专题05 第五章 导数与函数的零点（2考点清单，知识导图+6个题型解读&提升训练）-2024-2025学年高二数学下学期期中考点大串讲（人教A版2019）

清单05 第五章 导数与函数的零点 （2个考点梳理+6题型解读+提升训练） 清单01 函数的零点 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点． 清单02 函数零点判断 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注意：单调性+存在零点=唯一零点 【考点题型一】判断（讨论）函数零点（方程的根）的个数（） 【例1】（2025·贵州六盘水·一模）已知函数． (1)当时，证明函数在单调递增； (2)若函数在有极值，求实数a的取值范围； (3)若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的零点个数． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)1个 【知识点】根据极值求参数、利用导数研究函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）求导通过，即可求证； （2）由题意可得在有解，再由的单调性，结合零点存在性定理构造不等式求解即可； （3）由切线方程求得，再通过函数的单调性即可求解； 【详解】（1）当时，由，可得， 因，则，又因为，则， 所以函数在单调递增； （2）， 因为函数在有极值，所以在有解， 又因为在单调递增，需使， 即，所以，解得， 故实数a的取值范围为； （3）因为函数在点处的切线方程为， 所以，且， 解得． 故则， 当时，，即在单调递增， 因，所以在没有零点； 当时，，此时函数有一个零点： 当时，，即在没有零点． 综上所述，函数的零点个数为1个． 【变式1-1】.（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数. (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的值； (2)讨论的零点个数，并证明. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义，利用可求出的值. （2）根据零点概念计算得到或．构造函数，对进行分类讨论，借助导数研究函数单调性和最值，分析函数的零点情况即可. 【详解】（1）由题意可得，则，解得． （2）当时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点． 证明如下： 令，得或． 设函数． ① 当时，恒成立，没有零点，则有唯一的零点； ② 当时，，故是上的增函数， 由得. ∵，， ∴有唯一的零点，则有两个零点； ③ 当时，． 由，得，由，得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴． 若，则，，则， ，则没有零点，故有唯一的零点； 若，则，，则有一个零点，故有两个零点； 若，则，，， ， 又，时，， ∴在和内各有一个零点，即有两个大于0的零点，则有三个零点． 综上，当时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点． 【变式1-2】.（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数 (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)画出函数的大致图像并求出方程的解的个数． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为，极小值； (2)当时，有个解；当或时，有个解；当时，有个解. 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、画出具体函数图象、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）直接对于求导，判断单调性，进而求解极值；（2）由（1）的单调性与极值，最值，画出函数图像，利用数形结合求出的解的个数. 【详解】（1）由题意可知，的定义域为， 则， 令，则， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增. 所以故; （2）由（1）可知作出函数图像， 由图，当时，方程的解个数为个； 当或时，方程的解个数为个； 当时，方程的解个数为个. 【变式1-3】.（2025·山东·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在区间上的最值； (2)讨论的零点个数． 【答案】(1)． (2)答案见解析 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）先求导函数，再根据导函数正负得出函数单调性，最后根据单调性得出最值即可； （2）先求导函数，再分类讨论根据导函数正负得出函数单调性，再构造函数结合函数值求解零点个数. 【详解】（1）由题意得的定义域为， 当时，． 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以在处取得极小值，也即最小值，为． 因为， ， 所以在处取得最大值1． 综上，． （2）令，得． 令，则． 当时，在上恒成立，所以在区间上单调递增． 又，故此时有唯一零点． 当时，． 令，得，所以在区间上单调递减； 令，得，所以在区间上单调递增． 所以． 令，则． 令，则． 当时，单调递增； 当时，单调递减．又， 所以当时，． ①当，即时，，此时有唯一零点． ②当，即时，． 因为，所以在区间上有唯一零点． ， 令，则， 所以， 则， 所以在区间上单调递减， 则． 又， 所以在区间上存在唯一零点，故在区间上有两个零点． ③当，即时，， 由函数零点存在定理可得在区间上有唯一零点， 故在区间上各有一个零点． 综上，当或时，有一个零点；当且时，有两个零点． 【点睛】关键点点睛：解题的关键是换元后构造函数结合函数单调性应用零点存在定理求解. 【变式1-4】.（2025·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数. (1)若，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数在上零点的个数. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）把代入，求出，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）利用导数探讨函数在上的单调性及最值，再分类讨论求出零点个数. 【详解】（1）当时，，求导得， 则，而，所以所求切线方程为，即. （2）依题意，， 当时，；当时，，函数在上递增， 在上递减，， 当，即时，恒成立，此时在上无零点； 当，即时，，，在上无零点， ，在上有一个零点，则在上有一个零点； 当，即时，， 函数在和上各有一个零点，因此在上有两个零点； 当，即时，在上恒成立，当且仅当，函数在上有一个零点； 当，即时，恒成立，此时在上无零点， 所以当或时，在上无零点； 当或时，在上有一个零点； 当时，在上有两个零点. 【考点题型二】证明函数零点（方程的根）的唯一性（） 【例2】（24-25高三下·河南·阶段练习）已知函数，. (1)讨论的单调区间； (2)若直线为的切线，求a的值. (3)已知，若曲线在处的切线与C有且仅有一个公共点，求a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)1 (3) 【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）求得导函数，并对分和讨论，即可判断函数的单调性； （2）设切点为，结合导数的几何意义可得，令，转化为仅一个零点，利用导数判断求解； （3）根据导数的几何意义即可求曲线在处的切线方程为，构造函数，由切线与有且只有一个公共点转化为仅一个零点，并求得导函数，对分类讨论，即可判断函数的单调性和最值，进而求得正数的取值范围． 【详解】（1）由，， 当时，，在单调递增， 当时，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上，当时，在单调递增，无单调减区间； 当时，在区间上单调递减，在上单调递增. （2）设切点为，依题意，，所以， 又，代入可得，， 设， 则，所在单调递增， 因为，所以，. （3），， 所以曲线在处的切线方程为，即， 设，， ， ①当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，有且仅有一个零点，符合题意； ②当时，，在上单调递减，有且仅有一个零点，符合题意； ③当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 因为，，当，，所以有两个零点，不符题意； ④当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 因为，，当，，所以有两个零点，不符题意； 综上，a的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是将切线与曲线有且只有一个公共点转化为仅一个零点，利用导数求解. 【变式2-1】.（2025·安徽滁州·一模）已知函数 (1)若不等式恒成立，求实数a的取值范围; (2)若，求证：有且只有1个零点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）由已知可得，令，利用导数可得，进而可得，令，利用导数求得即可； （2）求导得，分，，三种情况讨论中可证得结论. 【详解】（1）由可得， 设，，， 当时，当时，， 所以在上单调调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以等价于， 设，，， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 故实数a的取值范围为； （2）， 当时，，， 所以在上单调递增，又，， 由零点存在性定理可知，在区间上存在1个零点， 故此时有1个零点. 当时，当时，；当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因，当时， ， 取，则，且， 由零点存在性定理可知，在区间上存在1个零点， 故此时有1个零点. 当时，当时，；当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ， 由于，所以，所以， 所以，所以 又，， 由零点存在性定理可知，在区间上存在1个零点， 故此时有1个零点. 综上可知，当时，有且只有1个零点，得证. 【点睛】利用导数研究零点问题： （1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象； （2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题； （3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究. 【变式2-2】.（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)证明：函数只有一个零点； 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）构造函数，利用导数证明恒成立，再探讨在无零点，结合即可得证明. 【详解】（1）函数，求导得，则，又， 所以在处的切线方程为，即. （2）当时，，，则恒成立， 在上无零点； 当时，； 当时，令，则， 令，则，即在上单调递增， 则，函数在上单调递增， 因此，则当，恒成立，在上无零点， 所以函数只有一个零点. 【变式2-3】.（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知函数 ，其中 . (1)讨论 的单调性； (2)证明: 在 上均恰有一个零点. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、零点存在性定理的应用 【分析】（1）通过求导，根据导数的正负来判断函数的增减区间； （2）结合函数的单调性以及特殊点的函数值，结合零点存在性定理来确定零点个数. 【详解】（1）首先求函数的定义域和导数. 函数的定义域为. 对求导可得，，. 然后令，即，则，解得或. 接着分情况讨论： 当时，，当且仅当时取等号.所以在上单调递增. 当时，. 在区间和上，，所以在，上单调递增； 在区间上，，所以在上单调递减. 当时，. 在区间和上，，所以在，上单调递增； 在区间上，，所以在上单调递减.    综上所得， 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）当时，；当时，，且，由（1）可知， 当时，在取得极大值，在上恰有一个零点. 当时，在上单调递增. 在上恰有一个零点. 当时，在取得极大值，且， 所以在上恰有一个零点.   综上所得，，在上均恰有一个零点. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数解决函数零点问题，解题的关键是分类讨论思想的应用，考查转化能力，通过构造函数，利用导数求解即可，考查数学转化思想和计算能力，属于难题. 【变式2-4】.（24-25高三下·浙江·开学考试）已知函数是奇函数． (1)求a； (2)求曲线在点处的切线方程； (3)证明：函数有且仅有1个零点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点、由奇偶性求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）根据奇函数定义得，代入可求得a的值. （2）求，计算切线斜率即可得到切线方程. （3）求，分析函数的单调性即可确定证明结论. 【详解】（1）∵函数是奇函数， ∴，即， ∴，即对定义域内任意恒成立， ∴，解得或（舍）， ∴，此时， 由得定义域为，符合题意. （2）由（1）得，， ∴，， ∴，故曲线在点处的切线方程为，即. （3）∵， ∴函数的定义域为，，， ∵，∴，，， ∴，故在上为增函数， ∴有且仅有1个零点，零点为0. 【考点题型三】利用极值（最值）研究函数的零点（方程的根）（） 【例3】（24-25高二下·天津·阶段练习）已知函数 其中a为实数. (1)当 时，求曲线 )在点处的切线方程; (2)求函数的单调区间； (3)若函数有且仅有一个零点，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)函数的单调递增区间是，；单调递减区间是； (3) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求导，确定斜率即可求解； （2）由和即可求解； （3）求得极值，通过极大值小于0，或极小值大于0，求解即可； 【详解】（1）当时，， 所以，， 所以，所以切线方程为：，即； （2）由，可得或， 由，可得：， 所以函数的单调递增区间是，；单调递减区间是； （3）由（2）知极大值为：，极小值为：， 当，故若函数有且仅有一个零点， 需满足：或， 解得：或， 即a的取值范围是； 【变式3-1】.（2025·四川巴中·一模）已知函数. (1)求函数的极值； (2)求证：当时，； (3)若.其中.讨论函数的零点个数. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3)答案见解析； 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值 【分析】（1）利用极值的定义求解； （2）将不等式转化为当时，，令，由证明； （3）根据，分和先去掉绝对值，然后利用导数法求解. 【详解】（1）因为， 所以，令，得， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以的极小值为：； （2）原不等式等价于当时，， 即当时，， 令，则， 令，则， 所以在上递增，即在上递增， 所以，则在上递减， 所以，所以原不等式成立； （3）， 当时，， 又，则在上递增，且，， 所以在上总有一个零点； 当时，，则， 当时，，在上递增；， 在无零点； 当，时，，当时，， 所以，令 ，得 ， 当 时，，在无零点； 当时，，在上有唯一零点； 当时，，又， 由（2）知，，， 由零点存在定理知：在、上各有一个零点， 综上：当时，有一个零点；当时，有两个零点； 当时，有三个零点. 【点睛】思路点睛：根据，先去掉绝对值，易知时， 在上总有一个零点，当时，由，分 ，和，讨论的单调性，从而得到最小值而得解. 【变式3-2】.（24-25高二下·山东济南·阶段练习）已知函数上点处的切线方程为 (1)求的解析式； (2)若函数在上有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求函数导函数，根据导数的几何意义和题意可知，，，建立关于、的方程组，求出、，从而可得函数的解析式； （2）由，可得出，令，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，分析可知，直线与函数在上的图象有且只有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）由题意可知， 因为函数图象上点处的切线方程为， 所以，，，解得，， 所以，. （2）由，可得， 令，其中，则， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，函数的极小值为，，， 由题意可知，直线与函数在上的图象有且只有两个交点，如下图所示：    由图可知，实数的取值范围是. 【变式3-3】.（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数. (1)若在区间上不是单调函数，求a的取值范围； (2)若方程有两个不等实根，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）设，利用在区间上有变号零点，列不等式来求得的取值范围. （2）由分离常数，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围. 【详解】（1），设， 若在区间上不是单调函数， 则在区间上有变号零点， 在上单调递增， 所以，解得. 所以a的取值范围是. （2）若有两个不等实根，，即不是的根. 所以当时，有两个不等实根， 令，， 所以在区间上单调递减， 在区间上单调递减， 当时，，当时，， 所以，是的极小值点，且极小值为， 当时，；当时，， 画出函数的大致图形，则的取值范围是， 所以的取值范围是 【变式3-4】.（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知函数 ． (1)求函数的单调区间； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导，再分和两种情况讨论即可； （2）由（1）知，要使函数有两个零点，则，则，进而可得出答案. 【详解】（1）， 当时，， 所以函数在单调减区间为， 当时，令，则，令，则， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为， 综上所述，当时，在单调减区间为，没有增区间； 当时，函数的单调增区间为，单调减区间为； （2）由（1）知，要使函数有两个零点，则， 当时，， 又当时，，当时，， 因为函数有两个零点， 所以， 令， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 又因为， 所以不等式的解集为， 所以实数的取值范围为. 【考点题型四】数形结合法研究函数的零点（方程的根）（） 【例4】（23-24高二下·广东中山·阶段练习）已知函数． (1)求函数极值点： (2)讨论关于的方程解的个数． 【答案】(1)极小值点为，无极大值点 (2)答案见解析 【知识点】利用导数研究方程的根、函数极值点的辨析 【分析】（1）利用导数求得函数的单调区间，进而求得极值点. （2）根据分离，然后利用构造函数法，结合导数以及图象来求得正确答案. 【详解】（1），， 所以在区间上单调递减， 在区间上单调递增， 所以的极小值点为，无极大值点. （2）对于方程， 不满足方程，所以；不满足方程，所以， 则，， 设（且） ， 所以在区间上单调递增； 在区间上，单调递减； 由此画出的大致图象如下图所示， ， 显然， 由图可知或时，方程有个解； 或时，方程有个解； 时，方程有个解. 解得或时，方程有个解； 或时，方程有个解； 时，方程有个解.    【变式4-1】.（24-25高二下·上海·阶段练习）已知函数 (1)判断函数的奇偶性. (2)当时，求函数经过点的切线方程； (3)若函数在处有极值，根据实数的不同取值，讨论关于的方程的实根的个数. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)答案见解析 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求过一点的切线方程、利用导数研究方程的根、根据极值点求参数 【分析】（1）根据二次函数的对称性，分和两种情况讨论即可； （2）设切点为，根据导数的几何意义求出切线方程，再将点代入求出切点，即可得解； （3）由题意可得，求出，再利用导数求出函数的单调区间及极值，作出函数的图象，结合图象讨论即可得解. 【详解】（1）函数为二次函数，是轴对称图形，且对称轴为， 当时，函数的图象关于对称，所以函数为偶函数， 当时，函数为非奇非偶函数； （2）当时，，则， 设切点为， 则切线的斜率， 所以切线方程为， 又因为切线过点， 所以， 化简得，解得， 切线方程为，即； （3），则， 因为函数在处有极值， 所以，解得， 则， 令，则或，令，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点， 所以，所以 ， 当时，，当时，， 如图，作出函数的大致图象，    由图可知，当或时，方程有个实数根； 当或时，方程有个实数根； 当时，方程有个实数根. 【变式4-2】.（2025·湖北·二模）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若，讨论方程的根的个数. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【知识点】利用导数研究方程的根、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）应用分类讨论及导数研究函数的单调区间即可； （2）根据已知有，构造并应用导数研究函数的单调性，得到，利用导数研究右侧的单调性和最值，即可得参数范围. 【详解】（1）的定义域为，则， 因，由，解得， ①当时，恒成立， 所以的无递增区间，递减区间为； ②当时，， 令，得；令，得， 所以的递增区间为，递减区间为； ③当时，， 令，得；令，得， 所以的递增区间为，递减区间为； 综上所述， 当时，无递增区间，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为； （2）由题设， 令，则，即在上单调递增， 故上式中满足，则有，可得， 令，则，由解得. 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 当时，且，当时，， 故. 结合图象，可知， 当时，方程有0个实根； 当或时，方程有1个实根； 当时，方程有2个实根. 【变式4-3】.（24-25高二下·天津·阶段练习）已知函数在处有极大值. (1)求实数的值； (2)若函数，研究方程实数根的个数及实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】根据极值求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）由题意题干中的函数进行求导，根据极值与导数的关系建立方程，分别检验解得的根，可得答案； （2）由（1）明确函数解析式，利用导数求得其极值与单调性，并作图，根据零点定义，将问题等价转化为函数交点问题，可得答案. 【详解】（1）由函数，求导可得， 由函数在处取极大值，则，解得或， 当时，可得， 易知当时，；当时，， 则此时函数在处取得极小值，不符合题意，舍去； 当时，可得， 易知当时，；当时，， 则此时函数在处取得极大值，符合题意. 综上所述，. （2）由（1）可得函数，求导可得， 令，解得或3，可得下表： 1 3 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的极大值为，极小值为， 函数的零点个数，等价于函数图象与直线的交点个数， 如下图： 由图可得当，则，此时有三个不同的零点， 当或，则或，此时有两个不同的零点， 当或，则或，此时有一个零点， 【变式4-4】.（2025·山东·模拟预测）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为（是自然对数的底数），求的值； (2)若有且只有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）有且只有两个零点，可转化为有且只有两个大于1的实数根，令，利用导数画出的大致图象可知，即，令，再利用导数画出的图象，根据图象求解即可. 【详解】（1）由题意得的定义域为，， 则，即， 所以，即, 令，则, 又在区间上单调递增，且当时，， 所以，即，所以． （2）因为有且只有两个零点，所以有且只有两个大于1的实数根， 又， 所以方程，即有且只有两个大于1的实数根， 令，则， 由，解得，当时，，当时，， 所以在区间上单调递减且，在区间上单调递增且当时，，作出的图象，如图①， 又，所以， 要使，则，即有且只有两个大于1的实数根， 令，则， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，当时，，且无限趋近于0，作出的图象，如图②， 所以，即，故的取值范围是． 【点睛】思路点睛：根据函数零点个数求参数范围，一般采取参变分离，转化为两个函数图象的交点问题，然后利用导数研究单调性，结合函数变化趋势、极值等作出函数图象，结合函数图象即可得解. 【考点题型五】利用同构函数法研究函数的零点（方程的根）（） 【例5】（24-25高三上·云南昆明·期中）已知是函数的零点，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】令，利用构造函数法，结合导数列方程来求得正确答案. 【详解】由得，，且，即， 令，，所以在上单调递增, 由，可知， 又在上单调递增，,所以. 故选：A 【变式5-1】.（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）若函数有两个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】令可得，令，即可求出，令，，则问题转化为函数的图象与直线有两个交点，利用导数说明的单调性，即可求出的取值范围. 【详解】令， 即． 令，定义域为，， 令，易知在上单调递增，且． 令，， 则函数有两个零点转化为函数的图象与直线有两个交点， 则，当时，；当时，， 即在上单调递减，在上单调递增； 所以，当时，；当时，， 则，解得，即实数的取值范围是． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是得到，从而将问题转化为函数的图象与直线有两个交点. 【变式5-2】.（2024·河南驻马店·二模）已知函数的定义域为，若存在零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【分析】利用指数与对数的运算性质将变形为，构造函数得，由的单调性即可求解. 【详解】由题意得，令，则. 令，因为函数在上单调递增， 单调递增， 所以，可化为，即. 令，则， 当时，，在单调递增，当时，在单调递减， 又，当时，，所以，解得. 故选：C 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 【变式5-3】.（23-24高二下·湖南·期中）已知函数，函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【分析】变形为有两个实根，变形得到，设，求导得到单调性，进而求出，只需使有两个根，设，求导,即可求解最值得出的取值范围． 【详解】要使函数有两个零点，即有两个实根， 即有两个实根， 即，整理为， 设函数，则上式为， 因为恒成立，所以单调递增，所以， 所以只需使有两个根，设， ， 易知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 故函数在处取得极大值，也是最大值，则， 当时，；当时，， 要想有两个根，只需，解得， 即的取值范围是． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：由指对数运算等价变换为，即可由的单调性得. 【变式5-4】.（2024高三下·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】当时，令，得，即，构造函数，求导确定单调性从而可得，再根据函数的图象性质，可得方程根的个数，结合函数的奇偶性即可得结论；或者令，则由，可得，从而令，求导确定单调性，判断其零点个数再结合函数的奇偶性即可得结论. 【详解】解法一：∵函数是定义在上的奇函数，∴， 当时，令，得，即， 构造函数，则恒成立，所以在上单调递增， 则当时，可得，则， 又，则，所以时，函数递增，时，函数递减， 且；，则函数的图象大致如图所示， 由于，∴有两个解， 由于是定义在上的奇函数，故当时，也是2个零点， 综上，当时，有5个零点. 解法二：当时，令，得，即， 令，则， 令，，所以时，函数递减，时，函数递增， 又，又，，故在区间和区间各有一个交点， 是定义在上的奇函数，故，当时，也是2个零点， 综上，当时，有5个零点. 故选：D． 【考点题型六】】导数中新定义题（） 【例6】（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知是函数的零点，若对满足的任意正整数，使得，则称“被控制”． (1)已知函数，若“被2控制”，求的取值范围． (2)已知函数有三个零点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：“被1控制”． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式、函数新定义 【分析】（1）先化简函数，再构造函数，应用函数被2控制列式计算求参； （2）（ⅰ）先求导函数，再根据导函数正负得出函数单调性，再结合值域即可求参； （ⅱ）应用函数新定义证明符合函数新定义即可. 【详解】（1）令，则或． 令，则，当且仅当时，等号成立， 即在上单调递增． 设存在正数满足，因为“被2控制”，所以，即， 所以，即，解得，所以的取值范围为． （2）（ⅰ）解：由可得． 令，知为奇函数． 若，由，解得． 当时，单调递增， 当时，单调递减，则，且． 当时，单调递增且， 当时，单调递增且，当时，单调递减且． 若，当时，单调递减且， 当时，单调递增且， 当时，单调递增且． 当或时，有三个解，所以的取值范围为. （ⅱ）由函数的对称性知，只需要证明时的情况即可． 当时，的三个零点满足， 只需要证明即可，即证明，即， 当时，单调递增， 则只需要证明 ，这显然成立，故“被1控制”． 【变式6-1】.（24-25高二下·山西·阶段练习）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率． (1)已知函数，求曲线在处的曲率的值； (2)已知函数，求曲线在点处的曲率的最大值； (3)对（2）中的，记，证明：在区间上有且仅有2个零点． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】利用导数研究函数的零点、导数新定义、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）对函数求导，根据题设的定义求； （2）根据定义可得，应用换元法及导数求右侧的最大值； （3）由题设有，应用分类讨论研究其符号，进而确定对应区间的单调性，结合零点存在性定理确定零点个数，即可证结论. 【详解】（1）由题设， 所以． （2）， 所以， 所以， 令，则， 设，则， 显然当时，单调递减， 所以，即的最大值为1， 所以的最大值． （3）由，所以， ①当时，因为，则， 所以在上单调递增，又， 所以在上仅有1个零点． ②设，则， 当时，单调递增，所以， 故当时，，，所以， 所以在上恒成立，在上无零点． ③当时，， 所以在上单调递减，又， 所以在上仅有1个零点． 综上所示，在区间上有且仅有2个零点． 【变式6-2】.（2025·湖南·模拟预测）若函数的图象有公共点，且在公共点处的切线相同，则称该公共点为函数与的一个“公切点”. (1)若函数与存在“公切点”，求实数的值； (2)设函数，直线是曲线在点处的切线.求证:直线不经过点(1,0); (3)已知函数，对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“公切点”?并说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，理由见解析. 【知识点】利用导数研究函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】（1）设出切点，根据且，即可求解，进而可求解， （2）求导，写出直线的方程，代入(1,0)化简后构造函数，求导，根据函数的单调性即可求解， （3）根据且，得，构造函数，根据零点存在性定理即可求解. 【详解】（1）设是的“共切点”， 则由且， 由于，所以，解得， 所以， 当时，满足题意， 故 （2）由于，所以， 故直线的斜率为，则直线的方程为， 将点代入可得，故， 即，故， ，即， 令， 假设直线经过点，则在上存在零点， 由，所以在上单调递增， 所以，故在上无零点，这与假设矛盾，故直线不经过点， （3）因为，所以， 由且，得， 两式相除可得， 设， 由于，且的图象连续不断，所以存在使得， 则，将其代入可得， 此时满足方程组，即是函数与在区间内的一个“公切点”， 因此，对任意，存在，使得与在区间内存在“公切线”. 【点睛】方法点睛：新定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下： 第一步：提取信息  —  对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号， 第二步：加工信息  —  细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点 第三步：迁移转化  —  如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的性质，一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等） 第四步：计算，得结论  —  结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论 【变式6-3】.（24-25高三下·上海·阶段练习）已知k、，函数的定义域为，直线l的方程为，记集合． (1)若，求集合； (2)若，且存在实数k、m使得集合中有且只有两个元素，求实数b的取值范围； (3)若函数的图象是一条连续曲线，且其导函数是定义域为的严格减函数，求证：“集合是单元素集合”是“直线l是曲线在点处的切线”的充要条件． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据函数的单调性解不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）由已知求得，解不等式即可求解； （2）的解集为，进而得方程有重根及，据此求解即可． （3）记，必要性，则有，由题意可得的单调性，可得结论；充分性，时，结合已知可得函数在处取得极大值，进而可得结论. 【详解】（1）因为，所以， 由，得，解得，所以． （2）存在实数k，m使得集合，则的解集为， 即的解集为， 所以方程有重根及． 因此恒成立，故有， 则是二次方程的两个不相等的实数解， 所以，所以实数b的取值范围是． （3）记，则，在上严格递减， ①若直线l是曲线在点处的切线， 则有，所以． 故时，，所以函数在是是s上严格递减，； 时，，所以函数在上严格递增，； 所以的解集为，集合是单元素集合； ②若集合是单元素集合，故时，， 而函数的图象是一条连续曲线，所以． 则在的附近其他自变量对应的函数值都小于， 故函数在处取得极大值，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即，直线l是曲线在点处的切线． 综上，“集合是单元素集合”是“直线l是曲线在点处的切线”的充要条件． 【点睛】关键点点睛：第二问，关键在于得到方程有两个二重根，进而得到恒成立，从而可求解. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二下·天津红桥·阶段练习）已知函数有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】根据题意，求导判断函数单调性，结合有3个不同的零点，列出不等式求解即可． 【详解】解：函数，则，令得或， 令，解得：或；令，解得： ； 所以在和上单调递增，在上单调递减， 又，， 要使有3个不同的零点，则， 解得：. 故选：C 2．（24-25高三上·福建泉州·期末）若函数有个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】对，，三种情况分类讨论，即可得到的取值范围. 【详解】设，则对有，对有. 所以在上递增，在上递减，这表明，且等号成立当且仅当. ①当时，对有，故至多有一个零点，不满足条件； ②当时，取充分小的正数，使得，，； 再取充分大的正数，使得，，，则，且 ，，， . 从而根据零点存在定理，可知有个零点，满足条件； ③当时，由于当时，单调递减，故在的范围内至多有一个零点. 而当时，有，且若，则必有，即. 所以在的范围内至多有一个零点. 二者结合，可知至多有两个零点，不满足条件. 综合①②③，可知的取值范围是. 故选：C. 3．（2024高三·全国·专题练习）若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】零点存在性定理的应用、根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【分析】先利用导数判断函数在给定区间上的单调性，再根据题设条件，结合零点存在定理得到不等式组，求解即得. 【详解】由在区间上恒为正可得，函数在区间上为增函数， 依题意，函数在区间上存在零点，则由零点存在定理可得， 且，解得. 故选：C. 4．（23-24高二下·四川眉山·期末）已知函数，有大于的极值点，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】求导，构建，分析可知与在有交点，对求导，利用导数分析其单调性和值域，即可得结果. 【详解】因为的定义域为，且， 令，可得， 构建， 由题意可知：与在有交点， 则对任意内恒成立， 可知在内单调递增，则， 可得，即， 所以a的取值范围为. 故选：D. 5．（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习）定义：若函数存在个极值点，则称为折函数．例如，函数为3折函数．已知函数，则为（   ）（参考数据：） A．3折函数 B．4折函数 C．5折函数 D．6折函数 【答案】D 【知识点】利用导数研究函数的零点、函数新定义 【分析】求函数的导数，函数的极值点问题，等价于的零点问题，转化为函数与函数的图象在上的交点个数问题. 【详解】因为，所以． 函数的极值点问题，等价于的零点问题，令，得， 所以将函数的零点个数问题， 转化为函数与函数的图象在上的交点个数问题． 因为，所以，又， 在同一坐标系中，画出函数和的图象， 由图象可知，函数与函数的图象在上有5个交点， 所以函数为6折函数. 故选：D． 6．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）函数有三个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】根据条件，将问题转化成与有三个交点，再利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而可得出的图象，数形结合，即可求解. 【详解】因为，易知，所以0不是零点， 令，即，得到，令，， 则， 易知恒成立，由，得到， 当时，，时，，时，， 所以在单调递增，单调递减，单调递增， 又易知，当，且时，，时，， 当时，时，，且， 当时，时，，所以的图象如图所示， 由题知与有三个交点，所以， 故选：A. 7．（20-21高二下·陕西榆林·阶段练习）已知方程有两个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】求定义域，令得有两个根，构造，求导得到其单调性，得到最值，结合函数图象特征得到实数a的取值范围. 【详解】的定义域为， 令得，即有两个根， 令，则， 令，显然在单调递减， 又，故当时，，当时，， 故时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故的最大值为，当时，恒成立， 当趋向于0时，趋向于， 故要想有两个根，需满足 故选：A 8．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）若函数与的零点个数相同，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】利用导数确定的零点的个数，进而利用导数确定的极值，进而由，求解即可. 【详解】由，得， 当，，所以在上单调递增， 当，，所以在上单调递减， 又，所以只有一个零点． 由，可得， 令，得或，，， 若只有1个零点，则，所以或． 故选：C． 二、填空题 9．（23-24高二下·海南·期中）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【分析】根据零点将问题转化为有两个交点，构造函数，由导数求解函数的单调性，即可结合图象求解. 【详解】由有两个零点，故有两个实数根， 记，则， 当和时， ， 当时，， 故在单调递减，在单调递增， 作出函数的图象如下： 由图象可知：当或时，直线与的图象有两个交点， 故实数的取值范围 故答案为： 10．（23-24高二下·山东淄博·期中）已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】根据题意先把已知条件转化为有两个不同的根，即，与两函数有两个交点，利用函数导数判断函数的单调性在上单调递增，在上单调递减，从而在处取得极大值，也是最大值，，又当时，恒成立，当时，恒成立，数形结合得出实数a的取值范围. 【详解】定义域为， 故有两个不同的根，即，与两函数有两个交点， 其中， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 从而在处取得极大值，也是最大值， ，且当时，恒成立， 当时，恒成立， 画出的图象如下： 显然要想，与两函数有两个交点， 需要满足. 三、解答题 11．（24-25高二上·海南·期末）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数有两个零点，求实数的值． 【答案】(1)和 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）令并求出x的范围，即可求函数的单调递增区间； （2）根据函数有两个零点，利用函数极大值等于零或极小值等于零列方程即可求实数的值． 【详解】（1）因为， 所以， 令，则或， 所以的单调递增区间为和. （2）由（1）得的单调递增区间为和. 令可得，的单调递减区间为， 当时，取得极大值； 当时，取得极小值. 所以若有两个零点，则或， 解得. 所以. 12．（23-24高二下·浙江台州·期中）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为. (2). 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）依题意只需满足，解得即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 且 令，解得或，则函数在上单调递增； 令，解得，则函数在上单调递减， 所以函数单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由（1）知函数在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 则，， 且当时，，当时，， 要使得函数有三个零点，则需满足， 解得， 综上可得，实数的取值范围. 13．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若有两个极值点，求实数的取值范围； (3)若在区间上有且仅有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3). 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】（1）求导，令，可求单增区间与单减区间； （2）求导可得，由已知可得有两个正根，求解即可； （3）由与在上有一个交点，利用导数判断的单调性，进而可求得实数的取值范围. 【详解】（1）若，， 则， 令，解得，令，解得， 所以函数单调递减区间为，单调递增区间为； （2）由，可得， 由有两个极值点，则有两个变号零点，即有两个正根， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； （3）由在区间上有且仅有一个零点，得在区间有一个根， 即在区间有一个根， 即与在上有一个交点， 由，可得， 因为，所以， 所以对恒成立，所以在上单调递增， 又， 因为，可得，当时，， 所以函数单调递减，所以，所以， 所以时，， 所以，所以实数的取值范围为． 14．（重庆市部分区县2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题）已知函数． (1)若，求在上的值域； (2)若，求在上的零点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析； 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）多次求导后，可判断在上单调递增，据此可得值域； （2）时，多次求导后，可得在上单调递增，在上单调递减，其中，然后由零点存在性定理可得答案. 【详解】（1）时，，此时， 令，. 则，则在上单调递增， 则，故在上单调递增， 则； （2）由题，令，. 则，，， 时，，根据正弦函数性质知在上的零点个数为0； 时，所以， 故在上单调递减. 又，则，使. 则， 故在上单调递增，在上单调递减. 又注意到，，结合在上单调递增， 则时，，，又， 结合在上单调递减.则存在，使. 综上，当时，在上的零点个数为0， 当时，在上的零点个数为1. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 第五章 导数与函数的零点 （2个考点梳理+6题型解读+提升训练） 清单01 函数的零点 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点． 清单02 函数零点判断 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注意：单调性+存在零点=唯一零点 【考点题型一】判断（讨论）函数零点（方程的根）的个数（） 【例1】（2025·贵州六盘水·一模）已知函数． (1)当时，证明函数在单调递增； (2)若函数在有极值，求实数a的取值范围； (3)若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的零点个数． 【变式1-1】.（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数. (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的值； (2)讨论的零点个数，并证明. 【变式1-2】.（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数 (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)画出函数的大致图像并求出方程的解的个数． 【变式1-3】.（2025·山东·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在区间上的最值； (2)讨论的零点个数． 【变式1-4】.（2025·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数. (1)若，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数在上零点的个数. 【考点题型二】证明函数零点（方程的根）的唯一性（） 【例2】（24-25高三下·河南·阶段练习）已知函数，. (1)讨论的单调区间； (2)若直线为的切线，求a的值. (3)已知，若曲线在处的切线与C有且仅有一个公共点，求a的取值范围. 【变式2-1】.（2025·安徽滁州·一模）已知函数 (1)若不等式恒成立，求实数a的取值范围; (2)若，求证：有且只有1个零点. 【变式2-2】.（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)证明：函数只有一个零点； 【变式2-3】.（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知函数 ，其中 . (1)讨论 的单调性； (2)证明: 在 上均恰有一个零点. 【变式2-4】.（24-25高三下·浙江·开学考试）已知函数是奇函数． (1)求a； (2)求曲线在点处的切线方程； (3)证明：函数有且仅有1个零点． 【考点题型三】利用极值（最值）研究函数的零点（方程的根）（） 【例3】（24-25高二下·天津·阶段练习）已知函数 其中a为实数. (1)当 时，求曲线 )在点处的切线方程; (2)求函数的单调区间； (3)若函数有且仅有一个零点，求a的取值范围. 【变式3-1】.（2025·四川巴中·一模）已知函数. (1)求函数的极值； (2)求证：当时，； (3)若.其中.讨论函数的零点个数. 【变式3-2】.（24-25高二下·山东济南·阶段练习）已知函数上点处的切线方程为 (1)求的解析式； (2)若函数在上有两个零点，求的取值范围． 【变式3-3】.（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数. (1)若在区间上不是单调函数，求a的取值范围； (2)若方程有两个不等实根，求a的取值范围. 【变式3-4】.（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知函数 ． (1)求函数的单调区间； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【考点题型四】数形结合法研究函数的零点（方程的根）（） 【例4】（23-24高二下·广东中山·阶段练习）已知函数． (1)求函数极值点： (2)讨论关于的方程解的个数． 【变式4-1】.（24-25高二下·上海·阶段练习）已知函数 (1)判断函数的奇偶性. (2)当时，求函数经过点的切线方程； (3)若函数在处有极值，根据实数的不同取值，讨论关于的方程的实根的个数. 【变式4-2】.（2025·湖北·二模）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若，讨论方程的根的个数. 【变式4-3】.（24-25高二下·天津·阶段练习）已知函数在处有极大值. (1)求实数的值； (2)若函数，研究方程实数根的个数及实数的取值范围. 【变式4-4】.（2025·山东·模拟预测）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为（是自然对数的底数），求的值； (2)若有且只有两个零点，求的取值范围． 【考点题型五】利用同构函数法研究函数的零点（方程的根）（） 【例5】（24-25高三上·云南昆明·期中）已知是函数的零点，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【变式5-1】.（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）若函数有两个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】.（2024·河南驻马店·二模）已知函数的定义域为，若存在零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】.（23-24高二下·湖南·期中）已知函数，函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5-4】.（2024高三下·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点题型六】】导数中新定义题（） 【例6】（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知是函数的零点，若对满足的任意正整数，使得，则称“被控制”． (1)已知函数，若“被2控制”，求的取值范围． (2)已知函数有三个零点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：“被1控制”． 【变式6-1】.（24-25高二下·山西·阶段练习）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率． (1)已知函数，求曲线在处的曲率的值； (2)已知函数，求曲线在点处的曲率的最大值； (3)对（2）中的，记，证明：在区间上有且仅有2个零点． 【变式6-2】.（2025·湖南·模拟预测）若函数的图象有公共点，且在公共点处的切线相同，则称该公共点为函数与的一个“公切点”. (1)若函数与存在“公切点”，求实数的值； (2)设函数，直线是曲线在点处的切线.求证:直线不经过点(1,0); (3)已知函数，对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“公切点”?并说明理由. 【变式6-3】.（24-25高三下·上海·阶段练习）已知k、，函数的定义域为，直线l的方程为，记集合． (1)若，求集合； (2)若，且存在实数k、m使得集合中有且只有两个元素，求实数b的取值范围； (3)若函数的图象是一条连续曲线，且其导函数是定义域为的严格减函数，求证：“集合是单元素集合”是“直线l是曲线在点处的切线”的充要条件． 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二下·天津红桥·阶段练习）已知函数有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·福建泉州·期末）若函数有个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·四川眉山·期末）已知函数，有大于的极值点，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习）定义：若函数存在个极值点，则称为折函数．例如，函数为3折函数．已知函数，则为（   ）（参考数据：） A．3折函数 B．4折函数 C．5折函数 D．6折函数 6．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）函数有三个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（20-21高二下·陕西榆林·阶段练习）已知方程有两个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）若函数与的零点个数相同，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（23-24高二下·海南·期中）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 . 10．（23-24高二下·山东淄博·期中）已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是 . 三、解答题 11．（24-25高二上·海南·期末）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数有两个零点，求实数的值． 12．（23-24高二下·浙江台州·期中）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若有三个零点，求的取值范围. 13．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若有两个极值点，求实数的取值范围； (3)若在区间上有且仅有一个零点，求实数的取值范围． 14．（重庆市部分区县2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题）已知函数． (1)若，求在上的值域； (2)若，求在上的零点个数． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$