专题03 第五章 导数在研究函数中的作用（5考点清单，知识导图+12个题型解读&提升训练）-2024-2025学年高二数学下学期期中考点大串讲（人教A版2019）

清单03 第五章 导数在研究函数中的作用 （5个考点梳理+12题型解读+提升训练） 清单01 由函数单调性求参数取值范围 （1）已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. （2）已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 （3）已知函数在区间上不单调，使得有变号零点 清单02 含参问题讨论单调性 第一步：求的定义域 第二步：求（导函数中有分母通分） 第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负. 第四步：确定导函数有效部分的类型： ①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型） 第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 清单03 函数的极值 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 清单04 函数的最大（小）值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 清单05 函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 【考点题型一】求已知函数（不含参）的单调区间（） 【例1】（24-25高二下·江苏·阶段练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】．（24-25高二下·天津宁河·阶段练习）的单调递减区间为 . 【变式1-2】.（24-25高三下·河北邢台·阶段练习）已知函数． (1)时，曲线在处的切线与处的切线平行，求的值； (2)若函数是增函数，求实数的取值范围； (3)若，求函数的单调区间与极值． 【变式1-3】.（24-25高二下·河南·阶段练习）已知函数，曲线在处切线的斜率为. (1)求实数的值； (2)研究的单调性； (3)求的极值. 【考点题型二】已知函数在区间上单调，求参数（） 【例2】（24-25高二下·山西·开学考试）已知函数在定义域上单调递增，则实数m的最大值是 . 【变式2-1】.（24-25高三上·青海·期末）若函数在上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】.（2025·山东菏泽·一模）已知函数在区间单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】.（24-25高三上·黑龙江·期末）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-4】.（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 . 【考点题型三】已知函数在区间上存在单调区间，求参数（） 【例3】（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知函数存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】.（24-25高三上·上海·阶段练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 【变式3-2】.（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 ． 【变式3-3】.（2025高三下·全国·专题练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 【考点题型四】已知函数在区间上不单调，求参数（） 【例4】（24-25高二下·重庆合川·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)若函数在上不具有单调性，求实数的取值范围. 【变式4-1】.（24-25高三上·河北沧州·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】.（24-25高二下·重庆城口·阶段练习）已知函数，若在内不单调，则实数的取值范围是 ． 【变式4-3】.（2025高三下·全国·专题练习）函数．若在区间上不单调，求a的取值范围． 【考点题型五】函数与导函数图象之间的关系（） 【例5】（24-25高三下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知偶函数在上的导函数为，且在时满足以下条件：①导函数的图象如图所示；②唯一的零点是1．则的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】.（24-25高二下·重庆合川·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（    ） A．为的极小值点 B．为的极大值 C．在区间上，是增函数 D．在区间上，是减函数 【变式5-2】.（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】.（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的选项是（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【变式5-4】.（24-25高二上·山西晋中·期末）已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是， C．当时，有极值 D．当时， 【考点题型六】导函数有效部分是一次型或可化为一次型（） 【例6】（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)求函数的单调区间. 【变式6-1】.（24-25高二下·山东济南·阶段练习）已知． (1)讨论的单调性； 【变式6-2】.（辽宁省葫芦岛市普通高中2025届高三第一次模拟考试数学试题）已知函数． (1)讨论的单调性； 【变式6-3】.（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调区间； 【变式6-4】.（2025·广东佛山·二模）已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； 【考点题型七】导函数有效部分是二次型或可化为二次型（） 【例7-1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值； (2)讨论函数的单调性． 【例7-2】（2025·江西萍乡·一模）已知函数，其中. (1)若的图象在处的切线经过点，求a的值； (2)讨论的单调性. 【变式7-1】.（24-25高三下·河南新乡·阶段练习）已知函数 (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)试讨论的单调性． 【变式7-2】.（2025高三·全国·专题练习）已知函数.讨论的单调性. 【变式7-3】.（24-25高二下·天津武清·阶段练习）已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为4，求的值； (2)讨论函数的单调性. 【考点题型八】导函数有效部分是不可因式分解的二次型（） 【例8】（2025·山东聊城·一模）已知函数. (1)讨论的单调性； 【变式8-1】.（24-25高三上·山西晋城·期末）设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性． 【变式8-2】.（24-25高二上·重庆·期末）已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)若有两个极值点，证明：． 【考点题型九】求已知函数（不含参）极值（点）最值（） 【例9-1】（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求在上的最小值和最大值． 【例9-2】（24-25高二下·重庆合川·阶段练习）已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. (1)求函数的解析表达式； (2)求函数的极值. 【变式9-1】.（24-25高二下·山东济南·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求在区间上的最值． 【变式9-2】.（24-25高二下·山东聊城·阶段练习）已知函数在处取得极值. (1)求的值； (2)当时，求曲线在处的切线方程； (3)当时，求曲线的极值. 【考点题型十】根据函数的极值（点）求参数（） 【例10】（24-25高二下·天津宁河·阶段练习）已知函数，且当时，取得极值 (1)求的解析式； (2)求在上的最值. 【变式10-1】．（24-25高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数在处取得极小值，且极小值为． (1)求的值； (2)求在上的最值. 【变式10-2】.（24-25高二上·宁夏石嘴山·期末）已知函数在处取得极值. (1)求函数的解析式及单调区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值. 【变式10-3】.（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知函数在处取得极值. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值. 【考点题型十一】求已知函数（含参）极值（点）、最值（） 【例11-1】（24-25高二·全国·课堂例题）已知函数，求的单调区间与极值． 【例11-2】（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）已知函数 (1)讨论的单调区间； (2)求在上的最大值. 【变式11-1】.（24-25高二·全国·课堂例题）设函数，求函数的极值． 【变式11-2】.（24-25高三上·吉林通化·期末）已知，其中． (1)若函数在处的切线与轴平行，求的值； (2)求的极值点； 【变式11-3】.（24-25高三下·四川内江·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求函数在的最小值. 【考点题型十二】根据函数的最值求参数（） 【例12】（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知函数，其中为常数，为自然对数的底数． (1)当时，求的单调区间； (2)若在区间上的最大值为2，求的值． 【变式12-1】.（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数. (1)若时，求曲线在处的切线方程； (2)若时，在区间上的最小值为，求实数的值. 【变式12-2】.（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若在上的最大值是，求a的值． 【变式12-3】.（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在上的最小值为2，求负实数a的值． 【变式12-4】（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）已知函数在时有极大值. (1)求的值； (2)若在的最大值为32，求实数的取值范围. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二下·湖北荆门·阶段练习）设三次函数的导函数为，函数图象的一部分如图所示，则下列说法正确的个数为（   ） ①函数有极大值 ②函数有极小值 ③函数有极大值 ④函数有极小值 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25高三下·湖北·开学考试）函数在上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·四川南充·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A．​ B．​ C．​ D． 4．（24-25高二下·山东聊城·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D．和 5．（24-25高二下·福建龙岩·阶段练习）若函数的单调递减区间为，则实数的值为（   ） A． B． C．3 D． 6．（24-25高二下·天津·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则a的取值范围（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）若函数是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知函数在时取得极值13，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（安徽省皖北县中联盟2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题（A卷））已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．函数的图象在的切线的斜率为0 B．函数在上单调递减 C．是函数的极小值点 D．是函数的极大值 10．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（24-25高二下·天津和平·阶段练习）函数的单调递增区间是 12．（24-25高二下·天津·阶段练习）已知函数，当时有极大值3，则 ; . 四、解答题 13．（24-25高三下·辽宁·开学考试）已知函数 (1)若的图象在点处的切线方程为，求a与b的值； (2)若在处有极值，求a与b的值. 14．（23-24高二下·天津滨海新·期中）设函数． (1)求在处的切线方程； (2)求在区间上的最大值与最小值． 15．（24-25高二下·天津·阶段练习）已知 函数 (1)若， 求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性 16．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知函数，． (1)当时，求的最小值； (2)若，试讨论的单调性． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 第五章 导数在研究函数中的作用 （5个考点梳理+12题型解读+提升训练） 清单01 由函数单调性求参数取值范围 （1）已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. （2）已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 （3）已知函数在区间上不单调，使得有变号零点 清单02 含参问题讨论单调性 第一步：求的定义域 第二步：求（导函数中有分母通分） 第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负. 第四步：确定导函数有效部分的类型： ①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型） 第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 清单03 函数的极值 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 清单04 函数的最大（小）值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 清单05 函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 【考点题型一】求已知函数（不含参）的单调区间（） 【例1】（24-25高二下·江苏·阶段练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】对函数求导并令解不等式可得单调递减区间. 【详解】易知函数定义域为， 可得，显然， 令，可得， 因此函数的单调递减区间是. 故选：A 【变式1-1】．（24-25高二下·天津宁河·阶段练习）的单调递减区间为 . 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】先求导，再求的区间即可. 【详解】函数定义域为， ， 令， 即，解得： 的单调递减区间为. 故答案为： 【变式1-2】.（24-25高三下·河北邢台·阶段练习）已知函数． (1)时，曲线在处的切线与处的切线平行，求的值； (2)若函数是增函数，求实数的取值范围； (3)若，求函数的单调区间与极值． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由函数在区间上的单调性求参数、已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值 【分析】（1）求出，直接解方程即可得出的值； （2）由题意可知，对任意的，恒成立，参变分离得出，利用二次函数的基本性质可求出函数的最小值，即可求出实数的取值范围； （3）求得，利用导数可求出函数的增区间和减区间，并由此计算出该函数的极大值和极小值. 【详解】（1）当时，，则， 所以，， 由，即， 即，解得或， 由题意可知，，所以，. （2）因为，则， 因为函数在上为增函数， 故对任意的，，可得， 因为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故，即， 因此，实数的取值范围是. （3）当时，， 则， 令可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，减区间为， 函数的极大值为， 极小值为. 【变式1-3】.（24-25高二下·河南·阶段练习）已知函数，曲线在处切线的斜率为. (1)求实数的值； (2)研究的单调性； (3)求的极值. 【答案】(1) (2)在，上单调递减，在上单调递增 (3)极小值为，无极大值. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义结合题意即可求； （2）求出函数的定义域，再对函数求导，根据导数的取值的正负确定函数的单调区间； （3）根据函数的单调性，确定函数的极值点，再求极值即可. 【详解】（1），由题意可知，， 解得或（舍去），故实数的值为. （2）因为，所以的定义域为， 由（1）可知，， 令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故在，上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）知，在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值， 极小值为，无极大值. 【考点题型二】已知函数在区间上单调，求参数（） 【例2】（24-25高二下·山西·开学考试）已知函数在定义域上单调递增，则实数m的最大值是 . 【答案】3 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据函数在定义域上单调递增，由恒成立求解. 【详解】因为函数在定义域上单调递增， 所以恒成立， 即恒成立， 令，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，即， 所以实数的最大值为3. 故答案为：3 【变式2-1】.（24-25高三上·青海·期末）若函数在上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】依据题意转化为导函数恒成立问题，再利用分离参数法求解即可. 【详解】因为，所以， 因为在上单调递减，所以对恒成立， 得到，即对恒成立， 令，则对于恒成立， 当时，由反比例函数性质得在上单调递减， 得到，即，故D正确. 故选：D 【变式2-2】.（2025·山东菏泽·一模）已知函数在区间单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】先对函数求导，令导数等于0，求出增减区间，进而得到或，即可求得结果. 【详解】由已知得，当时，令，得， 令，解得；令，解得； 故在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以若在区间上单调，则需满足或，即或， 所以的取值范围是 故选：B 【变式2-3】.（24-25高三上·黑龙江·期末）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求导，根据，结合二次函数的性质求解. 【详解】由题意可得， 由于在上单调递增，故， 因此恒成立，故， 由于，故， 故选：B 【变式2-4】.（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】由题意在上恒成立，再参变分离求导分析单调性求解最值即可. 【详解】由题意得的定义域为. 在上恒成立，即在上恒成立. 设，则，. 当时，， 所以在上单调递增，所以，所以， 即实数a的取值范围是. 故答案为： 【考点题型三】已知函数在区间上存在单调区间，求参数（） 【例3】（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知函数存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】对函数求导根据有单调递增区间，转化为不等式能成立即可求得结果. 【详解】易知的定义域为，又， 由题意可知在上有解，即在上有解， 可得，所以． 故选：C． 【变式3-1】.（24-25高三上·上海·阶段练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】在定义域上存在单调递减区间，即在上有解，进而求的范围. 【详解】法一：， 由题意可知在上有解，即有正实数解， 当时，显然满足要求， 当时，只需满足，即， 综上：的取值范围为. 故答案为：. 法二：， 由题意可知在上有解， 即在上有解，即在上有解， 所以，则的取值范围为. 故答案为：. 【变式3-2】.（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究能成立问题 【分析】由题意可知，使得成立，则，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】函数的定义域是，则． 若存在单调递减区间，即，使得成立，则． 令，则， 令，解得，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减，故，故． 故答案为：. 【变式3-3】.（2025高三下·全国·专题练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】求，根据分离参数，构造函数可得的取值范围. 【详解】∵，∴， ∵在区间内存在单调递增区间， ∴在上有解，故在上有解， 令，则， ∵，∴，即在上为减函数， ∴，故． 故答案为：. 【考点题型四】已知函数在区间上不单调，求参数（） 【例4】（24-25高二下·重庆合川·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)若函数在上不具有单调性，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求导，由函数单调性以及最值的关系即可得解； （2）由导数求出函数单调区间，结合题意即可列不等式求解. 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以， 当时，，单调递减； 当时，； 当时，，单调递增， 所以当时，取到最小值为. （2）因为， 所以， 令，得， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 又在上不具有单调性， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 【变式4-1】.（24-25高三上·河北沧州·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用函数单调性求最值或值域 【分析】求出函数的导数，由在上有变号零点求解得答案. 【详解】函数，求导得， 依题意，在上有变号零点，由，得， 函数在上单调递减，；在上单调递增，， 所以实数的取值范围是. 故选：A 【变式4-2】.（24-25高二下·重庆城口·阶段练习）已知函数，若在内不单调，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、由函数的单调区间求参数 【分析】求出函数的导数，由在内不单调知在内有实数根且无重根，再通过分类讨论结合二次方程根的分布求得实数的范围. 【详解】由，得， 因为在内不单调，所以在内有实数根且无重根. 若在内有且只有一个实数根，的图象如图， 则， 即，显然不等式无解；    若在内有两个不相等的实数根，的图象如图， 则，即，解得. 综上，实数的取值范围是    故答案为：． 【变式4-3】.（2025高三下·全国·专题练习）函数．若在区间上不单调，求a的取值范围． 【答案】． 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】先求，由在区间上不单调，得在内有解且无重根，分和两种情况讨论求解即可 【详解】，∴， ①当时，，故在上为增函数，不满足题意； ②当时，由，得， 因为在上不单调， 所以，解得, 即a的取值范围为. 【考点题型五】函数与导函数图象之间的关系（） 【例5】（24-25高三下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知偶函数在上的导函数为，且在时满足以下条件：①导函数的图象如图所示；②唯一的零点是1．则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】记在上的零点为，结合导函数的图象可求出的单调区间，再根据可求出当时的正负，再结合偶函数的性质可求得不等式的解集. 【详解】记在上的零点为， 由在上的图象，知当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 因为在唯一的零点是1，即， 所以当时，，当时，． 又为偶函数，所以当时，，当时，， 所以的解集为． 故选：B． 【变式5-1】.（24-25高二下·重庆合川·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（    ） A．为的极小值点 B．为的极大值 C．在区间上，是增函数 D．在区间上，是减函数 【答案】B 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据导函数的图象，分析出函数的单调性及单调区间，再逐项分析即可. 【详解】由导函数的图象可知，当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 所以为的极大值点，故A、 D错误； 当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 所以为的极大值点，即为的极大值，故B正确， 函数在单调递减，在上单调递增，所以C错误. 故选：B 【变式5-2】.（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】由函数图象得出和的解，然后用分类讨论思想求得结论． 【详解】由图象知的解集为，的解集为， 或， 所以或，解集即为． 故选：C 【变式5-3】.（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的选项是（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】C 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】由的增减性与的正负之间的关系进行判断， 【详解】结合图象可得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 显然C正确，其他选项错误. 故选：C. 【变式5-4】.（24-25高二上·山西晋中·期末）已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是， C．当时，有极值 D．当时， 【答案】A 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数（导函数）图象与极值的关系、函数与导函数图象之间的关系 【分析】利用函数图象解不等式可得的单调性，即可判断A正确，B错误，再根据极值定义可得C错误，根据不等式结果可得D错误. 【详解】根据图象可知当时，，可得； 当时，，可得； 当时，，可得，且； 对于AB，易知时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 因此的单调递减区间是，的单调递增区间是，即A正确，B错误； 对于C，易知当时，，当时，， 即在处左右函数的单调性不改变，因此C错误； 对于D，因为时，，可得，因此，即D错误. 故选：A 【考点题型六】导函数有效部分是一次型或可化为一次型（） 【例6】（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)极小值为0，无极大值 (2)答案见解析 【知识点】求已知函数的极值、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导得出函数单调性，进一步可得函数极值情况； （2）求导之后，对分情况讨论即可求解. 【详解】（1）当时，，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为，无极大值； （2），， 当时，恒成立， 此时的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，， 当时，，当时，， 此时的单调递减区间为，单调递增区间为， 综上所述，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. 【变式6-1】.（24-25高二下·山东济南·阶段练习）已知． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间； 【详解】（1）函数的定义域为，且. 当时，对任意的，恒成立，即函数的增区间为，无减区间； 当时，由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. 【变式6-2】.（辽宁省葫芦岛市普通高中2025届高三第一次模拟考试数学试题）已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）对函数求导，分别讨论，当以及当时，导函数的正负情况，从而得到函数的单调区间； 【详解】（1）因为，定义域为， 求得， 所以，当时，成立，此时在上单调递减； 当时， ，，在上单调递减； ，，在上单调递增． 综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． 【变式6-3】.（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调区间； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】已知函数最值求参数、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导，通过，讨论导数的符号即可求解； 【详解】（1）的定义域为． 当时，在上单调递增． 当时，令，解得， 当时，单调递减， 当时，单调递增． 综上，当时，单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 【变式6-4】.（2025·广东佛山·二模）已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）求导之后分和讨论得到单调性即可； 【详解】（1）， 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，令， 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. 【考点题型七】导函数有效部分是二次型或可化为二次型（） 【例7-1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【知识点】已知切线（斜率）求参数、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）由可得； （2）由题意，对实数分类，，，进而可得. 【详解】（1）由于，故， 解得或． （2）首先有． 若，则在上递减； 若，则对有， 对有． 所以在上单调递减，在上单调递增； 若，则对有， 对有． 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【例7-2】（2025·江西萍乡·一模）已知函数，其中. (1)若的图象在处的切线经过点，求a的值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求导求出切线的斜率和切点坐标，由直线的点斜式方程求出切线方程，再代入经过点的坐标可得答案； （2）求导，分、、、讨论，可得答案. 【详解】（1）， 因为，， 所以的图象在处的切线方程为， 将代入得，解得； （2）， 当时，，令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，，所以在上单调递增. 当时，令，得或；令，得， 所以在，上单调递增，在上单调递减. 当时，令，得或；令，得， 所以在，上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【变式7-1】.（24-25高三下·河南新乡·阶段练习）已知函数 (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)试讨论的单调性． 【答案】(1). (2)见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）先求导，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，最后利用点斜式求出切线方程； （2）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出. 【详解】（1）当，， 所以， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）因为， 所以. 当时，，令，得， 令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，令，解得或. 当时，，所以在上单调递增. 当时，，令，解得或， 令，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 当时，，令，解得或， 令，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时， 在上单调递增， 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 【变式7-2】.（2025高三·全国·专题练习）已知函数.讨论的单调性. 【答案】答案见解析. 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】求导，通过讨论参数a的范围研究导数的符号，即可判断函数单调性. 【详解】由题意，的定义域为， 因为，且， 当时，时，时， 所以，在上单调递减，在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，时恒成立，故在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在、上单调递增, 在上单调递减； 当时,在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减. 【变式7-3】.（24-25高二下·天津武清·阶段练习）已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为4，求的值； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】已知切线（斜率）求参数、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出函数的导函数，由导数的几何意义得到方程即可求解； （2）对进行分类讨论，根据导数的符号判断函数的单调性. 【详解】（1）因为，则， 由题意可得，解得； （2）因为的定义域为， 又， 当时，则，令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，解得或， ①当，即，令，解得或，令，解得； 故函数在和上单调递增，在上单调递减； ②当，即，令在定义域上恒成立， 故在上单调递增； ③当，即，令，解得或，令，解得； 故函数在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 【考点题型八】导函数有效部分是不可因式分解的二次型（） 【例8】（2025·山东聊城·一模）已知函数. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值点求参数 【分析】（1）先求出函数的导数，构造二次函数，分类讨论，根据导数的正负来判断函数的单调性. 【详解】（1）的定义域为. 求导可得：. 令，其判别式. 当，即时，因为，所以，则，所以在上单调递增. 当，即或时，方程的两根为，.(根同号)，. 因为，当时，，则，，此时，，在上单调递增. 当时，，则，，且， 此时在和上，，，单调递增； 在上，，，单调递减. 综上所得， 当时， 在上单调递增. 当时，在和上单调递增；在上，单调递减. 【变式8-1】.（24-25高三上·山西晋城·期末）设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据点斜式求出切线方程； （2）求的导数，根据的范围讨论导数的正负，从而得到的单调区间. 【详解】（1）当时，，则， 则曲线在点处的切线斜率为， 因为，所以曲线在点处的切线方程为． （2）的定义域为． 当时，． 令，则在上单调递减，在上单调递增， 因此，的最小值为 当时，则，此时，在上单调递增， 当时，令，得． 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增 综上，当时，在上单调递增，当时， 在上单调递增， 在上单调递减． 【变式8-2】.（24-25高二上·重庆·期末）已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)若有两个极值点，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出函数的导数，再按进行分类讨论，由导函数正负求出单调区间. （2）由（1）求出的范围，再结合韦达定理将用表示，进而构造函数，利用导数推理得证. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 方程中，， 当时，恒成立，，在上单调递增； 当时，由，解得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为， 递减区间为. （2）由（1）知，有两个极值点，则， ， 令函数，求导得，令， 求导得，函数在上单调递减，， 函数在上单调递减，， 所以. 【考点题型九】求已知函数（不含参）极值（点）最值（） 【例9-1】（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求在上的最小值和最大值． 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负求解单调性， （2）根据函数的单调性，求解极值和端点处的值，即可求解. 【详解】（1）所以， 令，解得或，令，解得， 所以的增区间为，减区间为； （2）令，解得或， 由（1）得单调递增，单调递减，单调递增， 又， ， ， ，所以 【例9-2】（24-25高二下·重庆合川·阶段练习）已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. (1)求函数的解析表达式； (2)求函数的极值. 【答案】(1) (2)极大值为，极小值为 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值 【分析】（1）求导，由求得的值，得解； （2）利用导数判断单调性，求出极值. 【详解】（1）根据题意，，则， 解得， . （2）由（1）， 令，解得或， 令，解得， 所以当或时，单调递增，当时，单调递减， 所以当时，取得极大值，极大值为， 当时，取得极小值，极小值为. 【变式9-1】.（24-25高二下·山东济南·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求在区间上的最值． 【答案】(1) (2)最大值，最小值 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用导数分析函数在区间上的单调性，可得出函数在区间上的最大值和最小值. 【详解】（1）因为，则， ，则， 所以，曲线在处的切线方程为，即. （2）由可得，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数在、上递增，在上递减， 当时，函数的极大值为，极小值为， 又因为，， 故当时，，. 【变式9-2】.（24-25高二下·山东聊城·阶段练习）已知函数在处取得极值. (1)求的值； (2)当时，求曲线在处的切线方程； (3)当时，求曲线的极值. 【答案】(1) (2) (3)极大值为，极小值为-2. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值、根据极值点求参数 【分析】（1）利用导函数的零点结合极值点的定义计算验证即可； （2）利用导数的几何意义计算即可； （3）利用导数研究函数的单调性，结合极值的概念列表计算即可. 【详解】（1）， 由题意知，所以，即 当时，， 故在单调递增，单调递减， 故在处取得极值. 故； （2）由（1）可知. 当时，， 所以， 所以在处的切线方程为，即； （3）由（1）（2）可知，， 令，得或 1 + 0 - 0 + 单调递增 单调递减 单调递增 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 故极大值为， 极小值为. 【考点题型十】根据函数的极值（点）求参数（） 【例10】（24-25高二下·天津宁河·阶段练习）已知函数，且当时，取得极值 (1)求的解析式； (2)求在上的最值. 【答案】(1)； (2)最大值为，最小值为. 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数、根据极值求参数 【分析】（1）根据，，列出方程组，求解即可； （2）根据（1）中所求解析式，利用导数判断函数单调性，结合极值和区间端点值，即可求得结果. 【详解】（1），故可得， 由题可知：，， 即：，，解得； 经检验，当时，满足题意，故. （2）由（1）可知：，，又， 故当，，单调递增；当，，单调递减； 当，，单调递增； 故的极大值为，的极小值为，， 故在上的最大值为，最小值为. 【变式10-1】．（24-25高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数在处取得极小值，且极小值为． (1)求的值； (2)求在上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数、根据极值求参数 【分析】（1）对求导，得到，根据条件得到，即可求解； （2）利用（1）中结果，求出在上的单调性，再比较两端点函数值，即可求解. 【详解】（1）因为，由题知， 解得，所以， 当时，，时，， 则的增区间为，减区间为， 所以满足题意. （2）由（1）知，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，，， 所以在上的最大值为，最小值为. 【变式10-2】.（24-25高二上·宁夏石嘴山·期末）已知函数在处取得极值. (1)求函数的解析式及单调区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值. 【答案】(1)，单调递增区间为，单调递减区间为； (2)最大值为2，最小值为. 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【分析】（1）求导，根据，求出，求出解析式，并解不等式，求出单调区间； （2）在（1）基础上，得到函数极值情况，和端点值比较后得到答案. 【详解】（1）， 由题意得，即，解得， 故解析式为，定义域为R， 令，令得或， 令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 显然为极小值点，故， 单调递增区间为，单调递减区间为， （2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 表格如下： 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 又， 故的最大值为2，最小值为. 【变式10-3】.（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知函数在处取得极值. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值. 【答案】(1)； (2)9. 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数 【分析】（1）求出函数的导数，结合给定的极值点求出值. （2）利用导数求出在上的单调性，进而求出最大值. 【详解】（1）函数，求导得， 由在处取得极值，得，即，解得， 此时，当时，，当时， 即函数在处取得极值，所以. （2）由（1）知，，， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以函数在区间上的最大值为9. 【考点题型十一】求已知函数（含参）极值（点）、最值（） 【例11-1】（24-25高二·全国·课堂例题）已知函数，求的单调区间与极值． 【答案】答案见解析解 【知识点】求已知函数的极值、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】利用导数求函数的单调性，借助单调性得到极值即可. 【详解】 ． 令有两根或． （1）当时，与的情况如下： x － 0 ＋ 0 － 减 极小 增 极大 减 由表可知，的增区间是，减区间是，极大值为，极小值为． （2）当时，与的情况如下： x ＋ 0 － 0 ＋ 增 极大 减 极小 增 由表可知，的增区间是，减区间是，极大值为，极小值为． 【例11-2】（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）已知函数 (1)讨论的单调区间； (2)求在上的最大值. 【答案】(1)当时，函数的增区间为，减区间为， 当时，函数的减区间为，无增区间. (2) 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （2）分、、三种情况讨论，分析函数的单调性，可得出的表达式. 【详解】（1） 的定义域为， . 当，令，解得：， 令，解得：. 故函数的增区间为，减区间为. 当时，对任意的，， 函数的减区间为， 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为， 当时，函数的减区间为，无增区间. （2）由（1）知，当时，函数在上单调递减， ； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， ； 当时，函数在上单调递增，. 综上所述， 【变式11-1】.（24-25高二·全国·课堂例题）设函数，求函数的极值． 【答案】答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、求已知函数的极值 【分析】通过求导来判断函数的单调性，进而确定极值情况； 【详解】由题可知． ①当在R上单调递增， ∴没有极值． ②当时，． 当时，单调递增；当时，单调递减． ∴在时取得极大值，没有极小值． 综上所述，当时，无极值； 当时，有极大值，无极小值． 【变式11-2】.（24-25高三上·吉林通化·期末）已知，其中． (1)若函数在处的切线与轴平行，求的值； (2)求的极值点； 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】简单复合函数的导数、求已知函数的极值、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出值. （2）按分类讨论导函数值正负情况，进而求得极值点. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 由函数在处的切线与x轴平行，得，解得， 而，所以. （2）函数的定义域为，求导得， 令，得或， 当，即时，由，得，由，得， 函数在区间和上严格减，在区间上严格增， 是函数的极大值点，是函数的极小值点； 当，即时，恒成立，此时函数在区间上严格减，无极值点； 当，即时，由，得，由，得， 函数在和上严格减，在上严格增， 是函数的极小值点，是函数的极大值点； 所以当时，是函数的极大值点，是函数的极小值点； 当时，函数在区间上严格减，无极值点； 当时，是函数的极小值点，是函数的极大值点． 【变式11-3】.（24-25高三下·四川内江·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求函数在的最小值. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）对函数求导，讨论、研究导数的区间符号，即可得对应单调性； （2）应用导数研究函数的单调性，讨论与区间的位置关系求函数最小值. 【详解】（1）由题意知的定义域为，， ①若，恒成立，所以在上单调递减. ②若，由，得， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，在单调递减，在单调递增. ①当，即时，在单调递减， 当时，有最小值； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增. 当时，有最小值； ③当，即时，在上单调递增， 当时，有最小值； 综上：. 【考点题型十二】根据函数的最值求参数（） 【例12】（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知函数，其中为常数，为自然对数的底数． (1)当时，求的单调区间； (2)若在区间上的最大值为2，求的值． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【知识点】已知函数最值求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）利用导数求得的单调区间； （2）先求得，然后对a进行分类讨论，研究单调性及最值求a的值. 【详解】（1）由题设的定义域为，且，则， 当时，当时， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由题设， 当，结合，易知， 所以在上单调递增，故无最大值，不符合； 当，且，则时，时， 所以在上递增，在上递减，则， 故，可得. 综上，. 【变式12-1】.（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数. (1)若时，求曲线在处的切线方程； (2)若时，在区间上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知函数最值求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程， （2）求导，根据导数确定函数的单调性，即可求解，构造函数求导即可求解. 【详解】（1）当时，且， 所以， 故切线方程为，即， （2）， 由，存在，使得，即， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 故， ， 故在单调递减，又， 故 【变式12-2】.（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若在上的最大值是，求a的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)． 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、含参分类讨论求函数的单调区间、已知函数最值求参数 【分析】（1）求导，根据导函数的正负，结合分类讨论即可求解， （2）根据（1）问中函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）依题意，函数的定义域为， ∴，． 当时，在上恒成立， 即函数在上单调递增； 当时，令，则； 令，则；令，则， ∴函数在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增；在上单调递减． （2）若，由（1）可知，函数在上单调递增，不存在最大值，与题意不符， ∴， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴若要使得函数在上存在最大值，则，即， 且此时最大值为． 令，解得， ∴a的值为． 【变式12-3】.（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在上的最小值为2，求负实数a的值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】已知函数最值求参数、含参分类讨论求函数的单调区间、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）求导可得，分类讨论、时对应的单调性即可； （2）由（1）可知的单调性，即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为， . 当时，，则在上单调递增； 当时，由得；由得， 故在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）可知，当时，在上单调递增， 则函数在上的最小值为， 解得. 【变式12-4】（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）已知函数在时有极大值. (1)求的值； (2)若在的最大值为32，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数、已知函数最值求参数 【分析】（1）由函数在时有极大值.得讨论解得; （2）由函数的单调性求得上的最大值，再结合题设求解即可. 【详解】（1）函数，， 由函数在处有极大值.得， 即：，所以：或， 当时，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，此时，为极大值，符合题意. 当时，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增；此时，为极小值，与题设矛盾. 所以. （2）由（1），得；由，得：，或； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 此时，极大值为，极小值为，且， 因为在的最大值为32，所以所求的取值范围为，即. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二下·湖北荆门·阶段练习）设三次函数的导函数为，函数图象的一部分如图所示，则下列说法正确的个数为（   ） ①函数有极大值 ②函数有极小值 ③函数有极大值 ④函数有极小值 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】结合图象先判断的正负性，即可得出的增减性，进而得出极值. 【详解】由题图知，当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则， 则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则的极大值是，极小值是，①④正确， 故选：B 2．（24-25高三下·湖北·开学考试）函数在上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】由有解，结合三角函数的值域来求得正确答案. 【详解】， 因为函数在上不单调， 所以函数有零点， 所以方程 有根， 所以函数与 有交点（且交点非最值点）， 因为函数的值域为， 所以 . 故选：D 3．（22-23高二下·四川南充·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A．​ B．​ C．​ D． 【答案】B 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】先求出函数的定义域，然后对函数求导，由导数小于解不等式可求出函数的单调减区间. 【详解】函数的定义域为， 由，得， 由，得， 因为，所以解得， 所以函数的单调递减区间为. 故选：B 4．（24-25高二下·山东聊城·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D．和 【答案】D 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】根据导数和函数单调性的关系，即可求解. 【详解】，解得：或， 所以函数的单调递增区间是和. 故选：D 5．（24-25高二下·福建龙岩·阶段练习）若函数的单调递减区间为，则实数的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求，根据条件可得和4是的根，即可得到结果. 【详解】由题意得，， ∵函数的单调递减区间恰为， 即的解集为， ∴所以和4是的两根， ∴． 故选：D. 6．（24-25高二下·天津·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则a的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】导数的运算法则、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】先求导，根据已知可得在上恒成立，求解即可. 【详解】因为，所以， 因为在区间上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，所以，所以， 所以a的取值范围为. 故选：. 7．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）若函数是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、基本不等式的恒成立问题 【分析】由题意可知，对任意的恒成立，由参变量分离法可得出对任意的恒成立，结合基本不等式可求得的取值范围. 【详解】因为函数的定义域为，则， 因为是增函数，所以，即对任意的恒成立， 所以， 又时，，当且仅当时，即当时取等号， 所以，故实数的取值范围是. 故选：A. 8．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知函数在时取得极值13，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据极值求参数、根据极值点求参数 【分析】由，列出等式求解即可； 【详解】由题可得， ， 解得．经验证符合题意； 故选：C 二、多选题 9．（安徽省皖北县中联盟2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题（A卷））已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．函数的图象在的切线的斜率为0 B．函数在上单调递减 C．是函数的极小值点 D．是函数的极大值 【答案】AD 【知识点】函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】结合图象可得出和的区间即可得出的单调性和极值. 【详解】由图可知，所以函数的图象在的切线的斜率为0，故A正确； 由图可知时，，所以函数在上单调递增，故B错误； 由图可知时，，所以函数在上单调递增， 因此不是函数的极小值点，故C错误； 由C选项可知函数在上单调递增，由图可知时，，所以函数在上单调递减， 则是函数的极大值点，是函数的极大值，故D正确. 故选：AD. 10．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】依据单增则，单减则可判断. 【详解】由图像可知，在上单调递增，则在上，故C、D选项的图象不可能是的图象；在上先减后增再减，则先负后正再负，故A选项的图象不可能是的图象，B选项的图象可能是的图象. 故选：ACD 三、填空题 11．（24-25高二下·天津和平·阶段练习）函数的单调递增区间是 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】先求函数定义域，再解不等式即可. 【详解】定义域为，，则， 则得；得， 则的单调递增区间为，递减区间为. 故答案为： 12．（24-25高二下·天津·阶段练习）已知函数，当时有极大值3，则 ; . 【答案】 【知识点】根据极值求参数、根据极值点求参数 【分析】先求导，根据已知条件列方程组求解，，然后代入解析式验证即可. 【详解】因为，所以， 因为函数在时有极大值3，所以，所以， 解得， 所以，所以， 令，可得或， 当或时，，函数在和上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，在处取得极大值，符合题意， 所以，. 故答案为：；. 四、解答题 13．（24-25高三下·辽宁·开学考试）已知函数 (1)若的图象在点处的切线方程为，求a与b的值； (2)若在处有极值，求a与b的值. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值求参数 【分析】（1）由函数解析式求导，利用导数求得切线斜率，由函数解析式求得切点，根据切线方程，建立方程组，可得答案； （2）由函数解析式求导，根据极值与导数的关系，结合函数解析式，建立方程组，可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以，， 因为切线方程为， 所以，解得， 所以. （2）函数在处有极值 且或 恒成立，此时函数无极值点， 此时1是极值点，满足题意， 所以. 14．（23-24高二下·天津滨海新·期中）设函数． (1)求在处的切线方程； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（含参） 【分析】(1)求导，利用导数的几何意义可求得切线方程； (2) 利用导数确定函数在区间上的单调性，进而可得最值. 【详解】（1）由题意知，，即切点为， 由已知，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故在点处的切线方程为： （2）令，即得， 令，则得或， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值点为，， 的极小值点为，， 又,, 故在区间上的最大值为，最小值为. 15．（24-25高二下·天津·阶段练习）已知 函数 (1)若， 求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】(1)先求出导数，从而求出即为切线的斜率，再求出，最后利用点斜式方程写出切线方程并化为一般式； (2)求出函数的导数，令，通过讨论两根的大小，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可. 【详解】（1）当时，，， ，又， 曲线在点处的切线方程为，即； （2）， ， 令，则或， 当时，，在上单调递增； 当时，令，解得或，令，解得， 在，上单调递增，在上单调递减； 当时，令，解得或，令，解得， 在，上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 16．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知函数，． (1)当时，求的最小值； (2)若，试讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）利用导数与单调性的关系，求得函数的单调区间，即可求最小值； （2）利用导函数的单调性的关系，结合的不同的取值范围讨论求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以函数的定义域为， ， 令，解得；令，解得； 所以函数在单调递减，单调递增， 所以的最小值为. （2）函数的定义域为， , 当时，由解得或， 由解得； 当时，恒成立； 当时，由解得或， 由解得； 综上可得， 当时，函数在单调递增，单调递减，单调递增； 当时函数在单调递增，； 当时，函数在单调递增，单调递减，单调递增. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$