专题03 第一章 函数y=Asin(wx+ψ)的图象及其应用（2考点清单，知识导图+8个考点清单&题型解读）高一数学下学期北师大版

清单03 第一章 函数y=Asin(wx+ψ)的图象及其应用 （2个考点梳理+8题型解读+提升训练） 清单01 三角函数图象变化 参数,,对函数图象的影响 1.对函数,的图象的影响 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法 清单02 求三角函数解析式 形如的解析式求法： 1、求法： ①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置. ②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解. 2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出. 3、求法： ①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解. （第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近） ②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解. ③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案. 【考点题型一】三角函数图象变化（） 【例1】（24-25高一下·山东德州·阶段练习）为了得到的图象，只要把的图象上所有的点（    ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 【答案】B 【知识点】诱导公式五、六、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】利用函数平移思想，来求解析式，结合三角函数诱导公式即可得出正确判断. 【详解】因为， 所以把的图象上所有的点向左平行移动个单位长度可得 的图象，故B正确； 经检验，ACD错误. 故选：B. 【变式1-1】.（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知的图象为，为了得到的图象，只要把上所有的点（    ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 【答案】C 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】结合诱导公式，直接求解三角函数图像平移即可. 【详解】因为， 即图像上所有的点向右平移个单位， 又， 即上述图像再次向右平移个单位， 综上，为了得到的图象， 只要把上所有的点向右平行移动个单位长度. 故选：C 【变式1-2】.（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】根据“左加右减”的原则来确定平移的单位. 【详解】因为，故向左平移个单位，故A正确； 经检验，其他选项错误. 故选：A. 【变式1-3】.（24-25高一下·江苏盐城·阶段练习）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】D 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】直接利用函数的图象的平移变换求出结果. 【详解】因为， 所以为了得到函数的图象， 只需把函数的图象上所有的点右平行移动个单位长度，故D正确； 经检验，其他选项都不正确. 故选：D. 【变式1-4】（2025·辽宁·一模）若函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求图象变化前（后）的解析式 【分析】利用“左加右减，上加下减”写出向右平移后的函数，再利用两个函数相等得到，即可求得结果. 【详解】函数的图象向右平移个单位后得到函数, 所以函数，因此， 解得，令可得， 其他选项中的值不存在整数k能使得成立. 故选：D 【考点题型二】求三角函数解析式（） 【例2】（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，直线是图象的一条对称轴． (1)求的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)若方程在内恰有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、由图象确定正（余）弦型函数解析式、余弦函数图象的应用 【分析】（1）求出函数最小正周期，进而得到，，代入特殊点坐标，求出，得到解析式； （2）整体法求出函数单调递减区间； （3）得到，结合图象得到，求出答案. 【详解】（1）由题可知，的最小正周期，则， 则，，即，． 因为，所以． 又，所以，得． 故． （2）令， 得， 则的单调递减区间为． （3）由，得． 由，得． 因为方程在内恰有两个不相等的实数根，所以， 解得，即的取值范围为． 【变式2-1】.（24-25高一下·广西·开学考试）函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 . 【答案】 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】先根据最值得出A，再根据周期得出，最后再代入点求出，求出函数的解析式即可. 【详解】由最大值为1，且得， 令函数周期为，有，解得，则， 而当时，，则有，又，则， 因此，. 故答案为：. 【变式2-2】.（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）已知函数的图象如图所示.    (1)求这个函数的解析式，并指出它的振幅和初相； (2)求函数在区间上的最大值和最小值，并指出取得最值时的的值； (3)求这个函数的单调增区间和对称中心. 【答案】(1)，其振幅是2，初相是 (2)时，函数取得最大值为0；时，函数取得最小值为-2 (3)单调递增区间为，对称中心为 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据图像写出，由周期求出，再由点确定的值． （2）根据确定的取值范围，再由 的单调求出最值 （3）用整体代入法结合函数可求函数的单调增区间和对称中心. 【详解】（1）由图象知，函数的最大值为，最小值为，∴， 又∵，∴，，∴. ∴函数的解析式为. ∵函数的图象经过点， ∴，∴， 又∵，∴. 故函数的解析式为，其振幅是，初相是. （2）由（1）得，令，则. ∵，∴. 于是，当，即时，函数取得最大值0； 当，即时，函数取得最小值为. （3）令，，解得, 所以函数的单调增区间. 令,，解得， 故函数的对称中心为，. 【变式2-3】.（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）函数的部分图象如图： (1)求解析式； (2)写出函数在上的单调递减区间. 【答案】(1)； (2). 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据函数的图象求出相关参数，即可得解析式； （2）由正弦型函数的性质求区间内的单调递减区间即可. 【详解】（1）由题设，可得，且， 所以，又， 所以，且，可得，则； （2）在上，则上单调递减， 所以，可得， 所以在上的单调递减区间为. 【变式2-4】.（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知函数的部分图象如图所示，函数的图象与轴的交点的纵坐标为. (1)求函数的解析式； (2)求函数的图象的对称轴方程和对称中心的坐标； (3)若函数在区间上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)，； (3) 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】（1）根据图像先求出周期即可得，由和即可求出和； （2）令即可求出函数的对称轴方程，令，即可求出函数的对称中心的横坐标，纵坐标为0； （3）函数在区间上的值域为，由正弦函数的图象和性质得解出即可. 【详解】（1）由图可知函数的周期为，有，又由，可得， 又由图可知，有，有，又由.有，可得. 又由图可知，有，可得. 故函数的解析式为； （2）令，可得， 可得函数的图象的对称轴方程为， 令，可得， 可得函数的图象的对称中心的坐标为； （3）当时，，有. 若函数在区间上的值域为，由正弦函数的图象和性质可知，可得 故实数的取值范围为. 【考点题型三】函数性质的综合（选填） 【例3】（多选）（24-25高一下·湖北·阶段练习）函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．在的值域为 C．将的图像向左平移个单位后为奇函数 D．的单调递增区间为， 【答案】ACD 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求图象变化前（后）的解析式、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】由正弦型函数的图象求出函数的解析式，利用正弦函数的性质逐项求解判断即可. 【详解】对于A，由图可知，，，所以， 所以，故，所以， 由得，故A正确； 对于B，所以， ，所以， 所以的值域为，故B错误； 对于C，将的图像向左平移个单位后得， 是奇函数，故C正确； 对于D，， 由，，解得， 即，， 所以单调递增区间为，，故D正确. 故选：ACD 【变式3-1】.（多选）（2025·陕西西安·二模）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B． C．的图象关于直线对称 D．将图象上所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），可得到函数的图象 【答案】ABD 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据，计算即可判断A；直接计算即可判断B；计算得，可判断不为对称轴；根据横坐标不变纵坐标变为原来的，只需要将变为即可得到． 【详解】已知函数的最小正周期为， ，则，故A正确； ，则，故B正确； ，故的图象不关于直线对称，故C错误； 将图象上所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），可得到函数的图象，故D正确； 故选：ABD． 【变式3-2】.（多选）（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）设函数，则（    ） A．为奇函数 B．的图象关于点对称 C．当取最大值时， D．将图象向右平移个单位，可以得到函数的图象 【答案】ABD 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求正弦（型）函数的奇偶性、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】根据已知解析式写出、的解析式判断A、D；代入法验证判断B；令求对应判断C. 【详解】A：为奇函数，对； B：，即的图象关于点对称，对； C：令，可得，故，错； D：，对. 故选：ABD 【变式3-3】.（多选）（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的最小正周期是 B．函数在区间上是增函数 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度而得到 【答案】ACD 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、描述正（余）弦型函数图象的变换过程、求sinx型三角函数的单调性 【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A正确，再由正弦型函数的单调性可判断B错误，结合正弦型函数的对称性利用检验法代入计算可判断C正确，由三角函数图象的变换规则可得D正确. 【详解】对于A，易知函数的最小正周期是，可得A正确； 对于B，当时，，易知在上不单调， 所以函数在区间上不单调，即B错误； 对于C，因为， 因此直线是函数图象的一条对称轴，即C正确； 对于D，将的图象向左平移个单位长度可得，因此D正确. 故选：ACD 【变式3-4】.（多选）（2025·山东·模拟预测）已知函数，则（   ） A．直线是图象的一条对称轴 B．在区间上单调递增 C．当时，的值域为 D．将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的对称中心为 【答案】ABD 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性 【分析】由正弦函数的对称轴方程当时可得A正确；由正弦函数的单调区间可得B正确；利用正弦函数的单调性可得C错误；利用正弦函数平移的性质和对称中心可得D正确. 【详解】对于A，令，得，当时，得，故A正确； 对于B，令，解得，当时，，而，故B正确； 对于C，当时，，所以，故C错误； 对于D，， 令，得， 所以图象的对称中心为，故D正确． 故选：ABD. 【考点题型四】函数性质的综合（解答题） 【例4】（24-25高一下·山东德州·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式. (2)将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求图像的对称中心及单调增区间. 【答案】(1) (2)， 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数解析式； （2）利用图象变换求出，再利用余弦函数的图象性质求出对称中心及单调递增区间. 【详解】（1）由图形可知，，得 过点，，即， ， 函数的解析式 （2）将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍， 得到的图象，再将所得图象上各点向右平移个单位长度， 得到的图象， 即， 由，得 所以的对称中心为， 令，得， 所以的单调递增区间为. 【变式4-1】.（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知函数的部分图像如图所示． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)求函数在上的值域； (3)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图像，求函数的单调减区间． 【答案】(1)，， (2) (3)， 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）根据题意，结合函数的图像分别求得，再由正弦型函数的对称中心公式代入计算，即可得到结果； （2）由正弦型函数的值域，代入计算，即可得到结果； （3）先由三角函数的图像变换得到的解析式，再由正弦型函数的单调区间代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）根据函数的部分图像， 可得，，所以， 再根据五点法作图，可得，， 又因为，可得，所以， 令，，解得，， 故函数对称中心为，． （2）因为，可得， 当时，即，； 当时，即，， 所以函数的值域为． （3）先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像， 再向左平移个单位，得到的图像， 即． 令，，解得，， 可得的减区间为，． 【变式4-2】.（24-25高一下·甘肃武威·开学考试）已知函数. (1)根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出函数在的图象； x 0 y   0    2    0 (2)将图象上所有点向右平行移动个单位长度，再将得到的图象上的各点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象，求的解析式，并写出曲线的一个对称中心. 【答案】(1)答案见解析 (2)，（答案不唯一） 【知识点】五点法画正弦函数的图象、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）利用特殊点的三角函数值和五点法画出函数图象即可； （2）根据函数图象的平移写出解析式，再由正弦函数的性质及整体法求对称中心即可. 【详解】（1）列表得 0 y 0 2 0 0 再描点，得图象如下， （2）将图象上所有点向右平行移动个单位长度，得到的图象， 再将其各点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象， 故的解析式为， 由，解得，故函数图象的一个对称中心为（答案不唯一）. 【变式4-3】.（24-25高一上·湖南株洲·期末）已知函数． (1)求函数的单调增区间； (2)求函数的对称轴方程和对称中心； (3)当时，求的值域． 【答案】(1) (2)对称轴方程：，；对称中心：， (3) 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】（1）由正弦函数的单调性求解正弦型函数的单调区间即可； （2）根据正弦函数的对称轴以及对称中心可求得结果； （3）先由，求出，然后转化为正弦函数的值域问题求解即可． 【详解】（1）由， 所以函数的单调增区间是． （2）根据，可得对称轴为，； 根据，解得，， 因为函数为， 所以对称中心为，； （3）由，可得， 从而，所以． 所以的值域为． 【变式4-4】.（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)将的图象上的点先向右平移个单位长度，再将横坐标变成原来的（纵坐标保持不变），得到函数的图象，求的单调增区间和对称中心. 【答案】(1)； (2)增区间是，对称中心为. 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数解析式. （2）利用图象变换求出，再利用正弦函数的图象性质求出单调递增区间及对称中心. 【详解】（1）观察函数图象，知，解得， 函数的最小正周期，解得， 由，得，又，则， 所以的解析式为. （2）将的图象上的点先向右平移个单位长度，得， 因此，由，得， 由，得， 所以的单调增区间是，对称中心为. 【考点题型五】函数中的零点个数问题 【例5】（24-25高一下·江西·阶段练习）若函数满足，且，则称函数为“函数”.已知函数为“函数”. (1)求函数的解析式； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，求的最小值； (3)讨论在上零点的个数. 【答案】(1) (2) (3)详见解析 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、根据函数零点的个数求参数范围、函数新定义 【分析】（1）由题意可得函数的周期性以及对称轴，可得答案； （2）由函数变换可得新函数的解析式，根据余弦函数的奇偶性以及诱导公式，可得答案； （3）由函数解析式以及零点定义，建立方程，求得零点，分情况建立不等式组，可得答案. 【详解】（1）由，得， 所以是周期为6的函数， 由，得， 所以是的一条对称轴， 因为函数为“函数”，所以， 是的一条对称轴，所以. 因为，所以， 所以函数的解析式为. （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）， 得到函数， 再将所得图象向左平移个单位长度， 得到， 因为的图象关于轴对称， 所以，解得. 因为，所以时，取最小值，为. （3）由（1）知，. 令，得， 所以或， 解得或. 因为的最小正周期，所以时至多有2个零点. 若，则，此时在上零点的个数为2； 若，则，此时在上零点的个数为1； 当时，，此时在上零点的个数为0； 当时，此时，此时在上零点的个数为1. 综上，，则： 当时，在上零点的个数为0； 当或时，在上零点的个数为1； 当时，在上零点的个数为2. 【变式5-1】.（2025·青海海南·模拟预测）已知函数，其中． (1)当时，求函数的单调递减区间； (2)若关于的方程在区间上恰有两个不同解，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【知识点】正弦函数图象的应用、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用整体代入法可求得函数的单调递减区间. （2）根据条件得，结合自变量的取值范围和正弦函数的性质可得结果. 【详解】（1）当时，， 由，得， ∴函数的单调递减区间为． （2）由，得， 当时，． ∵有两个解，∴， ∴，即的取值范围为． 【变式5-2】.（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值． (3)若函数在区间上有且仅有一个零点，求实数k的取值范围． 【答案】(1)； (2)的最小值、最大值分别为、1； (3). 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）根据函数的图象及正弦型函数的性质求参数，即可得解析式； （2）由图象平移写出的解析式，结合正弦型函数的性质求区间最值； （3）问题化为在上只有一个解，由正弦型函数性质求的区间单调性及对应值域，即可得参数范围. 【详解】（1）由题设，则，故， 由，则，即， 又，则，故； （2）由题意， ，则，则； 所以的最小值、最大值分别为、1； （3），则， 由在上单调递增，对应值域为； 在上单调递减，对应值域为； 函数在区间上有且仅有一个零点， 即在上只有一个解，故. 【变式5-3】.（24-25高一下·河南·开学考试）已知函数． (1)求的单调递减区间； (2)求在上的值域； (3)若函数在上恰有3个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）利用整体思想，根据正弦函数的单调性，建立不等式，可得答案； （2）利用整体思想，根据正弦函数的图象与性质，可得答案； （3）由题意建立方程，求得的值，由小到大写出个零点，建立不等式，可得答案. 【详解】（1）由，得， 所以的单调递减区间为． （2）由，得． 由正弦函数的图象可得，， 所以在上的值域为． （3）由，得， 得或， 解得或， 则在上的3个零点为，，， 所以， 得，即的取值范围为． 【变式5-4】.（24-25高一上·河北·期末）将曲线上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得曲线上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求的解析式； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围； (3)若函数在上有3个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、正、余弦型三角函数图象的应用、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）根据正弦函数的图象变换直接求解即可； （2）利用指数函数和正弦函数的性质可得，的值域，再根据值域的包含关系列不等式组求解即可； （3）令，则函数有两个零点，且的图象与直线，共有3个公共点，根据的图象求的取值范围即可. 【详解】（1）由题意得. （2）因为是增函数，当时， 由得， 由正弦函数的图象可知， 所以， 由题意可知， 则解得，即的取值范围为． （3）令，则函数有两个零点， 且的图象与直线，共有3个公共点， 由的图象可知，当，时，，得， 由，得，，符合题意． 当，时，解得， 综上的取值范围为． 【考点题型六】函数中的零点代数和问题 【例6】（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式及其单调递增区间； (2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若方程在上有三个不相等的实数根， 求①求m的取值范围. ②求的值 【答案】(1)， (2)①；② 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、根据函数零点的个数求参数范围、正弦函数对称性的其他应用 【分析】（1）根据图象可得，从而可求出，再由过点，可求出，从而可求出函数解析式，由可求出其增区间； （2）①根据三角函数图象变换规律求出，当时，令，则，作出的函数图象，根据图象可求出m的取值范围；②由图象可得，从而可求出的值，进而可求出的值. 【详解】（1）由图可得，， 又，所以，所以， 所以，又因为过点， 所以， 又，所以，所以， 因为， 所以递增区间为； （2）将函数的图象上所有的点向右平移个单位得到， 再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象， 则， 当时，，令， 则， 令，则函数的图象如下， 且， 由图象可知有三个不同的实数根， ①，， 所以的取值范围为， ②则， 所以，即， 所以， 所以 【变式6-1】.（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图是函数图象的一部分．    (1)求函数的解析式及单调递增区间； (2)求方程在上所有实根的和． 【答案】(1)，； (2). 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求零点的和、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据给定的函数图象依次求出而得解析式，再利用正弦函数的性质求出单调递增区间. （2）求出方程在上的根即可. 【详解】（1）观察图象得：，函数的周期，则， 由，得，而，则， 所以函数的解析式为； 由，得， 所以的单调递增区间为. （2）方程，即，当时，， 于是，解得， 所以方程在上所有实根的和为. 【变式6-2】.（23-24高一下·福建福州）已知函数的图象上相邻两个最高点的距离为． (1)求函数的图象的对称轴； (2)若函数在内有两个零点，求m的取值范围及的值． 【答案】(1) (2); 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、利用正弦函数的对称性求参数、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】（1）由题意求得，可得函数解析式，结合正弦函数的对称性即可求得答案； （2）根据x的范围求得，根据函数的零点个数结合正弦函数的图象即可确定m的范围，进而确定2个零点关于直线对称，可得，即可求得答案. 【详解】（1）由函数的图象上相邻两个最高点的距离为， 可得函数最小正周期为， 故， 令，则， 即函数的图象的对称轴为； （2）由可知，则， 函数在内有两个零点， 则的图象与直线有2个交点， 结合在时的图象可知需满足，    令，则， 故两个零点关于对称，则， 故. 【考点题型七】函数中的恒成立问题 【例7】（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示， (1)求及的解析式； (2)写出其图象对称中心坐标； (3)若时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，，， (2) (3) 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求含sinx(型)函数的值域和最值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据图象可求得，进而得的值，再结合可求得，有由可求得，从而可求解； （2）利用整体代换法可求出对称中心坐标； （3）由的范围可求出的范围，然后求出的最大值，结合即可得解. 【详解】（1）由题意可得，则， 因为，且，所以， 由图可知，则， 解得， 又因为，所以， 由图可知，解得， 所以. （2）令，解得， 所以图象对称中心坐标. （3）因为，所以， 所以当，即时，取得最大值4， 因为时，恒成立，所以，解得， 则的取值范围是. 【变式7-1】.（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）已知函数的部分图象大致如图所示． (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)若当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)． (2)． 【知识点】求含cosx的函数的单调性、解余弦不等式、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】（1）根据图象求出函数的解析式，即可求出在的单调增区间； （2）由题意有，令，即，得，令，，利用函数的单调性即可求解. 【详解】（1）由图可知，，则，，所以， 又因为点在函数图象上， 所以，即，解得， 又，所以，即． 令，解得，， 又， 所以的单调递增区间为． （2）恒成立， 即， 即， 令，当时，， 即，恒成立， 因为，所以， 令，， 因为在单调递减， 所以，故． 【变式7-2】.（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知函数的部分图象如下图所示．    (1)求的解析式及单调减区间； (2)要得到的图象，需要将的图象作怎样的变换？（详细写出每步变换） (3)对于（2）中的函数，若对任意，有，求实数a的最小值． 【答案】(1)，减区间为 (2)答案见解析 (3) 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用图象可得出的值，求出函数的最小正周期，可求出的值，再由结合的取值范围可得出的值，即可得出函数的解析式，然后利用正弦型函数的单调性可求出函数的减区间； （2）根据三角函数图象变换规律求解； （3）利用正弦型函数的基本性质求出函数在上的最小值和最大值，可得出，即可得解. 【详解】（1）由图可得， 函数的最小正周期为，则， 所以，， 因为，可得， 因为，则，所以，，所以，， 因此，， 由解得， 所以，函数的单调递减区间为. （2）将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象， 继续将图象纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象， 最后将图象向上平移1个单位得到的图象； （3）当时，， 则，则， 对任意的、，， 则，故实数的最小值为. 【变式7-3】.（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）已知函数，记其最小正周期为，若，，若在上单调递增， (1)求的解析式； (2)不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、函数不等式恒成立问题、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】（1）根据可知，代入的解析式即可求得.再根据可知，根据三角函数性质可得.最后根据在上单调递增即可求得，进而可求出函数的解析式；. （2）利用换元法，设，根据三角函数相关知识可知，则不等式对任意恒成立等价于.利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题得，. ，，即. ，，. ，， ， 即. . 因为函数在上单调递增， 令，. ，即. . ，，. （2）令，，，. 不等式对任意恒成立等价于. ，，当且仅当时取到最小值， ，解得：. 【点睛】本题综合考查三角函数的性质以及恒成立问题. 第（1）问解题的关键是根据的单调递增区间，及集合的包含关系求解. 第（2）问是恒成立问题，利用分离变量法求最值即可求解. 【变式7-4】.（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移，再向上平移m（），得到函数的图象．若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求sinx型三角函数的单调性、求图象变化前（后）的解析式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由图象结合正弦函数的周期，最值，单调递减区间可得； （2）由图象平移得到，再将问题转化为当时，恒成立，然后结合正弦函数的单调性求解即可； 【详解】（1）由图象可得，， 所以，所以， 又，所以， 又，所以，所以， 令，可得， 所以单调递减区间为. （2）， 因为对任意的，都有成立，即当时，恒成立， 由可得，此时， 由可得，此时， 所以，解得. 【考点题型八】函数中的能成立问题 【例8】（24-25高一上·陕西西安·期末）已知，最小正周期为，且对任意的，都有 (1)求的解析式及单调递增区间； (2)设函数若存在使得方程有解，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，单调递增区间为 (2) 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）根据三角函数的周期性、对称性等知识求得的解析式，利用整体代入法求得的单调递增区间. （2）利用分离常数法，结合正弦函数的值域、函数的单调性等知识来求得的取值范围. 【详解】（1）由函数最小正周期为，可得，可得，即，又由对任意的，都有，可得关于对称， 即，即， 因为，可得，则； 令，则： 故的单调递增区间为：. （2）由， 因为，可得， 所以，即， 又由，方程有解， 即方程有解，即有解， 令，即有解， 令在上为单调递增函数， 则,所以， 即实数的取值范围为. 【变式8-1】.（24-25高三上·云南曲靖·阶段练习）已知函数． (1)若在上为增函数，求的取值范围； (2)已知的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像且是的一个零点，若在上恰好有6个零点，求n的最大值； (3)已知函数，在第（2）问的条件下，若对任意，存在，使得成立，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、利用正弦型函数的单调性求参数、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）由正弦函数的单调性结合条件可列，从而解得的取值范围. （2）由，，可得，从而知的解析式，再由正弦函数的零点，分析即可； （3）原问题可转化为的值域是值域的子集，再根据正余弦函数的图象与性质，分别求得与在对应定义域内的值域，列出关于a的不等式组，解之即可. 【详解】（1）因在区间上单调递增， 令，则, 故在区间上单调递增， 故由题意知，则， 于是，解得，故的取值范围为. （2）由题意知， 因为是的一个零点，所以， 即，解得，或， 解得，，或，， 又，所以， 所以， 若在上恰好有6个零点等价于与恰好有6个交点， 令，由，则， 即，与恰好有6个交点， 而从开始从左到右的解依次为, 所以，故n的最大值为. （3）由（2）知， 若对任意，存在，使得成立， 则的值域是值域的子集， 当时，，所以， 即， 当时，，所以， 即， 因为的值域是值域的子集，所以 所以实数a的取值范围为. 【变式8-2】.（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象； (1)求的单调递增区间； (2)已知函数，若存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求cosx(型)函数的值域、求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）根据平移易得，进而结合余弦函数的单调性求解即可； （2）分别求出与的值域，进而结合题意求解即可. 【详解】（1）由题意，， 令，故， 所以的单调递增区间为． （2）因为，得， 则，即； 同理，因为，得， 则，即， 因为存在，使得， 所以且，解得， 所以的取值范围为． 【变式8-3】.（23-24高一下·江西景德镇·期中）函数的部分图像如图所示.    (1)求函数的解析式; (2)函数的图像与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为且，求的值 (3)函数，对，是否存在唯一实数，使得成立，若存在，求范围，若不存在，说明理由. 【答案】(1)， (2)， (3)存在，的取值范围为. 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、利用正弦函数的对称性求参数、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）观察图象确定函数的最小值，最大值可求，确定函数的周期，可求，由时，函数取最小值，可求，由此确定函数解析式； （2），令，由题意可得，再根据正弦函数的对称性求出即可得解； （3）先求出，再求函数，的值域，求函数的单调性，由条件列不等式求的范围. 【详解】（1）由图象可知函数的最小值为，结合对称性可得最大值为， 所以， 设函数的周期为，则 所以， 故， 又当时，函数取最小值， 所以， 所以， 又，所以， 所以的解析式为； （2），令， 由可得， 令，如图：    由对称性可知， 所以 两式相加可得， 所以， 故 所以； （3）， 由，可得， 所以，的值域为， 由，可得， 当时，即时，函数单调递增， 当时，即时，函数单调递减， 且，，， 因为对，若存在唯一实数，使得成立， 则对，若存在唯一实数，使得成立， 所以函数，的值域包含与， 所以，故， 所以的取值范围为. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一上·云南保山·期末）已知函数在区间上至少有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、三角函数图象的综合应用 【分析】由已知可得，结合条件可得，求解即可. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上至少有3个零点， 所以，解得，所以的取值范围是. 故选：C. 2．（辽宁省葫芦岛市普通高中2025届高三第一次模拟考试数学试题）将函数的图象向左平移个单位后，所得图像的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据函数图象平移满足“左加右减”即可求解. 【详解】函数的图像向左平移个单位得到的函数图象的解析式为. 故选：A. 3．（24-25高三下·重庆北碚·阶段练习）函数的图象如图所示，其中 ，， 为了得到的图象，可以将的图象 （    ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】C 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】根据函数图象求出的解析式，再根据三角函数的变换规则判断即可. 【详解】由函数图象可知：，函数过、两点， 设的最小正周期为，因为，所以有，而，因此， 即，因为， 所以，即，所以，因为， 所以，即，因此， 而， 所以将的图象向左平移个单位长度得到的图象. 故选：C 4．（24-25高三下·湖北武汉·阶段练习）将函数的图像按以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的，纵坐标不变；③向上平移1个单位长度；④纵坐标变为原来的3倍.可得到的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据三角函数的平移变换求解即可. 【详解】函数向左平移个单位长度， 得到， 横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到， 向上平移1个单位长度，得到， 纵坐标变为原来的3倍，得到， 则，又， 解得， 则. 故选：A. 5．（24-25高一下·山东聊城·阶段练习）若函数的图象向左平移个单位长度，恰好得到函数的图象，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正弦函数图象的应用、求图象变化前（后）的解析式、诱导公式五、六 【分析】先对变形为，再由的图象的平移求得，两式对照可求出的所有可能值，再根据选项检验即得. 【详解】因， 将的图象向左平移个单位长度，得， 所以，即， 当时，，当时，，当时，， 结合题意和选项，可知只有D正确． 故选：D. 6．（2025·广东·一模）已知函数在区间上单调递减，且和分别是函数图象的对称轴和对称中心，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、利用正弦型函数的单调性求参数、求正弦（型）函数的最小正周期、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】利用正弦型函数图像的单调性和对称性，通过最小正周期求出参数和，得到函数的解析式，代入求值即可. 【详解】由题意，函数的最小正周期满足，即所以. 因为是函数图像的对称轴，所以， 解得，又因为，所以. 所以，则. 故选：B. 7．（2025·河北沧州·一模）已知函数在上单调，且，若将函数的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，则m的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、利用正弦函数的对称性求参数、利用正弦型函数的单调性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据三角函数周期性将函数化简，再结合单调性计算出的取值，逐个验证后确定和的值，即得到函数的解析式，再根据题意得到平移后的函数解析式，最后结合函数图像的对称性质解得的最小值. 【详解】因为函数，又函数在上单调，所以函数的最小正周期，所以，又，所以，2，3. 若，则，且，又，则无解； 若，则，且，又，则； 若，则，且，又，则无解. 综上，. 所以函数的图像向右平移m个单位长度后对应解析式为， 因为关于轴对称，所以，.所以，，又，所以当时，m取最小值为. 故选：D. 8．（2025·黑龙江·一模）已知为函数（，）的一个零点，直线为曲线的一条对称轴，设的最小正周期，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】利用三角函数的图象性质，通过图象中两个特殊点的距离与周期的关系求出周期，再结合周期公式求出，最后代入特殊点求出，进而求得的值. 【详解】由三角函数的图象与性质可得，，解得，， 又因为，故有且仅有时满足题意，此时，解得， 此时，代入，可得，， 又因为，故有且仅有时满足题意，此时.故. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点中心对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上单调递减 D．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 【答案】ABD 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据图象求出的解析式，利用代入检验法可判断，根据三角函数的单调性可判断；利用三角函数的图象平移结合诱导公式可判断. 【详解】由图知，， 所以，解得， 过点，所以， 又因为，所以. 所以， 对于：， 所以函数的图象关于点中心对称，故正确； 对于：， 所以函数的图象关于直线对称，故正确； 对于：， 解得， 令，得，令，得， 所以在和上单调递减，故错误； 对于：的图象向右平移个单位长度， 可得，故正确. 故选：. 10．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A．函数的最小正周期为2 B． C．函数的图象关于直线对称 D．若方程在上有两个不等实数根，则． 【答案】BC 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】首先通过图象的最值确定的值，再根据图象上两点的横坐标求出周期，进而得到的值，然后将特殊点代入函数求出的值，最后根据正弦函数的对称轴性质以及方程根的对称性来逐一分析选项. 【详解】由函数图象可知， 表示振幅，所以. 函数的图象过点和，这两点间的距离是个周期，即，那么，故A错误； 根据正弦型函数的周期公式（），可得，所以. 把点代入中，得到，即. 因为，所以，，解得，故B正确； 由上分析可得：. 令，解得. 当时，，所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 函数的图象在上，其对称轴为，即. 若方程在上有两个不等实数根，根据正弦函数图象的对称性可知.所以，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 11．（24-25高一下·上海·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】根据正弦函数的单调性求出函数的单调增区间，与题设比较列出不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意令， 则， 由于函数在区间上单调递增，且， 故取，则，可得，解得， 结合，知， 故答案为： 12．（24-25高一下·山东德州·阶段练习）若函数图象的相邻对称轴距离为，且.若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求cosx（型）函数的最值、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据相邻对称轴距离可求出周期，进而求出，再根据求出,从而可得函数解析式，再求出在上的最大值，然后解关于的不等式即可. 【详解】因为函数图象的相邻对称轴距离为， 所以，则，那么，则. 又因为，即. 由于，，所以，解得. 则. 当时，. 当，即时，取得最大值. 因为存在，使得不等式成立，所以. 即，解得不等式解集为，即实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 13．（24-25高一下·山东日照·阶段练习）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 3 0 0 (1)请将上表数据补充完整，并写出函数的解析式（直接写出结果即可）； (2)根据表格中的数据作出在一个周期内的图象； (3)将函数图像上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的2倍，再将所得函数图像上所有点向左平移个单位长度得到的图像，求在区间上的值域． 【答案】(1)表格见解析， (2)作图见解析； (3) 【知识点】五点法画正弦函数的图象、求图象变化前（后）的解析式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）利用最大值求；由表格中数据先求周期，再求；再由求得，进而得到解析式，由解析式补全表格即可； （2）由表格数据描点连线作图即可； （3）求出后，结合正弦型函数的性质计算即可得. 【详解】（1）由题可知，，所以， ，， ， 则数据补全如下表： 0 0 3 0 0 （2）由（1），在一个周期内的图象如图所示， ； （3）， 当时，， 则，则， 即在区间上的值域为. 14．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）某同学用“五点作图法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： (1)请将上表数据补充完整，并求出函数的解析式； (2)若在上有两根，求的取值范围. (3)若在上有两根，求 【答案】(1)图表见解析， (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】（1）根据表格数据可得A和周期，然后可得，带点可得； （2）令，将问题转化为在上有两个根，然后根据正弦函数的性质求解可得. （3）要根据正弦函数的对称性求出的值，进而得到与的关系，最后结合三角恒等变换求出的值. 【详解】（1）补充表格: 由最大值为最小值为可知 又，故 再根据五点作图法，可得，得 故 （2） 令，则 所以=有两个根，转化为在上有两个根. 即在上有两个根. 由在的图像和性质可得：, 所以 故实数的取值范围为 （3）函数的对称轴为，即. 因为在上有两根， 且在上单调递增，在上单调递减， 所以关于对称，则，即，所以. 已知，则，其中， 则 根据诱导公式. 又因为，再根据两角差的正弦公式，可得： 所以 因为，且，所以， 则. 代入可得： , 则. 15．（24-25高一下·安徽滁州·阶段练习）在2025年春晚的舞台设计中，有一个“灵蛇”造型的灯光图案，其形状可以近似看作由函数的图象组成，其中.下面是该函数的部分图象. (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所在点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，若在时有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）根据图象中函数的最值、对称性，可得函数解析式； （2）由函数图象变换可得新函数解析式，根据函数与方程的关系，利用数形结合的思想，可得答案. 【详解】（1）设的最小正周期为，根据题图，由三角函数图象的对称性， 可得，解得， 由，得，又，所以. 故. 由，得，所以. 又因为，所以，所以. （2）将函数的图象向右平移个单位长度， 得到函数的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变） 得到函数的图象. 要使在时有两个不同的实数解， 需在时有两个不同的实数解， 即需函数的图象与直线在时有两个不同的交点， 画出函数的部分图象与直线，如图， 因为，所以， 由图可知，，解得， 故实数的取值范围是. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 第一章 函数y=Asin(wx+ψ)的图象及其应用 （2个考点梳理+8题型解读+提升训练） 清单01 三角函数图象变化 参数,,对函数图象的影响 1.对函数,的图象的影响 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法 清单02 求三角函数解析式 形如的解析式求法： 1、求法： ①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置. ②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解. 2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出. 3、求法： ①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解. （第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近） ②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解. ③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案. 【考点题型一】三角函数图象变化（） 【例1】（24-25高一下·山东德州·阶段练习）为了得到的图象，只要把的图象上所有的点（    ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 【变式1-1】.（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知的图象为，为了得到的图象，只要把上所有的点（    ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 【变式1-2】.（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【变式1-3】.（24-25高一下·江苏盐城·阶段练习）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【变式1-4】（2025·辽宁·一模）若函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】求三角函数解析式（） 【例2】（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，直线是图象的一条对称轴． (1)求的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)若方程在内恰有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【变式2-1】.（24-25高一下·广西·开学考试）函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 . 【变式2-2】.（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）已知函数的图象如图所示.    (1)求这个函数的解析式，并指出它的振幅和初相； (2)求函数在区间上的最大值和最小值，并指出取得最值时的的值； (3)求这个函数的单调增区间和对称中心. 【变式2-3】.（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）函数的部分图象如图： (1)求解析式； (2)写出函数在上的单调递减区间. 【变式2-4】.（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知函数的部分图象如图所示，函数的图象与轴的交点的纵坐标为. (1)求函数的解析式； (2)求函数的图象的对称轴方程和对称中心的坐标； (3)若函数在区间上的值域为，求实数的取值范围. 【考点题型三】函数性质的综合（选填） 【例3】（多选）（24-25高一下·湖北·阶段练习）函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．在的值域为 C．将的图像向左平移个单位后为奇函数 D．的单调递增区间为， 【变式3-1】.（多选）（2025·陕西西安·二模）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B． C．的图象关于直线对称 D．将图象上所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），可得到函数的图象 【变式3-2】.（多选）（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）设函数，则（    ） A．为奇函数 B．的图象关于点对称 C．当取最大值时， D．将图象向右平移个单位，可以得到函数的图象 【变式3-3】.（多选）（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的最小正周期是 B．函数在区间上是增函数 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度而得到 【变式3-4】.（多选）（2025·山东·模拟预测）已知函数，则（   ） A．直线是图象的一条对称轴 B．在区间上单调递增 C．当时，的值域为 D．将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的对称中心为 【考点题型四】函数性质的综合（解答题） 【例4】（24-25高一下·山东德州·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式. (2)将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求图像的对称中心及单调增区间. 【变式4-1】.（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知函数的部分图像如图所示． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)求函数在上的值域； (3)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图像，求函数的单调减区间． 【变式4-2】.（24-25高一下·甘肃武威·开学考试）已知函数. (1)根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出函数在的图象； x 0 y   0    2    0 (2)将图象上所有点向右平行移动个单位长度，再将得到的图象上的各点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象，求的解析式，并写出曲线的一个对称中心. 【变式4-3】.（24-25高一上·湖南株洲·期末）已知函数． (1)求函数的单调增区间； (2)求函数的对称轴方程和对称中心； (3)当时，求的值域． 【变式4-4】.（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)将的图象上的点先向右平移个单位长度，再将横坐标变成原来的（纵坐标保持不变），得到函数的图象，求的单调增区间和对称中心. 【考点题型五】函数中的零点个数问题 【例5】（24-25高一下·江西·阶段练习）若函数满足，且，则称函数为“函数”.已知函数为“函数”. (1)求函数的解析式； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，求的最小值； (3)讨论在上零点的个数. 【变式5-1】.（2025·青海海南·模拟预测）已知函数，其中． (1)当时，求函数的单调递减区间； (2)若关于的方程在区间上恰有两个不同解，求的取值范围． 【变式5-2】.（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值． (3)若函数在区间上有且仅有一个零点，求实数k的取值范围． 【变式5-3】.（24-25高一下·河南·开学考试）已知函数． (1)求的单调递减区间； (2)求在上的值域； (3)若函数在上恰有3个零点，求的取值范围． 【变式5-4】.（24-25高一上·河北·期末）将曲线上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得曲线上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求的解析式； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围； (3)若函数在上有3个零点，求的取值范围． 【考点题型六】函数中的零点代数和问题 【例6】（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式及其单调递增区间； (2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若方程在上有三个不相等的实数根， 求①求m的取值范围. ②求的值 【变式6-1】.（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图是函数图象的一部分．    (1)求函数的解析式及单调递增区间； (2)求方程在上所有实根的和． 【变式6-2】.（23-24高一下·福建福州）已知函数的图象上相邻两个最高点的距离为． (1)求函数的图象的对称轴； (2)若函数在内有两个零点，求m的取值范围及的值． 【考点题型七】函数中的恒成立问题 【例7】（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示， (1)求及的解析式； (2)写出其图象对称中心坐标； (3)若时，恒成立，求的取值范围. 【变式7-1】.（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）已知函数的部分图象大致如图所示． (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)若当时，恒成立，求的取值范围． 【变式7-2】.（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知函数的部分图象如下图所示．    (1)求的解析式及单调减区间； (2)要得到的图象，需要将的图象作怎样的变换？（详细写出每步变换） (3)对于（2）中的函数，若对任意，有，求实数a的最小值． 【变式7-3】.（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）已知函数，记其最小正周期为，若，，若在上单调递增， (1)求的解析式； (2)不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【变式7-4】.（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移，再向上平移m（），得到函数的图象．若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围． 【考点题型八】函数中的能成立问题 【例8】（24-25高一上·陕西西安·期末）已知，最小正周期为，且对任意的，都有 (1)求的解析式及单调递增区间； (2)设函数若存在使得方程有解，求实数m的取值范围. 【变式8-1】.（24-25高三上·云南曲靖·阶段练习）已知函数． (1)若在上为增函数，求的取值范围； (2)已知的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像且是的一个零点，若在上恰好有6个零点，求n的最大值； (3)已知函数，在第（2）问的条件下，若对任意，存在，使得成立，求a的取值范围． 【变式8-2】.（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象； (1)求的单调递增区间； (2)已知函数，若存在，使得，求实数的取值范围． 【变式8-3】.（23-24高一下·江西景德镇·期中）函数的部分图像如图所示.    (1)求函数的解析式; (2)函数的图像与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为且，求的值 (3)函数，对，是否存在唯一实数，使得成立，若存在，求范围，若不存在，说明理由. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一上·云南保山·期末）已知函数在区间上至少有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（辽宁省葫芦岛市普通高中2025届高三第一次模拟考试数学试题）将函数的图象向左平移个单位后，所得图像的解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·重庆北碚·阶段练习）函数的图象如图所示，其中 ，， 为了得到的图象，可以将的图象 （    ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 4．（24-25高三下·湖北武汉·阶段练习）将函数的图像按以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的，纵坐标不变；③向上平移1个单位长度；④纵坐标变为原来的3倍.可得到的图像，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·山东聊城·阶段练习）若函数的图象向左平移个单位长度，恰好得到函数的图象，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·广东·一模）已知函数在区间上单调递减，且和分别是函数图象的对称轴和对称中心，则（    ） A．1 B． C． D． 7．（2025·河北沧州·一模）已知函数在上单调，且，若将函数的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，则m的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·黑龙江·一模）已知为函数（，）的一个零点，直线为曲线的一条对称轴，设的最小正周期，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点中心对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上单调递减 D．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 10．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A．函数的最小正周期为2 B． C．函数的图象关于直线对称 D．若方程在上有两个不等实数根，则． 三、填空题 11．（24-25高一下·上海·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是 ． 12．（24-25高一下·山东德州·阶段练习）若函数图象的相邻对称轴距离为，且.若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题 13．（24-25高一下·山东日照·阶段练习）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 3 0 0 (1)请将上表数据补充完整，并写出函数的解析式（直接写出结果即可）； (2)根据表格中的数据作出在一个周期内的图象； (3)将函数图像上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的2倍，再将所得函数图像上所有点向左平移个单位长度得到的图像，求在区间上的值域． 14．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）某同学用“五点作图法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： (1)请将上表数据补充完整，并求出函数的解析式； (2)若在上有两根，求的取值范围. (3)若在上有两根，求 15．（24-25高一下·安徽滁州·阶段练习）在2025年春晚的舞台设计中，有一个“灵蛇”造型的灯光图案，其形状可以近似看作由函数的图象组成，其中.下面是该函数的部分图象. (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所在点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，若在时有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$