专题03 第六章 计数原理（考点串讲，5大考点&20大题型剖析）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019）

人教A版（2019）高二数学下学期·期末大串讲 专题03 第六章 计数原理 （5考点&20题型） 人教A版2019 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 考点透视 清单01 两个计数原理综合  清单02 排列数计算  考点透视 清单03 组合数的计算和性质  清单04 二项式定理  考点透视 清单05 二项式系数（和）  题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 易错易混 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 （1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 排列数公式 ①（连乘形式）：，， ②（阶乘形式），， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 或：（，）. （1）性质1： （2）性质2： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 二项展开式： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ①最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大. ②各二项式系数和： ； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 若两户家庭孩子均在同一船上，有种方法，再分别从两户家庭中选择一个大人安排进相应船上，有4种方法，则剩下两名家长坐第3条船，有1种方法，则此种情况下的安排数为：； 若同一家庭中有孩子在不同船上，则先选择家庭有2种情况，再选择船，有种情况，则剩下两个孩子安排在第三条船有1种情况，对于孩子在不同船上的家庭，安排父母有2种情况，对于孩子在同一条船上的家庭，安排一大人与孩子同乘有2种情况，再安排剩下家长选择剩余两条船坐下，有2种情况，则此种情况下的安排数为：； 综上，满足题意的乘坐方案有种. 【考点题型一】两个计数原理综合 【例1】（重庆市江北区部分学校2024-2025学年高三下学期5月模拟考试数学试题）有两户四口之家（父亲、母亲和两个孩子）要乘坐3艘不同的小船游玩，每艘小船至多坐三人，要求孩子必须与自己的父亲或母亲同船，则不同的乘坐方案共有（   ） A．20种 B．72种 C．96种 D．120种 【答案】B 【详解】由题可得不同家庭的两个孩子不能在同一条船上，则同一家庭两个孩子在同一条船上或在两条不同船上. 所以 . 【考点题型二】排列数计算 【例2】（24-25高二下·广东深圳·期中）若，则（    ） A．28 B．56 C．112 D．120 【答案】B 【详解】由，得，解得， ①指导老师和站在两端，有种情况， ②中间5人分2种情况讨论： 若相邻且与相邻，有种安排方法， 若相邻且不与相邻，有种安排方法， 则中间5人有安排方法，则有种不同的安排方法. 【考点题型三】捆绑法和插空法 【例3】（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）灌云县第一中学高二动漫社团中有6名优秀学员、、、、、和他们的指导老师共7人站成一排合影留念，则指导老师和同学站在两端，、相邻，、不相邻的排法种数为（   ） A．56 B．72 C．36 D．48 【答案】B 【详解】根据题意，分2步进行分析： 体育课排在第四节，则满足了体育课不在第一节，同时满足了数学课不在第四节，排法种数是种； 体育课不排第四节，数学课也不排在第四节，先排第四节，不能是体育和数学，有种， 再排第一节，除了选定的和体育也有种，剩下个全排，种． 所以这天课表的不同排法种数为种． 【考点题型四】特殊元素（位置）法 【例4】（24-25高二下·广东惠州·期中）某学校周一安排有语文、数学、英语、政治、历史、地理、体育七节课，要求体育课不排在第一节课，数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】学校安排七节课程可看做是用个不同的元素填个空的问题， 要求体育不排在第一节课，数学不排在第四节课的排法可分两类． 若9为最后一位数有种，剔除两个1的重复情况，共有， 所以一共有种. 【考点题型五】间接法 【例5】（24-25高二下·天津滨海新·期中）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码.如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（   ）个. A．180 B．300 C．360 D．480 【答案】B 【详解】将六个数字看作不同数有种，剔除两个1的重复情况，共有， 所以不改变一班棋手出场次序的不同排法种数有. 【考点题型六】部分定序问题 【例6】（23-24高二下·安徽合肥·阶段练习）一班有5名棋手，出场次序已经排定，二班有2名棋手，现要排出这7人的出场顺序，如果不改变一班棋手出场次序，那么不同排法有（    ）种 A．12 B．20 C．30 D．42 【答案】D 【详解】依题意，7名棋手作全排列为，其中原有5名棋手的排列有， 故 故答案为：495. 【考点题型七】组合数的计算及性质的应用 【例7】（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知，则 ．（用数字作答） 【答案】495 【详解】由可得， 每个项目都要有男性观众，将男性观众分成三组，各组人数分别为，，或，，． 当男性观众分成三组的人数为，，时，此时共有种 当男性观众分成三组的人数为，，时，此时共有种． 所以不同的分配方法共有种． 【考点题型八】分组，分配问题（①不平均分组问题②部分平均分组③平均分组） 【例8】（24-25高三下·云南临沧·阶段练习）第届夏季奥林匹克运动会于年月日在法国巴黎开幕，某观赛团在现场为中国运动健儿加油助威，观赛团中有名女性观众和名男性观众，计划观看在个不同场地同时举行的个比赛项目，要求每个项目都要有男性观众前往观赛，则不同的分配方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【详解】先将名女性观众分配到个项目，有种分配方法． 若按学号从小到大分成大三组人数分别为，其中， 则，解得， 由隔板法可得两位负责人的选取方法种数是 【考点题型九】隔板法 【例9】（24-25高二下·浙江·期中）某班级共有44位同学，在一次春季研学活动中，要按学号顺序抽取两位同学担任活动的负责人，并使抽到的学号将其余同学仍按学号顺序自然分成三组，且要求每组的人数均大于零且是3的倍数，则两位负责人的选取方法种数是（   ） A．55 B．66 C．78 D．132 【答案】C 【详解】从位同学中抽取两人当负责人，则还剩人， 则由题意，点P，A，B分别有5，4，3种涂法， 当C与A颜色相同时，C有1种涂色方法，此时D有3种涂色方法， 当C与A颜色不相同时，C有2种涂色方法，此时D有2种涂色方法， 故此时共有种涂色方法（种）. 【考点题型十】涂色问题 【例10】（24-25高二下·天津滨海新·期中）对一个四棱维各个顶点着色，现有5种不同颜色供选择，要求同一条棱连接的两个顶点不能着相同的颜色，则不同的着色方法有（   ）种． A．120 B．360 C．420 D．240 【答案】C 【详解】设四棱锥为， ， 所以， 故. 【考点题型十一】二项式定理展开及其逆应用 【例11】（2025·北京东城·二模）已知，则实数 【答案】 【详解】因为 所以在 的展开式的中间一项是. 故答案为：20. 【考点题型十二】二项展开式第项 【例12】（24-25高二下·天津河东·期中）在 的展开式的中间一项是 . 【答案】20 【详解】由二项式展开式的性质可得展开式一共有7项，所以中间一项为第4项， 所以第项的二项式系数为，第项的二项式系数为， 依题意可得，所以. 故答案为:12. 【考点题型十三】二项式系数（和） 【例13】（24-25高二下·北京顺义·期中）已知的展开式中第5项和第9项的二项式系数相等，则n的值为 【答案】12 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 整理得：，解得：或（舍）． 所以； （2）第5项的二项式系数最大， 所以二项式系数最大项为； 【考点题型十四】指定项系数（有理项） 【例14】（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知的展开式中，前三项的系数成等差数列． (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求展开式中所有的有理项． 【详解】（1）展开式的通项为：， 因为展开式中的前三项系数成等差数列．所以， （3）展开式的通项为 当时，；当时， 由（1）知，所以. （3）令，则① 由（2）知② 由①+②得 . 【考点题型十五】系数和 【例15】（24-25高二下·广东东莞·期中）若，求： (1)求的值； (2)； (3). 【详解】（1）令得. （2）令，则， 故，解得，负值舍去， 故展开式的通项为，； （2）由（1）知，， 令，解得，故， 故常数项为； 【考点题型十六】系数最大（小）项 【例16】（23-24高二下·北京顺义·阶段练习）已知的二项展开式中第二项的系数与第三项的系数的和是48. (1)求的值以及展开式的通项； (2)求展开式中的常数项； (3)直接写出展开式系数最大的项. 【详解】（1）的通项公式为， 第二项的系数为，第三项的系数为， 当为奇数时，项的系数为负数，当为偶数时，项的系数为正数， 故当时，，当时，， 当时，，当时， 故展开式系数最大的项为. （3）系数最大的项为，理由如下： 由通项公式可得，， 所以通项公式， 因为要求的系数，所以令， 此时， 又的通项公式 令，解得 【考点题型十七】三项展开式系数问题 则的展开式中的系数为， 因此，的展开式中的系数为 【例17】（24-25高二下·河南洛阳·期中）的展开式中的系数为（   ） A．30 B．60 C．90 D．120 【答案】B 【详解】因为， 所以当时，，当时， 所以的展开式中常数项为 故答案为：61 【考点题型十八】两个二项式相乘展开系数问题 【例18】（24-25高二下·广东中山·阶段练习）的展开式中常数项是 【答案】61 【详解】由展开式的通项公式有，， 而，故最后一位数为7. 故答案为：7 【考点题型十九】二项式定理应用 【例19】（2025·安徽·模拟预测）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满十进一就是十进制，满八进一就是八进制，即“满几进一”就是几进制，不同进制的数可以相互转换，如十进制下，，用八进制表示159这个数就是237.现用八进制表示十进制的，则这个八进制数的最后一位数字为 . 【答案】7 【详解】， 第2行：，，， 第3行：，，，， 第4行：，，，，， 由此可得第行，第个数为， 所以第9行第9个数是. 【考点题型二十】杨辉三角形 故选：B. 【例20】（24-25高二下·陕西安康·期中）“杨辉三角”又称“帕斯卡三角”，是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，观察杨辉三角的相邻两行，可以发现，三角形的两个腰上的数都是1，其余的数都等于它肩上的两个数相加，其中杨辉三角的最上方的数字1表示第0行，则第9行第9个数是（   ） A．8 B．9 C．10 D．15 【答案】B 【详解】由杨辉三角知：第1行：，， ， 故被10除得的余数是1，所以被10除得的余数也是1， 其中满足要求，其他三个选项不合要求. 故选：A 【考点题型二十一】二项式定理中的新定义题 【例21】（24-25高二下·重庆·期中）《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究.设均为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为，如8和14被3除得的余数都是2，则记.若，且，则的值可以是（   ） A．2021 B．2023 C．2025 D．2027 【答案】A 【详解】 ②四门选修课放在年选完，先将四门课程分为组，再安排在三年中选完，有种安排方法，故共有种安排方法． 故选：C． 1．（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）为提升学生综合素养，某高中开设了“围棋”、“机器人”、“乒乓球”、“建筑设计”四门选修课程，要求每位学生每学年至多选两门课程，高一至高三三学年必须修完四门课程，每学年上学期选一次，每门课程限选修一学年，则每位学生不同的选修方式有（   ） A．9种 B．36种 C．54种 D．72种 【答案】C 【详解】根据题意，分种情况讨论： ①四门选修课放在年选完，先将四门课程分为组，再在三年中选出年来学习，有种安排方法， 去B班的方案有： 种；去C班的方案有： 种 所以，满足条件的方案数是：. 所以所求概率是. 1．（陕西省汉中市2025届高三下学期联考模拟（二）（5月）数学试题）若从小明､小红､小刚等6名同学中选出3名同学分别到三个班级进行学习经验分享，则小明､小红､小刚三名同学不去班，且小刚不去班分享学习经验的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】从6人中选3人排列共有种，由题意得 去班的方案有：种； 所以展开式中常数项为. 2．（江西省新九校协作体2024-2025学年高二下学期第二次联考数学试题）的展开式中常数项为（    ） A． B．80 C． D．160 【答案】C 【详解】因为， 其中展开式的通项为（且）， 当时，，由，解得， 则，即最大， 所以展开式系数最大项是第4项. 3．（23-24高二下·吉林通化·阶段练习）已知的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992.求 的展开式系数最大项是第 项. 【答案】4 【详解】依题意，，即，所以,解得； 展开式的通项公式，令， 区域2与区域1相邻，不能与区域1同色，有3种颜色可选，共3种方法； 区域3与区域1、2相邻，不能与区域1、2同色，有2种颜色可选，共2种方法； ①若区域4与区域2同色，有1种颜色可选，此时区域5与区域2不同色且有2种涂色方法，此时区域6有2种涂色方法； ②若区域4与区域2不同色，有1种颜色可选，此时若区域5与区域2同色，有1种涂色方法，区域6有3种涂色方法， 若区域5与区域2不同色，有1种涂色方法，区域6有2种涂色方法， 所以一共有种方法. 4．（2025·江苏南京·二模）英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976年由阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明.如图，一个地区分为6个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每个区域涂1种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有 种（用数字作答）. 【答案】216 【详解】如图，将6个行政区标上序号， 区域1有4种颜色可选，共4种方法； 所以，即，所以（舍去）或． （2）解：当时，可得所以展开式中二项式系数最大的项为第五项， 即，且各二项式系数和为． 5．（24-25高二下·湖北荆州·期中）在的展开式中，前3项的系数成等差数列． (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项及各二项式系数和； (3)求展开式中含的项的系数及有理项． 【详解】（1）解：由二项式展开式的通项为 ， 因为前3项的系数成等差数列，且前三项系数为， 设展开式中第项为有理项，由， 当，4，8时对应的项为有理项，其中有理项分别为： ． （3）解：由二项式展开式的通项公式为： ， 令，可得，所以含的项的系数为； $$