专题05 第二章 解三角形（3考点清单，知识导图+8个考点清单&题型解读）高一数学下学期北师大版

清单03 第6章 解三角形 （3个考点梳理+7题型解读+提升训练） 清单01 正弦定理 （1）正弦定理的描述 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 （2）正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤ ④，，（可实现边到角的转化） ⑥ ⑤，，（可实现角到边的转化） 清单02 三角形面积公式 ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 清单03 余弦定理 （1）余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； （2）余弦定理的推论 ； ； 【考点题型一】解三角形（） 【例1】（24-25高一下·河北·阶段练习）已知的内角所对的边分别是，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】.（24-25高一下·云南文山·阶段练习）在中，内角所对各边分别为，且，则角（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】.（24-25高一下·云南昭通·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ） A．或 B．或3 C．或3 D．3 【变式1-3】.（多选）（24-25高一下·全国·单元测试）在中，若，，，则a等于（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】（24-25高二下·上海·阶段练习）在中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若，则 . 【考点题型二】判断三角形的形状（） 【例2】（23-24高一下·福建龙岩·期中）在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定的 【变式2-1】.（24-25高三下·浙江·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【变式2-2】.（24-25高二上·广东深圳·期中）在中，已知三个内角为满足，则三角形的形状（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【变式2-3】.（22-23高一下·浙江·期中）在中，角所对的边分别是，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式2-4】.（23-24高一下·四川成都·期末）在中，角所对的边分别是若，且，则该三角形的形状是（    ） A．三边均不相等的三角形 B．底边与腰不相等的等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【考点题型三】三角形周长（定值）（） 【例3】（2024·广东广州·模拟预测）在中，角的对边分别是，且. (1)求的值； (2)若的面积为，求的周长. 【变式3-1】.（23-24高三上·江西·阶段练习）在中，内角的对边分别为，且. (1)证明：是钝角三角形； (2)平分，且交于点，若，求的周长. 【变式3-2】.（22-23高一下·江西萍乡·期中）从①，②两个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答． 问题：在中，角A，，所对的边分别为，，，且_________． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【变式3-3】.（23-24高二下·福建福州·期中）在中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若的面积，求的周长． 【考点题型四】三角形面积（定值）（） 【例4】（2025·江西·一模）设向量，，． (1)求的单调递减区间； (2)在锐角中，角所对的边分别为，若，，，求的面积 【变式4-1】.（24-25高三下·广东·开学考试）若中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. (1)求角； (2)若，，求的面积. 【变式4-2】.（24-25高三上·江西·阶段练习）在中，内角、、的对边分别为、、，且． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【变式4-3】.（2024·浙江·一模）在中，角对应的三边分别是，，，且. (1)求角的值； (2)若，，求的面积. 【变式4-4】.（2024·湖北武汉·模拟预测）已知的内角所对的边分别为，且 (1)求角A； (2)若为边上一点，为的平分线，且，求的面积 【考点题型五】三角形边长代数和（） 【例5】（23-24高二上·江西九江·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求A的大小； （2）若，求的取值范围． 【变式5-1】.（23-24高二上·江西·阶段练习）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，则的取值范围是 . 【变式5-2】.（2024·江西景德镇·模拟预测）锐角△中，角，，的对边分别为，，，面积. (1)求的值； (2)若，求△的周长的取值范围. 【变式5-3】.（23-24高一下·甘肃武威·阶段练习）在锐角中，角所对的边分别为，若． （1）求角B； （2）若，求的取值范围． 【变式5-4】.（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）在中，内角、、所对的边分别为、、，且. （1）求的大小； （2）在锐角中，，求的取值范围. 【考点题型六】三角形面积（最值+范围）（） 【例6】（23-24高三上·江西·阶段练习）在中，分别是角A，B，C的对边，且． (1)求的大小； (2)若，求面积的最大值． 【变式6-1】.（23-24高一下·江西·阶段练习）在中，角所对的边分别是，D是BC的中点，，，则的面积最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】.（2024·江西·模拟预测）已知向量，，. (1)求函数的最小正周期； (2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，求的面积的最大值. 【变式6-3】.（23-24高二上·江西九江·期中）如图所示，半圆O的直径，点C在的延长线上，，点P为半圆弧上的动点．以为一边在半圆外作矩形，其中．设． (1)将表示为的函数； (2)求和矩形的面积之和的最大值． 【变式6-4】.（23-24高一下·湖北）已知中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且 (1)求角C (2)若，，为角C的平分线，求的长； (3)若，求锐角面积的取值范围. 【考点题型七】正余弦定理的实际应用（） 【例7】（24-25高二上·江西赣州·开学考试）某中学研究性学习小组为测量如图所示的铜雕的高度，在和它底部位于同一水平高度的共线三点处测得铜雕顶端P处仰角分别为，且，则该铜雕的高度为（    ）    A． B． C． D． 【变式7-1】.（24-25高三上·江西鹰潭·阶段练习）镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，顶端塔刹为一背铜铸湖芦，葫芦表面刻有“风调雨顺､国泰民安”八个字，是全国重点文物保护单位､国家级旅游景区.小胡同学想知道镇国寺塔的高度，他在塔的正北方向找到一座建筑物，高为7.5，在地面上点C处（在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为（    ）（参考数据） A．37.52 B．35.48 C．33.26 D．31.52 【变式7-2】.（23-24高一下·江苏）为了军事国防需要，现准备发射一颗通信卫星．通信卫星在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面．将地球看作是一个球（球心为O，半径为rkm），地球上一点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一个仰角为θ的地面接收天线（仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角），若点A的纬度为北纬，，则该通信卫星的轨道高度（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为（    ）      A．2r B．3r C．6r D．7r 【变式7-3】.（2024·云南·模拟预测）如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素.如图乙，某研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A距离地面的高度（与地面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物，测得的高度为h，并从C点测得A点的仰角为30°；在赛道与建筑物之间的地面上的点E处测得A点，C点的仰角分别为75°和30°（其中B，E，D三点共线）.该学习小组利用这些数据估算得约为60米，则的高h约为（    ）米 （参考数据：，，） A．11 B．20.8 C．25.4 D．31.8 提升训练 一、单选题 1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）在中，若，且，则的外接圆的面积为（    ） A．4π B．8π C．16π D．64π 2．（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）在中，，且有，则线段的长为（    ） A． B．2 C． D．1 3．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）设内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，若的周长为1．则（    ） A．1 B． C． D．2 4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024高三·全国·专题练习）某果林所处的山地可近似看做一个正三棱锥，其中为山顶，为山脚，经测量，．为了方便果子成熟时的采摘与运输，准备从山脚处出发，绕山地修建一条宽的山路，并最终从另一侧返回处，预计该山路的面积的最小值为（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知在锐角中，，点在边上，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）如图为一块三角形铁片，已知，，，现在这块铁片中间发现一个小洞，记为点，，.过点作一条直线分别交的边，于点，，并沿直线裁掉，则裁掉的面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·安徽·阶段练习）在三角形内到其三个顶点的距离之和最小的点称为“费马点”.意大利数学家托里拆利发现：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点即为费马点，在中，若，且，则该三角形的费马点到各顶点的距离之和为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一下·云南昭通·期中）由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（    ） A．，有两解 B．，有两解 C．，有两解 D．，有一解 10．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）在中，D在线段上，且，，若，，则（   ） A． B．的面积为 C．为锐角三角形 D．的周长为 三、填空题 11．（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设与所成的角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则 ． 12．（23-24高一下·山东临沂·阶段练习）在，角，，所对的边分别为，，，，交AC于点，且，则的最小值为 ． 四、解答题 13．（24-25高三上·青海·阶段练习）在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，证明：是直角三角形. 14．（24-25高三上·北京·阶段练习）在中，，. (1)求的大小； (2)是的中点.从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积； 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个个解答计分. 15．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）在中，，_______. (1)求； (2)求c以的值. 从①，②，这两个条件中选一个，补充在上面问题中，使存在并作答. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 第6章 解三角形 （3个考点梳理+7题型解读+提升训练） 清单01 正弦定理 （1）正弦定理的描述 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 （2）正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤ ④，，（可实现边到角的转化） ⑥ ⑤，，（可实现角到边的转化） 清单02 三角形面积公式 ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 清单03 余弦定理 （1）余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； （2）余弦定理的推论 ； ； 【考点题型一】解三角形（） 【例1】（24-25高一下·河北·阶段练习）已知的内角所对的边分别是，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正弦定理边角互化的应用 【分析】根据已知得，再由正弦边角关系即可得比值. 【详解】由，且，则， 所以. 故选：D 【变式1-1】.（24-25高一下·云南文山·阶段练习）在中，内角所对各边分别为，且，则角（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理结合给定条件得到，再依据三角形中角的范围求解即可. 【详解】因为，且由余弦定理得， 所以，解得，而在中，，则，故A正确. 故选：A． 【变式1-2】.（24-25高一下·云南昭通·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ） A．或 B．或3 C．或3 D．3 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形、已知三角函数值求角 【分析】利用正弦定理求得，由可得或，分别求即得. 【详解】由题意及正弦定理，得，解得. 又，故，于是或，均符合题意. 当时，，由正弦定理，得，解得； 当时，，此时是等腰三角形，. 故选：A 【变式1-3】.（多选）（24-25高一下·全国·单元测试）在中，若，，，则a等于（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】由正弦定理可得，据此可得或，然后可得答案. 【详解】由正弦定理得，即，所以． 又，所以或．故或， 当时，，； 当时，． 故选：AB 【变式1-4】（24-25高二下·上海·阶段练习）在中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若，则 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理计算可得. 【详解】令，，， 由余弦定理可得. 故答案为： 【考点题型二】判断三角形的形状（） 【例2】（23-24高一下·福建龙岩·期中）在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定的 【答案】C 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理角化边，再利用余弦定理计算判断即得. 【详解】在中，由正弦定理及，得， 令，由余弦定理得， 因此角为钝角，是钝角三角形. 故选：C 【变式2-1】.（24-25高三下·浙江·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理可得，从而可判断三角形的形状. 【详解】由余弦定理得， 化简得，故， 从而的形状为钝角三角形， 故选：B. 【变式2-2】.（24-25高二上·广东深圳·期中）在中，已知三个内角为满足，则三角形的形状（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【答案】A 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理角化边，再根据余弦定理计算即可. 【详解】由正弦定理可知， 不妨设，则， 显然，则，所以. 故选：A 【变式2-3】.（22-23高一下·浙江·期中）在中，角所对的边分别是，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，即可判断三角形形状. 【详解】在中，由正弦定理及，得， 而，因此，所以是等腰三角形. 故选：A 【变式2-4】.（23-24高一下·四川成都·期末）在中，角所对的边分别是若，且，则该三角形的形状是（    ） A．三边均不相等的三角形 B．底边与腰不相等的等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用三角函数值求角，再利用正弦定理进行三角恒等变形，即可得到结果. 【详解】因为，，所以，即， 又由，结合正弦定理得：， 即，则， 因为有一个角是的等腰三角形是等边三角形，所以为等边三角形. 故选：C. 【考点题型三】三角形周长（定值）（） 【例3】（2024·广东广州·模拟预测）在中，角的对边分别是，且. (1)求的值； (2)若的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定理将条件式边化角，化简求出； （2）根据余弦定理以及三角形的面积公式求解出的值，从而求出周长. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 所以， 因为，所以，所以. （2）由（1）易知，因为.所以， 由余弦定理，得. 又因为，所以代入得， 所以， 所以. 又因为，所以， 所以的周长为. 【变式3-1】.（23-24高三上·江西·阶段练习）在中，内角的对边分别为，且. (1)证明：是钝角三角形； (2)平分，且交于点，若，求的周长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、正、余弦定理判定三角形形状、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）先利用正弦定理化角为边得，再利用余弦定理求得，即可证明； （2）利用面积分割法得，根据余弦定理化简求解，从而求解周长. 【详解】（1）在中，，由正弦定理得， 即，由余弦定理得.因为，所以， 所以是钝角三角形. （2）因为， 且，所以， 由余弦定理得：， 解得或（舍去），所以， 所以的周长为. 【变式3-2】.（22-23高一下·江西萍乡·期中）从①，②两个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答． 问题：在中，角A，，所对的边分别为，，，且_________． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理化简①条件式或利用余弦定理化简②条件式都可判定值； （2）结合（1）的结果，由余弦定理及三角形的面积公式可求周长. 【详解】（1）若选①：设的外接圆半径为， 由正弦定理得， ∵， ∴，即， 又，∴； 若选②：由得， 由余弦定理得， 又，∴； （2）∵， ∴， ∵， 又∵，， ∴，∴， ∴的周长为． 【变式3-3】.（23-24高二下·福建福州·期中）在中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若的面积，求的周长． 【答案】(1)； (2)6. 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦求解即得. （2）由（1）的结论，利用三角形面积求出，再利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）在中，由，得， 由正弦定理得，即， 又，即，于是， 由，得，因此，又， 所以． （2）由的面积，得，得， 又，由余弦定理，得，则， 于是，解得， 所以的周长为． 【考点题型四】三角形面积（定值）（） 【例4】（2025·江西·一模）设向量，，． (1)求的单调递减区间； (2)在锐角中，角所对的边分别为，若，，，求的面积 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、数量积的坐标表示 【分析】（1）应用向量数量积的坐标表示及三角恒等变换化简求得，再利用正弦型函数的性质求递减区间； （2）由得，结合正弦定理可得，结合余弦定理有，联立求得，最后应用三角形面积公式求面积. 【详解】（1）由题意得 ， 令，解得， 所以的单调递增区间为. （2）因为为锐角三角形，由得， 由可得， 所以，故， 在中，由正弦定理得，所以， 所以①， 由余弦定理得，得②， 由①②解得， 所以的面积为. 【变式4-1】.（24-25高三下·广东·开学考试）若中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. (1)求角； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合同角公式求解即得. （2）由已知及（1），利用正弦定理及三角形面积公式计算得解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 而，，则，整理得， 而，则，解得， 所以. （2）由，得，由正弦定理，得， 则，而，因此，，， 所以的面积. 【变式4-2】.（24-25高三上·江西·阶段练习）在中，内角、、的对边分别为、、，且． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用正弦定理可求得的值，进而可求得、的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）因为，设，则，， 由余弦定理可得， 因为，故. （2）设的外接圆半径为，由正弦定理可得， 所以，，，， 所以， ， 所以，，， 由三角形的面积公式可得. 【变式4-3】.（2024·浙江·一模）在中，角对应的三边分别是，，，且. (1)求角的值； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、诱导公式二、三、四、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换可求得，可得； （2）根据可求得，，再利用切弦互化以及正弦定理可得，，再利用正弦定理可求得边长即求出面积. 【详解】（1）根据题意由正弦定理可得， 整理可得， 即，所以； 可得，又，所以， 又，因此. （2）由三角形内角关系可得， 由可得，解得或； 当时，，又，所以两角均为钝角，不合题意； 因此，； 又，可得，同理； 由正弦定理可得，可得， 同理 因此的面积为. 【变式4-4】.（2024·湖北武汉·模拟预测）已知的内角所对的边分别为，且 (1)求角A； (2)若为边上一点，为的平分线，且，求的面积 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换运算求解； （2）根据面积关系可得，再结合余弦定理解得，进而可得面积. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 且， 即， 整理可得， 且，则，可得， 又因为，则，可得，所以. （2）因为为的平分线，则， 因为，则， 即，可得， 在中，由余弦定理可得， 即，整理可得，解得或（舍去）， 所以的面积. 【考点题型五】三角形边长代数和（） 【例5】（23-24高二上·江西九江·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求A的大小； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合余弦定理即可得出答案； （2）根据正弦定理可得，再根据降幂公式及辅助角公式化简，即可得出答案. 【详解】解：（1）因为， 所以，即， 所以， 又，所以； （2）因为， 所以， 则 ， 因为， 所以． 【变式5-1】.（23-24高二上·江西·阶段练习）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】三角恒等变换的化简问题、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】利用正弦定理结合三角恒等变换思想得出，求得角的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】由正弦定理可得，，， ， ，可得，，， 所以，，因此，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用正弦定理以及三角恒等变换求三角形边长之和的取值范围，考查了正弦型函数基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题. 【变式5-2】.（2024·江西景德镇·模拟预测）锐角△中，角，，的对边分别为，，，面积. (1)求的值； (2)若，求△的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由正弦定理的边角关系、三角形面积公式可得，根据三角形内角的性质及和角正弦公式可得，即可得目标式的值. （2）由题设及（1）的结论有且，讨论、的大小结合余弦定理求的范围，进而可得△的周长的取值范围. 【详解】（1）由题设，，即， ∴，又， ∴， ∴，由，可得，即， ∴. （2）由（1）及知：， ∴，且，△为锐角三角形， 当为最大边，，则，可得； 当为最大边，，则，可得； 综上，. ∴. 【变式5-3】.（23-24高一下·甘肃武威·阶段练习）在锐角中，角所对的边分别为，若． （1）求角B； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值、辅助角公式 【分析】（1）结合两角和的余弦公式化简整理即可求出结果； （2）结合正弦定理将转化为，结合两角和的正弦公式以及辅助角公式化简整理，再利用正弦函数的图象与性质即可求出结果. 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ； （2）由（1）和正弦定理得， ， ， ， ， 可得， ． 【变式5-4】.（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）在中，内角、、所对的边分别为、、，且. （1）求的大小； （2）在锐角中，，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）利用两角和的正弦公式求出的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用正弦定理、三角恒等变换化简得出，求出角的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1） ， ， ，则，，由，可得：； （2）在锐角中，，由（1）可得，， 由正弦定理可得， ， 由，可得，所以， ，可得：. 【考点题型六】三角形面积（最值+范围）（） 【例6】（23-24高三上·江西·阶段练习）在中，分别是角A，B，C的对边，且． (1)求的大小； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2). 【知识点】三角恒等变换的化简问题、求三角形面积的最值或范围、余弦定理解三角形 【分析】（1）由切化弦，再由两角和余弦公式的逆用即可得解； （2）根据余弦定理及不等式可求出的最大值，再由面积公式即可得解. 【详解】（1），， ∴，， ，又，. （2），又， ，当且仅当时等号成立， ， 即面积的最大值为. 【变式6-1】.（23-24高一下·江西·阶段练习）在中，角所对的边分别是，D是BC的中点，，，则的面积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围 【分析】根据题意，在和中，分别使用余弦定理表示，得到的关系，进而求出，由此用表示，再求出的面积最大值． 【详解】解：在中，， 在中，， 则，变形可得， 在中，， 则， 所以， 所以当时，取得最大值， 故选：． 【变式6-2】.（2024·江西·模拟预测）已知向量，，. (1)求函数的最小正周期； (2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求三角形面积的最值或范围、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、数量积的坐标表示 【分析】（1）利用数量积坐标运算得到，再利用正弦函数的性质求解； （2）由，解得，再利用余弦定理结合基本不等式得到，然后利用三角形面积公式求解. 【详解】（1）解：， ， 则其最小正周期； （2）由，且， 所以， 由余弦定理得，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以的面积， 所以该三角形面积的最大值为. 【变式6-3】.（23-24高二上·江西九江·期中）如图所示，半圆O的直径，点C在的延长线上，，点P为半圆弧上的动点．以为一边在半圆外作矩形，其中．设． (1)将表示为的函数； (2)求和矩形的面积之和的最大值． 【答案】(1) (2)20 【知识点】几何图形中的计算、正余弦定理与三角函数性质的结合应用、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）连接，则，在中由余弦定理求解即可； （2）先求出和矩形的面积，再结合三角函数的值域求解即可 【详解】（1）连接，则， 在中，由余弦定理，得， 所以． （2）依题意， ， 所以和矩形的面积之和， 其中． 所以当，即时，S取得最大值20． 【变式6-4】.（23-24高一下·湖北）已知中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且 (1)求角C (2)若，，为角C的平分线，求的长； (3)若，求锐角面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形面积的最值或范围、三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可得解； （2）设，根据及面积公式得到方程，解得即可； （3）首先利用正弦定理求出，再由正弦定理得到，，再根据转化为关于的三角函数，根据正弦函数的性质求出面积的取值范围； 【详解】（1）解：由及正弦定理得 所以 ∴，∴ ∵，∴ （2）解：设由得 . 解得，即角平分线的长度为 （3）解：设外接圆半径为R，由 ，即，即，∴ 所以的面积 ∵，∴， ∴ ∵，，， ∴， ∴， ∴，∴， ∴ 【考点题型七】正余弦定理的实际应用（） 【例7】（24-25高二上·江西赣州·开学考试）某中学研究性学习小组为测量如图所示的铜雕的高度，在和它底部位于同一水平高度的共线三点处测得铜雕顶端P处仰角分别为，且，则该铜雕的高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】高度测量问题 【分析】设的投影为，且，利用锐角三角函数表示出、、，再在和中分别用余弦定理得到方程，解得即可. 【详解】设的投影为，且，在中，， 所以，    在中，，所以， 在中，，所以， 在和中分别用余弦定理得， 解得或（舍去），即该铜雕的高度为. 故选：B 【变式7-1】.（24-25高三上·江西鹰潭·阶段练习）镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，顶端塔刹为一背铜铸湖芦，葫芦表面刻有“风调雨顺､国泰民安”八个字，是全国重点文物保护单位､国家级旅游景区.小胡同学想知道镇国寺塔的高度，他在塔的正北方向找到一座建筑物，高为7.5，在地面上点C处（在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为（    ）（参考数据） A．37.52 B．35.48 C．33.26 D．31.52 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题、求15°等特殊角的正弦 【分析】根据给定条件，利用直角三角形边角关系、正弦定理列式计算即得. 【详解】， 在中，， 在中，，， 则， 由正弦定理得， 所以. 故选：B 【变式7-2】.（23-24高一下·江苏）为了军事国防需要，现准备发射一颗通信卫星．通信卫星在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面．将地球看作是一个球（球心为O，半径为rkm），地球上一点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一个仰角为θ的地面接收天线（仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角），若点A的纬度为北纬，，则该通信卫星的轨道高度（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为（    ）      A．2r B．3r C．6r D．7r 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题、诱导公式五、六、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据题意作出图形，为球心，，，，，所以，，在中，由正弦定理得，求解可得答案. 【详解】根据题意作出图形，如图所示，为球心，，，， ，所以，， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以， 所以. 故选：C.    【变式7-3】.（2024·云南·模拟预测）如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素.如图乙，某研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A距离地面的高度（与地面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物，测得的高度为h，并从C点测得A点的仰角为30°；在赛道与建筑物之间的地面上的点E处测得A点，C点的仰角分别为75°和30°（其中B，E，D三点共线）.该学习小组利用这些数据估算得约为60米，则的高h约为（    ）米 （参考数据：，，） A．11 B．20.8 C．25.4 D．31.8 【答案】C 【知识点】高度测量问题、正弦定理解三角形 【分析】易得，在中，求出，在中，利用正弦定理求得，在解直角三角形即可得出答案. 【详解】解：由题意可得， 则， 在中，， 在中，因为， 所以， 所以， 又， 所以（米）. 故选：C. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）在中，若，且，则的外接圆的面积为（    ） A．4π B．8π C．16π D．64π 【答案】C 【知识点】正弦定理求外接圆半径、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】根据正弦定理边角化可得，即可求解余弦值，进而可得正弦值，利用正弦定理即可得半径求解. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 设，，， ，则， 由正弦定理得，，即， 则外接圆面积为， 故选：C． 2．（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）在中，，且有，则线段的长为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形、向量的线性运算的几何应用 【分析】先由余弦定理求出，可得为直角三角形，由可得为的中点，进而由斜边上的中线等于斜边一半可得的长. 【详解】在中，由余弦定理可得， 则， 即，解得. 则由即，可得， 又，可知是的中点， 故即为斜边上的中线，则. 故选：D. 3．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）设内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，若的周长为1．则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】根据正弦定理可得，利用面积公式可得，再结合周长公式运算求解. 【详解】由正弦定理（为的外接圆半径）， 可得， 且，则均为正数， 因为， 可得， 又因为的周长为， 所以. 故选：B. 4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理可得，从而得，即有，再结合及，求解即可. 【详解】解：因为，所以， 所以， 从而得， 即， 又， 所以， 又因为， 所以. 故选：B. 5．（2024高三·全国·专题练习）某果林所处的山地可近似看做一个正三棱锥，其中为山顶，为山脚，经测量，．为了方便果子成熟时的采摘与运输，准备从山脚处出发，绕山地修建一条宽的山路，并最终从另一侧返回处，预计该山路的面积的最小值为（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】距离测量问题 【分析】考虑通过侧面展开图，利用两点之间直线距离最短，用解三角形求解所需修建道路长度的最小值． 【详解】正三棱锥的侧面展开图如图所示， 连接，分别与交于点，则线段为修建道路的长度的最小值． 因为，所以，，， 则，， 故，， 解得．又， 解得， 所以预计该山路的面积的最小值为． 故选：C. 6．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知在锐角中，，点在边上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】运用正弦定理边化角对等式变换求出的值，再由角平分线的性质利用面积相等求解即可. 【详解】依题意，由正弦定理可得， 解得，因为，故. 而， 故，则， 解得. 故选：D 7．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）如图为一块三角形铁片，已知，，，现在这块铁片中间发现一个小洞，记为点，，.过点作一条直线分别交的边，于点，，并沿直线裁掉，则裁掉的面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形面积公式及其应用、条件等式求最值 【分析】设，，结合三角形的面积公式利用等面积法，，可得，再利用基本不等式可得，进而求解即可. 【详解】设，， 因为，，所以， 由，得， 则，平方整理得， 当且仅当，即，时等号成立， 所以. 故选：B. 8．（24-25高三上·安徽·阶段练习）在三角形内到其三个顶点的距离之和最小的点称为“费马点”.意大利数学家托里拆利发现：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点即为费马点，在中，若，且，则该三角形的费马点到各顶点的距离之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】根据“费马点”的定义以及正余弦定理可求得结果. 【详解】设的内角所对的边分别为， 因为， 所以由正弦定所得， 又，所以， 由余弦定理得， 所以，所以顶点为费马点， 故点到各顶点的距离之和为， 故选：. 二、多选题 9．（23-24高一下·云南昭通·期中）由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（    ） A．，有两解 B．，有两解 C．，有两解 D．，有一解 【答案】BD 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、余弦定理解三角形 【分析】ABC选项，根据得到三角形有一解，由得到三角形有两解，D选项，由余弦定理得到唯一，故三角形有一解. 【详解】对A：由知，，所以三角形有一解，A错误； 对B：由，即，所以三角形有两解，B正确； 对C：由，即，故三角形为直角三角形，有一解，C错误； 对D：， 由余弦定理得，唯一，已知两边及其夹角知三角形有一解，D正确. 故选：BD． 10．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）在中，D在线段上，且，，若，，则（   ） A． B．的面积为 C．为锐角三角形 D．的周长为 【答案】ABD 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、几何图形中的计算 【分析】A选项，设，则，由余弦定理列出方程，得到，故，由正弦定理得到；B选项，由三角形面积公式进行求解；C选项，利用同角三角函数关系得到，利用余弦定理得到；D选项，利用，得到D正确. 【详解】A选项，设，则， 由余弦定理得， 解得，负值舍去，故， 由正弦定理得， 其中， 故，解得，A正确； B选项，， ，B正确； C选项，由于，故为锐角， 又，故，故， 在中，由余弦定理得 ， 故， 因为，故在中，最大角为， 由余弦定理得， 故为钝角，C错误； D选项，的周长为，D正确. 故选：ABD 三、填空题 11．（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设与所成的角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则 ． 【答案】/ 【知识点】速度、位移的合成、数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】根据平面向量加法的几何意义，数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】由题意，游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，即航行的方向垂直河岸，由向量加法的几何意义可知，即 所以，解得， 故答案为：. 12．（23-24高一下·山东临沂·阶段练习）在，角，，所对的边分别为，，，，交AC于点，且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】三角形面积公式及其应用、基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】根据面积公式和，求出，故利用基本不等式“1”的代换求出最值，得到答案. 【详解】， ， ， ， ， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为： 四、解答题 13．（24-25高三上·青海·阶段练习）在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，证明：是直角三角形. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】诱导公式五、六、余弦定理解三角形、利用平方关系求参数 【分析】（1）先应用诱导公式化简再解一元二次方程即可求值； （2）由余弦定理结合已知条件得出，，由即可证明. 【详解】（1）， 可得， 即， 也即， 解得； （2）由余弦定理可得， 因为，所以， 代入上式可得， 化简得. ， 则， 故是直角三角形. 14．（24-25高三上·北京·阶段练习）在中，，. (1)求的大小； (2)是的中点.从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积； 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由正弦定理化角为边可得，结合余弦定理证明，由此可求，再结合内角和公式求； （2）对于①：在，利用余弦定理求得，进而可得面积； 对于②：根据（1）中边的关系分析可得，进而可得面积； 对于③：根据（1）中边的关系分析判断； 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 又因为， 由余弦定理可得， 即，则，所以. （2）对于①：边上的中线长为， 在，由余弦定理得 即，解得， 则， 所以的面积为； 对于②：因为，解得， 则， 所以的面积为； 对于③：若，这与相矛盾，不合题意； 15．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）在中，，_______. (1)求； (2)求c以的值. 从①，②，这两个条件中选一个，补充在上面问题中，使存在并作答. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由条件①判断三角形不成立，再由条件②结合正弦定理得到的值. （2）利用余弦定理与面积公式即可求解. 【详解】（1）选择①时，，则，又，则，故这样的不存在； 选择②时，，则由正弦定理可得， 根据三角形内角性质有， 代入已知关系式有，解得. （2）由余弦定理可得，即，解得（舍去负值）， . 【点睛】关键点点睛：本题考查正余弦定理的应用，解题的关键点是利用正弦定理与余弦定理进行求解. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$