专题04 第二章 平面向量（9考点清单，知识导图+11个考点清单&题型解读）高一数学下学期北师大版

清单04 第二章 平面向量 （9个考点梳理+11题型解读+提升训练） 清单01 平面向量基本概念 （1）向量 在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量. （2）向量的表示 ①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. ②字母表示:向量可以用字母,,,…表示 （3）两种特殊的向量 零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作. 单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量 (4)平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. (5)相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 清单02 平面向量线性运算 知识点01：向量的加法法则 （1）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. （2）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 知识点02：向量的减法法则 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. 清单03 平面向量共线定理 知识点01：向量共线定理 （1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. （2）向量共线定理的注意问题： ①定理的运用过程中要特别注意． 特别地，若，实数仍存在，但不唯一． 知识点02：三点共线等价形式： （，为实数），若，，三点共线 清单04 平面向量平行垂直的坐标表示 已知非零向量， （1）． （2） 清单05平面向量数量积 平面向量数量积的概念 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积). 记作：，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0 （2）平面向量数量积的坐标表示 在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 清单06 极化恒等式法求数量积最值（范围） 知识点01：极化恒等式 恒等式右边有很直观的几何意义: 向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系 如图在平行四边形 中, 则 在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说: 清单07 向量的模 向量模的坐标表示 若向量，由于，所以． 清单08 向量的夹角 已知非零向量，是与的夹角，则． 清单09向量投影 如图,设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量. 特别提醒: ①为向量在上的投影的数量； ②为向量在上的投影的数量； ③投影的数量（）是一个值，不是向量. 【考点题型一】平面向量基本概念（） 【例1-1】（2025高三下·全国·专题练习）以下说法中正确的个数是（   ） ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③单位向量都是共线向量； ④零向量的长度为0，没有方向． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-1】（24-25高一下·四川广安·阶段练习）下列命题中，正确的是（    ） A．若与都是单位向量，则 B．若与是平行向量，则 C．若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合 D．若，则 【变式1-2】.（24-25高一下·安徽滁州·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．向量与向量长度相等 B． C．若向量与共线，与共线，则与共线 D．任一向量平移后都和原向量相等 【变式1-3】.（多选）（24-25高一下·河北保定·阶段练习）下列命题中的假命题是（    ） A．若为非零向量，则与同向 B．设，为实数，若，则与共线 C．若则 D．的充要条件是且∥ 【变式1-4】.（24-25高一下·河南开封·阶段练习）下列说法中，正确的序号是 ． ①零向量都相等； ②任一向量与它的平行向量不相等； ③若四边形是平行四边形，则； ④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同． 【考点题型二】平面向量线性运算（） 【例2-1】（24-25高一下·全国·课后作业）化简下列各式： (1)； (2)（m，n为实数）． 【例2-2】（多选）（2023高一下·全国·专题练习）（多选）下列结果为零向量的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】.（24-25高一下·安徽·阶段练习）化简：（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】.（24-25高一下·天津静海·阶段练习）在中，下列四式中成立的个数为（    ） ①，②，③，④ A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-3】（24-25高一下·天津东丽·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【考点题型三】平面向量共线定理（） 【例3-1】（2024·河南许昌·三模）在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25高一下·重庆荣昌·阶段练习）在中，在上，且，在上，且．若，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】.（24-25高一下·天津静海·阶段练习）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（    ） A．2 B．8 C．9 D．18 【变式3-2】.（24-25高一下·辽宁·开学考试）如图，在中，已知是线段与的交点，若，则的值为 . 【变式3-3】.（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）在△ABC中，，，线段CD交BE于点G，且，求λ＋μ的值．    【考点题型四】平面向量平行，垂直的坐标表示（） 【例4-1】（2025·陕西渭南·二模）已知向量，若，则实数（    ） A． B．4 C． D． 【例4-2】（2025·江西鹰潭·一模）已知向量，，若且，则实数（   ） A． B．3 C． D． 【变式4-1】.（2025·北京延庆·一模）已知向量，，，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 【变式4-2】.（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】.（24-25高一下·江苏盐城·阶段练习）已知向量，，若，则 ． 【考点题型五】平面向量数量积（） 【例5-1】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）如图，点分别是矩形的边上的两点，，． (1)若是线段靠近的三等分点、是的中点，求； (2)若，求的范围； 【例5-2】（24-25高一下·安徽·阶段练习）在等腰梯形中，为的中点，点在上，且，记. (1)用向量表示向量； (2)求的值. 【变式5-1】.（2025·河北·一模）已知正三角形的边长为2，点满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式5-2】.（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为是正八边形内的动点（含边界），则的取值范围为（    ）      A． B． C． D． 【变式5-3】.（2025·天津·模拟预测）在平面四边形中，，，向量在向量上的投影向量为，若，点为线段上的动点，则的最小值为 ． 【变式5-4】.（24-25高一下·江苏盐城·阶段练习）北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（图②）．已知这个正六边形的边长为1，且是其内部一点（包含边界），则的最大值是 ．    【考点题型六】极化恒等式法求数量积的最值（范围）（） 【例6】（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）正方体的棱长为1，是正方体外接球的直径，P为正方体表面上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】.（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 【变式6-2】.（24-25高一下·河北保定·阶段练习）如图，在中，D是的中点，E，F是上的两个三等分点．若，，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【考点题型七】向量的模（） 【例7-1】（2025·山东菏泽·一模）已知是两个相互垂直的单位向量，且向量，则（    ） A． B． C． D． 【例7-2】（河北省秦皇岛市部分重点中学2025届高三下学期抽测数学试题）已知平面向量是单位向量，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式7-1】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知向量，且，则（    ） A．2 B． C． D．10 【变式7-2】.（24-25高一下·山东枣庄·阶段练习）已知向量，，则的最大值为 ． 【变式7-3】.（24-25高一下·湖南衡阳·阶段练习）平面内给定两个向量 (1)求夹角的余弦值. (2)求 【考点题型八】量的夹角（） 【例8-1】（2024·天津河北·模拟预测）已知向量，，． (1)若，求的值； (2)若，求向量与的夹角的余弦值． 【例8-2】（2025·福建·模拟预测）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】.（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知在平面直角坐标系中为坐标原点，点、点，则向量和的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】.（24-25高三下·贵州·开学考试）设，向量且，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】.（23-24高一下·云南普洱·期末）若，则（    ） A．0 B． C． D． 【考点题型九】根据两个向量成锐角或钝角，求参数（） 【例9-1】（24-25高一下·北京·阶段练习）已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 . 【例9-2】（24-25高一下·云南文山·阶段练习）若，且与的夹角为钝角，则的取值范围是 ． 【变式9-1】.（23-24高一下·北京东城·阶段练习）若向量与的夹角为钝角，则的取值范围为 ． 【变式9-2】.（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知向量. (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【变式9-3】.（24-25高一下·全国·课后作业）已知向量，，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【考点题型十】投影向量（） 【例10-1】（2025高三·广东江苏·专题练习）已知向量，为单位向量，且满足，则向量在向量方向的投影向量为 【例10-2】（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】.（2025·云南昆明·一模）已知，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】.（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）若向量，向量在方向上的投影向量为，则m值可能为（    ） A． B． C．2 D． 【变式10-3】.（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知向量，，则在上的投影向量的坐标为 ． 【考点题型十一】新定义题（） 【例11-1】（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴同方向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的斜坐标. (1)若，求. (2)若，求在上的投影向量斜坐标. (3)若，求的最小值. 【变式11-1】.（24-25高一下·山西太原·开学考试）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，且，若，求． 【变式11-2】.（2024·山西太原·二模）已知两个非零向量，，将向量绕着它的起点沿逆时针方向旋转（）弧度后，其方向与向量的方向相同，则叫做向量到的角．已知非零向量到的角为，数量叫做向量与的运算，记作，即．根据此定义，不难证明以下性质： ①； ②； ③． (1)利用以上性质证明：； (2)设到的角为，定义．当时，则表示△OAB面积；当时，则表示△OAB面积的相反数．利用上述定义和性质证明： ①如图，四边形ABCD的两边AD，BC延长相交于点E，对角线AC，BD的中点为F，G，求证：四边形ABCD的面积等于△EFG的面积的4倍；    ②在平面直角坐标系中，记向量，，△ABC各顶点坐标分别为，，，求证：△ABC面积为． 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一下·四川广安·阶段练习）已知向量，满足，且，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（河北省邢台市2024-2025学年高三下学期3月调研考试数学试题）已知向量，当时，有最小值，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2017·广西玉林·二模）如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江西吉安·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知，不共线，当时，称有序实数对为点的广义坐标，若点A、B的广义坐标分别为、，对于下列命题： ①线段的中点的广义坐标为； ②向量平行于向量的充要条件为； ③向量垂直于向量的充要条件为； 其中假命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（24-25高一下·四川广安·阶段练习）在中，若点D满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·山西·阶段练习）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为4，O是线段的中点，P为正八边形内的一点（含边界），则的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）三角板是一种用于几何绘图和测量的工具，如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中，，，，若，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）下列说法不正确的是（    ） A．若为非零向量，且，则与共线 B．若，则与的方向相同或者相反 C．若，则存在唯一的实数使得 D．若是两个单位向量，且，则 10．（24-25高一下·山东临沂·阶段练习）对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称、中心对称都能给人以美感.已知是以为斜边的等腰直角三角形，，分别以，为直径作两个半圆，得到如图所示的几何图形，是两个半圆弧上的动点，则的值可能是（    ） A． B．1 C．8 D．18 11．（2025·江西·一模）已知，，均为单位向量，且，则（   ） A． B． C．当实数变化时，的最小值是 D．若，则 三、填空题 12．（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称.如图，在平面斜角坐标系xOy中，两坐标轴的正半轴的夹角为，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量.若向量，则称有序实数对为在该斜角坐标系下的坐标.若向量，在该斜角坐标系下的坐标分别为，，且，则实数k的值为 .    13．（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）已知菱形的边长为2，则向量 .    14．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）若向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 四、解答题 15．（24-25高一下·湖北·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，若M，N分别是边，所在直线上的点，且满足，，其中k，，设，. (1)当，时，用向量和分别表示向量和； (2)当，时，求的取值范围. 16．（24-25高一下·陕西榆林·阶段练习）已知向量，，． (1)求的最小值； (2)若与共线，求与的夹角． 17．（24-25高一下·山东枣庄·阶段练习）已知向量，． (1)若向量与垂直，求k的值； (2)若向量，、对应的点分别是A、B、C，且三点共线，求k的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求k的取值范围． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 第二章 平面向量 （9个考点梳理+11题型解读+提升训练） 清单01 平面向量基本概念 （1）向量 在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量. （2）向量的表示 ①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. ②字母表示:向量可以用字母,,,…表示 （3）两种特殊的向量 零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作. 单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量 (4)平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. (5)相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 清单02 平面向量线性运算 知识点01：向量的加法法则 （1）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. （2）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 知识点02：向量的减法法则 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. 清单03 平面向量共线定理 知识点01：向量共线定理 （1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. （2）向量共线定理的注意问题： ①定理的运用过程中要特别注意． 特别地，若，实数仍存在，但不唯一． 知识点02：三点共线等价形式： （，为实数），若，，三点共线 清单04 平面向量平行垂直的坐标表示 已知非零向量， （1）． （2） 清单05平面向量数量积 平面向量数量积的概念 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积). 记作：，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0 （2）平面向量数量积的坐标表示 在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 清单06 极化恒等式法求数量积最值（范围） 知识点01：极化恒等式 恒等式右边有很直观的几何意义: 向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系 如图在平行四边形 中, 则 在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说: 清单07 向量的模 向量模的坐标表示 若向量，由于，所以． 清单08 向量的夹角 已知非零向量，是与的夹角，则． 清单09向量投影 如图,设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量. 特别提醒: ①为向量在上的投影的数量； ②为向量在上的投影的数量； ③投影的数量（）是一个值，不是向量. 【考点题型一】平面向量基本概念（） 【例1-1】（2025高三下·全国·专题练习）以下说法中正确的个数是（   ） ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③单位向量都是共线向量； ④零向量的长度为0，没有方向． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】向量的模、平行向量（共线向量）、零向量与单位向量 【分析】根据向量共线及模长，零向量的定义判断各个小题即可. 【详解】共终点不代表共线，向量的方向是由起点和终点共同决定的，①错误； 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小，②正确； 单位向量的定义只是模长定义的，方向有无数种情况，③错误； 零向量也有方向，只是方向任意，④错误． 故选：B. 【变式1-1】（24-25高一下·四川广安·阶段练习）下列命题中，正确的是（    ） A．若与都是单位向量，则 B．若与是平行向量，则 C．若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合 D．若，则 【答案】C 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）、零向量与单位向量 【分析】由平面向量的基本概念判断即可. 【详解】对于A：若与都是单位向量，则，故A错误； 对于B：与是平行向量,故B错误； 对于D：向量是既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小，故D错误； 故选：C 【变式1-2】.（24-25高一下·安徽滁州·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．向量与向量长度相等 B． C．若向量与共线，与共线，则与共线 D．任一向量平移后都和原向量相等 【答案】C 【知识点】平行向量（共线向量）、零向量与单位向量、相等向量 【分析】根据相反向量、相等向量、共线向量、零向量等的概念逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，向量与向量是互为相反向量，方向相反、长度相等，故A正确； 对于B，若，则方向相同、长度也相等，而方向相同的两向量一定是平行向量，故B正确； 对于C，若，对任意两个非零向量与，都有，，故C不正确； 对于D，任一向量在平移过程中保持向量的方向和长度并不改变，故平移后的向量都和原向量相等，故D正确. 故选：C. 【变式1-3】.（多选）（24-25高一下·河北保定·阶段练习）下列命题中的假命题是（    ） A．若为非零向量，则与同向 B．设，为实数，若，则与共线 C．若则 D．的充要条件是且∥ 【答案】BCD 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】由单位向量可得A正确；举反例可得B错误；举反例可得C错误；当两向量互为相反向量时可得D错误. 【详解】对于A，若为非零向量，表示方向相同的单位向量，所以与同向，故A正确； 对于B，若，则与不一定共线，故B错误； 对于C，若，则不一定共线；故C错误； 对于D ，当两向量互为相反向量时也满足且∥，但，故D错误； 故选：BCD 【变式1-4】.（24-25高一下·河南开封·阶段练习）下列说法中，正确的序号是 ． ①零向量都相等； ②任一向量与它的平行向量不相等； ③若四边形是平行四边形，则； ④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同． 【答案】①③ 【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量、零向量及共线向量的定义逐一分析即可判断. 【详解】对于①：因为零向量的长度都为0，且其方向任意，所以零向量都相等，故①正确； 对于②：平行向量的方向可以相同，且大小也可以相等， 所以任一向量与它的平行向量可能相等，故②错误； 对于③：根据向量的定义知与的方向相同，且长度相等， 所以，故③正确； 对于④：根据共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同， 所以④错误. 故答案为：①③. 【考点题型二】平面向量线性运算（） 【例2-1】（24-25高一下·全国·课后作业）化简下列各式： (1)； (2)（m，n为实数）． 【答案】(1) (2) 【知识点】向量减法的运算律、向量数乘的有关计算、向量加法的运算律 【分析】（1）利用向量的加减法，数乘运算即可； （2）利用向量的加减法，数乘运算即可. 【详解】（1）原式； （2）原式． 【例2-2】（多选）（2023高一下·全国·专题练习）（多选）下列结果为零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】平面向量的混合运算 【分析】根据向量线性运算的知识来求得正确答案. 【详解】对于A： ，故选项A不正确； 对于B： ，故选项B正确； 对于C： ，故选项C正确； 对于D： ，故选项D正确. 故选：BCD 【变式2-1】.（24-25高一下·安徽·阶段练习）化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法的运算律、向量减法的运算律 【分析】应用向量加减法则化简即可得答案. 【详解】. 故选：C 【变式2-2】.（24-25高一下·天津静海·阶段练习）在中，下列四式中成立的个数为（    ） ①，②，③，④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】利用向量的加减运算法则即可得解. 【详解】对于①，，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，，故③正确； 对于④，，故④正确； 故选：C. 【变式2-3】（24-25高一下·天津东丽·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】向量数乘的有关计算、向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】（1）根据平面向量的线性运算即可求解； （2）由向量的数乘运算计算可得. 【详解】（1）易知； （2）计算可得. 【考点题型三】平面向量共线定理（） 【例3-1】（2024·河南许昌·三模）在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点共线得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【详解】， 由三点共线可得，且， 所以， 当且仅当即时等号成立. 故选：D. 【例3-2】（24-25高一下·重庆荣昌·阶段练习）在中，在上，且，在上，且．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】根据平面向量的基本定理和平面向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 因为， 所以，则． 因为，所以，则． 故选：B 【变式3-1】.（24-25高一下·天津静海·阶段练习）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（    ） A．2 B．8 C．9 D．18 【答案】C 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、基本不等式“1”的妙用求最值、平面向量共线定理的推论 【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【详解】由题意，，又共线，则， 且，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为9. 故选：C 【变式3-2】.（24-25高一下·辽宁·开学考试）如图，在中，已知是线段与的交点，若，则的值为 . 【答案】 【知识点】用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数、平面向量基本定理的应用 【分析】设，将表示为，继而化为，利用三点共线求得，即可求得答案. 【详解】设，由得， 故 ， 由得， 故, 由于三点共线，故，则， 又，故， 所以， 故答案为： 【变式3-3】.（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）在△ABC中，，，线段CD交BE于点G，且，求λ＋μ的值．    【答案】 【知识点】平面向量基本定理的应用、平面向量共线定理的推论、用基底表示向量 【分析】设，，表达出，同理设，，表达出，从而得到方程组，求出，得到，得到答案. 【详解】三点共线，设，， 即， 即，， 又，所以， 三点共线，设，， 即， 即，， 又，所以， 所以，解得， 故，. 【考点题型四】平面向量平行，垂直的坐标表示（） 【例4-1】（2025·陕西渭南·二模）已知向量，若，则实数（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由向量平行的坐标表示求解． 【详解】由题意， 又，所以，解得， 故选：B． 【例4-2】（2025·江西鹰潭·一模）已知向量，，若且，则实数（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】由向量线性运算与数量积的坐标表示，根据向量垂直，建立方程，解根并验根，可得答案. 【详解】由题意可得，， 由，则， 可得，解得， 当时，，； 当时，，. 故选：B. 【变式4-1】.（2025·北京延庆·一模）已知向量，，，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量共线的充要条件得解即可. 【详解】因为，， 所以， 因为， 所以，解得， 故选：B 【变式4-2】.（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】根据条件，利用数量积的坐标运算，即可求解. 【详解】因为， 所以， 则，解得， 故选：D. 【变式4-3】.（24-25高一下·江苏盐城·阶段练习）已知向量，，若，则 ． 【答案】1 【知识点】数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示 【分析】根据向量坐标运算求出与的坐标，再根据向量垂直的性质列出方程，最后求解方程得到的值. 【详解】已知，. 则； . 因为，可得. 所以. 解得. 故答案为：. 【考点题型五】平面向量数量积（） 【例5-1】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）如图，点分别是矩形的边上的两点，，． (1)若是线段靠近的三等分点、是的中点，求； (2)若，求的范围； 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的坐标表示、向量加法的法则、数量积的坐标表示 【分析】（1）建立如图所示直角坐标系，利用坐标表示求夹角的余弦即可； （2）结合图形，由向量的加法和数量积的定义求解即可. 【详解】（1）以点为坐标原点，、所在的直线为轴､轴建立直角坐标系， 则，，，， 所以， ，， ． （2）由，， 故，则， 所以 ， 由，故． 【例5-2】（24-25高一下·安徽·阶段练习）在等腰梯形中，为的中点，点在上，且，记. (1)用向量表示向量； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】（1）连接，可得、，利用向量的加法表示； （2）由（1），过分别作的垂线，垂足分别为，得到，然后应用数量积的运算律求值. 【详解】（1）如图所示，连接，则四边形为平行四边形， 所以， 因为点在上，且，所以， 所以. （2）由（1）可知，， 在等腰梯形中，过分别作的垂线，垂足分别为， 则，所以， 由题意知，且， . 【变式5-1】.（2025·河北·一模）已知正三角形的边长为2，点满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、用基底表示向量 【分析】根据向量的线性运算可得的表达式，即可根据数量积的运算律求解. 【详解】因为，所以， ， 故选：C 【变式5-2】.（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为是正八边形内的动点（含边界），则的取值范围为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，得到向量的坐标，用向量的数量积坐标运算即可求解. 【详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则 过作的垂线，垂足为， 正八边形中，边长为4，所以， 所以，所以，所以， 设，则，所以， 因为是正八边形内的动点（含边界）， 所以的范围为， 所以， 故选：A. 【变式5-3】.（2025·天津·模拟预测）在平面四边形中，，，向量在向量上的投影向量为，若，点为线段上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、求投影向量 【详解】如图，过点作， 因向量在向量上的投影向量为，则为线段的中点， 则，在中， 以为原点，、所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系， 又，则且， 则， 则， 设， 则， 当时，有最小值. 故答案为：. 【变式5-4】.（24-25高一下·江苏盐城·阶段练习）北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（图②）．已知这个正六边形的边长为1，且是其内部一点（包含边界），则的最大值是 ．    【答案】3 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】根据正六边形的性质建立合适的平面直角坐标系，将向量用坐标表示出来，再通过向量数量积的坐标运算公式进行计算，最后根据点的位置确定数量积的最大值. 【详解】因为正六边形的边长为，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.    根据正六边形的性质可知：，，. 根据向量坐标运算，可得. 因为是正六边形内部一点（包含边界），设，那么. 所以. 由正六边形的性质可知，点在正六边形内部（包含边界），的最大值在点处取得，此时.代入，可得的最大值为. 故答案为：3. 【考点题型六】极化恒等式法求数量积的最值（范围）（） 【例6】（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）正方体的棱长为1，是正方体外接球的直径，P为正方体表面上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多面体与球体内切外接问题、用定义求向量的数量积、求空间向量的数量积 【分析】利用向量数量积的运算律得，进一步只需求出即可得解． 【详解】由题意等于正方体的体对角线长， 设点为球心，即点为的中点， 所以， 则 ， 当点与某个侧面的中心重合时，最小，且， 当点与正方体的顶点重合时，最大，且， 由于点是在正方体表面连续运动，所以的取值范围是， 所以的取值范围是. 故选：A. 【变式6-1】.（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 【答案】A 【知识点】已知模求数量积、数量积的运算律 【分析】可以把三角形补形为平行四边形，,利用已知条件求解即可. 【详解】由题设，可以补形为平行四边形， 由已知得． 故选：A． 【变式6-2】.（24-25高一下·河北保定·阶段练习）如图，在中，D是的中点，E，F是上的两个三等分点．若，，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【知识点】向量加法的法则、数量积的运算律 【分析】设，结合图形由数量积的运算率和向量加法可得. 【详解】设，． 同理， 所以联立得， 所以． 故选：B 【考点题型七】向量的模（） 【例7-1】（2025·山东菏泽·一模）已知是两个相互垂直的单位向量，且向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知数量积求模、向量模的坐标表示 【分析】法一：由题意得出，先求出，即可求解；法二：不妨设，根据向量坐标表示的运算法则及模的计算即可求解． 【详解】法一：由题意得， 所以，则； 法二：因为是两个相互垂直的单位向量，且向量， 所以不妨设，则， 故，则， 故选：A． 【例7-2】（河北省秦皇岛市部分重点中学2025届高三下学期抽测数学试题）已知平面向量是单位向量，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、坐标计算向量的模、垂直关系的向量表示 【分析】根据给定条件，利用模的坐标表示及数量积的运算律求解即得. 【详解】由向量，得，由，得， 所以. 故选：D 【变式7-1】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知向量，且，则（    ） A．2 B． C． D．10 【答案】C 【知识点】坐标计算向量的模、利用向量垂直求参数、数量积的坐标表示 【分析】先根据向量垂直得向量数量积为零，解得值，再根据向量的模坐标表示得结果. 【详解】 因此 故选:C. 【变式7-2】.（24-25高一下·山东枣庄·阶段练习）已知向量，，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】数量积的运算律、坐标计算向量的模、用定义求向量的数量积 【分析】首先求出，再根据数量积的运算律得到，最后根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 所以 ， 又，所以， 所以当，即时，取得最大值且. 故答案为： 【变式7-3】.（24-25高一下·湖南衡阳·阶段练习）平面内给定两个向量 (1)求夹角的余弦值. (2)求 【答案】(1) (2) 【知识点】向量夹角的计算、坐标计算向量的模、平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】（1）由向量的坐标，利用模长公式以及数量积，结合夹角余弦值，可得答案； （2）由向量的坐标，利用线性运算以及模长公式，可得答案. 【详解】（1）由题意可得，， 则夹角的余弦值. （2）由题意可得， 则. 【考点题型八】量的夹角（） 【例8-1】（2024·天津河北·模拟预测）已知向量，，． (1)若，求的值； (2)若，求向量与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【知识点】坐标计算向量的模、向量夹角的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、已知向量垂直求参数 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示求，再代入模的公式，即可求解； （2）首先根据两向量平行求，再代入向量夹角的余弦公式，即可求解. 【详解】（1）由，得，解得， ，则． （2）由题意， 又，，解得， 则，，， ， 即向量与的夹角的余弦值为． 【例8-2】（2025·福建·模拟预测）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标计算向量的模、向量夹角的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】先计算出，利用向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】，， 所以， ， 所以. 故选：D 【变式8-1】.（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知在平面直角坐标系中为坐标原点，点、点，则向量和的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】由向量夹角的公式求解即可，注意向量夹角的取值范围. 【详解】因为点、点，所以， 所以，， 设向量和的夹角为，因为， 又因为，所以， 所以向量和的夹角为. 故选：B. 【变式8-2】.（24-25高三下·贵州·开学考试）设，向量且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用向量垂直求参数、向量夹角的坐标表示 【分析】利用垂直关系求出，再利用向量夹角的坐标表示求得答案. 【详解】由向量且，得，则， 所以. 故选：B 【变式8-3】.（23-24高一下·云南普洱·期末）若，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】根据平面向量夹角的坐标公式求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：. 【考点题型九】根据两个向量成锐角或钝角，求参数（） 【例9-1】（24-25高一下·北京·阶段练习）已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】向量夹角的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】利用且与不共线求解. 【详解】，，则， 因与的夹角为锐角，则，得， 当时，，得，此时与同向， 则实数的取值范围是. 故答案为： 【例9-2】（24-25高一下·云南文山·阶段练习）若，且与的夹角为钝角，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】利用向量夹角的定义建立不等式，再排除向量平行的特殊情况，求解参数范围即可. 【详解】设为与的夹角，则， 因为为钝角，所以，解得， 而此时与一定不平行，得到，解得， 综上可得的取值范围是. 故答案为： 【变式9-1】.（23-24高一下·北京东城·阶段练习）若向量与的夹角为钝角，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】根据向量夹角为钝角，得到不等式，得到答案. 【详解】向量与的夹角为钝角， 所以，且， 解得， 故答案为：． 【变式9-2】.（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知向量. (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】（1）根据向量坐标运算和向量平行的坐标表示求解可得； （2）根据且不同向列方程求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，， 又向量与共线，所以，解得. （2）若向量与的夹角为锐角，则且不同向， 由，解得， 由得，此时同向，不满足题意. 综上，实数的取值范围为. 【变式9-3】.（24-25高一下·全国·课后作业）已知向量，，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】利用向量数量积及共线的定理的坐标表示即可求解. 【详解】当与共线时，，， 此时与方向相反，夹角为180°，所以要使与的夹角为钝角， 则有，且与不反向.由得， 由与不反向得， 所以的取值范围是. 【考点题型十】投影向量（） 【例10-1】（2025高三·广东江苏·专题练习）已知向量，为单位向量，且满足，则向量在向量方向的投影向量为 【答案】 【知识点】数量积的运算律、求投影向量、坐标计算向量的模 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求出，再利用投影向量的意义求解. 【详解】由，得，则， 又，为单位向量，则，， 所以向量在向量方向的投影向量为. 故答案为： 【例10-2】（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求投影向量、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求得答案. 【详解】由，得，， 所以在上的投影向量为. 故选：A 【变式10-1】.（2025·云南昆明·一模）已知，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求投影向量 【分析】根据投影向量公式求解即可. 【详解】由题意，在上的投影向量为. 故选：A 【变式10-2】.（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）若向量，向量在方向上的投影向量为，则m值可能为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】根据投影向量的计算公式，结合数量积与模长的坐标表示，可得答案. 【详解】向量在方向上的投影向量为， 所以，解得或， 故选：C. 【变式10-3】.（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知向量，，则在上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求投影向量、坐标计算向量的模 【分析】利用投影向量的公式即可得到结果． 【详解】由题意得，，因为，所以， 所以在上的投影向量的坐标为． 故答案为： 【考点题型十一】新定义题（） 【例11-1】（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴同方向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的斜坐标. (1)若，求. (2)若，求在上的投影向量斜坐标. (3)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】向量新定义、用坐标表示平面向量、向量夹角的计算、求投影向量 【分析】（1）根据向量斜坐标表示，结合可得的值. （2）根据条件计算，结合投影向量公式可得在上的投影向量为，由此可得结果. （3）利用向量夹角公式表示，通过换元法结合函数单调性的分析可得结果. 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴，解得. （2）∵，∴， 由题意得，，故， ∴， ， ∴在上的投影向量为， ∴在上的投影向量斜坐标为. （3）∵，∴， ∵，∴，即， ∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴， ， ∴， 令，则， ∵，函数在上单调递减， ∴函数在上单调递增， ∴当时，，即的最小值为. 【变式11-1】.（24-25高一下·山西太原·开学考试）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，且，若，求． 【答案】(1)1 (2)①证明见解析 ；② 【知识点】向量夹角的计算、数量积的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、向量模的坐标表示 【分析】（1）直接根据“相高度”的定义代入向量坐标计算； （2）①需要利用向量夹角公式和“相高度”的定义进行推导证明； ②先根据已知条件，结合重心性质，求出、的坐标关系，再代入“相高度”公式计算. 【详解】（1）因为， 所以. （2）①因为 ， 且，，则， 所以. 若，等价于，即， 所以的充分必要条件是； ②因， 则， 可得， 即，可得， 又因为，可知点为的重心，则， 可得， 则， ， ， 可得， 所以. 【变式11-2】.（2024·山西太原·二模）已知两个非零向量，，将向量绕着它的起点沿逆时针方向旋转（）弧度后，其方向与向量的方向相同，则叫做向量到的角．已知非零向量到的角为，数量叫做向量与的运算，记作，即．根据此定义，不难证明以下性质： ①； ②； ③． (1)利用以上性质证明：； (2)设到的角为，定义．当时，则表示△OAB面积；当时，则表示△OAB面积的相反数．利用上述定义和性质证明： ①如图，四边形ABCD的两边AD，BC延长相交于点E，对角线AC，BD的中点为F，G，求证：四边形ABCD的面积等于△EFG的面积的4倍；    ②在平面直角坐标系中，记向量，，△ABC各顶点坐标分别为，，，求证：△ABC面积为． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析 ；②证明见解析 【知识点】数量积的运算律、向量新定义 【分析】（1）由新定义求证； （2） ①由，再由新定义求解； ②由，再由新定义求解． 【详解】（1）由题意得； （2）①设（）， ， ∴四边形ABCD的面积等于△EFG的面积的4倍； ②∵，， ∴，，， ∵，，， ∴，， ∴ ， ∴△ABC面积为． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于充分理解新定义运算，结合向量的数量积运算求解． 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一下·四川广安·阶段练习）已知向量，满足，且，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求投影向量 【分析】先利用计算，再利用投影向量的公式计算即可. 【详解】，，则， 得， 则在方向上的投影向量为. 故选：D 2．（河北省邢台市2024-2025学年高三下学期3月调研考试数学试题）已知向量，当时，有最小值，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【知识点】由向量共线（平行）求参数、基本不等式求和的最小值 【分析】根据平面向量共线的坐标表示得到方程，再利用基本不等式即可得到答案. 【详解】由已知，即，解得. 故选：C． 3．（2017·广西玉林·二模）如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、用基底表示向量 【分析】根据向量的三角形法则和数乘运算法则即可求出． 【详解】由，得，而， 所以. 故选：B 4．（24-25高三上·江西吉安·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】根据垂直关系的向量表示可得，即可得出结果. 【详解】由可得， 由于，可得， 解得， 由于，因此． 故选：D 5．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知，不共线，当时，称有序实数对为点的广义坐标，若点A、B的广义坐标分别为、，对于下列命题： ①线段的中点的广义坐标为； ②向量平行于向量的充要条件为； ③向量垂直于向量的充要条件为； 其中假命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】垂直关系的向量表示、平面向量共线定理的推论、向量新定义 【分析】对于①：设为中点，利用向量的中线公式直接求解；对于②：利用向量平行直接求解；对于③：利用向量垂直计算后判断. 【详解】由题意：，. 对于①：设为中点， 所以， 所以线段的中点的广义坐标为，故①正确； 对于②：向量平行于向量 ，其中，故②正确； 对于③：向量垂直于向量， 而，故③不一定成立. 故选：B. 6．（24-25高一下·四川广安·阶段练习）在中，若点D满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量减法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用 【分析】利用平面向量减法运算得，整理即可求解． 【详解】， ， ， 故选：B． 7．（24-25高一下·山西·阶段练习）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为4，O是线段的中点，P为正八边形内的一点（含边界），则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积 【分析】利用向量数量积的几何意义，即投影向量的意义计算即得. 【详解】 如图过点作直线，交于点， 因，又， 则，而即在直线上投影的数量， 要使取最大值，则需使在直线上投影的数量最大， 由图知，当点与点或重合时投影向量的数量最大. 因，由对称性知，， 在中，，因，解得， 则，故的最大值为. 故选：B. 8．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）三角板是一种用于几何绘图和测量的工具，如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中，，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由向量线性运算结果求参数 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，结合向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】 以B为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向， 建立如图所示的直角坐标系. 作，交BA的延长线于点， 由题中数据可得，，，， 则，，. 因为，所以， 则解得故. 故选：B 二、多选题 9．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）下列说法不正确的是（    ） A．若为非零向量，且，则与共线 B．若，则与的方向相同或者相反 C．若，则存在唯一的实数使得 D．若是两个单位向量，且，则 【答案】CD 【知识点】平行向量（共线向量）、已知数量积求模 【分析】根据共线的定义以及共线定理即可求解ABC，根据模长公式即可求解D. 【详解】对于A，若为非零向量，，则，故与共线，A正确； 对于B， ，，则与共线，故与的方向相同或者相反，B正确； 对于C，若，且时，则存在唯一的实数使得，故C错误； 对于D，若是两个单位向量，且，则， 则，故D错误. 故选：CD 10．（24-25高一下·山东临沂·阶段练习）对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称、中心对称都能给人以美感.已知是以为斜边的等腰直角三角形，，分别以，为直径作两个半圆，得到如图所示的几何图形，是两个半圆弧上的动点，则的值可能是（    ） A． B．1 C．8 D．18 【答案】BC 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】由题意建立标系，利用平面向量数量积的坐标表示，可得.答案 【详解】取线段的中点为，连接， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立直角坐标系，如下图： 则，，， 由图易知， 可得，， ， 易知. 故选：BC. 11．（2025·江西·一模）已知，，均为单位向量，且，则（   ） A． B． C．当实数变化时，的最小值是 D．若，则 【答案】ACD 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】根据已知条件，求出，计算可判断A的真假；利用计算可判断B的真假；利用结合二次函数的值域可判断C的真假；结合数量积的运算法则可判断D的真假. 【详解】由.得.解得（舍去）或. 因为、均为单位向量.则，故正确. ，故错误. ，当且仅当时取等号，故正确. 由.则，所以，整理得，即.故正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称.如图，在平面斜角坐标系xOy中，两坐标轴的正半轴的夹角为，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量.若向量，则称有序实数对为在该斜角坐标系下的坐标.若向量，在该斜角坐标系下的坐标分别为，，且，则实数k的值为 .    【答案】14 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】写出，，根据向量数量积运算法则得到方程，求出. 【详解】由题意得，，， 故 ， 解得. 故答案为：14 13．（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）已知菱形的边长为2，则向量 .    【答案】2 【知识点】向量的模、向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用 【分析】应用向量加减法的几何意义化简得，即可得答案. 【详解】由图知. 故答案为：2 14．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）若向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、数量积的坐标表示 【分析】根据向量夹角为钝角的条件，借助数量积公式来确定实数的取值范围. 【详解】因为向量，，与的夹角为钝角， 所以且，即且， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·湖北·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，若M，N分别是边，所在直线上的点，且满足，，其中k，，设，. (1)当，时，用向量和分别表示向量和； (2)当，时，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【知识点】平面向量的混合运算、用基底表示向量、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】（1）根据向量的线性运算求解； （2）用表示，利用数量积的运算律求出，根据二次函数的性质可求其范围. 【详解】（1）当 ，时， ， （2）当，时， ， ， 故 ， 因为 ，故 故 的取值范围为 . 16．（24-25高一下·陕西榆林·阶段练习）已知向量，，． (1)求的最小值； (2)若与共线，求与的夹角． 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、数量积的坐标表示 【分析】（1）根据向量线性运算以及模长的坐标表示，结合二次函数的性质，可得答案； （2）根据共线向量以及数量积与模长的坐标表示，利用向量夹角的计算公式，可得答案. 【详解】（1）由，，可得， 则， 故当时，取得最小值，即时，取得最小值． （2），， 由与共线可得，解得， 则，，，， 设与的夹角为，所以， 因为，所以． 17．（24-25高一下·山东枣庄·阶段练习）已知向量，． (1)若向量与垂直，求k的值； (2)若向量，、对应的点分别是A、B、C，且三点共线，求k的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求k的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3). 【知识点】用坐标表示平面向量、由向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】（1）由垂直关系的坐标表示列出方程，进而求出k的值. （2）求出向量的坐标，利用共线向量的坐标表示求出k的值. （3）由两向量夹角为锐角建立不等式，求出k的取值范围. 【详解】（1）依题意，，， 由向量与垂直，得， 所以． （2）依题意，，，由（1）得， ，由共线，得， 则，解得或， 所以或. （3）由（1），， 由向量与的夹角为锐角，得，且与不共线， 则且，解得且， 所以k的取值范围是. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$