专题02 第一章 三角函数的图象与性质（4考点清单，知识导图+14个考点清单&题型解读）高一数学下学期北师大版

清单02 第一章 三角函数的图象与性质 （4个考点梳理+14题型解读+提升训练） 清单01 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 对称轴方程 无 递增区间 递减区间 无 清单02 周期性 函数 周期 函数 周期 函数 () () () 周期 其它特殊函数，可通过画图直观判断周期 清单03 三角函数奇偶性 三角函数 取何值为奇函数 取何值为偶函数 () () () () () (1)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (2)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (3)函数是奇函数⇔()． 清单04 三角函数对称性 (1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (3)函数的图象的对称中心由)解得． 【考点题型一】五点法画正余弦函数的图象（） 【例1】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知函数. (1)求的最大值及取得最大值时自变量x的取值集合； (2)用“五点法”画出在一个周期内的图象. 【答案】(1)最大值为2，（）. (2)答案见解析 【知识点】五点法画正弦函数的图象、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）根据题意，由正弦型函数的值域，代入计算，即可得到结果； （2）结合五点作图法，先列出表格，然后即可得到函数图像. 【详解】（1）因为，所以， 则的最大值为2， 此时（）， 解得（）. 故的最大值为2，此时自变量x的取值集合为. （2） 0 x 2 【变式1-1】.（24-25高一上·陕西西安·期末）设，图象的一条对称轴是直线. (1)求，并求函数的单调增区间； (2)画出函数在区间上的图象. 【答案】(1)，递增区间为 (2)见解析 【知识点】五点法画正弦函数的图象、求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】（1）根据对称轴可得，即可利用整体法求解单调性， （2）利用五点作图法即可求. 【详解】（1）由于是的一条对称轴，故, 故，结合，故， 故， 令, 故，故单调递增区间为 （2）列表如下 0 0 0 1 故在区间上的图象如下： 【变式1-2】.（24-25高一上·河北保定·期末）设，函数的最小正周期为，且. (1)求和的值； (2)在给定坐标系中作出函数在上的图象； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2)图象见解析 (3) 【知识点】解余弦不等式、由余弦（型）函数的周期性求值、五点法画余弦函数的图象 【分析】（1）利用最小正周期可求再利用求解即可； （2）先列表，再描点，最后连线画出图象即可； （3）由（1）得，原不等式化为，再由余弦函数的图象和性质解不等式即可. 【详解】（1）∵函数的最小正周期，∴． ∵， 则，因为，∴． （2）由（1）知，列表如下： 0 0 2 0 －2 0 在上的图象如图所示： （3）∵，即， ∴， 则， 即． ∴的取值范围是 【考点题型二】含绝对值的正余弦函数图象（） 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）函数，方程有个根，求实数的取值范围． 【答案】． 【知识点】含绝对值的正弦函数的图象、正弦函数图象的应用 【分析】将的解析式变形为分段函数类型，然后根据的图象有个交点确定出的取值范围. 【详解】由条件可知，， 在同一坐标系内，作出函数和函数的图象，如下图所示， 要使方程有个根，则函数和函数的图象有个交点， 由图象可知． 【变式2-1】.（23-24高一·上海·课堂例题）作出下列函数的大致图像： (1)，； (2)，． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】五点法画余弦函数的图象、含绝对值的余弦函数的图象 【分析】（1）根据五点作图法列表、描点、连线，作出函数简图. （2）根据翻折变换画出函数简图. 【详解】（1） 列表如下 作出图象，如图所示. （2）函数的图象如下图所示： 函数的图象可由函数在x轴下方的图象沿轴翻折得到： 【变式2-2】.（24-25高一·全国·课后作业）已知函数. (1)画出函数在上的图象. (2)这个函数是周期函数吗？若是，求出最小正周期；若不是，请说明理由. (3)指出函数的单调区间. 【答案】(1)答案见解析 (2)是周期函数，最小正周期为 (3)单调递增区间为，单调递减区间为 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值、含绝对值的正弦函数的图象 【分析】（1）去绝对值化简函数，即可画出函数在上的图象； （2）由图象可以得到函数的最小正周期； （3）由图象可以得到函数的单调区间； 【详解】（1）. 函数在上的图象如下： （2）由图象，可知该函数是周期函数，最小正周期为. （3）由图象，可知单调递增区间为， 单调递减区间为. 【考点题型三】正余弦函数的单调性问题（） 【例3】（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)求图象的对称轴方程； (2)求在区间上的单调递增区间． 【答案】(1) (2)和和， 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）代入正弦函数的对称轴公式，即可求解； （2）首先求的范围，再根据正弦函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）函数，令， 得， 所以图象的对称轴方程为； （2）当，， 当，得，即在区间上函数单调递增， 当，得，即在区间上函数单调递减， 当，得，即在区间上函数单调递增， 当，得，即在区间上函数单调递减， 当，得，即在区间上函数单调递增， 所以函数在区间上的单调增区间是和和， 【变式3-1】.（24-25高一上·广东梅州·期末）设函数，． (1)解方程：； (2)求的单调区间； 【答案】(1)或 (2)单调减区间为，单调增区间为 【知识点】已知三角函数值求角、求sinx型三角函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）根据正弦函数的周期性以及特殊角的正弦值，可得答案； （2）根据复合函数的单调性，结合正弦函数以及一次函数的单调性，建立不等式，可得答案； （3）利用整体换元整理函数，根据正弦函数的单调性，可得答案. 【详解】（1）由，即得， 从而或者，解得或者， 所以方程的解集为或． （2）因为关于在上单调递增，在上单调递减，关于在上单调递增． 令，得． 所以，的单调增区间为． 令，得． 所以，的单调减区间为． 综上，的单调增区间为，单调减区间为． 【变式3-2】.（23-24高一下·陕西汉中·期中）已知函数． (1)求函数的单调递减区间； 【答案】(1)． 【知识点】解余弦不等式、求含cosx的函数的单调性 【分析】（1）解出不等式，即可得到答案； （2）由可得，然后可得，解出即可. 【详解】（1）∵函数的单调递减区间为，， 令，，得，， ∴函数的单调递减区间为． 【变式3-3】.（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； 【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为 【知识点】求cosx（型）函数的最值、求余弦（型）函数的最小正周期、求cosx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据三角函数周期公式求周期，根据余弦函数单调区间列不等式，可得结果； 【详解】（1） 所以函数的最小正周期为， 由得 即函数的最小正周期和单调递增区间为； 【考点题型四】正余弦函数的奇偶性问题（） 【例4-1】（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）已知函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】根据偶函数的性质，列式求解. 【详解】为偶函数，则，，取，则. 故选：D. 【例4-2】（23-24高一上·四川凉山·期末）已知函数，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】设与相加可得答案. 【详解】因为，所以， 设， 可得 ，解得. 故选：C. 【变式4-1】.（2025·河北保定·模拟预测）已知函数为奇函数且，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质求出，再求出函数值. 【详解】函数为奇函数且，则，解得， 于是，所以. 故选：A 【变式4-2】.（24-25高一上·广东肇庆·期末）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求余弦（型）函数的奇偶性、求含sinx的函数的奇偶性、诱导公式五、六、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据函数的定义域及奇偶性的定义即可判断. 【详解】对于A，函数的定义域为，且，即，故为奇函数，故选项A正确； 对于B，函数的定义域为，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故选项B错误； 对于C，函数的定义域为，，均不恒为0，故为非奇非偶函数，故选项C错误； 对于D，函数的定义域为，且，所以为偶函数，故选项D错误. 故选：A． 【变式4-3】.（24-25高一下·全国·课后作业）函数的奇偶性是 ． 【答案】奇函数 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求正弦（型）函数的奇偶性 【分析】根据诱导公式化简函数，再结合函数奇偶性的定义判断即可. 【详解】解析  ， ， 是奇函数． 故答案为：奇函数 【考点题型五】正余弦函数的周期性问题（） 【例5】．（多选）（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的最小正周期为π C．在区间上单调递增 D．为奇函数 【答案】BC 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】利用函数的周期定义易判断AB项，利用正弦函数的单调性和绝对值函数的图象变换可判断C项，利用奇函数的定义可判断D项. 【详解】对于AB，因， 故的最小正周期不是，故A项错误； 假设存在，对于，都有， 不妨取，则， 而因，，即不存在比更小的正周期， 故的最小正周期是,故B项正确； 对于C，当时，单调递减，且为负值， 将在上的图象沿着轴翻折，即得在上的图象， 故在区间上单调递增，故C项正确； 对于D，因的定义域为， 且，故不是奇函数，即D项错误. 故选：BC. 【变式5-1】.（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）设函数，则为（  ） A．周期函数，最小正周期为 B．周期函数，最小正周期为 C．周期函数，最小正周期为 D．非周期函数 【答案】C 【知识点】求含sinx的函数的最小正周期 【分析】根据周期函数的定义判断即可. 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C正确D错误. 故选：C 【变式5-2】.（24-25高三下·浙江·阶段练习）函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】D 【知识点】求含cosx的函数的奇偶性、求余弦（型）函数的最小正周期、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】先应用诱导公式化简得出，进而得出最小正周期及奇偶性即可判断. 【详解】因为函数， 所以函数的最小正周期为，函数是偶函数. 故选：D. 【变式5-3】.（24-25高一上·贵州毕节·期末）函数的最小正周期（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】根据余弦型函数的周期公式计算可得. 【详解】函数的最小正周期. 故选：B 【变式5-4】.（23-24高二下·云南·期末）若函数的最小正周期为，则常数 ． 【答案】 【知识点】由余弦（型）函数的周期性求值 【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知余弦型函数求周期问题，直接利用周期公式求解. 【考点题型六】正余弦函数的对称性问题（） 【例6】（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）已知函数满足，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数 【分析】由题意可得关于对称，所以，再由，即可得出答案. 【详解】由可得关于对称， 所以，所以， 因为，所以a的最小值为. 故选：A. 【变式6-1】.（24-25高三下·河南信阳·开学考试）函数的图象在区间上的对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】利用整体思想，结合正弦函数的对称轴，建立方程，可得答案. 【详解】令，解得，当时，， 故函数在区间上的对称轴方程为． 故选：D. 【变式6-2】.（24-25高一下·甘肃武威·开学考试）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的初相为 B．函数在上单调递增 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于点对称 【答案】C 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据正弦函数的图象和性质，利用整体法逐项判断即可. 【详解】选项A：由可知函数的初相为，故A说法错误； 选项B：当时，， 而函数在不具有单调性，故B说法错误； 选项C：当时，，， 所以函数的图象关于对称，C说法正确； 选项D：当时，， 所以函数的图象不关于点对称，D说法错误； 故选：C 【变式6-3】.（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据整体法，结合余弦函数的性质即可求解. 【详解】令，可得. 所以当时，，故满足条件. 故选：A 【变式6-4】.（24-25高一上·宁夏固原·期末） 函数的图象关于中心对称，那么的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】利用cosx（型）函数的对称性求参数 【分析】根据余弦型函数的对称性可得出关于的等式，即可解得的最小值. 【详解】因为函数的图象关于中心对称， 则，解得， 故当时，取最小值. 故答案为：. 【考点题型七】正余弦函数的值域问题（） 【例7-1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数，，当 时，最小且最小值为 ． 【答案】 【知识点】求含cosx的二次式的最值 【分析】利用换元法令，由余弦型函数单调性可得的取值范围，再结合二次函数的性质即可得答案. 【详解】令， ∴， ． ∵ 在上是减函数， ∴当，即时， ． 故答案为：，. 【例7-2】（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数． (1)求函数的最小正周期与单调递增区间； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求cosx(型)函数的值域、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）利用余弦函数性质求出最小正周期及单调递增区间. （2）利用相位的范围，结合余弦函数的单调性求出最值即可. 【详解】（1）函数的最小正周期； 由，，得， 所以函数的单调递增区间为. （2）由，得，而在上单调递减，在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 于是，而，则， 所以函数在区间上的值域为. 【变式7-1】.（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知函数在上的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】利用余弦函数的图象性质求解即可. 【详解】当时，，结合余弦函数的性质知，若则该函数值域会出现大于的情况，则. 时，由值域为，， 所以， 所以 故选：A. 【变式7-2】.（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则函数的值域为 . 【答案】 【知识点】求含sinx（型）的二次式的最值、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】利用三角函数值域以及二次函数单调性计算可得结果. 【详解】因为，所以， 易知 当时，， 当时，， 可得函数的值域为. 故答案为： 【变式7-3】.（24-25高一上·北京海淀·期末）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示. (1)直接写出、、的取值； (2)求的对称中心和单调增区间； (3)当时，求的最值，并指出取最值时的取值. 【答案】(1)， (2)对称中心为，单调递增区间为. (3)答案见解析 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用由可得出的值，求出函数的最小正周期，可求出的值，由以及的取值范围可得出的值； （2）利用正弦型函数的对称性可求得函数的对称中心坐标，利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递增区间； （3）由时，求出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得的最大值、最小值及其对应的的值. 【详解】（1）由图可知，， 函数的最小正周期满足，则，故， 所以，， 因为，可得， 所以，，则， 因为，则，故. （2）由可得， 故函数的对称中心坐标为， 由得， 故函数的单调递增区间为. （3）当时，， 故当时，即当时，函数取最小值， 即， 当时，即当时，函数取最大值， 即. 【考点题型八】正切函数的定义（） 【例8】（24-25高一下·四川广安·阶段练习）函数的定义域是（    ） A．R B． C． D． 【答案】C 【知识点】求正切（型）函数的定义域 【分析】利用正切函数的定义域和整体角意识解不等式即得. 【详解】因函数的定义域为， 故由，可解得， 即函数的定义域是. 故选：C. 【变式8-1】.（24-25高一下·江西·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求正切（型）函数的定义域 【分析】根据函数的解析式列出函数有意义时需满足的不等式，即可求得答案. 【详解】由题知，，解得，. 故选：C 【变式8-2】.（23-24高一下·山西晋中·开学考试）函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】求含tanx的函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】令可求得的范围，根据正切函数值域可求得定义域. 【详解】令，解得：，， 定义域为，. 故选：C. 【变式8-3】.（24-25高一上·山东烟台·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、求含tanx的函数的定义域 【分析】由题意，，解不等式得出结论. 【详解】由题意，，所以，， 所以，， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【考点题型九】正切函数的图象（） 【例9】（2024高一上·全国·专题练习）借助函数的图象写出下列不等式或方程的解集： (1)，； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】正切函数图象的应用 【分析】结合的图象，逐个分析不等式或方程的解即可. 【详解】（1）    由图象可知：不等式的解集为； （2） 由图象可知：的解集为； （3） 由图象可知：的解集为； （4）    由图象可知：的解集为. 【变式9-1】.（24-25高一上·陕西·期末）当时，函数的零点个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【知识点】求函数零点或方程根的个数、余弦函数图象的应用、正切函数图象的应用 【分析】根据给定条件，利用函数零点的意义，结合函数图象交点个数得解. 【详解】由，得， 在同一坐标系内作出，，的图象， 由图知，两函数的图象的交点有4个， 所以当时，函数的零点个数为4. 故选：A 【变式9-2】.（多选）（24-25高三上·吉林·期末）已知函数的部分图象如图所示（分隔直线右侧函数的零点为），则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B． C． D．函数在上单调递增 【答案】BC 【知识点】求正切型三角函数的单调性、求正切（型）函数的周期、正切函数图象的应用 【分析】根据给定的函数图象，求出周期及，进而求出解析式，再根据正切函数的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，由图可知，函数的最小正周期为，故A错误； 对于B，由，所以， 因为，则，则， 因为，则，故B正确； 对于C，，又，所以，所以 所以，故C正确； 对于D，由，得， 而，即时，没有意义，故D错误； 故选：BC. 【考点题型十】正切函数的单调性（） 【例10】（23-24高一下·陕西·阶段练习）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)求函数的单调区间； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)的递增区间为，无递减区间 (3) 【知识点】求正切型三角函数的单调性、解正切不等式、求正切（型）函数的定义域 【分析】（1）借助正切函数中计算即可得； （2）借助正切函数的单调性计算即可得； （3）借助正切函数的性质，列出不等式计算即可得. 【详解】（1）由题意得：，解得：， 的定义域为. （2）令，解得：， 的递增区间为，无递减区间. （3）由，得， 解得：， 不等式的解集为. 【变式10-1】.（23-24高一下·江西·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求正切型三角函数的单调性 【分析】根据正切函数的性质计算可得； 【详解】解：由，可得， 即，所以的单调递增区间是. 故选：A． 【变式10-2】.（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数 的图象关于点 对称. (1)求的单调递增区间; (2)求不等式 的解集. 【答案】(1) (2) 【知识点】求正切型三角函数的单调性、解正切不等式、正切函数对称性的应用 【分析】（1）由题意首先根据对称中心求得函数表达式，然后令，解不等式组即可得解. （2）由，得,解不等式组即可得解. 【详解】（1）由题意知，的图象关于点对称， ， 即． ， 故． 令， 得， 即． 函数的单调递增区间为． （2）由（1）知，． 由， 得， 即． 不等式的解集为. 【考点题型十一】正切函数的奇偶性（） 【例11】（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】D 【分析】由正切函数的图像和偶函数的定义，可得，进而可得结果. 【详解】 函数为偶函数，周期为 故选：D 【变式11-1】.（多选）（23-24高一下·辽宁·阶段练习）下列函数中，最小正周期为且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求正弦（型）函数的奇偶性、求余弦（型）函数的奇偶性、求正切（型）函数的奇偶性 【分析】根据奇偶性的定义以及周期的计算公式即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, ,故为偶函数，所以A错误， 对于B，，故为奇函数，且周期为，符合要求， 对于C，，由于为奇函数，且周期为，所以为奇函数，且周期为，符合要求， 对于D，为奇函数，且周期为，符合要求， 故选：BCD 【变式11-2】.（23-24高一上·江西景德镇·期末）已知（a，b为实数），且，则 ． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、对数的运算性质的应用、幂函数的奇偶性的应用、求正切（型）函数的奇偶性 【解析】令，可知为奇函数，根据与为相反数即可求解. 【详解】令，，定义域关于原点对称， 且， 所以为奇函数， 则， 所以， 由奇函数性质可得， 所以， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：首先要观察出中的部分为奇函数，其次要能利用换底公式，对数的运算性质找到与为相反数，借助奇函数的性质求解. 【考点题型十二】正切函数周期性（） 【例12】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）函数的最小正周期为 . 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的周期 【分析】利用正切型函数的周期公式可求得原函数的最小正周期. 【详解】函数的最小正周期为. 故答案为：. 【变式12-1】.（2024·江西）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求正切（型）函数的周期 【分析】利用函数的周期公式即可求解. 【详解】由题意可知，，所以函数的最小正周期为. 故选：B. 【变式12-2】.（多选）（23-24高一下·江西抚州·阶段练习）下列函数，最小正周期为的有（     ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、求正切（型）函数的周期、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】利用三角函数的周期性求出各个选项的周期，即可得出结论. 【详解】对于A，因为令，，令，， 所以的最小正周期不是； 对于B，的最小正周期为，所以的最小正周期为； 对于C，，则最小正周期为； 对于D，的最小正周期为，则小正周期为. 故选：BCD. 【考点题型十三】正切函数对称性（） 【例13】（多选）（23-24高一下·江西景德镇·期中）函数的对称中心可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】求正切（型）函数的对称中心 【分析】由求得对称中心，即得． 【详解】对于函数，令，求得，， ∴函数的对称中心为，， 取，得对称中心为； 取，得对称中心为； 不可能是，. 故选：BC． 【变式13-1】.（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．点是函数图象的一个对称中心 C．函数的定义域为 D．函数在区间单调递增 【答案】B 【知识点】求正切型三角函数的单调性、求正切（型）函数的周期、求正切（型）函数的对称中心、求正切（型）函数的定义域 【分析】根据正切函数的周期性、对称性、定义域和单调性相应的理论进行求解判断即可. 【详解】对于A：根据正切函数周期公式，得函数的最小正周期为，故A错； 对于B：根据正切函数对称中心令， 所以当时得到图象的一个对称中心为，故B正确； 对于C：令， 得到的定义域为，故C错； 对于D，令时，，函数没有意义，故D错. 故选：B. 【变式13-2】.（多选）（23-24高一上·陕西榆林·期末）已知函数，则下列命题中正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．图象的对称中心为 D．的单调递增区间为 【答案】ACD 【知识点】求正切型三角函数的单调性、求正切（型）函数的对称中心、求正切（型）函数的周期 【分析】根据正切函数的图象及性质解决即可． 【详解】由题知，函数， 对于A，所以的最小正周期为，故A正确； 对于B，的定义域满足，即 所以的定义域为，故B错误； 对于C，图象的对称中心应满足，即 所以图象的对称中心为，故C正确； 对于D，的单调递增区间应满足，即， 所以的单调递增区间为，故D正确； 故选：ACD 【考点题型十四】正切函数的值域（） 【例14】（23-24高一下·上海·课后作业）求下列函数的值域： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值、求含tanx的二次式的最值 【分析】（1）由定义域可得，令则，所以，再根据幂函数的性质计算可得； （2）利用换元法将函数转化为二次函数，根据二次函数的性质计算可得； 【详解】解：（1）因为，所以 令则 所以 因为，所以，，， ，即 （2）因为 所以 令， 所以 所以在上单调递增，在上单调递减， ，， 所以 即函数的值域为 【点睛】本题考查正切函数的性质的应用，换元法求函数的值域，属于中档题. 【变式14-1】.（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求指数型复合函数的值域、求指数函数在区间内的值域、求正切（型）函数的值域及最值 【分析】根据正切函数的单调性确定，再根据指数函数的单调性即可求出的值域，即得答案. 【详解】令，则， 因为在上单调递增， 所以， 又单调递减，且， 所以，即的值域是. 故选：B. 【变式14-2】.（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知函数在上有定义，则的值不可能是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值、求15°等特殊角的正切 【分析】考查和两种情况，结合正切函数的周期为，求出的值的范围即可判断. 【详解】依题意，函数在上有定义， 当时，，正切函数的最小正周期为， 当时，不妨令，则，， ，而， 因此，2可能； 当时，不妨令且，则，， ，都可能， 因此的值不可能是4. 故选：D 【变式14-3】.（23-24高一下·上海·课后作业）函数在上的值域为 . 【答案】 【知识点】求含tanx的二次式的最值 【分析】由，得到，令，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为，可得， 令，可得， 当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为， 即函数在上的值域为. 故答案为：. 【变式14-4】（23-24高一·全国·课后作业）求函数， 的值域. 【答案】 【知识点】求含tanx的二次式的最值 【分析】求解得出，，利用换元法转化为二次函数求解． 【详解】解：因为，所以，令，则 所以转化为，， 所以当，即，时，； 当，即，时，； 所以函数的值域为 【点睛】本题考查了三角函数，二次函数的单调性，求解函数的最大值，最小值问题，属于中档题． 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一下·江西·阶段练习）已知是周期为4的函数，且时，，则（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【知识点】函数周期性的应用、特殊角的三角函数值 【分析】由函数的周期为4，可得，将代入解析式，即可得答案. 【详解】解：因为是周期为4的函数， 且时，， . 故选：A. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的最小正周期为，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】先根据周期计算，再根据正弦函数单调性求单调递增区间. 【详解】根据已知得，得，则， 由不等式，解得， 所以函数的单调递增区间是． 故选：D. 3．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，若，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的应用、求含cosx的函数的奇偶性、求函数值 【分析】根据函数奇偶性的性质，结合正弦余弦函数奇偶性进行求解即可. 【详解】的定义域为． 令， 则，所以为奇函数， 又，所以， 则，所以． 故选：D 4．（24-25高一下·江西·阶段练习）已知函数的最小正周期为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解正切不等式、求正切（型）函数的周期 【分析】先根据函数的周期确定的值，再结合正切函数的图象解不等式即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，得. 所以， 由得，得， 解得. 故选：A 5．（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求正弦（型）函数的奇偶性、求正切（型）函数的奇偶性、函数奇偶性的定义与判断、求余弦（型）函数的奇偶性 【分析】根据奇偶性定义判断各个选项即可. 【详解】对于，定义域为，而，则为奇函数，A选项错误； 对于定义域为，，则为偶函数，B选项正确； 对于定义域为，关于原点对称，，则为奇函数，C选项错误； 对于定义域为，令，，不相等，也不互为相反数，是非奇非偶函数，D选项错误． 故选：B． 6．（24-25高一下·山东德州·阶段练习）已知函数在区间上单调递增，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】利用正弦函数图象及性质，借助相位整体思想分析正弦函数的单调性与最大值，从而可得参数的范围. 【详解】因为，所以， 由于在递增， 所以， 又由可得：， 由在上恰好取得一次最大值， 则， 所以综合上述可得：， 故选：A. 7．（24-25高一下·吉林长春·开学考试）已知函数，下列四个结论中，正确的有（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点对称 D．函数在上单调递增 【答案】D 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性 【分析】利用正弦函数的性质，结合函数解析式，研究函数的周期、对称轴对称中心和单调区间. 【详解】函数，最小正周期，A选项错误； 由， 则函数的图象不关于直线对称，B选项错误； 由， 则函数的图象不关于点对称，C选项错误； 时，， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，D选项正确. 故选：D 8．（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．函数最小正周期为 B．定义域为 C．函数图象所有对称中心为， D．函数的单调递增区间为， 【答案】D 【知识点】求正切型三角函数的单调性、求正切（型）函数的对称中心、求正切（型）函数的周期 【分析】利用周期公式计算可得A错误，由正切函数定义域可判断B错误，根据对称中心方程可得C错误，再由正切函数单调性计算可得D正确. 【详解】对于A，由可得，所以函数最小正周期为，即A错误； 对于B，由正切函数定义域可得，解得； 可得的定义域为，即B错误； 对于C，利用对称中心方程可得，解得, 因此函数图象所有对称中心为，，可知C错误； 对于D，根据正切函数单调性可得， 解得， 所以函数的单调递增区间为，可得D正确. 故选：D 二、多选题 9．（2025·内蒙古赤峰·一模）已知函数，则（    ） A．是周期为的函数 B．与函数是同一函数 C．是的一条对称轴 D．在区间上的取值范围是 【答案】AD 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据正弦函数的性质判断ACD选项；结合诱导公式判断B选项. 【详解】由题意，，故A正确； ， 故B错误； 因为， 所以不是的一条对称轴，故C错误； 当时，，则， 则， 即在区间上的取值范围是，故D正确. 故选：AD. 10．（2025·四川成都·二模）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递减 D．在上有2个零点 【答案】ACD 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求函数零点或方程根的个数、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，A正确； 对于B，因，即的图象关于直线不对称，B错误； 对于C，当时，，因正弦函数在上单调递减， 故在上单调递减，C正确； 对于D，当时，，由，得或， 解得或，即在上有2个零点，D正确. 故选：ACD 三、填空题 11．（24-25高一下·上海·阶段练习）函数，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】求含cosx的二次式的最值 【分析】把作为一个整体，结合二次函数性质求最小值． 【详解】， 因为， 所以时，， 故答案为：． 12．（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）若函数为奇函数，则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】由正切（型）函数的奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的定义,求得,再根据,即可得答案. 【详解】因为函数为奇函数,所以 由得,, 即,所以, 解得,,因为,取,得,所以的最小值为. 故答案为: 四、解答题 13．（24-25高一下·全国·单元测试）设函数. (1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间； (2)求不等式的解集； 【答案】(1)定义域是，最小正周期， 单调增区间是（）. (2)； 【知识点】求正切型三角函数的单调性、解正切不等式、正切函数的定义、求正切（型）函数的周期 【分析】（1）由整体代换即可求出正切函数的定义域，由周期公式可得最小正周期，由单调性解不等式可得单调增区间. （2）由（1）中的单调性解不等式，可得其解集. 【详解】（1）由， 得（）， ∴的定义域是， ∵，∴最小正周期， 由（），得（）. ∴函数的单调增区间是（）. 综上，所以函数定义域是，最小正周期， 单调增区间是（）. （2）由，得（）. 解得（）. ∴不等式的解集是 14．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）已知函数． (1)求的单调减区间； (2)若在区间上的最大值为，求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据正弦函数单调减区间，即令，即可得解. （2）根据正弦函数的性质，即可求出的范围，得到的最小值. 【详解】（1）函数， 由，得 所以的单调减区间，. （2）若在区间上的最大值为，可得， 且当时，取得最大值， 即有，解得，则的最小值为． 15．（24-25高一下·海南·开学考试）已知函数 (1)求的单调递增区间： (2)求在上的值域； (3)若函数在上的零点个数为2，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）应用整体法及正弦函数的性质求单调增区间； （2）由题设有，结合正弦函数性质求值域即可； （3）由，根据正弦函数的性质确定区间单调性及对应值域，结合零点个数确定参数范围. 【详解】（1）由正弦函数的性质知，则， 所以的单调递增区间为； （2）由题意，令，由正弦函数性质有，所以； （3）在上，且在上单调递增，在上单调递减， 所以，在上对应，在上对应， 要使函数在上的零点个数为2，则. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 第一章 三角函数的图象与性质 （4个考点梳理+14题型解读+提升训练） 清单01 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 对称轴方程 无 递增区间 递减区间 无 清单02 周期性 函数 周期 函数 周期 函数 () () () 周期 其它特殊函数，可通过画图直观判断周期 清单03 三角函数奇偶性 三角函数 取何值为奇函数 取何值为偶函数 () () () () () (1)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (2)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (3)函数是奇函数⇔()． 清单04 三角函数对称性 (1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (3)函数的图象的对称中心由)解得． 【考点题型一】五点法画正余弦函数的图象（） 【例1】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知函数. (1)求的最大值及取得最大值时自变量x的取值集合； (2)用“五点法”画出在一个周期内的图象. 【变式1-1】.（24-25高一上·陕西西安·期末）设，图象的一条对称轴是直线. (1)求，并求函数的单调增区间； (2)画出函数在区间上的图象. 【变式1-2】.（24-25高一上·河北保定·期末）设，函数的最小正周期为，且. (1)求和的值； (2)在给定坐标系中作出函数在上的图象； (3)若，求的取值范围. 【考点题型二】含绝对值的正余弦函数图象（） 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）函数，方程有个根，求实数的取值范围． 【变式2-1】.（23-24高一·上海·课堂例题）作出下列函数的大致图像： (1)，； (2)，． 【变式2-2】.（24-25高一·全国·课后作业）已知函数. (1)画出函数在上的图象. (2)这个函数是周期函数吗？若是，求出最小正周期；若不是，请说明理由. (3)指出函数的单调区间. 【考点题型三】正余弦函数的单调性问题（） 【例3】（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)求图象的对称轴方程； (2)求在区间上的单调递增区间． 【变式3-1】.（24-25高一上·广东梅州·期末）设函数，． (1)解方程：； (2)求的单调区间； 【变式3-2】.（23-24高一下·陕西汉中·期中）已知函数． (1)求函数的单调递减区间； 【变式3-3】.（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； 【考点题型四】正余弦函数的奇偶性问题（） 【例4-1】（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）已知函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（23-24高一上·四川凉山·期末）已知函数，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 【变式4-1】.（2025·河北保定·模拟预测）已知函数为奇函数且，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【变式4-2】.（24-25高一上·广东肇庆·期末）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】.（24-25高一下·全国·课后作业）函数的奇偶性是 ． 【考点题型五】正余弦函数的周期性问题（） 【例5】．（多选）（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的最小正周期为π C．在区间上单调递增 D．为奇函数 【变式5-1】.（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）设函数，则为（  ） A．周期函数，最小正周期为 B．周期函数，最小正周期为 C．周期函数，最小正周期为 D．非周期函数 【变式5-2】.（24-25高三下·浙江·阶段练习）函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【变式5-3】.（24-25高一上·贵州毕节·期末）函数的最小正周期（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】.（23-24高二下·云南·期末）若函数的最小正周期为，则常数 ． 【考点题型六】正余弦函数的对称性问题（） 【例6】（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）已知函数满足，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】.（24-25高三下·河南信阳·开学考试）函数的图象在区间上的对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】.（24-25高一下·甘肃武威·开学考试）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的初相为 B．函数在上单调递增 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于点对称 【变式6-3】.（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】.（24-25高一上·宁夏固原·期末） 函数的图象关于中心对称，那么的最小值为 . 【考点题型七】正余弦函数的值域问题（） 【例7-1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数，，当 时，最小且最小值为 ． 【例7-2】（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数． (1)求函数的最小正周期与单调递增区间； (2)求函数在区间上的值域． 【变式7-1】.（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知函数在上的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】.（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则函数的值域为 . 【变式7-3】.（24-25高一上·北京海淀·期末）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示. (1)直接写出、、的取值； (2)求的对称中心和单调增区间； (3)当时，求的最值，并指出取最值时的取值. 【考点题型八】正切函数的定义（） 【例8】（24-25高一下·四川广安·阶段练习）函数的定义域是（    ） A．R B． C． D． 【变式8-1】.（24-25高一下·江西·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】.（23-24高一下·山西晋中·开学考试）函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式8-3】.（24-25高一上·山东烟台·期末）函数的定义域为 . 【考点题型九】正切函数的图象（） 【例9】（2024高一上·全国·专题练习）借助函数的图象写出下列不等式或方程的解集： (1)，； (2)； (3)； (4)； 【变式9-1】.（24-25高一上·陕西·期末）当时，函数的零点个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式9-2】.（多选）（24-25高三上·吉林·期末）已知函数的部分图象如图所示（分隔直线右侧函数的零点为），则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B． C． D．函数在上单调递增 【考点题型十】正切函数的单调性（） 【例10】（23-24高一下·陕西·阶段练习）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)求函数的单调区间； (3)求不等式的解集． 【变式10-1】.（23-24高一下·江西·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】.（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数 的图象关于点 对称. (1)求的单调递增区间; (2)求不等式 的解集. 【考点题型十一】正切函数的奇偶性（） 【例11】（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 【变式11-1】.（多选）（23-24高一下·辽宁·阶段练习）下列函数中，最小正周期为且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】.（23-24高一上·江西景德镇·期末）已知（a，b为实数），且，则 ． 【考点题型十二】正切函数周期性（） 【例12】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）函数的最小正周期为 . 【变式12-1】.（2024·江西）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】.（多选）（23-24高一下·江西抚州·阶段练习）下列函数，最小正周期为的有（     ） A． B． C． D． 【考点题型十三】正切函数对称性（） 【例13】（多选）（23-24高一下·江西景德镇·期中）函数的对称中心可以是（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】.（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．点是函数图象的一个对称中心 C．函数的定义域为 D．函数在区间单调递增 【变式13-2】.（多选）（23-24高一上·陕西榆林·期末）已知函数，则下列命题中正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．图象的对称中心为 D．的单调递增区间为 【考点题型十四】正切函数的值域（） 【例14】（23-24高一下·上海·课后作业）求下列函数的值域： （1）； （2）． 【变式14-1】.（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】.（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知函数在上有定义，则的值不可能是（    ） A． B． C．2 D．4 【变式14-3】.（23-24高一下·上海·课后作业）函数在上的值域为 . 【变式14-4】（23-24高一·全国·课后作业）求函数， 的值域. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一下·江西·阶段练习）已知是周期为4的函数，且时，，则（   ） A． B．0 C．1 D．3 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的最小正周期为，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，若，则（    ） A．0 B． C．1 D． 4．（24-25高一下·江西·阶段练习）已知函数的最小正周期为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·山东德州·阶段练习）已知函数在区间上单调递增，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·吉林长春·开学考试）已知函数，下列四个结论中，正确的有（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点对称 D．函数在上单调递增 8．（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．函数最小正周期为 B．定义域为 C．函数图象所有对称中心为， D．函数的单调递增区间为， 二、多选题 9．（2025·内蒙古赤峰·一模）已知函数，则（    ） A．是周期为的函数 B．与函数是同一函数 C．是的一条对称轴 D．在区间上的取值范围是 10．（2025·四川成都·二模）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递减 D．在上有2个零点 三、填空题 11．（24-25高一下·上海·阶段练习）函数，则的最小值为 ． 12．（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）若函数为奇函数，则的最小值为 . 四、解答题 13．（24-25高一下·全国·单元测试）设函数. (1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间； (2)求不等式的解集； 14．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）已知函数． (1)求的单调减区间； (2)若在区间上的最大值为，求的最小值． 15．（24-25高一下·海南·开学考试）已知函数 (1)求的单调递增区间： (2)求在上的值域； (3)若函数在上的零点个数为2，求的取值范围. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$