专题04 第七章 随机变量及其分布（考点串讲，6大考点&12大题型剖析）-2024-2025学年高二数学下学期期中考点大串讲（人教A版2019选择性必修第三册）

人教A版（2019）高二数学下学期·期中大串讲 专题04 第七章 随机变量及其分布（6考点&12题型） 人教Ａ版 2019 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 考点透视 清单01 条件概率  清单02 条件概率性质  考点透视 清单03 全概率公式  清单04 贝叶斯公式  考点透视 清单05 均值和方差  清单06 均值与方程性质  题型剖析 【考点题型一】条件概率 【答案】C 题型剖析 【考点题型一】条件概率 【答案】C 题型剖析 【考点题型二】条件概率性质应用 【答案】B 题型剖析 【考点题型三】全概率公式及其应用 题型剖析 【考点题型三】全概率公式及其应用 【答案】D 题型剖析 【考点题型四】贝叶斯公式及其应用 题型剖析 【考点题型四】贝叶斯公式及其应用 题型剖析 【考点题型四】贝叶斯公式及其应用 【答案】D 题型剖析 【考点题型五】离散型随机变量分布列均值，方差 题型剖析 【考点题型五】离散型随机变量分布列均值，方差 题型剖析 【考点题型五】离散型随机变量分布列均值，方差 题型剖析 【考点题型五】离散型随机变量分布列均值，方差 题型剖析 【考点题型六】均值和方差的性质 【答案】AC 题型剖析 【考点题型六】均值和方差的性质 题型剖析 【考点题型七】独立重复试验与二项分布模型 题型剖析 【考点题型七】独立重复试验与二项分布模型 题型剖析 【考点题型七】独立重复试验与二项分布模型 题型剖析 【考点题型七】独立重复试验与二项分布模型 题型剖析 【考点题型八】首次成功问题 题型剖析 【考点题型九】超几何分布模型 题型剖析 【考点题型九】超几何分布模型 题型剖析 【考点题型九】超几何分布模型 题型剖析 【考点题型十】正态分布模型 题型剖析 【考点题型十】正态分布模型 题型剖析 【考点题型十】正态分布模型 题型剖析 【考点题型十一】正态分布模型中的决策问题 题型剖析 【考点题型十一】正态分布模型中的决策问题 题型剖析 题型剖析 【考点题型十二】概率与数列 题型剖析 【考点题型十二】概率与数列 易错易混 【答案】ABD 押题预测 【答案】D 押题预测 【答案】B 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 （1）一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． （2）如果和是两个互斥事件，则； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 一般地,设,,是一组两两互斥的事件,,且，,则对任意的事件,有,我们称此公式为全概率公式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）设,,是一组两两互斥的事件,,且，， 则对任意的事件,，有，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1） （2） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ①若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. ②若与相互独立，则. ③若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例1】（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）现有4个红色教育基地和2个劳动实践基地，甲、乙两人分别从这6个基地中各选取1个基地研学（每个基地均可重复选取），则在甲、乙两人中至少一人选择红色教育基地研学的条件下，甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学的概率为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意可知：甲、乙两人从6个基地中各选一个进行研学有（种）情况， 至少一人选择红色教育基地研学有（种）情况， 设“甲、乙两人中至少一人选择红色教育基地研学”，则， 甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学，有（种）情况， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设“甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学”，则， 所以． 故选：C． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式1-1】.（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）口袋中装有大小质地相同的3个白球、5个黑球，逐个取出，直到剩下的球为同一颜色时停止.已知第一次取出的是白球，则剩下的球是黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设事件A=“第一次取出的是白球”，B=“剩下的球是黑球”，，， 所以，， 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ④若或则故④错误. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例2】（24-25高二·全国·课后作业）已知，，则下列式子成立的是（    ） ①；②； ③；④. A．①②③④ B．② C．②③ D．②④ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】①若则，故，故①错误； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ②因为所以所以②正确； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ③若或则故③错误； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例3】（2025·陕西渭南·二模）甲、乙两学校举行羽毛球友谊赛，在决赛阶段，每所学校派出5对双打（两对男双、两对女双、一对混双）进行比赛，出场顺序抽签决定，每场比赛结果互不影响，先胜三场（没有平局）的学校获胜并结束比赛.已知甲学校混双获胜的概率是，其余4对双打获胜的概率均是. (1)若混双比赛抽签排到最后，求甲学校在前3场比赛结束就获胜的概率； (2)求混双比赛在前3场进行的前提下，甲学校前3场比赛结束就获胜的概率. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）若混双比赛抽签排到最后，则甲学校在前3场比赛中获胜的概率均是.所求概率为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）设事件表示“混双比赛在第场进行”，事件表示“混双比赛在前3场进行的前提下，甲学校前3场比赛结束就获胜”， 则， ， . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 综上所述， . 因此，子三代中基因型为是的概率是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式3-1】.（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为 其中 为显性基因， 为隐性基因，生物学中将 和 统一记为 )，且这三种基因型的比为 . 如果在子二代中任意选取 2 株豌豆进行杂交试验，那么子三代中基因为 的概率为（     ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】记事件子三代中基因型为，记事件选择的是、，记事件选择的是、，记事件选择的是、， 则，，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 在子二代中任取颗豌豆作为父本母本杂交，分以下三种情况讨论： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ①若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为； ②若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为； ③若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例4】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，在研究某种粒子的实验装置中，有三个腔室，粒子只能从室出发经室到达室．粒子在室不旋转，在室、室都旋转，且只有上旋和下旋两种状态，粒子间的旋转状态相互独立．粒子从室经过1号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过2号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为．现有两个粒子从室出发，先后经过1号门、2号门进入室，记室两个粒子中，上旋状态粒子的个数为． (1)求的分布列和数学期望； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由题知的所有可能取值为，时分3类情形， ①两个粒子通过1号门后均处上旋状态，通过2号门后均不改变状态； ②两个粒子通过1号门后一个上旋状态一个下旋状态，通过2号门后上旋状态粒子不改变状态，下旋状态粒子改变状态； ③两个粒子通过1号门后两个均为下旋状态，通过2号门后均改变状态，所以， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 同理， ， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 所以所求的分布列为 0 1 2 所求数学期望. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)设，若两个粒子经过2号门后都为上旋状态，求这两个粒子通过1号门后都为上旋状态的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）设事件“两个粒子通过1号门后处于上旋状态的粒子个数为个”，， 事件“两个粒子通过2号门后处于上旋状态的粒子个数为2个”， 则，， ，，， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 由（1）得． 故． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式4-1】.（2024·全国·二模）某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】依题意，记选“初心”队为事件，选“使命”队为事件，该单位获胜为事件， 则, 因此， 所以选“使命”队参加比赛的概率. 故选：D 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例5】（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）甲、乙两名同学参加科技周活动，该活动需要依次参加两个闯关环节，闯关规则如下:①，两个环节共有3次闯关机会，为了累计奖金最高，甲、乙两人都将3次机会全部用完；某同学参加环节(或环节)闯关，无论闯关结果是成功还是失败都视为已使用了一次闯关机会. ②若环节闯关成功即进入环节；若环节闯关失败，那么继续重复环节，直到3次机会用完；若进入环节后，无论闯关成功还是失败，一直都重复环节，直到3次机会全部用完. ③参加环节，闯关成功可以获得奖金100元；参加环节，每次闯关成功可以获得奖金200元；不管参加哪一个环节，闯关失败均无奖金. 已知甲同学参加每一个环节闯关成功的概率都是;乙同学参加环节闯关成功的概率是，参加环节闯关成功的概率是.甲、乙同学每次参加各个环节闯关是否成功是相互独立的. (1)已知甲同学环节闯关成功(多次闯关中只要有一次成功即视为闯关成功)，求他参加了两次环节闯关的概率; 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由题意可得甲同学环节闯关成功且参加了两次环节闯关的情况为： ①第一次机会，环节闯关成功；第二次机会，环节闯关成功；第三次机会，环节闯关成功， ②第一次机会，环节闯关成功；第二次机会，环节闯关失败；第三次机会，环节闯关成功， ③第一次机会，环节闯关成功；第二次机会，环节闯关成功；第三次机会，环节闯关失败， 所以甲同学环节闯关成功且参加了两次环节闯关的概率； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 甲同学环节闯关成功的情况为： ①环节闯关一次成功，环节闯关成功，概率为， ②环节闯关两次成功，环节闯关成功，概率为， 所以甲同学环节闯关成功的概率； 故所求条件概率为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)活动结束时乙同学获得的奖金为元，求的分布列和期望. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由题意可知的可能取值有， 则，， ，， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 所以随机变量的分布列为 则. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式5-1】.（2025·广东深圳·模拟预测）某大学有甲、乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼，也可选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或乙运动场的概率均为，每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为，已知的分布列如下：（其中，） 0 1 2 3 记事件表示王同学假期三天内去运动场锻炼次，事件表示王同学在这三天内去甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数. (1)当时，求的值； (2)是否存在实数，使得？若存在，求的值：若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）当时，， 则，解得. 由题意，得. 由全概率公式，得 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式5-1】.（2025·广东深圳·模拟预测）某大学有甲、乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼，也可选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或乙运动场的概率均为，每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为，已知的分布列如下：（其中，） 0 1 2 3 记事件表示王同学假期三天内去运动场锻炼次，事件表示王同学在这三天内去甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数. (1)当时，求的值； (2)是否存在实数，使得？若存在，求的值：若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由，得. 假设存在，使. 将上述两式左右分别相乘，得，化简得：（*）. 设，则. 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为， 即方程（*）无解，故不存在值，使得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例6】（多选）（23-24高二下·山西晋中·阶段练习）已知随机变量的分布列如下表所示，且满足，则下列选项正确的是（    ） 0 2 A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】依题意，解得， 所以的分布列为： －1 0 2 P 则，故A正确； 则，故C正确； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 所以的分布列为： 0 2 P 则， ，故B错误； 所以，故D错误. 故选：AC. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式6-1】.（多选）（24-25高二上·江西赣州·期末）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列选项正确的是（   ） 2 4 6 8 10 2a 0.25 0.1 0.25 A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由分布列的性质可得， 所以，此时， 所以， ， 所以，. 故选：ABD. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例7】（2025高三·全国·专题练习）某药厂为获得新研发药品的治愈率，委托某公司进行调查，首轮抽取个患者进行试验，每个患者是否治愈相互独立．设，回答以下问题： (1)若，求患者痊愈比例为到的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）治愈人数服从二项分布， 需要计算，即：， 因为， 所以； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)该公司第二轮再抽取个患者进行试验．为简化运算过程，拟用计算两轮试验治愈总人数为的概率，是否合理？若合理，请证明；若不合理，请说明理由． 参考数据：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）首轮抽取个患者，每个患者治愈概率为，且相互独立， 设首轮治愈人数为，则服从二项分布， 即， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 第二轮再抽取个患者，治愈概率仍为，且独立于首轮试验， 设次轮治愈人数为，则服从二项分布， 即， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 总治愈人数，其中和独立， 由于两轮试验的均为且独立， 总治愈人数服从， 因此：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式7-1】.（2025高三·全国·专题练习）“分布式计算系统”是由多台计算机组成的用以提高计算效率的计算机系统．在一个分布式计算系统中，若一次计算中发生故障的计算机数不超过总计算机数的，则称这次计算是“优质计算”，某科技公司采购了一批共计台计算机用于搭建分布式计算系统，每台计算机的故障率均为． (1)若，，记为一次计算中正常运行的计算机数量，求的分布列和数学期望； (2)若，，请估计一次计算中正常运行的计算机数量最有可能是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由题意可知，， 可得，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，随机变量的数学期望为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式7-1】.（2025高三·全国·专题练习）“分布式计算系统”是由多台计算机组成的用以提高计算效率的计算机系统．在一个分布式计算系统中，若一次计算中发生故障的计算机数不超过总计算机数的，则称这次计算是“优质计算”，某科技公司采购了一批共计台计算机用于搭建分布式计算系统，每台计算机的故障率均为． (1)若，，记为一次计算中正常运行的计算机数量，求的分布列和数学期望； (2)若，，请估计一次计算中正常运行的计算机数量最有可能是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）设由台计算机组成的分布式计算系统中正常运行的计算机数为，则． 且， 由得，其中，， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 即，解得． 所以同时正常运行的计算机数最有可能是台或台． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例8】（23-24高二下·江苏苏州）一辆汽车前往目的地需要经过个有红绿灯的路口.汽车在每个路口遇到绿灯的概率为（可以正常通过），遇到红灯的概率为（必须停车）.假设汽车只有遇到红灯或到达目的地才停止前进，用随机变量表示前往目的地途中遇到红灯数和绿灯数之差的绝对值. （1）求汽车在第个路口首次停车的概率； （2）求的概率分布和数学期望. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】解：（1）由题意知汽车在前两个路口都遇到绿灯，在第3个路口遇到绿灯， 汽车在第3个路口首次停车的概率为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）设前往目的地途中遇到绿灯数为，则， 用随机变量表示前往目的地途中遇到红灯数和绿灯数之差的绝对值． 则的可能取值为0，2，4，则， ，， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ，的概率分布列为： 0 2 4 数学期望． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例9】（24-25高二下·天津·阶段练习）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球，规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出一个黑色球得分，现从盒内任取3个球. (1)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率； (2)设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）从个球中任取个球，总的基本事件个数为， 若取出的3个球得分之和恰为1分，包含的情况有两种： 红白，包含的基本事件个数为， 红黑，包含的基本事件个数为， 所以取出的3个球得分之和恰为1分的概率为； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由已知可得的可能取值为，，，， ，， ，， 的分布列为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式9-1】.（2025·山东济宁·一模）为了解高三，1班和2班的数学建模水平，现从两个班级中各随机抽取10名学生参加数学建模能力比赛（满分100分），成绩如下： 数据Ⅰ（高三，1班）：68，80，58，75，65，70，54，90，88，92； 数据Ⅱ（高三，2班）：72，55，83，59，56，90，83，52，80，95． (1)求数据Ⅰ（高三，1班）的第80百分位数； (2)从上述成绩在60分以下的学生中随机抽取3人作下一步调研，设被抽到的3人中来自于高三，2班的学生人数为，求的概率分布列和数学期望． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）将数据Ⅰ从小到大排列为：54，58，65，68，70，75，80，88，90，92， 因为，所以数据Ⅰ的第80百分位数为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式9-1】.（2025·山东济宁·一模）为了解高三，1班和2班的数学建模水平，现从两个班级中各随机抽取10名学生参加数学建模能力比赛（满分100分），成绩如下： 数据Ⅰ（高三，1班）：68，80，58，75，65，70，54，90，88，92； 数据Ⅱ（高三，2班）：72，55，83，59，56，90，83，52，80，95． (1)求数据Ⅰ（高三，1班）的第80百分位数； (2)从上述成绩在60分以下的学生中随机抽取3人作下一步调研，设被抽到的3人中来自于高三，2班的学生人数为，求的概率分布列和数学期望． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）数据Ⅰ中60分以下的有54分，58分； 数据Ⅱ中60分以下的有52分，55分，56分，59分； 即符合题意共6人，其中高三，1班有2人，高三，2班有4人. 可知X的所有可能取值为1，2，3， 则，，， 所以X的概率分布列为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 X 1 2 3 P 数学期望. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例10】（2025·吉林延边·一模）某生物研究小组准备探究某地区棉花长绒分布规律，据统计该地区棉花有，个品种，且这两个品种的种植数量大致相等，记种棉花和种棉花的绒长（单位：）分别为随机变量，，其中服从正态分布，服从正态分布. (1) 从该地区的棉花中随机采摘一朵，求这朵棉花的绒长在区间的概率； 参考数据：若，则，，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）记这朵棉花的线长为． 因为A种棉花和种棉花的个体数量大致相等，所以这朵棉花是A种还是种的可能性是相等的． 所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)记该地区棉花的绒长为随机变量，若用正态分布来近似描述的分布，请你根据（1）中的结果，求参数和的值（精确到0.1）； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由于两种棉花的个体数量相等，，的方差也相等， 根据正态曲线的对称性，可知， 由（1）可知得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (3)在（2）的条件下，从该地区的棉花中随机采摘3朵，记这3朵棉花中绒长在区间的个数为，求的分布列及数学期望 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）设棉花的绒长为，则， 由题有，所以， 因此的分布列为 0 1 2 3 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例11】（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展.某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩，将他们的成绩分成以下6组：，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示. 组别 频数 20 30 40 60 30 20 (1)现利用分层抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，试求这4人中至少有2人来自前2组的概率. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为抽样比， 所以抽取人，抽取人， 抽取人. 设事件：这4人中至少有2人来自前2组， . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)高一学生的这次化学成绩（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.且这次测试恰有2万名学生参加. （i）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）， 所以，，，. 所以 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （ii）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频； 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频.问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明. 参考数据：则，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于方案2：设每位学生所获增学习视频小时数为，则. ， ， . ， 所以方案2该平台赠送的学习视频总时长更多. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例12】（2025·宁夏银川·一模）为积极落实“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子”的现代健康理念.某学校大力开展“阳光体育大课间”活动，制订了主题为“百年风云”的系列纪念币奖励学生，该系列纪念币有四种.每个学生每天自主选择“球类”和“田径”中的一项进行锻炼.锻炼结束后学生将随机等可能地获得一枚纪念币. (1)某学生活动前两天获得两种纪念币，则前四天恰好能集齐“百年风云”系列纪念币的概率是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）设事件为：“他恰好能集齐这四枚纪念币”， 由题意，基本事件总数有个， 事件包含基本事件的个数为个， 所以他恰好能集齐这四枚纪念币的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)通过抽样调查发现，活动首日有的学生选择“球类”，其余的学生选择“田径”；在前一天选择“球类”的学生中，次日会有的学生继续选择“球类”，其余的选择“田径”；在前一天选择“田径”的学生中，次日会有的学生继续选择“田径”，其余的选择“球类”.用频率估计概率，记某学生第天选择“球类”的概率为. ①计算，并求. ②该学校共有学生2100人，经过足够多天后，试估计该学校接下来每天各有多少学生参加“球类”和“田径”运动？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）①由题可知：， ，所以， 当时，， 所以， 又因为，即是以为首项，以为公比的等比数列． 所以，所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ②依题意得，当足够大时，选择“球类”的概率近似于， 假设用表示一天中选择“球类”的人数，则， 所以， 即选择“球类”的人数的期望为900，选择“田径”的人数的期望为1200． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（多选）（24-25高二上·江西上饶·期末）对于随机事件，若，则（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由，解得，故A正确； 由，则，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（24-25高二上·江西南昌·期末）某农业科学院培育脐橙新品种，新培育的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种脐橙10000个，估计单果质量不低于150g的脐橙个数为（   ） 附：若，则，，. A．8413 B．9772 C．9974 D．9987 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由可知，，， 则， 故单果质量不低于150g的脐橙个数约为10000×0.9987=9987. 故选：D 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知随机变量，且，则的最小值为（    ） A．9 B．3 C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】根据正态分布的对称性及已知，有，可得，则， 故， 当且仅当，则时取等号， 综上，目标式的最小值为3. 故选：B 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3．（24-25高三上·河北·期末）甲乙两个袋子，甲袋有1白2黑3个球，乙袋有2个白球.现从两袋各取1球，交换放入甲乙两袋.如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作X，则= . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意可知：X所有可能取值为1，2，3， 可得，， ， 所以. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 4．（24-25高三上·安徽安庆·期末）某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛的结果相互独立． (1)若比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得3分，负者获得1分；②连续2局获胜或积分率先达到11分者可获得冠军，比赛结束．已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为．求甲乙决出冠军时比赛局数X的分布列与数学期望； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）（1）由比赛规则可知，1局比赛后，甲乙双方共获得4分，若比赛进行了4局还未结束， 则双方共计16分，此时双方均为8分，则第5局比赛后必定有一人积分可达到11分， 故比赛次数不会超过5； 由比赛规则可知，若比赛共进行了n局，（）， 即随机事件“第i局比赛中甲获胜”， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ， ， ， ． 于是X的分布列为： X 2 3 4 5 P 故； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．已知甲乙进行了n局比赛且甲胜了13局，试给出n的估计值（X表示n局比赛中甲胜的局数，以使得最大的n的值作为n的估计值）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）（2）易得，，， 记，则， 由，得，即，；，， 故时，最大，所以n的估计值为21． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (3)若每局比赛甲获胜的概率为，规定在场比赛中甲超过一半场次获胜就获得冠军，记其概率为，试说明的单调性并给出证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）在场比赛中甲获胜概率为，则在场比赛中甲获胜概率为，记乙在每场比赛是获胜概率为，则 由已知，所以单调增 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 5．（24-25高三上·陕西商洛·期末）已知某公司生产某产品采用两种不同的方案，每种方案均有两道加工工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才为合格品，若某道加工工序不合格，则该产品为不合格品，即刻停止加工．已知方案一每道加工工序合格的概率均为，方案二第一、二道加工工序合格的概率分别为，．该产品只有合格品才能出厂销售．已知每件产品未加工之前的成本为10元． (1)若分别用方案一与方案二各自生产一件该产品，求生产的两件产品中只有一件产品为合格品的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）采用方案一生产的产品为合格品的概率为； 采用方案二生产的产品为合格品的概率为． 故生产的两件产品中只有一件产品为合格品的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)已知方案一每件产品每道工序的加工成本为20元，售价为120元；方案二每件产品的第一、二道工序的加工成本分别为10元，30元，售价为120元，若以每件产品获利的数学期望为决策依据，请判断该公司应采用哪种方案进行加工生产． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）用表示方案一每件产品的利润，则的所有可能取值为， ， 所以的分布列为 70 P 则． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 用表示方案二每件产品的利润，则的所有可能取值为，，70， ， 则的分布列为 70 P 则． 因为，所以该公司应采用方案二进行加工生产． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $$