数学（广东省卷）-学易金卷：2025年中考第二次模拟考试

2025年中考第二次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（7分） 18．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（9分） (3)最多补查了______人． 20．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（9分） （2）的值为_________； 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（13分） （1）与的数量关系为________； 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（14分） (3)②则n的最大值为 ． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考第二次模拟考试 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题5分，共15分） 11． _________________ 12．___________________ 12． __________________ 14．__________________ 15. ___________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（7分） 17. （7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18. （7分） 19. （9分） (3)最多补查了______人． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.（9分） 21.（9分） （2）的值为_________； 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ （1）与的数量关系为________； 22. （13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ (3)②则n的最大值为 ． 23. （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第二次模拟考试 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在下列四个图案的设计中，没有运用轴对称知识的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．－32与（－3）2 B．－（－4）与|－4| C．－（＋5）与＋（－5 ） D．－23与（－2)3 3．第九届海峡交易会5月18日在榕城开幕，推出的重点招商项目总投资约450亿元人民币，将450亿元用科学记数法表示为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．当时，下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．关于的方程的解是负数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．如图，是上的三点，如果，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 7．下列命题是真命题的是（    ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C．一组对边平行且相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 8．某校为迎接中国共产党建党103周年，进行了党史知识竞赛，九年级有40名同学参加竞赛，测试成绩统计表如下，其中有两个数据被遮盖． 成绩/分 90 92 93 94 95 96 97 98 99 100 人数/名 1 3 2 3 5 5 8 10 ● ● 下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（　　） A．平均数，方差 B．中位数，众数 C．中位数，方差 D．平均数，众数 9．若反比例函数的图象与函数（）的图象的一个交点坐标是，则另一个交点坐标是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，点、分别是点、关于直线的对称点，连接交于点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知a＋b＝5，a﹣b＝2，则a2﹣b2＝ ． 12．若点在轴上，则的值为 ． 13．如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间.掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看成一张拉满弦的弓，弧长约为米，“弓”所在的圆的半径约米，则“弓”所对的圆心角度数为 ． 14．已知点在一个反比例函数的图象上，点与点关于轴对称． 若点在一次函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为 ． 15．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是，点B是x轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为 ．    三、解答题 16．（7分）计算：． 17．（7分）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 18．（7分）如图，在中，． (1)实践与操作：在边上找一点D（点C，D不重合），使得为等腰三角形（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)猜想与证明：在（1）的条件下，试猜想之间的数量关系，并加以证明． 19．（9分）中学为了了解七年级名学生本学期学生读课外书册数的情况,管理员老师随机抽查了部分学生,绘制成条形图（图1）和不完整的扇形图（图2）,其中条形图被墨迹遮盖了一部分． (1)求条形图中被遮盖的数,并写出册数的中位数; (2)估计七年级学生读书超过5册的人数; (3)随后又补查了另外几人,得知最少的读了6册,将其与之前的数据合并后,发现册数的中位数没改变,则最多补查了______人． 20．（9分）四月芳菲未尽，正是樱桃采摘尝鲜好时节．某水果经销商准备购进樱桃批发销售，经调查，甲、乙两果园栽种的优质樱桃，品质相同，市场销售前景良好，销售单价均定为15元/千克．两家果园根据自身情况，采用了不同的销售方式：甲果园今年樱桃刚开始上市，为吸引客户，拓展销售渠道，购买的樱桃均按定价的九折销售；乙果园是多年经营的果园，为尽快在销售旺季把樱桃销售完，规定购买不超过1000千克按定价销售，超过1000千克，超过部分按八折销售．若该水果经销商购买的樱桃数量为x千克，在甲乙两果园购买所需费用分别为元、元． (1)分别求出、与x之间的数量关系； (2)该经销商应选择哪家果园购买樱桃更划算？ 21．（9分）【模型建立】（1）如图1，在等边中，点、分别在、边上，，求证：； 【模型应用】（2）如图2，在中，，，于点，点在边上，，点在边上，，则的值为_________； 【模型拓展】（3）如图3，在钝角中，，点、分别在、边上，，若，，求的长．    22．（13分）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，， 是的外接圆，点在 上（），连接、、． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________； 【一般化探究】 （2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 （3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示） 23．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，抛物线的顶点为D，直线交y轴于点E，点P为点D右侧的抛物线上的一点，连接． (1)求二次函数的函数表达式； (2)若，则点P的坐标为 ； (3)如图2，延长交x轴于点G，若． ①求点G的坐标； ②Q为线段上一点(不与A、D重合)，N为x轴上一点，其横坐标为n，若，则n的最大值为 ． 2 / 24 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第二次模拟考试 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在下列四个图案的设计中，没有运用轴对称知识的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用轴对称图形的定义得出符合题意的答案． 【详解】 解：A、，是轴对称图形，故此选项错误； B、，是轴对称图形，故此选项错误； C、，不是轴对称图形，故此选项正确； D、，是轴对称图形，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题的关键． 2．下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．－32与（－3）2 B．－（－4）与|－4| C．－（＋5）与＋（－5 ） D．－23与（－2)3 【答案】A 【分析】先进行有理数的运算，再根据相反数的定义判断即可求解． 【详解】解：A. －32=-9，（－3）2=9，是互为相反数，故此选项符合题意； B. －(－4)=4，|－4|=4，不是互为相反数，故此选项不符合题意； C. －（＋5）=-5，＋（－5 ）=-5，不是互为相反数，故此选项不符合题意； D. －23=-8与(－2)3=-8，不是互为相反数，故此选项不符合题意． 故选A． 【点睛】此题主要考查有理数的运算，绝对值，相反数多重符号化简，乘方，相反数，解题的关键是熟知相反数的定义． 3．第九届海峡交易会5月18日在榕城开幕，推出的重点招商项目总投资约450亿元人民币，将450亿元用科学记数法表示为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】根据单位换算450亿元=45000000000元，再表示成科学记数法即可． 【详解】450亿元= 元 元． 故选：C． 【点睛】本题考查了科学技术法，即把一个数写成（为整数）的形式 ，正确的单位换算是解题的关键． 4．当时，下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依次计算各个选项，选出正确答案即可． 【详解】A． 时，，故A选项正确； B．时，，故B选项错误； C． ，故C选项错误； D． ，故D选项错误；      故选A． 【点睛】本题主要考查了零指数幂，负指数幂，同底数幂相乘及幂的乘方．熟练掌握运算法则是解题关键． 5．关于的方程的解是负数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次不等式，先由得，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围即可． 【详解】解：由得， ∵关于的方程的解是负数， ∴， ∴． 故选：B． 6．如图，是上的三点，如果，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理可得出∠AOB=90°． 【详解】解：如图，连接OA、OB． ∵∠ACB=45°， ∴∠AOB=90°， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 7．下列命题是真命题的是（    ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C．一组对边平行且相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定定理，牢记相关的内容即可选择出正确答案． 【详解】A：有一个角是直角的四边形，有可能是直角梯形，选项不符合题意． B：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，选项符合题意． C：一组对边平行且相等的四边行是平行四边形，故选项不符合题意， D：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．故选项不符合题意， 故选：B 【点睛】本题考查矩形四边形的判定定理，要牢记相关的条件是解题的关键，学会去区别平行四边形，菱形，正方形以及其他非规则图形，是解题的关键． 8．某校为迎接中国共产党建党103周年，进行了党史知识竞赛，九年级有40名同学参加竞赛，测试成绩统计表如下，其中有两个数据被遮盖． 成绩/分 90 92 93 94 95 96 97 98 99 100 人数/名 1 3 2 3 5 5 8 10 ● ● 下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（　　） A．平均数，方差 B．中位数，众数 C．中位数，方差 D．平均数，众数 【答案】B 【分析】本题主要考查中位数、众数、方差、平均数的意义和计算方法，解题的关键是理解各个统计量的实际意义，以及每个统计量所反应数据的特征．通过计算成绩为99分和100分的人数之和，然后进行判断即可得到答案． 【详解】解：由表格数据可知，成绩为99分、100分的人数共为：（人）， ∵成绩为98分的人数有10名，出现次数最多， ∴成绩的众数是98； ∵成绩从小到大排列后处在第20、21位的两个数都是97分， ∴成绩的中位数是97； ∴中位数和众数与被遮盖的数据无关． 故选：B． 9．若反比例函数的图象与函数（）的图象的一个交点坐标是，则另一个交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称， ∴另一个交点的坐标与点关于原点对称， ∴该点的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称是解题的关键． 10．如图，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，点、分别是点、关于直线的对称点，连接交于点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形和折叠，勾股定理，垂线段最短，连接，先根据折叠得到点E在上，即当时，最小，然后根据勾股定理得到长，再利用面积法求出的最小值即可． 【详解】解：连接，， 由折叠得， ∴点B、E、D共线，即点E在上， ∴当时，最小，这时， ∵是矩形， ∴, ， 又∵， ∴， 故选：A． 二、填空题 11．已知a＋b＝5，a﹣b＝2，则a2﹣b2＝ ． 【答案】10 【分析】根据平方差公式（）即可得． 【详解】解：， ， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了利用平方差公式进行运算、利用平方差公式进行因式分解，熟记平方差公式是解题关键． 12．若点在轴上，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据轴上的点的坐标特点，即可确定的值，平面直角坐标系中轴上点的坐标特点：纵坐标为0． 【详解】点在轴上 故答案为： 【点睛】本题考查了平面直角坐标系的定义，轴上的点的坐标特点，理解坐标轴上的点的特点理解是解题的关键． 13．如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间.掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看成一张拉满弦的弓，弧长约为米，“弓”所在的圆的半径约米，则“弓”所对的圆心角度数为 ． 【答案】/度 【分析】由 直接代入数据进行计算即可. 【详解】解：如图，由题意得： 设 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是已知弧长与半径求解弧所对的圆心角，熟记弧长公式是解本题的关键. 14．已知点在一个反比例函数的图象上，点与点关于轴对称． 若点在一次函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质、轴对称的性质，先把关于轴对称的点表达，代入，得出的值，再代入反比例函数的表达式，即可作答． 【详解】解：∵点与点关于轴对称． ∴ ∴把代入， 得， ； 设反比例函数的表达式为 ∵点在一个反比例函数的图象上 ∴把代入 得 解得 ∴这个反比例函数的表达式为， 故答案为：． 15．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是，点B是x轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为 ．    【答案】3 【分析】以为边向左侧作等边三角形，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短可得当轴，的值最小，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，以为边向左侧作等边三角形，连接，   ， 是等边三角形， ， ，即， 在和中，， ， ， 由垂线段最短可知，当轴，的值最小， ∵点的坐标是， ， ， 又， ， 则在中，， 所以在运动过程中，的最小值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 三、解答题 16．计算：． 【答案】． 【分析】先化简二次根式、特殊角的正弦值、化简绝对值、零指数幂，再计算实数的混合运算即可得． 【详解】解：原式， ， ． 【点睛】本题考查了化简二次根式、特殊角的正弦值、化简绝对值、零指数幂等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键． 17．解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】，在数轴上表示见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集，分别求出两个不等式的解集，再找出两个解集的公共解集即可得答案，根据不等式解集的表示方法在数轴上表示即可． 【详解】解：不等式组 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示为： ． 18．如图，在中，． (1)实践与操作：在边上找一点D（点C，D不重合），使得为等腰三角形（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)猜想与证明：在（1）的条件下，试猜想之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）作的垂直平分线，交于点D，连接，此时，为等腰三角形； （2）由（1）知，，则，，由，可求，进而可证． 【详解】（1）解：如图，作的垂直平分线，交于点D，连接，，点D即为所求： （2）解：，证明如下； 由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，作垂线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，作垂线，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． 19．中学为了了解七年级名学生本学期学生读课外书册数的情况,管理员老师随机抽查了部分学生,绘制成条形图（图1）和不完整的扇形图（图2）,其中条形图被墨迹遮盖了一部分． (1)求条形图中被遮盖的数,并写出册数的中位数; (2)估计七年级学生读书超过5册的人数; (3)随后又补查了另外几人,得知最少的读了6册,将其与之前的数据合并后,发现册数的中位数没改变,则最多补查了______人． 【答案】(1) (2)人 (3) 【分析】本题考查了概率公式，统计图和中位数．正确分析图像含义是解出本题的关键． （1）用读书为6册的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数,再用总人数分别减去读书为4册,6册和7册的人数得到读书5册的人数,然后根据中位数的定义求册数的中位数； （2）用读书为6册和7册的人数和除以总人数得到选中读书超过5册的学生的概率； （3）根据中位数的定义可判断总人数不能超过27,从而得到最多补查人数． 【详解】（1）解:根据题意得知:抽查的学生总数为:（人） ∴读书为5册的学生数为:（人） ∴条形图中被遮盖的数为9，册数的中位数为5； 故答案为:． （2）解:设选中读书超过5册的学生的事件为A, ∴, ∵七年级名学生, ∴七年级学生读书超过5册的人数为:（人）, 故答案为:人． （3）解:∵4册和5册的人数和为（人），中位数没改变，所以总人数不能超过， ∴最多补查了人, 故答案为:． 20．四月芳菲未尽，正是樱桃采摘尝鲜好时节．某水果经销商准备购进樱桃批发销售，经调查，甲、乙两果园栽种的优质樱桃，品质相同，市场销售前景良好，销售单价均定为15元/千克．两家果园根据自身情况，采用了不同的销售方式：甲果园今年樱桃刚开始上市，为吸引客户，拓展销售渠道，购买的樱桃均按定价的九折销售；乙果园是多年经营的果园，为尽快在销售旺季把樱桃销售完，规定购买不超过1000千克按定价销售，超过1000千克，超过部分按八折销售．若该水果经销商购买的樱桃数量为x千克，在甲乙两果园购买所需费用分别为元、元． (1)分别求出、与x之间的数量关系； (2)该经销商应选择哪家果园购买樱桃更划算？ 【答案】(1)， (2)当购买数量小于2000千克时，甲果园划算；当购买数量等于2000千克时，两家果园一样；当购买数量大于2000千克时，乙果园划算 【分析】（1）根据题意列出、与x之间的数量关系即可； （2）根据（1）得出的、与x之间的数量关系，分两种情况进行讨论，第一种是当时，列出不等式求解即可，第二种是当时，分别列出， ；不等式求解即可． 【详解】（1）解：； 当时，； 当时，； 综上所述：，． （2）解：当时，，即，∴甲果园划算； 当时， ①若时，解得，∴甲果园划算； ②若时，解得，∴两家果园一样； ③若时，解得，∴乙果园划算。 答：当购买数量小于2000千克时，甲果园划算；当购买数量等于2000千克时，两家果园一样；当购买数量大于2000千克时，乙果园划算． 【点睛】本题考查了利用一次函数和不等式解决实际问题，找准等量关系，正确的列出一次函数和不等式是解题的关键． 21．【模型建立】（1）如图1，在等边中，点、分别在、边上，，求证：； 【模型应用】（2）如图2，在中，，，于点，点在边上，，点在边上，，则的值为_________； 【模型拓展】（3）如图3，在钝角中，，点、分别在、边上，，若，，求的长．    【答案】（1）见解析；（2）2；（3） 【分析】（1）利用等边三角形的性质、三角形外角的性质、相似三角形的判定与性质解答即可； （2）先证明为等边三角形，进一步得到，是直角三角形，则，再证得，则，得到答案； （3）在上截取，连接，先证明，再证明，利用相似三角形的性质求得，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：2； （3）解：在上截取，连接，如图3，    ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）或， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形外角的性质、直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质等，熟练掌握等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 22．在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，， 是的外接圆，点在 上（），连接、、． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________； 【一般化探究】 （2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 （3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示） 【答案】（1）；（2）（3）当在上时，；当在上时， 【分析】（1）根据题意得出是等边三角形，则，进而由四边形是圆内接四边形，设交于点，则，设，则，分别求得，即可求解； （2）在上截取，证明，根据全等三角形的性质即得出结论； （3）分两种情况讨论，①当在上时，在上截取，证明，，得出，作于点，得出，进而即可得出结论；②当在上时，延长至，使得，连接，证明，，同①可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形，则 ∵是的外接圆， ∴是的角平分线，则 ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴ 设交于点，则， 设，则 在中， ∴ ∴， ∵是直径，则， 在中， ∴ ∴ （2）如图所示，在上截取， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴，则 ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴； ∵，， ∴是等边三角形，则 ∴， 又∵ ∴ 在中 ∴ ∴， ∴ 即； （3）解：①如图所示，当在上时， 在上截取， ∵ ∴ 又∵ ∴，则 ∴即 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 如图所示，作于点， 在中，， ∴ ∴ ∴，即 ②当在上时，如图所示，延长至，使得，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴ 又∵ ∴，则 ∴即， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵ 同①可得 ∴ ∴ 综上所述，当在上时，；当在上时，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握截长补短的辅助线方法是解题的关键． 23．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，抛物线的顶点为D，直线交y轴于点E，点P为点D右侧的抛物线上的一点，连接． (1)求二次函数的函数表达式； (2)若，则点P的坐标为 ； (3)如图2，延长交x轴于点G，若． ①求点G的坐标； ②Q为线段上一点(不与A、D重合)，N为x轴上一点，其横坐标为n，若，则n的最大值为 ． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到三角形相似、一次函数的图象和性质，证明三角形相似是本题的难点． （1）由题意得：，即可求解； （2）证明和关于对称，得到直线的表达式为：，联立和抛物线解析式即可求解； （3）①由，则，即可求解； ②证明 ，则AN：：PD，即：：，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知， ∴点， 设抛物线的对称轴交x轴于点H， 则轴，则， 而， 则， 即和关于对称， 设直线的表达式为：， 则， 解得：， ∴， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：舍去或3， 则点， 故答案为：； （3）解：①设点， ， 则， 则， 即点； ②由点A、D的坐标得， 直线的表达式为：， 同理可得直线的表达式为：， 联立和抛物线的表达式得： ， 则舍去或， 则点， 设点，点， 由点A、N、D、P、Q的坐标得， ，，，， 由①知，， 而， 即， 则， 即， ， ， 则， 即：, 则， 即n的最大值为：， 故答案为： 2 / 24 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第二次模拟考试 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C A B C B B C A 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．10 12． 13．/度 14． 15．3 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．解：原式，.......（4分） ，.......（6分） ．.......（7分） 17．解：不等式组 解不等式①得，.......（2分） 解不等式②得，.......（4分） ∴不等式组的解集为，.......（5分） 不等式组的解集在数轴上表示为： ．.......（7分） 18．（1）解：如图，作的垂直平分线，交于点D，连接，，点D即为所求： .......（3分） （2）解：，证明如下；.......（4分） 由（1）知，， ∴， ∴，.......（5分） ∵， ∴，.......（6分） ∴， ∴．.......（7分） 19．（1）解:根据题意得知:抽查的学生总数为:（人）.......（2分） ∴读书为5册的学生数为:（人）.......（4分） ∴条形图中被遮盖的数为9，册数的中位数为5； （2）解:设选中读书超过5册的学生的事件为A, ∴,.......（5分） ∵七年级名学生, ∴七年级学生读书超过5册的人数为:（人）,.......（7分） 故答案为:人． （3）．.......（9分） 20（1）解：；.......（1分） 当时，；.......（2分） 当时，；.......（3分） 综上所述：，．.......（4分） （2）解：当时，，即，∴甲果园划算；.......（5分） 当时， ①若时，解得，∴甲果园划算；.......（6分） ②若时，解得，∴两家果园一样；.......（7分） ③若时，解得，∴乙果园划算。.......（8分） 答：当购买数量小于2000千克时，甲果园划算；当购买数量等于2000千克时，两家果园一样；当购买数量大于2000千克时，乙果园划算．.......（9分） 21．（1）证明：∵▲ABC是等边三角形， ∴， ∵， ∴，.......（1分） ∵， ∴， ∴，.......（2分） ∴， ∴；.......（3分） （2）2；.......（5分） （3）解：在上截取，连接，如图3，    ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，.......（6分） ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴，.......（7分） ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，.......（8分） ∴， ∴， 解得（舍去）或， ∴．.......（9分） 22．.......（2分） （2）如图所示，在上截取， ∵ ∴ ∴是等边三角形，.......（4分） ∴，则 ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴；.......（5分） ∵，， ∴是等边三角形，则 ∴，.......（6分） 又∵ ∴ 在中 ∴.......（7分） ∴， ∴ 即；.......（8分） （3）解：①如图所示，当在上时， 在上截取， ∵ ∴∠ACB=∠ADB 又∵ ∴，则 ∴即. 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴.......（9分） 如图所示，作于点， 在中，， ∴ ∴ ∴，即.......（10分） ②当在上时，如图所示，延长至，使得，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴ 又∵ ∴，则 ∴即， 又∵ ∴ ∴.......（11分） ∴， ∵ 同①可得 ∴ ∴.......（12分） 综上所述，当在上时，；当在上时，．.......（13分） 23．（1）解：由题意得：，.......（1分） ∴， 则，.......（2分） 则抛物线的表达式为：；.......（3分） （2）；.......（6分） （3）解：①设点， ， 则，.......（8分） 则，.......（9分） 即点；.......（10分） ②.......（14分） 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第二次模拟考试 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在下列四个图案的设计中，没有运用轴对称知识的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．－32与（－3）2 B．－（－4）与|－4| C．－（＋5）与＋（－5 ） D．－23与（－2)3 3．第九届海峡交易会5月18日在榕城开幕，推出的重点招商项目总投资约450亿元人民币，将450亿元用科学记数法表示为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．当时，下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．关于的方程的解是负数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．如图，是上的三点，如果，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 7．下列命题是真命题的是（    ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C．一组对边平行且相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 8．某校为迎接中国共产党建党103周年，进行了党史知识竞赛，九年级有40名同学参加竞赛，测试成绩统计表如下，其中有两个数据被遮盖． 成绩/分 90 92 93 94 95 96 97 98 99 100 人数/名 1 3 2 3 5 5 8 10 ● ● 下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（　　） A．平均数，方差 B．中位数，众数 C．中位数，方差 D．平均数，众数 9．若反比例函数的图象与函数（）的图象的一个交点坐标是，则另一个交点坐标是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，点、分别是点、关于直线的对称点，连接交于点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知a＋b＝5，a﹣b＝2，则a2﹣b2＝ ． 12．若点在轴上，则的值为 ． 13．如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间.掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看成一张拉满弦的弓，弧长约为米，“弓”所在的圆的半径约米，则“弓”所对的圆心角度数为 ． 14．已知点在一个反比例函数的图象上，点与点关于轴对称． 若点在一次函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为 ． 15．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是，点B是x轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为 ．    三、解答题 16．（7分）计算：． 17．（7分）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 18．（7分）如图，在中，． (1)实践与操作：在边上找一点D（点C，D不重合），使得为等腰三角形（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)猜想与证明：在（1）的条件下，试猜想之间的数量关系，并加以证明． 19．（9分）中学为了了解七年级名学生本学期学生读课外书册数的情况,管理员老师随机抽查了部分学生,绘制成条形图（图1）和不完整的扇形图（图2）,其中条形图被墨迹遮盖了一部分． (1)求条形图中被遮盖的数,并写出册数的中位数; (2)估计七年级学生读书超过5册的人数; (3)随后又补查了另外几人,得知最少的读了6册,将其与之前的数据合并后,发现册数的中位数没改变,则最多补查了______人． 20．（9分）四月芳菲未尽，正是樱桃采摘尝鲜好时节．某水果经销商准备购进樱桃批发销售，经调查，甲、乙两果园栽种的优质樱桃，品质相同，市场销售前景良好，销售单价均定为15元/千克．两家果园根据自身情况，采用了不同的销售方式：甲果园今年樱桃刚开始上市，为吸引客户，拓展销售渠道，购买的樱桃均按定价的九折销售；乙果园是多年经营的果园，为尽快在销售旺季把樱桃销售完，规定购买不超过1000千克按定价销售，超过1000千克，超过部分按八折销售．若该水果经销商购买的樱桃数量为x千克，在甲乙两果园购买所需费用分别为元、元． (1)分别求出、与x之间的数量关系； (2)该经销商应选择哪家果园购买樱桃更划算？ 21．（9分）【模型建立】（1）如图1，在等边中，点、分别在、边上，，求证：； 【模型应用】（2）如图2，在中，，，于点，点在边上，，点在边上，，则的值为_________； 【模型拓展】（3）如图3，在钝角中，，点、分别在、边上，，若，，求的长．    22．（13分）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，， 是的外接圆，点在 上（），连接、、． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________； 【一般化探究】 （2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 （3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示） 23．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，抛物线的顶点为D，直线交y轴于点E，点P为点D右侧的抛物线上的一点，连接． (1)求二次函数的函数表达式； (2)若，则点P的坐标为 ； (3)如图2，延长交x轴于点G，若． ①求点G的坐标； ②Q为线段上一点(不与A、D重合)，N为x轴上一点，其横坐标为n，若，则n的最大值为 ． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$