专题02 第五章 导数及其应用（考点串讲，12大考点&24大题型剖析）-2024-2025学年高二数学下学期期中考点大串讲（人教A版2019选择性必修第二册）

人教A版（2019）高二数学下学期·期中大串讲 专题02 第五章 导数及其应用 （12考点&24题型） 人教A版2019 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 考点透视 考点透视 清单02 含参问题讨论单调性  考点透视 清单03 函数的极值  考点透视 清单04 函数的最大（小）值  考点透视 清单05 函数的最值与极值的关系  考点透视 清单06 分离参数法  考点透视 清单07 分类讨论法  清单08 等价转化法  考点透视 清单09 最值定位法  清单10 值域法解决双参问题  考点透视 清单11 函数的零点  清单12  函数零点判断  题型剖析 【考点题型一】求已知函数（不含参）的单调区间 【答案】A 题型剖析 【答案】3 题型剖析 【答案】C 题型剖析 题型剖析 【考点题型五】导函数有效部分是一次型或可化为一次型 题型剖析 【考点题型五】导函数有效部分是一次型或可化为一次型 题型剖析 【考点题型六】导函数有效部分是二次型或可化为二次型 题型剖析 【考点题型六】导函数有效部分是二次型或可化为二次型 题型剖析 【考点题型六】导函数有效部分是二次型或可化为二次型 题型剖析 【考点题型六】导函数有效部分是二次型或可化为二次型 题型剖析 【考点题型七】导函数有效部分是不可因式分解的二次型 题型剖析 【考点题型七】导函数有效部分是不可因式分解的二次型 题型剖析 【考点题型七】导函数有效部分是不可因式分解的二次型 题型剖析 【考点题型八】求已知函数（不含参）极值（点）最值 题型剖析 【考点题型九】根据函数的极值（点）求参数 题型剖析 【考点题型九】根据函数的极值（点）求参数 题型剖析 【考点题型十】求已知函数（含参）极值（点）、最值 题型剖析 【考点题型十一】根据函数的最值求参数 题型剖析 【考点题型十二】借助分离变量法解决恒成立问题 题型剖析 【考点题型十二】借助分离变量法解决恒成立问题 题型剖析 【考点题型十三】借助分离变量法解决能成立（有解）问题 题型剖析 【考点题型十四】借助分类讨论法解决恒成立问题 题型剖析 【考点题型十四】借助分类讨论法解决恒成立问题 题型剖析 【考点题型十五】借助分类讨论法解决能成立（有解）问题 题型剖析 【考点题型十五】借助分类讨论法解决能成立（有解）问题 题型剖析 【考点题型十六】最值定位法解决双参不等式问题 题型剖析 【考点题型十六】最值定位法解决双参不等式问题 题型剖析 题型剖析 题型剖析 【考点题型十八】值域法解决双参等式问题 题型剖析 【考点题型十九】判断（讨论）函数零点（方程的根）的个数 题型剖析 【考点题型十九】判断（讨论）函数零点（方程的根）的个数 题型剖析 【考点题型十九】判断（讨论）函数零点（方程的根）的个数 题型剖析 【考点题型二十】证明函数零点（方程的根）的唯一性 题型剖析 【考点题型二十】证明函数零点（方程的根）的唯一性 题型剖析 【考点题型二十一】利用极值（最值）研究函数的零点（方程的根） 题型剖析 【考点题型二十一】利用极值（最值）研究函数的零点（方程的根） 题型剖析 【考点题型二十一】利用极值（最值）研究函数的零点（方程的根） 题型剖析 【考点题型二十一】利用极值（最值）研究函数的零点（方程的根） 题型剖析 【考点题型二十二】数形结合法研究函数的零点（方程的根） 题型剖析 【考点题型二十二】数形结合法研究函数的零点（方程的根） 题型剖析 【考点题型二十二】数形结合法研究函数的零点（方程的根） 题型剖析 【考点题型二十二】数形结合法研究函数的零点（方程的根） 题型剖析 【考点题型二十三】利用同构函数法研究函数的零点（方程的根） 【答案】A 题型剖析 【考点题型二十四】】导数中新定义题 题型剖析 【考点题型二十四】】导数中新定义题 题型剖析 【考点题型二十四】】导数中新定义题 易错易混 【答案】C 易错易混 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 （1）已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. （2）已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 （3）已知函数在区间上不单调，使得有变号零点 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 第一步：求的定义域 第二步：求（导函数中有分母通分） 第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负. 第四步：确定导函数有效部分的类型： ①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型） 第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③转化：，使得能成立； ，使得能成立． ④求最值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ①当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. ②当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ,,使得成立 ①，求出的值域，记为 ②求出的值域，记为 ③则,求出参数取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注意：单调性+存在零点=唯一零点 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例1】（24-25高二下·江苏·阶段练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】易知函数定义域为， 可得，显然， 令，可得， 因此函数的单调递减区间是. 故选：A 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例2】（24-25高二下·山西·开学考试）已知函数在定义域上单调递增，则实数m的最大值是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为函数在定义域上单调递增， 所以恒成立， 即恒成立， 令，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，即， 所以实数的最大值为3. 故答案为：3 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例3】（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知函数存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】易知的定义域为，又， 由题意可知在上有解，即在上有解， 可得，所以． 故选：C． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例4】（24-25高二下·重庆合川·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)若函数在上不具有单调性，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以， 当时，，单调递减； 当时，； 当时，，单调递增， 所以当时，取到最小值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）因为， 所以， 令，得， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 又在上不具有单调性， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例5】（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)求函数的单调区间. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）当时，，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为，无极大值； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2），， 当时，恒成立， 此时的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，， 当时，，当时，， 此时的单调递减区间为，单调递增区间为， 综上所述，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式5-1】.（2025·广东佛山·二模）已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）， 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，令， 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例6-1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值； (2)讨论函数的单调性． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由于，故， 解得或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例6-1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值； (2)讨论函数的单调性． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）首先有． 若，则在上递减； 若，则对有， 对有． 所以在上单调递减，在上单调递增； 若，则对有， 对有． 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例6-2】（2025·江西萍乡·一模）已知函数，其中. (1)若的图象在处的切线经过点，求a的值； (2)讨论的单调性. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）， 因为，， 所以的图象在处的切线方程为， 将代入得，解得； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例6-2】（2025·江西萍乡·一模）已知函数，其中. (1)若的图象在处的切线经过点，求a的值； (2)讨论的单调性. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）， 当时，，令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，，所以在上单调递增. 当时，令，得或；令，得， 所以在，上单调递增，在上单调递减. 当时，令，得或；令，得， 所以在，上单调递增，在上单调递减. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例7】（2025·山东聊城·一模）已知函数. (1)讨论的单调性； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）的定义域为. 求导可得：. 令，其判别式. 当，即时，因为，所以，则，所以在上单调递增. 当，即或时，方程的两根为，.(根同号)，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 因为，当时，，则，，此时，，在上单调递增. 当时，，则，，且， 此时在和上，，，单调递增； 在上，，，单调递减. 综上所得， 当时， 在上单调递增. 当时，在和上单调递增；在上，单调递减. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式7-1】.（24-25高三上·山西晋城·期末）设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）当时，，则， 则曲线在点处的切线斜率为， 因为，所以曲线在点处的切线方程为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式7-1】.（24-25高三上·山西晋城·期末）设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）的定义域为． 当时，． 令，则在上单调递减，在上单调递增， 因此，的最小值为 当时，则，此时，在上单调递增， 当时，令，得． 当时，单调递增； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 当时，单调递减； 当时，单调递增 综上，当时，在上单调递增，当时， 在上单调递增， 在上单调递减． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例8-1】（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求在上的最小值和最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）所以， 令，解得或，令，解得， 所以的增区间为，减区间为； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）令，解得或， 由（1）得单调递增，单调递减，单调递增， 又， ， ， ，所以 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例9】（24-25高二下·天津宁河·阶段练习）已知函数，且当时，取得极值 (1)求的解析式； (2)求在上的最值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1），故可得， 由题可知：，， 即：，，解得； 经检验，当时，满足题意，故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例9】（24-25高二下·天津宁河·阶段练习）已知函数，且当时，取得极值 (1)求的解析式； (2)求在上的最值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）可知：，，又， 故当，，单调递增；当，，单调递减； 当，，单调递增； 故的极大值为，的极小值为，， 故在上的最大值为，最小值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例10-1】（24-25高二·全国·课堂例题）已知函数，求的单调区间与极值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】 ． 令有两根或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）当时，与的情况如下： x － 0 ＋ 0 － 减 极小 增 极大 减 由表可知，的增区间是，减区间是，极大值为，极小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）当时，与的情况如下： x ＋ 0 － 0 ＋ 增 极大 减 极小 增 由表可知，的增区间是，减区间是，极大值为，极小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例11】（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知函数，其中为常数，为自然对数的底数． (1)当时，求的单调区间； (2)若在区间上的最大值为2，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由题设的定义域为，且，则， 当时，当时， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由题设， 当，结合，易知， 所以在上单调递增，故无最大值，不符合； 当，且，则时，时， 所以在上递增，在上递减，则， 故，可得. 综上，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例12】（24-25高三上·安徽安庆·期末）已知函数，，为函数的导函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若任意，恒成立，求a的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为，且定义域为， 所以，令，则， 当时，，函数在上单调递增； 当时，令，得到，令，得到， 故函数在上单调递减，在上单调递增； 综上：当时，在上单调递增； 当时在上单调递减，在上单调递增． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例12】（24-25高三上·安徽安庆·期末）已知函数，，为函数的导函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若任意，恒成立，求a的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）得， 因为对于任意，恒成立， 所以恒成立， 化简得恒成立，故恒成立， 令，则恒成立，， 令，则， 得到在单调递增，即 故，在单调递增，而， 即，故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例13】（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由题可知在上恒成立，所以． 因为，所以， 则，所以的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由，可得． 令，则， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以 所以，故的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例14】（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求曲线的对称中心； (3)若当时，恒有，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1） 切线方程为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）的定义域为， 其定义域关于对称， 则， 所以曲线的对称中心是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例14】（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求曲线的对称中心； (3)若当时，恒有，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）令在上恒成立， 注意到 在上为增函数， . ①当时，即在上为增函数 满足题意； ②当时，时，， 存在，使得时， 在上为减函数， ，与题意矛盾， 综上：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例15】（2025·新疆喀什·二模）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)若存在，使得，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）当时，， 则， 令，得；令，得或， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则时，函数取得极大值， 时，函数取得极小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例15】（2025·新疆喀什·二模）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)若存在，使得，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由，， 则， 当时，，此时，函数在上单调递增， 则，即； 当时，， 则时，；时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，与矛盾，不符合题意； 当时，，此时，函数在上单调递减， 则，即恒成立，符合题意. 综上所述，的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例16】（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数. (1)求的单调区间; 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由，， 得. 令，解得. 当时，， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 当时，恒成立，在上单调递增. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例16】（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数. (1)求的单调区间; (2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）因为对任意，均存在，使得， 所以， 当时，取得最大值，最大值为0. 由（1）得，当时，在]上单调递增， 即当时，取得最大值， 所以，解得，即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值. 设， 则，单调递增， 所以成立，所以无解. 综上所述，的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例17】（24-25高二下·广西南宁·阶段练习）设函数. (1)若在定义域上单调，求参数的范围？ (2)若，判断与在处是否有公切线？若存在，则求出其公切线，若不存在，请说明理由. (3)若当时，恒成立.求参数的范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由得 因为在定义域上单调，所以恒成立. ∴解得 所以的范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由题意得 ，，即. 与在处切线斜率相等，且切点为. 与在处有公切线，切线方程为， 即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 于是即在上单调递减，在上单调递增. .故. 于是有当时，单调递增； 时，单调递减. 因为，所以的最小值为0. 即恒成立. 综上原命题成立. 所以参数的范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (3)若当时，恒成立.求参数的范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）令，则， 由题意时，恒成立 为成立的必要条件. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 下面证明：为成立的充分条件. 把函数看作以变量为主元的函数， 于是设， 当时，可知在上单调递增， 所以有最小值为. 于是设， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 下证在上恒成立. . 则. 令 在上单调递增. ，使得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例18】（24-25高一上·广东茂名·阶段练习）已知. (1)求的解析式； (2)函数，若对任意，总存在，使成立，求的取值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）令，得到，即， 所以； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）令，则，，， 所以， 由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，，当时，， 的值域为， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 当时，，令， 则可化为，， 因为，在单调递增，所以， 即当时，， 因为对任意，总存在，使成立， 所以的值域是值域的子集， 则，解得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例19】（2025·贵州六盘水·一模）已知函数． (1)当时，证明函数在单调递增； (2)若函数在有极值，求实数a的取值范围； (3)若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的零点个数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）当时，由，可得， 因，则，又因为，则， 所以函数在单调递增； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）， 因为函数在有极值，所以在有解， 又因为在单调递增，需使， 即，所以，解得， 故实数a的取值范围为； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例19】（2025·贵州六盘水·一模）已知函数． (1)当时，证明函数在单调递增； (2)若函数在有极值，求实数a的取值范围； (3)若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的零点个数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）因为函数在点处的切线方程为， 所以，且， 解得． 故则， 当时，，即在单调递增， 因，所以在没有零点； 当时，，此时函数有一个零点： 当时，，即在没有零点． 综上所述，函数的零点个数为1个． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）由题意可得，则，解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ③ 当时，． 由，得，由，得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴． 若，则，，则， ，则没有零点，故有唯一的零点； 若，则，，则有一个零点，故有两个零点； 若，则，，， ， 又，时，， ∴在和内各有一个零点，即有两个大于0的零点，则有三个零点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式19-1】.（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数. (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的值； (2)讨论的零点个数，并证明. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由题意可得，则，解得． （2）当时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 证明如下： 令，得或． 设函数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ① 当时，恒成立，没有零点，则有唯一的零点； ② 当时，，故是上的增函数， 由得. ∵，， ∴有唯一的零点，则有两个零点； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例20】（24-25高三下·河南·阶段练习）已知函数，. (1)讨论的单调区间； (2)若直线为的切线，求a的值. (3)已知，若曲线在处的切线与C有且仅有一个公共点，求a的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由，， 当时，，在单调递增， 当时，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上，当时，在单调递增，无单调减区间； 当时，在区间上单调递减，在上单调递增. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）设切点为，依题意，，所以， 又，代入可得，， 设， 则，所在单调递增， 因为，所以，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 因为，，当，，所以有两个零点，不符题意； 综上，a的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例20】（24-25高三下·河南·阶段练习）已知函数，. (1)讨论的单调区间； (2)若直线为的切线，求a的值. (3)已知，若曲线在处的切线与C有且仅有一个公共点，求a的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3），， 所以曲线在处的切线方程为，即， 设，， ， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ①当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，有且仅有一个零点，符合题意； ②当时，，在上单调递减，有且仅有一个零点，符合题意； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ③当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 因为，，当，，所以有两个零点，不符题意； ④当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例21】（24-25高二下·天津·阶段练习）已知函数 其中a为实数. (1)当 时，求曲线 )在点处的切线方程; (2)求函数的单调区间； (3)若函数有且仅有一个零点，求a的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）当时，， 所以，， 所以，所以切线方程为：，即； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由，可得或， 由，可得：， 所以函数的单调递增区间是，；单调递减区间是； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例21】（24-25高二下·天津·阶段练习）已知函数 其中a为实数. (1)当 时，求曲线 )在点处的切线方程; (2)求函数的单调区间； (3)若函数有且仅有一个零点，求a的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）由（2）知极大值为：，极小值为：， 当，故若函数有且仅有一个零点， 需满足：或， 解得：或， 即a的取值范围是； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式21-1】.（24-25高二下·山东济南·阶段练习）已知函数上点处的切线方程为 (1)求的解析式； (2)若函数在上有两个零点，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由题意可知， 因为函数图象上点处的切线方程为， 所以，，，解得，， 所以，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式21-1】.（24-25高二下·山东济南·阶段练习）已知函数上点处的切线方程为 (1)求的解析式； (2)若函数在上有两个零点，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2）由，可得， 令，其中，则， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，函数的极小值为，，， 由题意可知，直线与函数在上的图象有且只有两个交点，如下图所示： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 由图可知，实数的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例22】（23-24高二下·广东中山·阶段练习）已知函数． (1)求函数极值点： (2)讨论关于的方程解的个数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1），， 所以在区间上单调递减， 在区间上单调递增， 所以的极小值点为，无极大值点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例22】（23-24高二下·广东中山·阶段练习）已知函数． (1)求函数极值点： (2)讨论关于的方程解的个数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）对于方程， 不满足方程，所以；不满足方程，所以， 则，， 设（且） ， 所以在区间上单调递增； 在区间上，单调递减； 由此画出的大致图象如下图所示， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ， 显然， 由图可知或时，方程有个解； 或时，方程有个解； 时，方程有个解. 解得或时，方程有个解； 或时，方程有个解； 时，方程有个解. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式22-1】.（24-25高二下·上海·阶段练习）已知函数 (1)判断函数的奇偶性. (2)当时，求函数经过点的切线方程； (3)若函数在处有极值，根据实数的不同取值，讨论关于的方程的实根的个数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）函数为二次函数，是轴对称图形，且对称轴为， 当时，函数的图象关于对称，所以函数为偶函数， 当时，函数为非奇非偶函数； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）当时，，则， 设切点为， 则切线的斜率， 所以切线方程为， 又因为切线过点， 所以， 化简得，解得， 切线方程为，即； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (3)若函数在处有极值，根据实数的不同取值，讨论关于的方程的实根的个数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3），则， 因为函数在处有极值， 所以，解得， 则， 令，则或，令，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点， 所以，所以 ， 当时，，当时，， 如图，作出函数的大致图象， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 由图可知，当或时，方程有个实数根； 当或时，方程有个实数根； 当时，方程有个实数根. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例23】（24-25高三上·云南昆明·期中）已知是函数的零点，则（    ） A．0 B． C．1 D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由得，，且，即， 令，，所以在上单调递增, 由，可知， 又在上单调递增，,所以. 故选：A 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例24】（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知是函数的零点，若对满足的任意正整数，使得，则称“被控制”． (1)已知函数，若“被2控制”，求的取值范围． (2)已知函数有三个零点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：“被1控制”． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）令，则或． 令，则，当且仅当时，等号成立， 即在上单调递增． 设存在正数满足，因为“被2控制”，所以，即， 所以，即，解得，所以的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)已知函数有三个零点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：“被1控制”． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）（ⅰ）解：由可得． 令，知为奇函数． 若，由，解得． 当时，单调递增， 当时，单调递减，则，且． 当时，单调递增且， 当时，单调递增且，当时，单调递减且． 若，当时，单调递减且， 当时，单调递增且， 当时，单调递增且． 当或时，有三个解，所以的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)已知函数有三个零点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：“被1控制”． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （ⅱ）由函数的对称性知，只需要证明时的情况即可． 当时，的三个零点满足， 只需要证明即可，即证明，即， 当时，单调递增， 则只需要证明 ，这显然成立，故“被1控制”． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（24-25高三上·湖北·阶段练习）若在处取得极大值，则的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，则 又在处取得极大值， ，解得或， 当，时，， 当时，，当时，， 则在处取得极小值，与题意不符； 当，时，， 当时，，当时，， 则在处取得极大值，符合题意，则， 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（23-24高二上·天津）函数的单调递减区间为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】/ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为函数，定义域为， 所以， 令，所以， 的单调递减区间为. 故答案为：或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知函数，且满足 (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为， 所以， 令，即方程， 解得 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知函数，且满足 (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）知，，所以， 令，即， 解得． 列表如下： 2 3 + 0 - 0 + 当时，单调递增： 当时，单调递减： 当时，单调递增． 所以有极大值；有极小值 又． 所以函数在区间上的最大值为，最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知函数. (1)若有正零点，求实数的取值范围； (2)若，求曲线在点处的切线方程，并证明：当时，恒成立. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）令，得，故只需求满足的的取值范围. 令，有， ，故在上单调递减，故当时， 因此，的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知函数. (1)若有正零点，求实数的取值范围； (2)若，求曲线在点处的切线方程，并证明：当时，恒成立. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）若，则， 所以，所以， 又，所以曲线在点处的切线方程为. 要证明恒成立，即证明恒成立. 设函数， 则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故当时，， 即当时，恒成立. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3．（24-25高三上·广东·期末）已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若在区间上有唯一的零点，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）当时，， 所以， 所以在处的切线方程为，即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由得， 设，则在上单调递增，， 当时，在区间上单调递增， 因为，所以在区间上没有零点. 当，即时，在区间上单调递减， 所以在区间上没有零点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 当时，， 存在，使得， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 因为，所以要使有零点，需满足， 即，综上得的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 4．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知函数在处有极值1． (1)求函数的单调区间 (2)若函数恰有3个零点，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由，得， 故，解得， 故， 令，得或；令，得， 故的单调递增区间为，单调递减区间为； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）， 由（1）可得的极大值为，极小值为， 当x趋向于正无穷大和负无穷大时，也分别趋向于正无穷大和负无穷大， 故函数恰有3个零点，即的图象有3个交点， 故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $$