, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 已知： ① CD是直径 ② AM=BM （2）分析： 可推得 （1）是轴对称图形，对称轴是直线CD所在的直线. ∴由垂径定理可得AC =BC， AD =BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明：连接AO,BO,则AO=BO, 又∵AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS）， ∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB. 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. · O A B C D 特别说明：圆的两条直径是互相平分的. 归纳总结 4. (1)(佛山月考)如图，⊙O的半径为10，M是AB的中点，且OM＝6，则⊙O的弦AB等于( ) A．8 B．10 C．12 D．16 (2)如图，已知⊙O的半径为13 cm，弦AB的长为10 cm，则圆心O到AB的距离为________cm. D 12 尝试练习 原创新课堂P163 例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. ● O C D E F ┗ 解:连接OC. 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m. 根据勾股定理，得 解得R=545. ∴这段弯路的半径约为545m. 【方法总结】常用辅助线：连接半径，由半径、半弦长、弦心距构造直角三角形． 典例分析 课本P76 2.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？ 课本P76随堂练习第二题 课本P77 2 eq \r(3) $$