专题03 第六章 计数原理（考点串讲，5大考点&20大题型剖析）-2024-2025学年高二数学下学期期中考点大串讲（人教A版2019选择性必修第三册）

人教A版（2019）高二数学下学期·期中大串讲 专题03 第六章 计数原理 （5考点&20题型） 人教A版2019 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 考点透视 清单01 两个计数原理综合  清单02 排列数计算  考点透视 清单03 组合数的计算和性质  清单04 二项式定理  考点透视 清单05 二项式系数（和）  题型剖析 【考点题型一】两个计数原理综合 【答案】D 题型剖析 【考点题型一】两个计数原理综合 题型剖析 【考点题型二】排列数计算 题型剖析 【考点题型二】排列数计算 【答案】B 题型剖析 【考点题型三】捆绑法和插空法 【答案】C 题型剖析 【考点题型三】捆绑法和插空法 【答案】24 题型剖析 【考点题型四】特殊元素（位置）法 【答案】8 题型剖析 【考点题型四】特殊元素（位置）法 【答案】B 题型剖析 【考点题型五】间接法 【答案】CD 题型剖析 【考点题型五】间接法 【答案】A 题型剖析 【考点题型六】部分定序问题 【答案】C 题型剖析 【考点题型七】组合数的计算及性质的应用 题型剖析 【考点题型八】分组，分配问题（①不平均分组问题②部分平均分组③平均分组） 【答案】B 题型剖析 【考点题型八】分组，分配问题（①不平均分组问题②部分平均分组③平均分组） 【答案】A 题型剖析 【考点题型九】隔板法 【答案】A 题型剖析 【考点题型十】涂色问题 【答案】D 题型剖析 【考点题型十】涂色问题 【答案】C 题型剖析 【答案】B 【考点题型十一】二项式定理展开及其逆应用 题型剖析 【答案】D 【考点题型十一】二项式定理展开及其逆应用 题型剖析 【答案】84 题型剖析 题型剖析 【考点题型十三】二项式系数（和） 【答案】ABC 题型剖析 【考点题型十三】二项式系数（和） 【答案】C 题型剖析 【考点题型十四】指定项系数（有理项） 题型剖析 【考点题型十四】指定项系数（有理项） 【答案】C 题型剖析 【考点题型十五】系数和 题型剖析 【考点题型十五】系数和 【答案】B 题型剖析 【考点题型十六】系数最大（小）项 题型剖析 【考点题型十六】系数最大（小）项 题型剖析 【考点题型十七】三项展开式系数问题 【答案】B 题型剖析 【考点题型十七】三项展开式系数问题 题型剖析 【考点题型十七】三项展开式系数问题 题型剖析 【考点题型十八】两个二项式相乘展开系数问题 题型剖析 【考点题型十八】两个二项式相乘展开系数问题 题型剖析 【考点题型十九】二项式定理应用 【答案】A 题型剖析 【考点题型十九】二项式定理应用 【答案】A 题型剖析 【考点题型二十】杨辉三角形 【答案】34 易错易混 押题预测 【答案】C 押题预测 押题预测 【答案】6（答案不唯一） 押题预测 押题预测 （1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 排列数公式 ①（连乘形式）：，， ②（阶乘形式），， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 或：（，）. （1）性质1： （2）性质2： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 二项展开式： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ①最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大. ②各二项式系数和： ； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例1】（24-25高三上·四川成都·开学考试）某高中运动会设有8个项目，甲､乙两名学生每人随机选取3个项目，则至少选中2个相同项目的报名情况有（   ） A．420种 B．840种 C．476种 D．896种 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意可知，可以分两种情况， 第一种情况所选取3个项目恰有2个相同， 第一步，在8个项目中选取2项，共有种， 第二步，甲在剩下的6个项目中选取1项，共有种， 第三步，乙在剩下5个项目中选取1项，共有种， 由分步乘法计算原理可知，共有种； 第二种情况所选取的3个项目完全相同， 则有种； 由分类加法计数原理可知，总情况一共有种. 故选：D 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式1-1】.（24-25高三上·上海宝山·期中）由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为，即，，，…，若，则 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成数列， 则一位自然数有3个，即0，2，4， 两位自然数有6 个，即20，22，24，40，42，44， 三位自然数有18个，即200，202，204，220，222，224，240，242，244，400，402，404，420，422，424，440，442，444， 计数原理为分步乘法计数原理，首位有2个数字可选，十位有3个数字可选，个位有3个数字可选，共计有个， 所以四位自然数利用分步乘法计数原理有个， 而四位自然数为2000，2002，2004，2020，2022，2024，则2024为四位自然数中的第6个，所以． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例2】（24-25高二下·山东泰安·阶段练习）（1）计算：； （2）若，求的值. （3）化简求值：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）依题意，，则， 整理得：，而，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）由题意知，需满足且 即满足不等式组，即，解得 所以原式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式2-1】.（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）下列等式中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】故A正确； ,故B错误； ,故C正确； ,故D正确. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例3】（24-25高二·全国·课堂例题）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．24 B．48 C．144 D．240 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】将“立春”和“春分”两块展板看成一个整体，与“雨水”“谷雨”两块展板进行全排列，再将“清明”和“惊蛰”两块展板插空， 所以不同的放置方式种数为． 故选：C 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式3-1】.（24-25高二下·天津·阶段练习）五名同学元旦期间去华侨城湿地公园参观，结束后在门口五名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有 种. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】甲和乙相邻，捆绑在一起有种， 再与丙和丁外的1人排列有种， 再排丙和丁有种， 故共有种排法. 故答案为：24. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例4】（24-25高二下·上海松江·阶段练习）甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次）.甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”.从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】当丙是第2名时，甲、乙只能是第3，4名，丁为第1名，此时共有2种情况， 当丙为第3名时，甲、乙是第1，2名时，丁为第4名，此时共有2种情况， 当丙是第4名时，甲、乙有可能是第1，2名或2，3名， 若甲、乙是第1，2名时，丁为第3名，此时共有2种情况， 若甲、乙是第2，3名时，丁为第1名，此时共有2种情况， 综上所述：4人的名次排列情况种数为种情况. 故答案为：8 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式4-1】.（2025高三·全国·专题练习）5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为（    ） A．18 B．36 C．48 D．60 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】甲在排头或排尾站法有种，再让乙在中间3个位置选一个，有种站法，其余3人有种站法， 所以共有种站法， 故选：B 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例5】（多选）（24-25高二·全国·课堂例题）（多选）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】直接法：末位数字需在中选一个，排法有种，其他位置排法有种，共有种排法； 间接法：数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，有种排法， 其中组成无重复数字的四位奇数的个数为， 理由如下：末位数字需在中选一个，排法有种，其他位置排法有种，故有种排法； 所以偶数的个数为. 故选：CD． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式5-1】.（24-25高二下·山东·阶段练习）某冷饮店有种瓶装饮品可供选择，现有位同学到店，每人购买一瓶，则恰好购买了种饮料的购买方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】先指定购买的种饮料，共种，要求这位同学只能购买这种饮料， 利用间接法，每位同学共有种选择，共种购买方法， 除去位同学所买的饮料都是同一种，共种情况， 由分步乘法计数原理可知，恰好购买了种饮料的购买方法种数为种. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例6】（24-25高三上·广东·开学考试）从2023年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有（    ） A．480种 B．240种 C．120种 D．60种 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】站在一起有种， 将看成一个整体与进行全排列，共有种， 同时要求在的左边，共有种． 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例7】（24-25高二上·江西上饶·期末）（1）解方程：     （2）计算． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为，所以. 又因为，所以，解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）法一： . 法二：原式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例8】（24-25高二上·辽宁大连·期末）有6本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（   ） A．1440种 B．1560种 C．1920种 D．5760种 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】先将6本书进行分为4组，每个学生至少一本，有和两种情况， 其中分为的情况有种， 分为的情况有种， 故不同的分法种数为. 故选：B 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式8-1】.（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）某市政工作小组就民生问题开展社会调研，现派遣三组工作人员对市内甲，乙、丙、丁四区的居民收入情况进行抽样调查，若每区安排一组工作人员调研，且每组工作人员至少负责一个区调研，则不同的派遣方案共有（    ） A．36种 B．48种 C．56种 D．72种 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】先将甲、乙、丙、丁四个区分成三组，即任意选两个成为一组，剩余两个各自一组，共种， 再将分好的三组不同的区分配给三组工作人员，共有种分配方法； 因此共种. 故选：A 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例9】（湖南省部分学校2025届高三“一起考”大联考（模拟一）数学试卷）二十名校国旗班成员站成一排参加训练，教育计划在20人中选9人进行第一项训练，若这9人在原来队列中互不相邻、则教官的选择方式一共有（   ） A．220种 B．55种 C．210种 D．110种 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】本题等价于向11个人的队中插入9个人使他们不相邻，考虑插空法即为220， 故选：A． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例10】（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）给图中五个区域染色，有四种不同的颜色可供选择，要求边界有重合部分的区域（仅顶点与边重合或仅顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，则不同的染色方法有（   ） A．216种 B．180种 C．192种 D．168种 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】先对3，4，5染色，有种方法， 若2和3同色，则不同的染色方法有种， 若2和3不同色，则不同的染色方法有种， 综上，不同的染色方法有种． 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式10-1】.（2025·云南·一模）如图，用 6 种不同的颜色把图中 A，B，C，D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（    ） A．400 种 B．460 种 C．480 种 D．496 种 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色， 当使用4种颜色时，有6种涂法，有5种涂法，有4种涂法，有3种涂法， 所以共有种方法； 当使用3种颜色时，和涂一种颜色，共有6种涂法， 有5种涂法，有4种涂法， 所以共有种方法； 所以不同的涂法共有种. 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例11】（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）的值是（    ） A． B．1 C．0 D．22024 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】 . 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式11-1】.（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为 即， 所以， 则， 即. 故选：D 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例12】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）的二项展开式中各项系数之和为64，则的二项展开式中第七项为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】令结合已知，可得的二项展开式中各项系数之和为，解得， 所以，二项式即为， 其展开式的第七项为. 故答案为：84. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式12-1】.（24-25高二·全国·课堂例题）在的展开式中，第4项是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】∵展开式中的通项为， ∴第4项是. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例13】（多选）（24-25高二下·辽宁抚顺·开学考试）若（）的展开式中第5项的二项式系数最大，则的可能取值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】依题意，，即，解得，而， 所以. 故选：ABC 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式13-1】.（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）在的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的二项式系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第4项和第5项 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】依题意，偶数项的二项式系数之和为：，得， 则二项展开式共有9项，展开式的二项式系数最大的项就是第5项， 故选：C 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例14】（24-25高二上·江西·阶段练习）完成下列问题： (1)求的展开式中的常数项； (2)求的展开式中有理项的个数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）的展开式的通项为，其中且， 令，得， 所以的展开式中的常数项为； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）的展开式的通项为，其中且， 若为有理项，则为整数，所以为的倍数， 因为且，所以， 所以的展开式中有理项的个数为个. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式14-1】.（24-25高三下·福建泉州·阶段练习）在的展开式中，系数为整数的项数是（   ） A．8 B．5 C．3 D．2 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】的展开式通项公式为，， 要想系数为整数，需为整数，显然当时，满足要求， 故系数为整数的项数为3. 故选：C 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例15】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）若，则 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】令得， 令得， 所以. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式15-1】.（24-25高二上·山东东营·期末）已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】解：令，得； 令，得， 则， 故选：B 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例16】（24-25高二下·浙江宁波·阶段练习）在的展开式中，求： (1)常数项； (2)含的项的系数； (3)系数的绝对值最大的项． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）的展开式的通项为：， 令，解得，可得，即常数项为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）令，解得，可得，即项的系数为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）二项展开式系数的绝对值是，由，解得，，， 系数的绝对值最大的项为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式16-1】.（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）在 的展开式中系数最大的项为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】的展开式的通项公式为, 所以系数为，其中， 当为奇数时，为负数，系数不是最大， ， 所以系数最大的项为 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例17】（2024高三·全国·专题练习）的展开式中常数项为（    ） A． B． C．0 D．20 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】法一：由， 二项展开式的第项为， 令，可得，所以常数项为. 法二：由的展开式可知， 常数项为. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式17-1】.（2025·福建漳州·一模）的展开式中，常数项为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】 的展开式的通项公式为，， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 令可得（舍去），所以的展开式中不存在常数项， 的展开式的通项公式为，， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 令可得，所以的展开式中常数项为， 的展开式的通项公式为，， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 令可得，所以的展开式中不存在常数项， 的展开式的通项公式为，， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 令可得，所以的展开式中的常数项为， 又的展开式中没有常数项， 所以的展开式的常数项为 故答案为: 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例18】（2025·湖北·模拟预测）的展开式中的系数为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】的展开式通项为， 因为， 在中，其通项为，令， 在中，展开式通项为，令，可得， 所以，的展开式中的系数为. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式18-1】.（24-25高二下·安徽蚌埠·阶段练习）在的展开式中，含项的系数为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】依题意，展开式中含的项是，含的项是， 因此的展开式中，含的项为， 所以所求系数为． 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例19】（24-25高二下·上海·阶段练习）今天是星期五，小玲在参加数学考试，那么再过天后是星期（   ） A．二 B．三 C．四 D．五 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为， 所以可以写成，的形式. 所以除以7所得的余数为4. 故天后为星期二. 故选：A 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式19-1】.（23-24高二下·陕西西安·期中）被8除所得的余数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．5 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】 ， 因为能被8整除， 所以被8除所得的余数为1． 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例20】（23-24高二下·福建泉州·期末）在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示.那么，在“杨辉三角”中，第 行会出现三个相邻的数，其比为2:3:4.    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意可知第行第个数为， 根据题意，设所求的行数为，则存在正整数，使得连续三项，，， 有且．化简得，， 联立解得，． 故第34行会出现满足条件的三个相邻的数． 故答案为：34. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （4）分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为2，2，2；即（种）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （5）分成四个组，各组人数分别为1，1，2，2；有（种）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （6）分成四个组去参加四项不同的活动，各组人数分别为1，1，2，2．有（种）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（2024高三·全国·专题练习）有六名同学按下列方法和要求分组，各有不同的分组方法多少种？ (1)分成三个组，各组人数分别为1、2、3； (2)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为1、2、3； (3)分成三个组，各组人数分别为2、2、2； (4)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为2、2、2； (5)分成四个组，各组人数分别为1、1、2、2； (6)分成四个组去参加四项不同的活动，各组人数分别为1、1、2、2. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）分成三个组，各组人数分别为1，2，3，即＝60（种）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为1，2，3；即（种）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）分成三个组，各组人数分别为2，2，2；即（种）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（24-25高二上·辽宁大连·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】令得，， 再令得，， 上面两式相减得：, 再由进行二项式展开可得, 所以， 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）某校举行新年晚会，需要从6名女生和5名男生中选4人当主持人，要求主持人中既要有男生也要有女生，则不同的选法种数为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】从6名女生和5名男生中选4人当主持人有种选法， 若4人全是男生，则有种选法， 若4人全是女生，则有种选法， 则主持人中既要有男生也要有女生，不同的选法有种. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3．（24-25高三上·浙江嘉兴·期末）若的展开式中存在常数项，请写出一个满足条件的n的值 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】展开式的通项为， 因为存在常数项， 故有解，则，又，2，， 不妨令，则. 故答案为：6（答案不唯一） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 4．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知 (1)求的值； (2)求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）的展开式中，当时，，通项公式为， 可知，，，，，， 所以， 当时，， 所以； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）根据题意，令，得， 由（1）知，，所以 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 5．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生2名）志愿者深入乡村，开启了支教之旅.他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏.支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻； (2)2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧； (3)2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）先排2名指导老师，有种站法， 再排2名女大学生，有种站法， 最后排剩余的2名男大学生，有种站法， 所以共有种不同的站法. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）先排2名指导老师和2名女大学生，有种站法， 再用插空法排男大学生甲，除去最左侧有种站法， 最后继续用插空法，排剩余的1名男大学生，有种站法， 所以共有种不同的站法. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）先选1名女大学生和1名男大学生站2名指导老师中间，有种站法， 再排2名指导老师，有种站法， 最后将选中的1名女大学生，1名男大学生及2名指导老师视为一个整体， 利用捆绑法与剩余的2名大学生全排列，有种站法， 所以共有种不同的站法. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $$