专题07 第六章  二项式定理（2考点清单，知识导图+11个题型解读&提升训练）-2024-2025学年高二数学下学期期中考点大串讲（人教A版2019）

清单07 第六章  二项式定理 （2个考点梳理+11题型解读+提升训练） 清单01 二项式定理 二项展开式： 清单02 二项式系数（和） ①最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大. ②各二项式系数和： ； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 【考点题型一】二项式定理展开及其逆应用（） 【例1】（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）的值是（    ） A． B．1 C．0 D．22024 【变式1-1】.（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】.（24-25高二上·甘肃白银·阶段练习）已知，若，则 ． 【变式1-3】.（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）的值为 . 【考点题型二】二项展开式第项（） 【例2】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）的二项展开式中各项系数之和为64，则的二项展开式中第七项为 ． 【变式2-1】.（24-25高二·全国·课堂例题）在的展开式中，第4项是 ． 【变式2-2】.（23-24高三上·广东珠海·开学考试）写出的展开式的第4项的系数： ．（用数字表示） 【变式2-3】.（23-24高二下·天津·阶段练习）在二项式的展开式中，第3项的系数是 ． 【考点题型三】二项式系数（和） 【例3】（多选）（24-25高二下·辽宁抚顺·开学考试）若（）的展开式中第5项的二项式系数最大，则的可能取值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式3-1】.（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）在的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的二项式系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第4项和第5项 【变式3-2】.（23-24高二下·重庆·期末）若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数为（    ） A．80 B． C．40 D． 【变式3-3】.（23-24高二下·广东中山·阶段练习）二项式展开式前三项的二项式系数和为22. (1)求的值； (2)求展开式中各项的二项式系数和； (3)求展开式中的常数项及二项式系数最大的项. 【考点题型四】指定项系数（有理项） 【例4】（24-25高二上·江西·阶段练习）完成下列问题： (1)求的展开式中的常数项； (2)求的展开式中有理项的个数. 【变式4-1】.（24-25高三下·福建泉州·阶段练习）在的展开式中，系数为整数的项数是（   ） A．8 B．5 C．3 D．2 【变式4-2】.（23-24高二下·新疆·期中）在二项式的展开式中，有理项的项数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-3】.（多选）（23-24高二下·河南信阳·期末）展开式的有理项为（    ） A．第1项 B．第2项 C．第5项 D．第8项 【变式4-4】.（24-25高二下·全国·课后作业）写出展开式中一个有理项的系数 ． 【考点题型五】系数和 【例5】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）若，则 . 【变式5-1】.（24-25高二上·山东东营·期末）已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【变式5-2】.（23-24高三下·全国·自主招生）已知，则 （    ） A． B． C．0 D．1 【变式5-3】.（24-25高二下·上海·阶段练习）设且. (1)求、的值; (2)求展开式中各项系数和； 【变式5-4】.（24-25高二上·北京大兴·期末）已知的展开式中各二项式系数的和为． (1)求的值； (2)求该展开式中所有项的系数和． 【考点题型六】系数最大（小）项 【例6】（24-25高二下·浙江宁波·阶段练习）在的展开式中，求： (1)常数项； (2)含的项的系数； (3)系数的绝对值最大的项． 【变式6-1】.（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）在 的展开式中系数最大的项为 . 【变式6-2】.（24-25高二·全国·课堂例题）已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求系数最大的项与系数最小的项． 【变式6-3】.（24-25高二上·辽宁大连·期末）在的展开式中，求： (1)含的项； (2)各项系数和（用数字作答）； (3)系数最大的项是第几项？ 【变式6-4】.（23-24高二下·湖北襄阳·期末）已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240. (1)求n的值及展开式中所有含x的有理项的个数； (2)求展开式中系数最小的项． 【考点题型七】三项展开式系数问题 【例7】（2024高三·全国·专题练习）的展开式中常数项为（    ） A． B． C．0 D．20 【变式7-1】.（2025·福建漳州·一模）的展开式中，常数项为 . 【变式7-2】.（2025·河南南阳·模拟预测）的展开式中的系数为 . 【变式7-3】.（2024高三·全国·专题练习）的展开式中，的系数是 . 【变式7-4】.（23-24高二下·辽宁丹东·阶段练习）在的展开式中项的系数 ． 【考点题型八】两个二项式相乘展开系数问题 【例8】（2025·湖北·模拟预测）的展开式中的系数为 . 【变式8-1】.（24-25高二下·安徽蚌埠·阶段练习）在的展开式中，含项的系数为 ． 【变式8-2】.（2024·全国·模拟预测）的展开式中，含的项的系数为 .（用数字作答） 【变式8-3】.（2025·湖北·二模）的展开式中的系数为 . 【变式8-4】.（24-25高二·全国·课堂例题）求的展开式中的系数． 【考点题型九】二项式定理应用 【例9】（24-25高二下·上海·阶段练习）今天是星期五，小玲在参加数学考试，那么再过天后是星期（   ） A．二 B．三 C．四 D．五 【变式9-1】.（23-24高二下·陕西西安·期中）被8除所得的余数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．5 【变式9-2】.（23-24高二下·重庆·阶段练习）若能被12整除，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．10 D．11 【变式9-3】.（23-24高二下·山东枣庄·期中）若能被64整除，则正整数的最小值为 . 【考点题型十】杨辉三角形 【例10】（23-24高二下·福建泉州·期末）在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示.那么，在“杨辉三角”中，第 行会出现三个相邻的数，其比为2:3:4.    【变式10-1】.（2025高二下·全国·专题练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．在“杨辉三角”中从左往右第3斜行的数构成一个数列：，则该数列前10项的和为（ ） A．66 B．120 C．165 D．220 【变式10-2】.（2025高三·全国·专题练习）如图，在杨辉三角形中，斜线1的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前项和为，则为（    ）． A．351 B．360 C．361 D．358 【变式10-3】.（23-24高二下·山东菏泽·期中）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 行中从左至右第11与第12个数的比为1∶2． 【考点题型十一】二项式定理中的新定义题 【例11】（23-24高二下·江苏镇江·期中）（1）请在以下两个组合恒等式中选择一个证明（如果两个都选，则按第①个计分）； ①，②. （2）某同学在研究组合问题时解决了如下问题：从全班50名同学中选取8人组成班委团队，并选举1人担任班长，共有多少种不同的选举方法?一方面，可以首先从50名同学中选取8人组成班委团队，再从8人中选取1人做班长，则共有种选举方法；另一方面，也可以首先从50名同学中选取1人做班长，再在余下的49名同学中选取7人做其余的班委，则共有.所以：.据此请你提出一个较一般的结论，并证明你的结论； （3）化简：. 【变式11-1】.（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）我们曾用组合模型发现了组合恒等式：，，这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫作“算两次”，对此我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范．再如，我们还可以用这种方法，结合二项式定理得到很多排列和组合恒等式，如由等式可知，其左边的项的系数和右边的项的系数相等，得到如下恒等式为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】.（多选）（2024高三上·山东济南·专题练习）我们常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数，等于十进制的数13.把m位n进制中的最大数记为，其中，，，为十进制的数，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】.（2025·江西南昌·一模）通过抛掷骰子产生随机数列，具体产生方式为：若第次抛掷得到点数，则．记数列的前n项和为为除以4的余数． (1)若，求的概率； (2)若，比较与的大小，说明理由； (3)若，设，试确定该展开式中各项系数与事件的联系，并求的概率． 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二下·广西南宁·阶段练习）若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（   ） A． B．90 C．40 D． 2．（24-25高二下·天津宝坻·阶段练习）二项式的展开式的第4项的系数是（   ） A．8 B．35 C．280 D．60 3．（2025·四川自贡·二模）若，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．（24-25高二下·山西·阶段练习）在展开式中，含的项的系数是，则（   ） A． B． C．3 D．6 5．（2025高三·全国·专题练习）对任意实数，有.则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）已知除以13所得余数为m，除以14所得余数为n，则（   ） A．1 B． C．13 D．14 7．（2025·山东枣庄·二模）已知，则被4除的余数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 8．（2025·河北保定·模拟预测）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D．20 二、多选题 9．（2025·浙江温州·二模）已知二项展开式，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三下·河北石家庄·开学考试）已知的展开式共有7项，则（    ） A．二项式系数和为128 B．展开式的所有项的系数和为1 C．含项的系数与含项的系数和为 D．所有项的系数绝对值之和为729 三、填空题 11．（2025·湖南邵阳·二模）的展开式中，各二项式系数的和与各项系数的和之比为，则的值为 ． 12．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知均为常数，对任意的实数恒成立，则 . 四、解答题 13．（24-25高二上·北京昌平·期末）设，求： (1)； (2)； (3). 14．（24-25高二下·天津宝坻·阶段练习）完成下列问题. (1)求的展开式中的常数项； (2)求的展开式的中间项. 15．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）图1是我国数学史上的一个伟大成就——杨辉三角，利用它我们可以将展开， 如：，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为； ，它有四项，系数分别为； …… 将杨辉三角中的每一个数都换成就得到了莱布尼茨三角，如图2所示. (1)求的值； (2)记莱布尼茨三角第1行的第2个数字为，第2行的第2个数字为，第行的第2个数字为，求的值； (3)证明：莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单07 第六章  二项式定理 （2个考点梳理+11题型解读+提升训练） 清单01 二项式定理 二项展开式： 清单02 二项式系数（和） ①最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大. ②各二项式系数和： ； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 【考点题型一】二项式定理展开及其逆应用（） 【例1】（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）的值是（    ） A． B．1 C．0 D．22024 【答案】B 【知识点】二项展开式的应用 【分析】逆用二项式展开式计算求解. 【详解】 . 故选：B. 【变式1-1】.（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二项展开式的应用 【分析】利用二项式的展开式计算可得. 【详解】因为 即， 所以， 则， 即. 故选：D 【变式1-2】.（24-25高二上·甘肃白银·阶段练习）已知，若，则 ． 【答案】 【知识点】二项展开式的应用 【分析】利用二项式定理可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为， 所以，解得． 故答案为：. 【变式1-3】.（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）的值为 . 【答案】-1 【知识点】二项展开式的应用 【分析】根据二项式定理的逆运用即可求解. 【详解】, 即， 所以. 故答案为：-1. 【考点题型二】二项展开式第项（） 【例2】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）的二项展开式中各项系数之和为64，则的二项展开式中第七项为 ． 【答案】84 【知识点】求二项展开式的第k项、二项展开式各项的系数和 【分析】令结合已知列出方程求出的值，进而根据二项式定理展开式的通项公式，化简得出答案. 【详解】令结合已知，可得的二项展开式中各项系数之和为，解得， 所以，二项式即为， 其展开式的第七项为. 故答案为：84. 【变式2-1】.（24-25高二·全国·课堂例题）在的展开式中，第4项是 ． 【答案】 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】根据二项展开式的通项可得结果. 【详解】∵展开式中的通项为， ∴第4项是. 故答案为：. 【变式2-2】.（23-24高三上·广东珠海·开学考试）写出的展开式的第4项的系数： ．（用数字表示） 【答案】-160 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的系数 【分析】利用二项式定理得到通项公式，求出第4项系数. 【详解】. 故答案为： 【变式2-3】.（23-24高二下·天津·阶段练习）在二项式的展开式中，第3项的系数是 ． 【答案】240 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的系数 【分析】写出二项展开式的通项公式，求出第三项的系数. 【详解】的通项公式为， 故第三项为，故第3项的系数为240. 故答案为：240 【考点题型三】二项式系数（和） 【例3】（多选）（24-25高二下·辽宁抚顺·开学考试）若（）的展开式中第5项的二项式系数最大，则的可能取值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】ABC 【知识点】组合数方程和不等式、二项式系数的增减性和最值 【分析】根据给定条件，建立不等式，再解析组合数不等式即可. 【详解】依题意，，即，解得，而， 所以. 故选：ABC 【变式3-1】.（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）在的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的二项式系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第4项和第5项 【答案】C 【知识点】二项式的系数和 【分析】由二项式系数的和的公式求解即可. 【详解】依题意，偶数项的二项式系数之和为：，得， 则二项展开式共有9项，展开式的二项式系数最大的项就是第5项， 故选：C 【变式3-2】.（23-24高二下·重庆·期末）若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数为（    ） A．80 B． C．40 D． 【答案】B 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数 【分析】借助二项式系数和公式可得，借助二项式的展开式的通项公式计算即可得含项的系数. 【详解】由题意可得，即， 则对有， 故，即展开式中含项的系数为. 故选： B. 【变式3-3】.（23-24高二下·广东中山·阶段练习）二项式展开式前三项的二项式系数和为22. (1)求的值； (2)求展开式中各项的二项式系数和； (3)求展开式中的常数项及二项式系数最大的项. 【答案】(1)6 (2)64 (3)常数项为960，二项式系数最大的项为 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数、二项式系数的增减性和最值、由项的系数确定参数 【分析】（1）根据二项式系数即可列式子求解； （2）由二项式系数的性质可求解； （3）根据二项式展开式的通项特征，即可求解，二项式系数最大的项为中间项即可求解. 【详解】（1）展开式前三项的二项式系数和为22， 或（舍）， 故的值为6. （2）展开式中各项的二项式系数和为. （3）设展开式中常数项为第项， 即， 令，得， ， 由题可得，展开式中最大的二项式系数为， 展开式中二项式系数最大的项为第4项， 即， 综上所述：常数项为，二项式系数最大的项为. 【考点题型四】指定项系数（有理项） 【例4】（24-25高二上·江西·阶段练习）完成下列问题： (1)求的展开式中的常数项； (2)求的展开式中有理项的个数. 【答案】(1) (2) 【知识点】求指定项的系数、求有理项或其系数 【分析】（1）先求出二项展开式的通项，再令，求出的值代入即可； （2）根据二项展开式的通项，考虑未知数的指数为整数的情况，判断有理项的项数即可. 【详解】（1）的展开式的通项为，其中且， 令，得， 所以的展开式中的常数项为； （2）的展开式的通项为，其中且， 若为有理项，则为整数，所以为的倍数， 因为且，所以， 所以的展开式中有理项的个数为个. 【变式4-1】.（24-25高三下·福建泉州·阶段练习）在的展开式中，系数为整数的项数是（   ） A．8 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【知识点】求有理项或其系数 【分析】求出通项公式，得到当时，系数为整数，得到答案. 【详解】的展开式通项公式为，， 要想系数为整数，需为整数，显然当时，满足要求， 故系数为整数的项数为3. 故选：C 【变式4-2】.（23-24高二下·新疆·期中）在二项式的展开式中，有理项的项数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】求有理项或其系数 【分析】根据展开式的通项结合有理项的定义分析求解. 【详解】二项式展开式的通项公式， 由，且，，得或， 所以有理项的项数为2． 故选：B. 【变式4-3】.（多选）（23-24高二下·河南信阳·期末）展开式的有理项为（    ） A．第1项 B．第2项 C．第5项 D．第8项 【答案】BCD 【知识点】求有理项或其系数 【分析】写出展开式的通项公式，再由的指数为实数得到有理项. 【详解】展开式通项， 由，得，所以展开式的有理项为第项. 故选：BCD. 【变式4-4】.（24-25高二下·全国·课后作业）写出展开式中一个有理项的系数 ． 【答案】8（或56） 【知识点】求有理项或其系数 【分析】根据二项展开式的通项公式求指定项. 【详解】其中二项式展开式通项为， 根据有理项的概念可知可取． 故展开式中有理项的系数为，即8或56． 故答案为：8（或56） 【考点题型五】系数和 【例5】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）若，则 . 【答案】 【知识点】二项展开式各项的系数和 【分析】分别令即可得解. 【详解】令得， 令得， 所以. 故答案为： 【变式5-1】.（24-25高二上·山东东营·期末）已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【知识点】二项展开式各项的系数和 【分析】利用赋值法即可求解. 【详解】解：令，得； 令，得， 则， 故选：B 【变式5-2】.（23-24高三下·全国·自主招生）已知，则 （    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【知识点】二项展开式各项的系数和 【分析】令，代入计算，即可得到结果. 【详解】令可得. 故选：D 【变式5-3】.（24-25高二下·上海·阶段练习）设且. (1)求、的值; (2)求展开式中各项系数和； 【答案】(1)， (2) 【知识点】由项的系数确定参数、二项展开式各项的系数和、求指定项的系数 【分析】（1）根据二项式定理可得，结合题意可得，利用赋值法令即可得结果； （2）利用赋值法令即可得结果； 【详解】（1）因为展开式的通项为，可知， 又因为，解得； 所以，令，可得. （2）由（1）可知， 令，可得， 所以展开式中各项系数和. 【变式5-4】.（24-25高二上·北京大兴·期末）已知的展开式中各二项式系数的和为． (1)求的值； (2)求该展开式中所有项的系数和． 【答案】(1) (2)1 【知识点】二项展开式各项的系数和、由二项展开式各项系数和求参数 【分析】（1）根据各二项式系数的和可得的值； （2）利用赋值法可求得所有项系数和为1. 【详解】（1）由所有二项式系数的和为，可知， 可得． （2）设二项式可化为． 令，则． 所以展开式中所有项的系数和为． 【考点题型六】系数最大（小）项 【例6】（24-25高二下·浙江宁波·阶段练习）在的展开式中，求： (1)常数项； (2)含的项的系数； (3)系数的绝对值最大的项． 【答案】(1) (2) (3)． 【知识点】求指定项的系数、求系数最大（小）的项 【分析】（1）利用二项展开式的通项，对赋值计算即得常数项； （2）利用二项展开式的通项，对赋值计算记即得的项的系数； （3）先求出通项中的系数的绝对值的表达式，再利用不等式法求出系数绝对值最大时对应的值，回代入通项计算即得. 【详解】（1）的展开式的通项为：， 令，解得，可得，即常数项为． （2）令，解得，可得，即项的系数为． （3）二项展开式系数的绝对值是，由，解得， ，， 系数的绝对值最大的项为． 【变式6-1】.（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）在 的展开式中系数最大的项为 . 【答案】 【知识点】求系数最大（小）的项 【分析】根据二项式展开式的通项公式求结果. 【详解】的展开式的通项公式为, 所以系数为，其中， 当为奇数时，为负数，系数不是最大， ， 所以系数最大的项为 故答案为： 【变式6-2】.（24-25高二·全国·课堂例题）已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求系数最大的项与系数最小的项． 【答案】系数最大的项为，；系数最小的项为. 【知识点】二项式系数的增减性和最值、求系数最大（小）的项 【分析】由二项式定理写通项，根据题意建立方程求得指数，利用二项式系数的单调性，可得答案. 【详解】由，则其展开式的通项为， 由题意可得， 整理可得，解得或（舍去）， 易知系数最小项为首项，即， 令，化简可得，解得， 则第项与项的系数相同且最大， 即，． 【变式6-3】.（24-25高二上·辽宁大连·期末）在的展开式中，求： (1)含的项； (2)各项系数和（用数字作答）； (3)系数最大的项是第几项？ 【答案】(1) (2)6561 (3)第六项和第七项. 【知识点】二项展开式各项的系数和、求系数最大（小）的项、求指定项的系数 【分析】（1）利用通项公式展开，化简后，令的指数为3，求得的值，进而得到展开式中含的项； （2）借助赋值法，令即可得； （3）根据题意，由项的系数列出不等式组，求解即得. 【详解】（1）展开式中的第项， 当时，，即含的项为. （2）设， 令，可得各项系数和为. （3）设第项的系数最大，则有， 由①可得， 化简得，解得. 同理由②可得. 或时系数最大， 故系数最大项为第六项和第七项. 【变式6-4】.（23-24高二下·湖北襄阳·期末）已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240. (1)求n的值及展开式中所有含x的有理项的个数； (2)求展开式中系数最小的项． 【答案】(1)，有理项有3项； (2). 【知识点】由二项展开式各项系数和求参数、二项式的系数和、求系数最大（小）的项、求有理项或其系数 【分析】（1）先求出系数和与二项式系数和，进而建立等式求出n，然后写出二项式展开式的通项公式并化简，最后根据x的指数为整数求得答案； （2）结合（1），判断出最小项的系数为负数，进而列举出系数为负数的情况，最后求得答案.. 【详解】（1）令，则展开式中各项系数之和为，各二项式系数和为，则，解得. 二项式的展开式的通项公式为，令，且，1，2，3，4，解得，2，4，则展开式中含的有理项有3项. （2）由（，1，2，3，4）可知，只需比较，3时系数最小即可，当r=3时，，当时，故展开式中系数的最小的项为． 【考点题型七】三项展开式系数问题 【例7】（2024高三·全国·专题练习）的展开式中常数项为（    ） A． B． C．0 D．20 【答案】B 【知识点】求指定项的系数、三项展开式的系数问题 【分析】法一：，利用展开式的通项公式可求常数项. 法二：利用分步计数原理直接由的展开式计算常数项即可. 【详解】法一：由， 二项展开式的第项为， 令，可得，所以常数项为. 法二：由的展开式可知， 常数项为. 故选：B. 【变式7-1】.（2025·福建漳州·一模）的展开式中，常数项为 . 【答案】 【知识点】三项展开式的系数问题 【分析】将视为一个整体，利用二项式定理求的展开式，再结合二项式定理确定展开式中各项的展开式中的常数项，由此可得结论. 【详解】 的展开式的通项公式为，， 令可得（舍去），所以的展开式中不存在常数项， 的展开式的通项公式为，， 令可得，所以的展开式中常数项为， 的展开式的通项公式为，， 令可得，所以的展开式中不存在常数项， 的展开式的通项公式为，， 令可得，所以的展开式中的常数项为， 又的展开式中没有常数项， 所以的展开式的常数项为 故答案为: 【变式7-2】.（2025·河南南阳·模拟预测）的展开式中的系数为 . 【答案】30 【知识点】三项展开式的系数问题 【分析】先将看作一个整体，求出其展开式的通项确定的次数，再确定的次数即可求解. 【详解】由， 其展开式的通项为，，， 令，得的展开式的通项为，，， 令，得， 则的展开式中的系数为. 故答案为：30. 【变式7-3】.（2024高三·全国·专题练习）的展开式中，的系数是 . 【答案】6 【知识点】三项展开式的系数问题 【分析】利用组合方法求出通项，然后可得. 【详解】对于的展开式，依据排列组合知识， 相当于从这3个因式中选出个因式取元素， 再从剩下的个因式中选出个因式取元素， 最后再从剩下的个因式中取元素1. 根据分步乘法计数原理，可知选取的情况种数为. 所以可以得到的通项公式为： . 根据通项公式，可得的系数为. 故答案为：6 【变式7-4】.（23-24高二下·辽宁丹东·阶段练习）在的展开式中项的系数 ． 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、求指定项的系数、三项展开式的系数问题 【分析】把看成6个相乘，得到项的方法可分为三类，利用分步计数原理分别求解再合并即可得. 【详解】是6个相乘，需要依次从每个的三项中取出一项后相乘，就可得到展开式中的一项. 得到项的方法，按6个中取项的个数可分为三类： 第一类是，6个都不取项， 即6个中选5个里取，另1个里取，相乘得， 共种取法，合并同类项后即得到； 第二类是，6个中选1个里取， 其余个中选个里取，余下2个取，相乘得， 共种取法，合并同类项后即得到； 第三类是，6个中选2个里取， 其余个中选个里取，余下3个取，相乘得， 共种取法，合并同类项后即得到. 再将上述三项合并，得，因此项的系数为. 故答案为：. 【考点题型八】两个二项式相乘展开系数问题 【例8】（2025·湖北·模拟预测）的展开式中的系数为 . 【答案】 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】的展开式通项为， 因为， 在中，其通项为，令， 在中，展开式通项为，令，可得， 所以，的展开式中的系数为. 故答案为：. 【变式8-1】.（24-25高二下·安徽蚌埠·阶段练习）在的展开式中，含项的系数为 ． 【答案】 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】分别求出展开式中含和的项，进而得到得到含项的系数. 【详解】依题意，展开式中含的项是，含的项是， 因此的展开式中，含的项为， 所以所求系数为． 故答案为：. 【变式8-2】.（2024·全国·模拟预测）的展开式中，含的项的系数为 .（用数字作答） 【答案】180 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】先求二项式的展开式的通项，再由乘法法则求出的展开式中含的项即可得解. 【详解】展开式的通项公式为， 当时，含的项的系数为； 当时，含x的项的系数为， 的展开式中含的项的系数为. 故答案为：180. 【变式8-3】.（2025·湖北·二模）的展开式中的系数为 . 【答案】20 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】由二项式展开式的通项分前面括号内取1和分别求解即可. 【详解】展开式的通项是， 分别令得， 所以展开式中项为， 所以展开式中的系数为. 故答案为：20. 【变式8-4】.（24-25高二·全国·课堂例题）求的展开式中的系数． 【答案】5 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】法一，展开两式得到，直接确定的系数；法二，由， 的通项公式求解； 【详解】方法一：， 的系数为． 方法二：的通项，的通项， 的通项为（其中）， 令， 则有或或 故的系数为． 【考点题型九】二项式定理应用 【例9】（24-25高二下·上海·阶段练习）今天是星期五，小玲在参加数学考试，那么再过天后是星期（   ） A．二 B．三 C．四 D．五 【答案】A 【知识点】整除和余数问题 【分析】结合二项式定理求除以7的余数即可. 【详解】因为， 所以可以写成，的形式. 所以除以7所得的余数为4. 故天后为星期二. 故选：A 【变式9-1】.（23-24高二下·陕西西安·期中）被8除所得的余数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．5 【答案】A 【知识点】整除和余数问题 【分析】借助二项式的展开式计算即可得. 【详解】 ， 因为能被8整除， 所以被8除所得的余数为1． 故选：A. 【变式9-2】.（23-24高二下·重庆·阶段练习）若能被12整除，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．10 D．11 【答案】D 【知识点】整除和余数问题 【分析】利用二项式定理展开，然后根据整除列式计算即可. 【详解】因为 ， 又因为能被12整除， 所以能被12整除，观察选项可知可以是，其它选项均不适合. 故选：D. 【变式9-3】.（23-24高二下·山东枣庄·期中）若能被64整除，则正整数的最小值为 . 【答案】55 【知识点】整除和余数问题、二项展开式的应用 【分析】利用表达式，构造二项式定理，结合整除，求解的值即可． 【详解】 若能被64整除，则需能被64整除，所以正整数的最小值为55． 故答案为：55． 【考点题型十】杨辉三角形 【例10】（23-24高二下·福建泉州·期末）在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示.那么，在“杨辉三角”中，第 行会出现三个相邻的数，其比为2:3:4.    【答案】34 【知识点】组合数的计算、杨辉三角 【分析】由题意可知第行第个数为，连续三项，，，结合组合数运算求解即可. 【详解】由题意可知第行第个数为， 根据题意，设所求的行数为，则存在正整数，使得连续三项，，， 有且．化简得，， 联立解得，． 故第34行会出现满足条件的三个相邻的数． 故答案为：34. 【变式10-1】.（2025高二下·全国·专题练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．在“杨辉三角”中从左往右第3斜行的数构成一个数列：，则该数列前10项的和为（ ） A．66 B．120 C．165 D．220 【答案】D 【知识点】组合数的性质及应用、杨辉三角 【分析】由题意可知：前10项分别为，结合组合数的性质运算求解. 【详解】由题意可知：前10项分别为， 则 ， 所以前10项的和为220. 故选：D． 【变式10-2】.（2025高三·全国·专题练习）如图，在杨辉三角形中，斜线1的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前项和为，则为（    ）． A．351 B．360 C．361 D．358 【答案】C 【知识点】累加法求数列通项、分组（并项）法求和、求等差数列前n项和、杨辉三角 【分析】解法一：根据杨辉三角形的生成过程结合累加法求数列的通项公式，进而求和；解法二：根据杨辉三角形结合等差数列求和公式求数列的通项公式，进而求和. 【详解】解法一：根据杨辉三角形的生成过程，可知： 当为偶数时，， 当为奇数时，，，，即， 则，，， 可得， 所以； 综上所述： ； 解法二：当时，； 当时，； 综上所述： ； 故选：C. 【变式10-3】.（23-24高二下·山东菏泽·期中）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 行中从左至右第11与第12个数的比为1∶2． 【答案】32 【知识点】杨辉三角 【分析】根据“第 行中从左至右第 11 个数与第 12个数的比为 ”可以列出关于 的等式, 进而可解得正整数 的值. 【详解】第 行从左到右第 11个数为 , 第 12个数为 , 依题意得 , 即 , 解得 . 故答案为： 32 【考点题型十一】二项式定理中的新定义题 【例11】（23-24高二下·江苏镇江·期中）（1）请在以下两个组合恒等式中选择一个证明（如果两个都选，则按第①个计分）； ①，②. （2）某同学在研究组合问题时解决了如下问题：从全班50名同学中选取8人组成班委团队，并选举1人担任班长，共有多少种不同的选举方法?一方面，可以首先从50名同学中选取8人组成班委团队，再从8人中选取1人做班长，则共有种选举方法；另一方面，也可以首先从50名同学中选取1人做班长，再在余下的49名同学中选取7人做其余的班委，则共有.所以：.据此请你提出一个较一般的结论，并证明你的结论； （3）化简：. 【答案】（1）证明见解析； （2），证明见解析； （3）. 【知识点】利用组合数公式证明、组合数的性质及应用、二项式的系数和 【分析】（1）①将和的计算公式分别列出来，通分即可； ②根据二项式定理即可得到； （2）令为，为，代入即可； （3）先根据变形，再根据（2）中得到的变形即可. 【详解】（1）①证明： ； ②证明： . （2）令为，为， 由，可得. 证明：. （3） 由（2）得，即， 原式 . 【点睛】方法点睛：排列组合数相关的化简计算，主要在于将其计算式写出来，然后通过分式的性质对其进行变形. 【变式11-1】.（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）我们曾用组合模型发现了组合恒等式：，，这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫作“算两次”，对此我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范．再如，我们还可以用这种方法，结合二项式定理得到很多排列和组合恒等式，如由等式可知，其左边的项的系数和右边的项的系数相等，得到如下恒等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用排列数公式证明、利用组合数公式证明、二项展开式的应用、排列组合综合 【分析】根据新定义分别求出、展开式中求出的系数即可判断A；根据排列的概念与分类加法计数原理分别求出从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数即可判断B；根据新定义分别求出、展开式中求出的系数即可判断C；根据组合数的运算性质即可判断D. 【详解】A：在展开式中，的系数为， ， 其中的系数为， 所以，故A符合题意； B：由“算两次”的定义知， 从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数为，同时还可以分类考虑： 第一类：取出个元素不包括元素甲，则所有排列的个数为， 第二类：取出个元素包括元素甲，则先排元素甲，有m个位置， 然后从其余n个元素中抽出个元素全排列，则所有的排列个数为， 综上，从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数为， 所以，但是该等式不是由所给二项式得到，故B不符合题意； C：对于，由“算两次”的定义知， 展开式中，的系数为， ， 其中的系数为， 所以，故C不符合题意； D：由组合数的运算性质知， ， 当时，；当时，，故D不符合题意. 故选：A 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是排列与组合、二项式的相关知识. 【变式11-2】.（多选）（2024高三上·山东济南·专题练习）我们常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数，等于十进制的数13.把m位n进制中的最大数记为，其中，，，为十进制的数，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求等比数列前n项和、二项展开式的应用、不同进制数的互化 【分析】根据给定条件，求出的表达式，再结合等比数列前n项和公式，逐项计算判断即可. 【详解】对于A，， ，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，当时，， 当且仅当时取等号，当时，， 当时， ，C正确； 对于D， ， ， 函数，求导得，则在上单调递减， 当时，，则，即， 因此，即，则； 当时，,D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题D选项求解的关键在于结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，进而比较出大小. 【变式11-3】.（2025·江西南昌·一模）通过抛掷骰子产生随机数列，具体产生方式为：若第次抛掷得到点数，则．记数列的前n项和为为除以4的余数． (1)若，求的概率； (2)若，比较与的大小，说明理由； (3)若，设，试确定该展开式中各项系数与事件的联系，并求的概率． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)答案见解析， 【知识点】二项展开式各项的系数和、独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式计算； （2）应用独立事件概率乘积公式及互斥事件和概率公式计算； （3）结合二项式系数和计算求出概率. 【详解】（1）因为， 所以； （2）的情形有：， 因此，， 的情形有：， 因此，， 所以； （3）， 事件表示20个式子相乘后得到的组合方式的数量， ，其中， 令，得到， 令，得到， 因此，， 令，得到， 又因为， 所以， 因此，， 所以，． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对二项式展开式的应用. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二下·广西南宁·阶段练习）若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（   ） A． B．90 C．40 D． 【答案】A 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数 【分析】先由二项式系数和求出，再由展开式公式写出二项式的展开式通项，然后得到结果. 【详解】由题意可知：，∴， 则二项式的展开式通项， 令，即时，， 即展开式的常数项为20. 故选：A. 2．（24-25高二下·天津宝坻·阶段练习）二项式的展开式的第4项的系数是（   ） A．8 B．35 C．280 D．60 【答案】C 【知识点】求指定项的系数 【分析】利用二项式定理的通项公式求解. 【详解】通项为，则， 则第4项的系数是. 故选：C. 3．（2025·四川自贡·二模）若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【知识点】二项展开式各项的系数和 【分析】根据赋值法，分别令，求解可得. 【详解】由， 令，得， 令，得， . 故选：D. 4．（24-25高二下·山西·阶段练习）在展开式中，含的项的系数是，则（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】D 【知识点】由项的系数确定参数 【分析】由题意可知展开式中含的项，再结合含的项的系数是即可求出. 【详解】由题可得含的项为， 所以，解得． 故选：D． 5．（2025高三·全国·专题练习）对任意实数，有.则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和 【分析】易得，即可求出即可判断A；令即可判断B；令即可判断C；令即可判断D. 【详解】对任意实数x有 ， 所以，故A正确； 令，可得，故B不正确； 令，可得，故C正确； 令，可得，故D正确． 故选：B． 6．（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）已知除以13所得余数为m，除以14所得余数为n，则（   ） A．1 B． C．13 D．14 【答案】C 【知识点】整除和余数问题 【分析】由，，结合二项式定理即可求解. 【详解】因为， 所以除以13所得余数为1，则； 因为， 所以除以14所得余数为13，则，因此． 故选：C 7．（2025·山东枣庄·二模）已知，则被4除的余数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【知识点】整除和余数问题、二项展开式各项的系数和 【分析】分别赋值以及，可推得，然后将展开即可得出答案. 【详解】令，由已知可得，， 令，可得， 所以. 因为 ， 所以被4除的余数为1，即被4除的余数为0， 故选：D. 8．（2025·河北保定·模拟预测）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D．20 【答案】B 【知识点】三项展开式的系数问题、求指定项的系数 【分析】根据二项式定理展开式计算即可. 【详解】先求展开式中含，的项， 易知，显然其不含， 含的项分别为：，， 所以在的展开式中， 的系数为. 故选：B. 二、多选题 9．（2025·浙江温州·二模）已知二项展开式，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和、求指定项的系数 【分析】令即可判断A；令即可判断B；根据二项式展开式的通项公式计算即可判断C；令即可判断D. 【详解】A项：令，则，故A正确； B项：令，则①， 所以，故B错误； C项：，所以， ，所以，所以，故C正确； D项：令，则②， ①+②可得：，故D正确． 故选：ACD 10．（24-25高三下·河北石家庄·开学考试）已知的展开式共有7项，则（    ） A．二项式系数和为128 B．展开式的所有项的系数和为1 C．含项的系数与含项的系数和为 D．所有项的系数绝对值之和为729 【答案】BCD 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和 【分析】由二项式定理的性质，求出展开式的通项公式赋值逐项判断即可. 【详解】因为的展开式共有7项，所以， 对于A选项，二项式系数和为，所以A错误； 对于B选项，令，可得的展开式中所有项的系数和为，所以B正确； 对于C选项，因为展开式的通项公式为， 令，得，其系数为， 又令，得，其系数为， 所以这两项的系数和为，所以C正确； 对于D选项，由C得的系数正负交错排列， 所以令，得，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题 11．（2025·湖南邵阳·二模）的展开式中，各二项式系数的和与各项系数的和之比为，则的值为 ． 【答案】7 【知识点】二项式的系数和、二项展开式各项的系数和 【分析】首先根据各二项式系数的和为，再令，可得其展开式中各项系数的和，结合题意求解即可. 【详解】根据题意，的展开式中，各二项式系数的和为， 再令，可得其展开式中各项系数的和为， 依据题意有，解得. 故答案为：7. 12．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知均为常数，对任意的实数恒成立，则 . 【答案】20 【知识点】求指定项的系数 【分析】把问题转化为二项展开式的指定项的系数求解. 【详解】 即， 所以. 所以即为展开式中的的系数. 所以. 故答案为： 四、解答题 13．（24-25高二上·北京昌平·期末）设，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)0 (2) (3)729 【知识点】二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和、二项展开式的应用 【分析】（1）（2）（3）根据给定的展开式，利用赋值法计算得解. 【详解】（1）在展开式中，令，得：， 令，得：， 所以. （2）令，得：， 由（1）知，， 两式相加得：， 所以. （3）令，得：. 14．（24-25高二下·天津宝坻·阶段练习）完成下列问题. (1)求的展开式中的常数项； (2)求的展开式的中间项. 【答案】(1) (2) 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】（1）根据条件，利用的展开式的通项公式，即可求解； （2）根据条件，利用二项式展开式的通项公式，即可求解. 【详解】（1）的展开式的通项为：， 其中且，令，得， 所以的展开式中的常数项为. （2）的展开式有项，中间项为第4项，则， . 15．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）图1是我国数学史上的一个伟大成就——杨辉三角，利用它我们可以将展开， 如：，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为； ，它有四项，系数分别为； …… 将杨辉三角中的每一个数都换成就得到了莱布尼茨三角，如图2所示. (1)求的值； (2)记莱布尼茨三角第1行的第2个数字为，第2行的第2个数字为，第行的第2个数字为，求的值； (3)证明：莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和. 【答案】(1)219 (2) (3)证明见解析 【知识点】组合数的计算、组合数的性质及应用、裂项相消法求和、杨辉三角 【分析】（1）由组合数的性质可得； （2）由莱布尼茨三角的性质结合裂项相消法可求； （3）由莱布尼茨三角结合组合数的性质可证明； 【详解】（1） （2） . （3）即证明，， . 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$