专题02 第四章 数列求通项与求和（6考点清单，知识导图+15个题型解读&提升训练）-2024-2025学年高二数学下学期期中考点大串讲（人教A版2019）

清单02 第四章 数列求通项与求和 （6个考点梳理+15题型解读+提升训练） 清单01 累加法 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 清单02 累乘法 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 清单03 数列求通项（法） 对于数列，前项和记为； ①；② 1- ②： 法归类 角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例子：已知，求 角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题目中的 例子：已知； 已知 角度3：已知等式中左侧含有： 作差法（类似） 例子：已知求 清单04 构造法 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. 清单05 倒数法 用“倒数变换法”构造等差数列 类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.） 清单06 裂项相消法 1、等差型 ① 特别注意 ② 如：（尤其要注意不能丢前边的） 2、无理型 ① 如： 3、指数型 ① 如： 【考点题型一】累加法求通项（） 【例1】（云南省2025届高中毕业生第一次复习统一模拟检测数学试题卷（六））已知数列的前项和满足，若数列满足，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】累加法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据条件，利用与间的关系，得到，从而有，再利用累加法，即可求解. 【详解】因为，当时，， 两式相减得到，即， 又，得到，所以数列是以，的等比数列， 所以，则， 当时，， 所以，又时，满足， 故选：A. 【变式1-1】.（2025高三下·全国·专题练习）已知数列满足，则数列的前2024项的和为 ． 【答案】 【知识点】累加法求数列通项、裂项相消法求和 【分析】根据递推公式，利用累加法可得数列的通项，进而可得数列的通项，再利用裂项相消，可得答案. 【详解】由题意可知，满足，当时，， ，， 以上各式累加得， ， 当时，，也满足上式，，则． 数列的前项和为，． 故答案为：. 【变式1-2】.（2025高三·全国·专题练习）在数列中，，求的通项公式． 【答案】. 【知识点】累加法求数列通项、求等比数列前n项和 【分析】由递推关系，用累加法可求得通项，解题时注意检验首项是否符合通项公式． 【详解】当时，； 当时，，，…，将这个等式累加， 得，故， 因为也满足， 所以． 【考点题型二】累乘法求通项（） 【例2】（2025·四川德阳·二模）数列中，满足，，则 ． 【答案】/ 【知识点】裂项相消法求和、累乘法求数列通项 【分析】先利用“累乘法”求数列的通项公式，再利用“裂项求和法”求和. 【详解】因为，所以. 所以，，，…，（）. 各式相乘，可得：， 显然满足上式，则， 所以数列的前项和为， 所以. 故答案为：. 【变式2-1】.（2025·福建厦门·二模）已知数列满足，，则的前6项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】裂项相消法求和、累乘法求数列通项 【分析】首先，利用递推求出的通项公式，再根据裂项相消法即可求出结果. 【详解】由， 当时， ， 显然，对于时也成立， 所以， 则的前6项和为. 故选：C. 【变式2-2】.（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）在数列中，，（），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】裂项相消法求和、累乘法求数列通项 【分析】结合递推关系，利用累乘法求数列的通项公式，再利用裂项相消法求结论. 【详解】因为（，）， 所以当，时，， 则，…，，， 以上个式子左右两边分别相乘得， 即，所以（，）， 又，所以， 所以. 故选：A. 【考点题型三】已知与的关系；或与的关系（） 【例3】（24-25高二下·云南·开学考试）已知正项数列的前项和为，且满足. (1)证明：为等差数列. (2)求的值和的通项公式. 【答案】(1)证明过程见解析； (2)，； 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、错位相减法求和、利用定义求等差数列通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据时，得到，证明出为等差数列； （2）利用等差数列性质及得到，结合求出，并得到通项公式； 【详解】（1）①， 当时，②， 式子①-②得， 故，故， 为正项数列，故，所以， 即，为公差为2的等差数列； （2）由（1）知，为公差为2的等差数列， ，故， 中，令得， 即， 将代入上式得，解得， 的通项公式为； 【变式3-1】.（河南省洛阳市创新发展联盟2024-2025学年高二下学期第一次月考（3月）数学试题）设数列满足. (1)求的通项公式. 【答案】(1) 【分析】（1）应用计算求解通项公式； 【详解】（1）当时，，得. 当时，由， 得， 两式相减，得， 得， 当时，满足， 所以数列的通项公式为. 【变式3-2】.（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）已知正项数列的前项和为， (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、特殊角的三角函数值 【分析】（1）由的关系，作差即可求解； 【详解】（1）由， 得当时，． 两式相减得， 整理得， ∴． 当时，，解得． ∴是以7为首项，4为公差的等差数列， ∴． 【变式3-3】.（2025·福建·模拟预测）数列的前项和为，已知且． (1)求的通项公式； 【答案】(1)； 【知识点】确定数列中的最大（小）项、利用an与sn关系求通项或项、判断数列的增减性、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）利用即可求解； 【详解】（1）∵①， ∴②， ①②得：，， ①中令n＝2，则，∴， 为首项为1，公比为2的等比数列， ∴. 【考点题型四】已知等式中左侧含有：（） 【例4】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知数列满足，若，则数列的前15项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据的关系求出，然后使用裂项相消法可得. 【详解】①， 当时，， 当时，②， ①-②得，所以， 显然也满足上式，所以， 所以， 记数列的前项和为， 则. 故选：A 【变式4-1】.（24-25高二上·安徽合肥·期末）数列满足：，若，则数列的前10项的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用数列的前项和与通项的关系求出通项，再化简的通项，利用裂项相消法即可求得其前10项的和. 【详解】由，当时，； 当时，， 两式相减可得，即（）， 经检验，当时，上式符合，故， 所以， 所以. 故选：C. 【变式4-2】.（24-25高三上·广东·阶段练习）已知数列满足，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用时，得到，代入，求出答案. 【详解】由题意可得①， 所以时，②， ①-②得，所以，所以. 故选：B. 【考点题型五】数列求通项之构造法（形如）（） 【例5】（多选）（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知数列满足则（    ） A． B．是等比数列 C． D．是等比数列 【答案】ACD 【知识点】构造法求数列通项、写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列 【分析】通过构造法求数列的通项公式可得选项C正确；根据通项公式可得选项A正确；求出数列的前3项可得选项B错误；通过定义法证明等比数列可得选项D正确. 【详解】由得则数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，从而，C正确. 由得，A正确. 由得， 故数列不是等比数列，B错误. 由得， 故数列是以3为首项，2为公比的等比数列，D正确. 故选：ACD. 【变式5-1】.（24-25高二下·河北保定·开学考试）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】构造法求数列通项、由定义判定等比数列 【分析】由，得到，再利用等比数列的定义求解. 【详解】因为，所以． 因为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以，所以， 故． 故选：C 【变式5-2】.（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）已知数列中，，，则 ． 【答案】 【知识点】构造法求数列通项 【分析】由递推公式构造，通过等比数列通项公式即可求解； 【详解】由， 可得：， 所以是首项为，公比为3的等比数列， 所以， 所以， 故答案为： 【考点题型六】数列求通项之构造法（形如）（） 【例6】（24-25高三上·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【知识点】构造法求数列通项、写出等比数列的通项公式 【分析】由得，构造等比数列即可求解. 【详解】由，，，可得， 所以是以3为首项、3为公比的等比数列，所以， 则，； 故答案为：. 【变式6-1】.（24-25高二上·江苏镇江·开学考试）数列满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、构造法求数列通项、由递推关系式求通项公式 【分析】利用数列的递推关系求数列的通项公式，将，经化简可知新的数列是等差数列，在变形可求得. 【详解】由题意知将等式两边同时除以， 可得，因为，所以可知， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 故答案为： 【变式6-2】.（2024高三·全国·专题练习）在数列中，已知，，求的通项公式． 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项 【分析】通过凑配法证得是等比数列，进而求的通项公式. 【详解】由，得， 整理得， 所以是首项为，公比为的等比数列． 故，则． 【考点题型七】数列求通项之倒数法（形如）（） 【例7】（24-25高二上·福建福州·期末）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项 【分析】由递推关系证明数列是等比数列从而得，代入即可求解. 【详解】易知，从而由题意，即， 也就是数列是以为首项，为公比的等比数列， 从而，所以，解得. 故选：A. 【变式7-1】.（23-24高三上·山东青岛·期末）设数列的前n项和为，已知，，若，则正整数k的值为（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【知识点】求等比数列前n项和、构造法求数列通项、等比数列的定义 【分析】由题设有，等比数列定义求通项公式，进而有求，再由及放缩法确定范围求参数值. 【详解】，又， 所以是首项为1，公比为的等比数列， 所以， 故，令 由且，则， 由，则， 则，所以， 故，则正整数的值为2023. 故选：C 【变式7-2】.（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，且． (1)求的通项公式； 【答案】(1) 【知识点】构造法求数列通项、求等差数列前n项和、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和 【分析】（1）首先取倒数，然后构造等比数列，利用等比数列通项公式求解即可； 【详解】（1）因为，所以， 故，又，则， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，解得， 所以数列的通项公式为； 【考点题型八】数列求和之倒序相加法（） 【例8】（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知函数，数列满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】倒序相加法求和 【分析】根据，利用倒序相加法求出的通项公式； 【详解】函数对任意都有， 数列满足① 又② ①②得：， 得. 故选：B. 【变式8-1】.（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】倒序相加法求和 【分析】利用倒序相加法，可得答案. 【详解】，， 故选：B. 【变式8-2】.（2025高三下·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且，设函数，则 ． 【答案】/ 【知识点】倒序相加法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】先根据题干递推式求得，然后根据作差即可求得，再结合诱导公式化简得，最后利用倒序相加法求和即可. 【详解】，① 当时，，② ①-②得； 当时，，此时仍然成立，． 当时，； 当时，， 当时，上式也成立，故． 由于， 设 ， 则， ． 故答案为： 【考点题型九】数列求和之分组求和法（形如）（） 【例9】（24-25高二下·广西桂林·阶段练习）已知等差数列和等比数列都是递增数列，且，，. (1)求，的通项公式： (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【知识点】求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、写出等比数列的通项公式、分组（并项）法求和 【分析】（1）由题中条件求出公差公比，即可求，通项公式 （2）分别利用等差等比数列前项和公式求和即可. 【详解】（1）设数列和数列的公差公比分别为d，q， ， 等比数列是递增数列， . ， ， ， ， 所以等差数列的通项公式为：， 等比数列的通项公式为：. （2）为等比数列， 数列也是等比数列，公比为 数列的前项和 . 【变式9-1】.（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列是公比为2的等比数列，且，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、等比中项的应用、求等比数列前n项和 【分析】（1）设公差为d，根据等差数列的前n项和公式与等比中项公式列出关于和d的方程，求解即可得的通项公式； （2）由（1）可得等比数列的第三项，进而得，从而得到的通项公式，利用等差和等比数列前n项和公式分组求和即可求出. 【详解】（1）因为为等差数列，设公差为d， 由，得，① 由，，成等比数列得， 则，② 联立①②解得或，又因为，则， 所以． 综上． （2）由知，， 又为公比是2的等比数列，， 所以，即， 所以，， 所以 . 综上. 【变式9-2】.（24-25高二下·湖南·开学考试）已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)设数列满足，求的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由，的关系作差即可判断； （2）由（1）求得，再由等差数列、等比数列的求和公式即可求解； 【详解】（1）当时，，即， 当时，联立 ①－②，可得， 即， 所以， 又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列； （2）由（1）可得，则，， 所以 ． 【变式9-3】.（2025·内蒙古赤峰·一模）已知数列中，. (1)若依次成等差数列，求； (2)若，证明数列为等比数列，并求数列的前项和. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【知识点】由递推关系证明等比数列、分组（并项）法求和、利用等差数列的性质计算、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）利用递推公式，由首项表示第二、三项，结合等差数列的性质，建立方程，可得答案； （2）根据等比数列的定义，结合首项，可写出通项，利用等比数列求和以及分组求和，可得答案. 【详解】（1）， 又依次成等差数列，所以， 即，解得. （2）证明：因为， 且，所以是首项为1，公比为2的等比数列， 可得，则， . 【考点题型十】数列求和之分组求和法（形如）（） 【例10】（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式; (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1). (2). 【知识点】分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项、求等差数列前n项和、裂项相消法求和 【分析】（1）根据与的关系式，可构造出与的关系等式，结合裂项相消法可求出的通项公式，注意的取值，要验证前两项满足所求通项； （2）先讨论为偶数的情况，发现相邻项之和是等差数列，合并求和即可，再据此计算为奇数时的前项和. 【详解】（1）由题意，当时，，即，所以. 当时，， 所以， 即，， 累加可得 则， 又满足该式，故. （2）由题意，， 当为偶数时，即有，， 则； 当为奇数时，则为偶数，. 综上，. 【变式10-1】.（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）设是等差数列，是等比数列，公比大于．已知． (1)求和的通项公式； (2)设数列满足，若，求． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】错位相减法求和、分组（并项）法求和、等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）设数列的公差为，数列的公比为，由条件结合等差数列通项公式和等比数列通项公式列方程求，由此可得结论； （2）由（1）确定，  由分组求和法可得，再结合等差数列求和公式和错位相减法求结论. 【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为，则， 因为， 所以，， 所以，， 所以，， （2）由（1）， 又 所以 设，， 则， 由可得， ， 所以， ， 所以， 所以. 【变式10-2】.（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知正项数列的前n项和为，且满足． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由已知可求得，进而利用的关系可求通项公式； （2）分n为偶数或n为奇数两种情况，利用并项求和法可求. 【详解】（1）因为，所以，即， 又，所以，所以，即， 当时，， 当时，也适合上式，所以． （2）由（1）知，则， 当n为偶数时，， 当n为奇数时，为偶数，， 所以. 【变式10-3】.（2025高三下·全国·专题练习）已知数列的前n项和．设，求数列的前n项和． 【答案】 【知识点】分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项、求等比数列前n项和 【分析】根据的关系可得，即可利用分组求和,结合等比数列的求和公式求解. 【详解】由可得时， 作差可得， 当时也符合， 故， 则． 当n为偶数时，； 当n为奇数时，． 【变式10-4】（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知首项为的数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】分组（并项）法求和、构造法求数列通项、求等比数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）分析可知数列是以首项为，公比为3的等比数列，即可得，即求数列的通项公式； （2）整理可得，利用分组求和结合等比数列求和公式运算求解. 【详解】（1）因为，可得， 且， 可知数列是以首项为，公比为3的等比数列， 则，可得， 当时，， 且符合上式，所以. （2）由（1）可知：， 可得 ， 所以. 【考点题型十一】数列求和之列项相消法（形如）（） 【例11】（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）已知数列，______．在①数列的前项和为，；②数列的前项之积为这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选______”） (1)求数列的通项公式； (2)令，设数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)选择见详解， (2)证明见详解 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】(1)选①，利用进行求解，选②，利用进行求解； (2)利用裂项相消法即可求出，进而判断范围. 【详解】（1）选①：， 当时，， ，即， 又时，得，则， 故数列是以2为首项，2为公比的等比数列，； 选②：， 时， ，， 又时，，满足上式， ； （2）由(1)知，，， 设，则，则， 又， ，                                                  综上：. 【变式11-1】.（2025高二·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，点均在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由题意易得，再根据与的关系求解即可； （2）先根据裂项相消法求出，进而得到，进而求解即可. 【详解】（1）因为点均在函数的图象上， 所以． 当时，； 当时，． 当时，，也符合，所以． （2）由（1）知，， 所以，所以． 又因为对所有都成立，所以，故． 【变式11-2】.（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知为数列的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）利用的关系式探究数列的特性，再求出其通项公式. （2）利用裂项求和法求得，进而证得不等式成立. 【详解】（1）数列中，由，得， 两式相减得，而，则， 又，，因此，数列是首项为2，公差为1的等差数列 所以的通项公式. （2）由（1）知，， 所以 . 【变式11-3】.（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，且. (1)求出的值，猜想数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，且，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、裂项相消法求和、由递推关系式求通项公式、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据数列的递推公式，求出，猜想出数列的通项公式. （2）由（1）知，利用等差数列前n项和公式得出数列的前n项和为，进而求出，再利用裂项相消法与分组求和法求出数列的前n项和即可. 【详解】（1）由已知得，当时，， 又，代入上式，得，解得， 当时，， ∵，∴，解得， 猜想. （2）由(1)可知，经检验符合题意， 所以数列是以，公差为的等差数列，则 ， ，则 所以 所以数列的前n项和为. 【考点题型十二】数列求和之列项相消法（形如）（） 【例12】（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知为等差数列，前项和为，是首项为且公比大于的等比数列，，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足：，且数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、数列不等式恒成立问题、等比数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】（1）设的公差为，的公比为，则，根据题意求出、的值，结合等差数列、等比数列的通项公式可求出这两个数列的通项公式； （2）利用裂项相消法求出，结合数列的单调性和最值可证得结论成立. 【详解】（1）设的公差为，的公比为，则， 因为，，可得，解得， 故数列的通项公式为， 因为，， 即，解得 故数列的通项公式为. （2）由题得：， 所以，， 因为，故数列单调递增， 所以，，且， 因此，对任意的，. 【变式12-1】.（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知为数列的前n项和，，且且. (1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式; (2)若，记为数列的前n项和，求证：. 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【知识点】由递推关系证明等比数列、利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和 【分析】（1）当时，可得，进而两式相减，可得，进而可得是等比数列，可求通项公式； （2）利用裂项相消法可求得，进而可证结论. 【详解】（1）当时，；当时，； 当时，，可得， 两式相减并整理得，所以. 又，所以，又，满足上式， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以； （2）由（1）知=， 所以 . 因为，所以递增，所以，即. 【变式12-2】.（24-25高二下·黑龙江大庆·开学考试）设是等比数列的公比大于0，其前n项和为，是等差数列，已知，，，. (1)求，的通项公式 (2)设，数列的前n项和为，求并证明. 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【知识点】裂项相消法求和、数列不等式恒成立问题、等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）利用等差和等比数列的通项公式基本量运算求解即得； （2）利用裂项相消法求和，并利用数列的单调性证明不等式. 【详解】（1）设的公比，因为，所以， 即，解得或（舍）， 所以. 设的公差为d，因为，， 所以，， 所以， 解得， 所以． （2）， 所以 ， 因为n为正整数，所以，所以， 又因为数列单调递减，所以单调递增， 所以，所以. 【变式12-3】.（24-25高二上·浙江舟山·期末）数列满足：． (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）根据的关系，即可作差求解， （2）利用裂项相消法求解，根据单调性可得，进而根据求解即可. 【详解】（1）令 又① ② 由①②得到 即：， 经检验，也成立，故数列的通项公式 （2） 因为是单调递增数列，且 若恒成立，则，解得或， 实数的取值范围为或． 【考点题型十三】数列求和之错位相减法（） 【例13】（安徽省皖北县中联盟2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题（A卷））已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【知识点】由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、分组（并项）法求和 【分析】（1）利用题中条件整理可得即可得等比数列，再用等比数列的通项公式即可； （2）运用分组求和法与错位相减法求和. 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以. 因为，所以， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以，即. （2）因为， 所以. 其中. 令， ， 两式相减，得. 所以， 所以. 【变式13-1】.（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据题意，由与的关系代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由错位相减法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由 ，得， 两式相减，得：， ， 即，， ， . （2）      ① ② ①②，得： 【变式13-2】.（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）已知数列满足， (1)请证明是等比数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列前项的和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【知识点】由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）根据条件得到，利用等比数列的定义即可求解，再由等比数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）得，再由错位相减法，即可求解. 【详解】（1）因为，则， 又，因此是以为首项，为公比的等比数列， 由，得到． （2）由（1）知，， 所以①， 则②， 由①②得到， 所以， 故． 【变式13-3】.（2025届贵州省黔东南苗族侗族自治州高三模拟统测数学试题）已知数列满足，且．设． (1)求； (2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和． 【答案】(1)4 (2)证明见解析， (3) 【知识点】由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、根据数列递推公式写出数列的项、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据题设代值计算即可； （2）根据递推关系易得，进而得到，进而结合等比数列的定义求解即可； （3）由（2）可得，进而结合分组求和及错位相减法求和即可. 【详解】（1）由，， 取，则有，解得. （2）由，， 则 ， 所以，则得， 又， 故数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 则有，则. （3）由（2）知，， 则， 所以， 设， 则， 则， 则， 所以. 【考点题型十四】数列求和之通项含绝对值求和（） 【例14】（24-25高二下·山东日照·阶段练习）等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和 (3)求数列的前16项的和. 【答案】(1) (2) (3)160 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和、含绝对值的等差数列前n项和 【分析】（1）利用等差数列的基本量，结合已知条件，求得的首项和公差，即可求出通项公式， （2）把（1）的结论代入等差数列的求和公式求解即可； （3）判断的正负，脱去绝对值，再求数列的和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由题可得：， 解得， （2）由（1）知，， 所以， （3）由， 所以均为负数，且从开始，后面每一项均为正数， 【变式14-1】.（24-25高二上·湖北武汉·期末）设是公差不为零的等差数列，，. (1)求和； (2)求的前项和. 【答案】(1)，. (2) 【知识点】求等差数列前n项和、含绝对值的等差数列前n项和、利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）根据可得，结合列方程组可求得，由此可得和. （2）讨论和可得数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， ∵，∴，即， 由等差数列的性质得，， 由得，，即，   由得，， 联立方程可得，，    ∴，. （2）由得，时，，时，. 当时，，     当时，， ∴. 【变式14-2】.（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列、的各项均不为零，若是单调递增数列，且，，，. (1)求及数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)，； (2) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、含绝对值的等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】（1）变形得到，故为等差数列，利用求出，根据，其中，，得到，求出公差，得到通项公式； （2），设的前项和为，分和，两种情况，得到的前项和. 【详解】（1），， 故，即， 的各项均不为零，故， 所以为等差数列，且公差大于0， 中，令得， 又，故， 中，令得， 其中，，故， 即，解得或0（舍去）， 故； （2）， 故当时，，当时，， 设的前项和为， 当时，， 当时，， 综上，. 【变式14-3】.（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且和满足：， (1)求证：数列是等差数列； (2)设，记，求和的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)，. 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、含绝对值的等差数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据递推式及的关系得，结合等差数列的定义证明结论； （2）根据（1）得，易知时，时，结合等差数列的前项和及分组求和求和. 【详解】（1）当时，，解得， 因为①，所以②， ①②得， 所以，化简得， 因为，所以， 所以以1为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）知，则，令，得， 即时，时，则， . 【考点题型十五】数列中新定义题（） 【例15】（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）对于数列，若存在常数满足，则称为“上界数列”，为的“上界”，并把最小的值叫做“上界临界值”，记为．记数列的前项和为，已知，． (1)判断是否为“上界数列”，并说明理由； (2)若，为数列的前项和，求数列的“上界临界值”； (3)若，数列的“上界临界值”为，证明：． 【答案】(1)不是“上界数列”，理由见解析； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】数列新定义、数列不等式恒成立问题、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用的关系先求通项，再根据新定义确定即可； （2）利用裂项相消法求和得，再利用数列的单调性结合新定义计算即可； （3）利用放缩法将，结合等比数列求和公式得，根据新定义证明即可. 【详解】（1）当时，，作差得， 因为，所以， 又当时，，所以， 即是以1为首项，1为公差的等差数列，， 由于数列是无限递增的，显然不存在常数满足， 所以不是“上界数列”； （2）由上可知， 所以， 因为，所以单调递增，且， 所以， 所以数列的“上界临界值”； （3）易知， 所以， 显然单调递增，且，n越大，该数值越接近0，故， 由于上述不等式取不得等号，所以数列的“上界临界值”. 【点睛】思路点睛：准确理解新定义的概念，利用等比数列的求和公式、错位相减法或裂项相消法，证明数列不等式常用到放缩法，注意精度即可. 【变式15-1】.（24-25高三下·天津·开学考试）若数列满足，且存在正整数，使得为奇数时，；为偶数时，，称为阶跳跃数列，记． (1)若数列为阶跳跃数列，且对任意，求最小时的最大值及此时数列的前2025项的和； (2)已知为正整数，数列为阶跳跃数列． ①求的所有不同值的和． ②对任意，令，求证：． 【答案】(1)的最大值为7，8098 (2)①；②证明见解析 【知识点】裂项相消法求和、分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、数列新定义 【分析】（1）由题意，利用列举法，正整数由小到大逐步检验，根据符合题意的数列存在周期性，可得答案； （2）利用列举法与观察法可得数列的不同取值，表示出，利用等比数列求和公式，由表示出数列的通项，利用裂项相消求和，可得答案. 【详解】（1）因为数列为跳跃数列，且，若， 与对任意矛盾； 若，则， 与对任意矛盾； 若，则， 满足对任意，此时的最大值为， 所以的最小值为3，且时的最大值为7． 由，则数列的周期是6， 数列的前2025项的和为. （2）当时，数列为阶跳跃数列，则，，； 当时，数列为阶跳跃数列，则，，，； 当时，数列为阶跳跃数列，则，，，，； 所以数列中项的可能取值为， 的所有不同的值为：， 所以的所有不同值的和为 ， 因为 ， 所以 所以 【变式15-2】.（24-25高三下·河南信阳·开学考试）已知为不小于3的整数，数列和为两个不同的数列．若和满足，，，且，则称和关于相伴． (1)若，写出一组，，，使得和关于3相伴； (2)是否存在和关于相伴，且关于相伴？并说明理由； (3)证明：若和关于相伴，则存在正整数，使得对任意，． 【答案】(1)，，（答案不唯一） (2)不存在，理由见解析 (3)证明见解析 【知识点】数列新定义 【分析】（1）根据题意可得，进而结合新定义可得，写出满足要求的答案即可； （2）先假设存在，进而推导出矛盾，即可求证； （3）结合新定义求证即可. 【详解】（1）由，则，，， 则，要使和关于3相伴，则， 则，，（答案不唯一）. （2）不存在，理由如下： 假设存在和关于相伴，且关于相伴， 则，，，，， 且，． 故，，，． 又，，故．   同理有，，这与和为两个不同的数列矛盾，所以假设不成立． 故不存在和关于相伴，且关于相伴. （3）证明：设，，集合． 记，，， 则，， 故．   所以当时，对任意，， 即，，，，   又 ， ，，，， 故对上述的，存在，使得对任意，．   对任意，设，其中，且， 因为，，，且， 故对任意． 【点睛】方法点睛：与新定义有关的问题的求解策略： 1.通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 【变式15-3】.（24-25高三下·广东广州·阶段练习）定义：，，已知数列满足． (1)若，，求，的值； (2)若，，使得恒成立．探究：是否存在正整数，使得，若存在请求出所有的，若不存在请说明理由； (3)若数列为正项数列，且集合的元素个数为有限个，证明：不存在实数，使得． 【答案】(1)，或 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【知识点】数列新定义、由递推数列研究数列的有关性质、数列不等式恒成立问题、数列不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）由递推关系可得，利用条件和递推关系可求，再根据，结合递推关系求； （2）由条件结合递推关系可得或 ， 分，，且，，且三种情况讨论求； （3）结合定义证明，分讨论，确定数列的单调性，利用放缩法证明结论. 【详解】（1）依题意，，显然； 故； ， 即或，则或 （2），            对恒成立， ∴，， 又 ， 此即表明或 ， ①若，则且， 的集合为 ②若，且 时， 当 ， 且时，. 的集合为 且 ③时， ， ， ， 当， 且 时， . 的集合为 且 （3），； 由， ①若，则，， 所以， 对任意，取（[x]表示不超过的最大整数）， 当时，； ②若，设，， 所以当时，， 对任意，取（[x]表示不超过的最大整数）， 当时，； 故不存在实数，使得． 【点睛】关键点点睛：本题第三问解决的关键在于结合定义先证明，再分别在条件下，结合数列的单调性，化简数列的递推关系. 提升训练 一、单选题 1．（2025·山东临沂·一模）设数列的前项和为，且，则满足时，的最小值为（    ） A．49 B．50 C．99 D．100 【答案】D 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据的关系求出的表达式，进一步解不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 当时，，所以， 即，此时 ，也满足该式， 故， 若，解得，故所求为100. 故选：D. 2．（24-25高二下·全国·随堂练习）已知为数列的前项和，且（），则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据与的关系求解即可. 【详解】因为，又， 所以. 故选：D. 3．（2025·四川·模拟预测）已知数列中，，（，且），则通项公式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】累加法求数列通项、求等差数列前n项和 【分析】根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前n项和公式求出通项公式. 【详解】当时，，即，而， 所以 ，满足上式， 所以所求通项公式为. 故选：C 4．（24-25高二下·湖北随州·阶段练习）已知，设数列的前项和为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】裂项相消法求和 【分析】由裂项相消求和法求和即可； 【详解】因为， 所以. 故选：B. 5．（24-25高二上·广西河池·期末）已知数列满足，，则（    ） A．31 B．45 C．57 D．63 【答案】C 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列求和的其他方法 【分析】利用数列的递推公式，分别求得前五项，可得答案. 【详解】因为，且， 所以，，，， . 故选：C. 6．（24-25高三下·河北邯郸·开学考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】错位相减法求和 【分析】利用错位相减法来求和即可. 【详解】令， 则 两式相减得 所以， 故选：D. 7．（24-25高二下·全国·课后作业）已知对一切都成立，那么，的值为（    ） A．， B． C．， D．， 【答案】A 【知识点】数学归纳法、错位相减法求和 【分析】方法一：利用错位相减求和可得答案； 方法二：利用代入求出可得答案. 【详解】方法一： 令， 则， 两式相减得 ， 可得， 对一切都成立，那么，； 方法二：对一切都成立， 当时有， 即，解得. 故选：A. 8．（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）已知数列的通项公式为，则其前20项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】裂项相消法求和 【分析】由，利用裂项相消法计算可得. 【详解】因为， 故前20项和为. 故选：C. 二、多选题 9．（2025·云南·一模）已知数列的前项和为，，，则（   ） A．数列是等比数列 B． C． D．数列的前项和为 【答案】ACD 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】A选项，变形得到，故是公比为2的等比数列；C选项，结合A，利用等比数列求通项公式得到C正确；B选项，在C基础上，利用求出通项公式；D选项，先得到为公比为的等比数列，利用求和公式得到答案. 【详解】A选项，， 其中，所以是公比为2的等比数列，A正确； C选项，由A知，，所以，C正确； B选项，当时，， 当时，， 显然满足，故，B错误； D选项，，故， 即为公比为的等比数列，且， 所以的前项和为，D正确. 故选：ACD 10．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知数列的首项为4，且满足，则（    ） A．为等差数列 B．为递增数列 C．的前项和 D．的前项和 【答案】BD 【知识点】错位相减法求和、求等比数列前n项和、由定义判定等比数列、判断数列的增减性 【分析】由数列递推式两边同除以，可得，推得等比数列，排除A项；通过证明和可得B正确；利用错位相减法可求得的前项和为，排除C项；化简得，易求得该数列的前项和推出D项正确. 【详解】由两边同除以，可得：， 因，则，故为等比数列，首项为4，公比为2. 对于A，由上分析，是公比为2的等比数列，故不可能是等差数列，即A错误； 对于B，由上分析，可得，即， 由，因，故为递增数列，故B正确； 对于C，由上已得，则 ①， 则  ②， 由：， 即，即， 故得，故C错误； 对于D，因，则， 故的前项和为，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 11．（24-25高二下·上海·开学考试）将自然数，，，，按照如图排列，我们将，，，称为“拐弯数”，则第50个“拐弯数”是 . 【答案】1275 【知识点】累加法求数列通项 【分析】根据“拐弯数”找出规律，设数列，，，，……，可推出得数列的递推公式，利用叠加法求解即可. 【详解】设数列，，，，……，故， 利用叠加法：， ， 故. 故答案为：1275. 12．（24-25高二下·全国·课后作业）数列的通项公式为，若该数列的前项之和等于9，则 ． 【答案】99 【知识点】裂项相消法求和 【分析】利用裂项相消法可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】设数列的前项和为， 因为， 所以数列的前项之和为 ， 解得． 故答案为： 99 四、解答题 13．（2025·陕西安康·二模）数列满足． (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式； (3)若，证明：数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和 【分析】(1)构造结合等比数列的定义判断即可； (2)根据（1）可得的通项公式，进而可得的通项公式； (3)根据裂项相消求和证明即可. 【详解】（1）由可得，解得，则. 且，故是以2为首项，2为公比的等比数列，即得证. （2）由（1），故 （3）， 故 ，即得证. 14．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、错位相减法求和 【分析】（1）由等比数列的定义可得数列是首项、公比均为3的等比数列，即可求解； （2）由错位相减求解. 【详解】（1）由，又，可得数列是首项、公比均为3的等比数列， 故， （2）由（1）可得，      则，     所以，       两式相减得，   所以 15．（24-25高二下·云南昆明·开学考试）已知各项都不相等的等差数列，，又，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】分组（并项）法求和、等比中项的应用、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）由等差数列的通项公式列方程组求得，然后可得通项公式； （2）利用并项求和法可求． 【详解】（1）因为为各项都不相等的等差数列，所以设数列的公差为， 又因为，，，成等比数列. 所以，解得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）可得， 所以 . 16．（四川省宜宾市2025届高三第二次诊断性测试数学试题）已知数列的前项和，数列是正项等比数列，满足，. (1)求，的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求. 【答案】(1)， (2) 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由数列通项公式与求和公式的关系求出，以及等比数列的通项公式求出，可得答案； （2）由分组求和，利用等差数列与等比数列的求和公式，可得答案. 【详解】（1）因为， 所以时. 当时，， 所以， ，满足，所以， 数列是正项等比数列，. 所以公比，. （2）由（1）知， ， . 17．（2025·河北保定·一模）记数列的前项和为，已知. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，得到，即可求解； （2）由（1）可得，从而有，再利用裂项相消法，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 当时，， 两式相减得，① 则，② ②①得， 所以. 因为， 又，所以当时，； 当时，，则， 所以，满足， 所以，故数列为等差数列. （2）由（1）可知数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，， 则， 所以. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 第四章 数列求通项与求和 （6个考点梳理+15题型解读+提升训练） 清单01 累加法 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 清单02 累乘法 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 清单03 数列求通项（法） 对于数列，前项和记为； ①；② 1- ②： 法归类 角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例子：已知，求 角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题目中的 例子：已知； 已知 角度3：已知等式中左侧含有： 作差法（类似） 例子：已知求 清单04 构造法 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. 清单05 倒数法 用“倒数变换法”构造等差数列 类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.） 清单06 裂项相消法 1、等差型 ① 特别注意 ② 如：（尤其要注意不能丢前边的） 2、无理型 ① 如： 3、指数型 ① 如： 【考点题型一】累加法求通项（） 【例1】（云南省2025届高中毕业生第一次复习统一模拟检测数学试题卷（六））已知数列的前项和满足，若数列满足，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】.（2025高三下·全国·专题练习）已知数列满足，则数列的前2024项的和为 ． 【变式1-2】.（2025高三·全国·专题练习）在数列中，，求的通项公式． 【考点题型二】累乘法求通项（） 【例2】（2025·四川德阳·二模）数列中，满足，，则 ． 【变式2-1】.（2025·福建厦门·二模）已知数列满足，，则的前6项和为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】.（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）在数列中，，（），则（   ） A． B． C． D． 【考点题型三】已知与的关系；或与的关系（） 【例3】（24-25高二下·云南·开学考试）已知正项数列的前项和为，且满足. (1)证明：为等差数列. (2)求的值和的通项公式. 【变式3-1】.（河南省洛阳市创新发展联盟2024-2025学年高二下学期第一次月考（3月）数学试题）设数列满足. (1)求的通项公式. 【变式3-2】.（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）已知正项数列的前项和为， (1)求数列的通项公式； 【变式3-3】.（2025·福建·模拟预测）数列的前项和为，已知且． (1)求的通项公式； 【考点题型四】已知等式中左侧含有：（） 【例4】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知数列满足，若，则数列的前15项和为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】.（24-25高二上·安徽合肥·期末）数列满足：，若，则数列的前10项的和为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】.（24-25高三上·广东·阶段练习）已知数列满足，则（    ） A．2 B． C． D． 【考点题型五】数列求通项之构造法（形如）（） 【例5】（多选）（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知数列满足则（    ） A． B．是等比数列 C． D．是等比数列 【变式5-1】.（24-25高二下·河北保定·开学考试）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】.（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）已知数列中，，，则 ． 【考点题型六】数列求通项之构造法（形如）（） 【例6】（24-25高三上·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ． 【变式6-1】.（24-25高二上·江苏镇江·开学考试）数列满足，则数列的通项公式为 ． 【变式6-2】.（2024高三·全国·专题练习）在数列中，已知，，求的通项公式． 【考点题型七】数列求通项之倒数法（形如）（） 【例7】（24-25高二上·福建福州·期末）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】.（23-24高三上·山东青岛·期末）设数列的前n项和为，已知，，若，则正整数k的值为（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【变式7-2】.（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，且． (1)求的通项公式； 【考点题型八】数列求和之倒序相加法（） 【例8】（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知函数，数列满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】.（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】.（2025高三下·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且，设函数，则 ． 【考点题型九】数列求和之分组求和法（形如）（） 【例9】（24-25高二下·广西桂林·阶段练习）已知等差数列和等比数列都是递增数列，且，，. (1)求，的通项公式： (2)求数列的前项和. 【变式9-1】.（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列是公比为2的等比数列，且，求数列的前n项和． 【变式9-2】.（24-25高二下·湖南·开学考试）已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)设数列满足，求的前项和． 【变式9-3】.（2025·内蒙古赤峰·一模）已知数列中，. (1)若依次成等差数列，求； (2)若，证明数列为等比数列，并求数列的前项和. 【考点题型十】数列求和之分组求和法（形如）（） 【例10】（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式; (2)设，求数列的前项和. 【变式10-1】.（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）设是等差数列，是等比数列，公比大于．已知． (1)求和的通项公式； (2)设数列满足，若，求． 【变式10-2】.（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知正项数列的前n项和为，且满足． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【变式10-3】.（2025高三下·全国·专题练习）已知数列的前n项和．设，求数列的前n项和． 【变式10-4】（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知首项为的数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【考点题型十一】数列求和之列项相消法（形如）（） 【例11】（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）已知数列，______．在①数列的前项和为，；②数列的前项之积为这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选______”） (1)求数列的通项公式； (2)令，设数列的前项和为，求证：. 【变式11-1】.（2025高二·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，点均在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的实数的取值范围． 【变式11-2】.（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知为数列的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求证：． 【变式11-3】.（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，且. (1)求出的值，猜想数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，且，求数列的前n项和. 【考点题型十二】数列求和之列项相消法（形如）（） 【例12】（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知为等差数列，前项和为，是首项为且公比大于的等比数列，，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足：，且数列的前项和为，求证：． 【变式12-1】.（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知为数列的前n项和，，且且. (1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式; (2)若，记为数列的前n项和，求证：. 【变式12-2】.（24-25高二下·黑龙江大庆·开学考试）设是等比数列的公比大于0，其前n项和为，是等差数列，已知，，，. (1)求，的通项公式 (2)设，数列的前n项和为，求并证明. 【变式12-3】.（24-25高二上·浙江舟山·期末）数列满足：． (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 【考点题型十三】数列求和之错位相减法（） 【例13】（安徽省皖北县中联盟2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题（A卷））已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式13-1】.（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和． 【变式13-2】.（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）已知数列满足， (1)请证明是等比数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列前项的和． 【变式13-3】.（2025届贵州省黔东南苗族侗族自治州高三模拟统测数学试题）已知数列满足，且．设． (1)求； (2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和． 【考点题型十四】数列求和之通项含绝对值求和（） 【例14】（24-25高二下·山东日照·阶段练习）等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和 (3)求数列的前16项的和. 【变式14-1】.（24-25高二上·湖北武汉·期末）设是公差不为零的等差数列，，. (1)求和； (2)求的前项和. 【变式14-2】.（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列、的各项均不为零，若是单调递增数列，且，，，. (1)求及数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【变式14-3】.（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且和满足：， (1)求证：数列是等差数列； (2)设，记，求和的值. 【考点题型十五】数列中新定义题（） 【例15】（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）对于数列，若存在常数满足，则称为“上界数列”，为的“上界”，并把最小的值叫做“上界临界值”，记为．记数列的前项和为，已知，． (1)判断是否为“上界数列”，并说明理由； (2)若，为数列的前项和，求数列的“上界临界值”； (3)若，数列的“上界临界值”为，证明：． 【变式15-1】.（24-25高三下·天津·开学考试）若数列满足，且存在正整数，使得为奇数时，；为偶数时，，称为阶跳跃数列，记． (1)若数列为阶跳跃数列，且对任意，求最小时的最大值及此时数列的前2025项的和； (2)已知为正整数，数列为阶跳跃数列． ①求的所有不同值的和． ②对任意，令，求证：． 【变式15-2】.（24-25高三下·河南信阳·开学考试）已知为不小于3的整数，数列和为两个不同的数列．若和满足，，，且，则称和关于相伴． (1)若，写出一组，，，使得和关于3相伴； (2)是否存在和关于相伴，且关于相伴？并说明理由； (3)证明：若和关于相伴，则存在正整数，使得对任意，． 【变式15-3】.（24-25高三下·广东广州·阶段练习）定义：，，已知数列满足． (1)若，，求，的值； (2)若，，使得恒成立．探究：是否存在正整数，使得，若存在请求出所有的，若不存在请说明理由； (3)若数列为正项数列，且集合的元素个数为有限个，证明：不存在实数，使得． 提升训练 一、单选题 1．（2025·山东临沂·一模）设数列的前项和为，且，则满足时，的最小值为（    ） A．49 B．50 C．99 D．100 2．（24-25高二下·全国·随堂练习）已知为数列的前项和，且（），则（ ） A． B． C． D． 3．（2025·四川·模拟预测）已知数列中，，（，且），则通项公式（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·湖北随州·阶段练习）已知，设数列的前项和为，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广西河池·期末）已知数列满足，，则（    ） A．31 B．45 C．57 D．63 6．（24-25高三下·河北邯郸·开学考试）（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·全国·课后作业）已知对一切都成立，那么，的值为（    ） A．， B． C．， D．， 8．（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）已知数列的通项公式为，则其前20项和为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·云南·一模）已知数列的前项和为，，，则（   ） A．数列是等比数列 B． C． D．数列的前项和为 10．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知数列的首项为4，且满足，则（    ） A．为等差数列 B．为递增数列 C．的前项和 D．的前项和 三、填空题 11．（24-25高二下·上海·开学考试）将自然数，，，，按照如图排列，我们将，，，称为“拐弯数”，则第50个“拐弯数”是 . 12．（24-25高二下·全国·课后作业）数列的通项公式为，若该数列的前项之和等于9，则 ． 四、解答题 13．（2025·陕西安康·二模）数列满足． (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式； (3)若，证明：数列的前项和． 14．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 15．（24-25高二下·云南昆明·开学考试）已知各项都不相等的等差数列，，又，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 16．（四川省宜宾市2025届高三第二次诊断性测试数学试题）已知数列的前项和，数列是正项等比数列，满足，. (1)求，的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求. 17．（2025·河北保定·一模）记数列的前项和为，已知. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$