专题02 复数（人教A版2019必修第二册）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编

专题02 复数 题型概览 题型01复数的概念 题型02复数的四则运算 题型03复数的三角表示 复数的概念题型01 1．（23-24高一下·吉林·期中）已知复数是纯虚数，则 . 【答案】4 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据纯虚数的定义列出方程组，解出a的值即可. 【详解】解：复数是纯虚数， 则，解得. 故答案为：4. 2．（23-24高一下·四川达州·期中）下列四种说法不正确的是（ ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【答案】ACD 【知识点】复数的基本概念 【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可求解. 【详解】对A，当时，则是实数，故A错误； 对B，根据复数定义可知，故B正确； 对C，，那么是实数，故C错误； 对D，根据虚数，故D错误. 故选：ACD 3．（23-24高一下·北京通州·期中）若复数为纯虚数，则实数 . 【答案】1 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】利用纯虚数的定义直接求出值. 【详解】依题意，，所以. 故答案为：1 4．（23-24高一下·河北·期中）若复数，满足，，则的最小值为 ． 【答案】6 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、求复数的模 【分析】在复平面内，根据复数的几何意义，结合直线与圆的位置关系分析即可. 【详解】由可知，对应的点是以为圆心，1为半径的圆． 由可知，对应的点是以，为端点的线段BC的垂直平分线，也就是x轴． 为圆上一点与x轴上一点的距离的最小值，即为圆心到x轴的距离减去半径为6． 故答案为：6.    5．（23-24高一下·甘肃庆阳·期中）已知虚数是关于的方程的一个根，且，则（    ） A．3 B．2 C．4 D．7 【答案】D 【知识点】求复数的模、复数的相等 【分析】法一：设，代入原方程，根据复数相等和可得到答案；法二：解关于的方程求出对应的含参数的虚数根，再由，求出的值. 【详解】法一：设，由 则 则解得； 法二：由有虚数根，可知且， 又由，有，解得． 故选：D． 6．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知，，且，则，的值分别为（    ） A．1， B．4，1 C．，1 D．1，3 【答案】C 【知识点】复数的相等 【分析】利用复数相等的定义，列式求解即可. 【详解】因为，，且，则，，解得. 故选：C 7．（23-24高一下·新疆·期中）已知，则 ． 【答案】1 【知识点】已知复数的类型求参数、根据相等条件求参数 【分析】由复数分类的定义可知，实部和虚部都为0，则复数为0，联立方程求解即可． 【详解】由，得，解得． 故答案为：1． 8．（23-24高一下·青海·期中）若为实数．则 ． 【答案】6 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据虚部为零计算即可. 【详解】因为为实数， 所以，则，． 故答案为：6. 9．（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知复数（x，），则复平面内满足的点Z的集合围成的图形面积为，则实数 . 【答案】4 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，以及圆的面积公式，即可求解． 【详解】复平面内满足的点的集合围成的图形为以为圆心，以半径的圆， 复平面内满足的点的集合围成的图形面积为， 则，解得（负值舍去）． 故答案为：4． 10．（23-24高一下·江苏苏州·期中）复数平面内表示复数的点分别满足下列条件： (1)位于第四象限； (2)位于第一象限或第三象限； (3)位于直线上．求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或或 (3) 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数、在各象限内点对应复数的特征 【分析】（1）结合复数的几何意义与第四象限的点的特点计算即可得； （2）结合复数的几何意义与第一象限或第三象限的点的特点计算即可得； （3）由题意可得，计算即可得. 【详解】（1）由题意，复数在复平面内对应的点为． 当点位于第四象限时，则，即， 故或； （2）当点位于第一象限或第三象限时， 则， 即， 故或或． （3）当点位于直线上，则，解得． 复数的四则运算题型02 11．（23-24高一下·安徽黄山·期中）若复数的共轭复数对应的点在第一象限，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【知识点】在各象限内点对应复数的特征、共轭复数的概念及计算 【分析】由共轭复数的定义求出，再根据复数的几何意义求解. 【详解】由题，，对应的点在第一象限， 则，可得，又为整数，所以． 故选：B． 12．（多选）（23-24高一下·安徽黄山·期中）已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（   ） A．复数的虚部等于 B． C． D．若是实数，是纯虚数，则 【答案】CD 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算、已知复数的类型求参数、求复数的实部与虚部 【分析】先化简复数，然后根据复数的虚部概念，纯虚数，共轭复数，及复数的运算逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，复数， 对于A项：，所以复数的虚部等于，故A错误； 对于B项：，故B错误； 对于C项：，故C正确； 对于D项：因为是纯虚数且是实数，即为纯虚数，所以，解得，故D正确． 故选：CD. 13．（23-24高一下·安徽黄山·期中）已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且． (1)求复数； (2)求复数； (3)若是关于的方程的一个根，求实数，的值，并求出方程的另一个复数根． 【答案】(1) (2) (3)，，另一根为 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、虚数单位i及其性质、复数范围内方程的根 【分析】（1）化简复数，再根据共轭复数的概念求解； （2）根据复数的除法的运算求解； （3）将代入方程运算求出，代回方程求解. 【详解】（1）， 所以复数的共轭复数为． （2）因为， 所以 所以. （3）若是关于的方程的一个根，则， 即， 所以 解得：，， 则，即， 所以方程另一根为． 14．（23-24高一下·江苏无锡·期中）（1）已知，若为纯虚数，求m的值． （2）已知复数z满足，求z． 【答案】（1）；（2） 【知识点】复数代数形式的乘法运算、已知复数的类型求参数、共轭复数的概念及计算 【分析】（1）利用乘法运算并结合纯虚数定义可得； （2）依题意可设，由复数相等解方程可得结果. 【详解】（1）因为为纯虚数， 所以且， 解得； （2）因为，且，因此可设， 则， 由题意可得，所以， 解得，即. 15．（多选）（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【答案】BCD 【知识点】复数的基本概念、复数代数形式的乘法运算、求复数的模 【分析】利用复数的意义判断AD；由模的计算判断BC. 【详解】对于A，是复数，如，由不全是实数的两个复数不能比较大小，A错误； 设， 对于B，由，得，则， 因此，，B正确； 对于C，， ，C正确； 对于D，由，得都是实数，因此，D正确. 故选：BCD 16．（23-24高一下·广西玉林·期中）复数z满足（i为虚数单位），则z的模是（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】应用复数的乘除运算求复数，进而求模长. 【详解】由题设，则，所以. 故选：D 17．（多选）（23-24高一下·广东广州·期中）已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的乘方、共轭复数的概念及计算 【分析】设复数，利用共轭复数、模长的定义及复数的四则运算判断各项正误. 【详解】设复数，且， ，A正确； ，B正确； ， ， 所以与不一定相等，C错误； 令，则，D错误． 故选：AB 18．（23-24高一下·辽宁大连·期中）复数（为虚数单位）的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法法则，化简可得，根据共轭复数的概念，即可得答案. 【详解】由题意得， 所以其共轭复数为. 故选：B 19．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的除法运算、求复数的模 【分析】计算出，利用复数除法法则计算出. 【详解】，故， . 故选：B 20．（23-24高一下·吉林·期中）已知复数是关于x的一元二次方程的一个根，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】根据已知条件，复数和是关于x的一元二次方程的两个根，结合方程的根与系数关系即可求解. 【详解】复数是关于x的一元二次方程的一个根， 则方程的另一根为， 故，解得. 故选：A. 复数的三角表示题型03 21．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知复数（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算、判断复数对应的点所在的象限、复数的除法运算 【分析】应用复数除法化简复数再结合共轭复数，最后应用复数对于复平面的点判断即可. 【详解】因为, 所以, 所以对应的点为，,在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 22．（23-24高一下·湖南岳阳·期中）欧拉公式把自然对数的底数､虚数单位､三角函数联系在一起，被誉为“数学中的天桥”.若复数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的除法运算、三角恒等变换的化简问题、求复数的模、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】首先求得，然后结合复数模的公式以及三角函数性质即可得解. 【详解】由题意， ， 因为的取值范围是， 所以的取值范围是，的取值范围为. 故选：B. 23．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式.②方程（为正整数）有个不同的复数根； (1)求证：； (2)设，求； (3)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的三角形式 【分析】（1）根据题意，由复数的四则运算代入计算，即可证明； （2）根据题意，将复数化为复数的三角形式，然后结合三角形式的运算，代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由复数的三角形式的运算代入计算，结合终边相同的角的集合，即可得到结果. 【详解】（1）证明： . （2）依题意，， 所以 . （3）设，则， 因此，解得， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为， 因此对应的依次为， 所以所求的集合是. 24．（23-24高一下·浙江丽水·期中）欧拉公式：（为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将指数函数的定义域扩大到了复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”． (1)根据欧拉公式计算； (2)设函数，求函数在上的值域． 【答案】(1) (2)． 【知识点】复数的乘方、二倍角的余弦公式、求cosx(型)函数的值域、特殊角的三角函数值 【分析】（1）根据题干欧拉公式即可计算； （2）根据欧拉公式分别表示和，从而表示出，利用辅助角公式化成单角单函数之后，求在上的值域. 【详解】（1）． （2） 因为，所以，，，即. 25．（23-24高一下·福建莆田·期中）法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的虚部为 ． 【答案】 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方 【分析】结合复数定义，借助所给公式计算即可得. 【详解】， 故其虚部为. 故答案为：. 26．（23-24高一下·湖北武汉·期中）设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的除法运算、复数的三角表示 【分析】把化为复数的三角形式，根据复数对应的向量旋转所得向量，求解即可. 【详解】由已知得， 所以绕原点顺时针旋转得 ， 由绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合得， 所以. 故选：B. 27．（23-24高一下·重庆·期中）我们知道复数有三角形式，，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知圆半径为1，圆的内接正方形的四个顶点均在圆上运动，建立如图所示坐标系，设点所对应的复数为，点所对应的复数为，点所对应的复数为，点所对应的复数为. (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作等边，且在上方. （ⅰ）求线段长度的最小值； （ⅱ）若（，），求的取值范围. 【答案】(1)， (2)①1；② 【知识点】复数的坐标表示、复数的三角形式、三角恒等变换的化简问题、求复数的模 【分析】（1）由题意，根据复数的乘法运算即可求解； （2）（ⅰ）解法一：设，根据三角恒等变换化简和复数的乘法计算求出，进而表示的坐标，结合模长公式计算即可；解法二：连接，设，，求出，进而，利用换元法化简计算即可求解； （ⅱ）设，则D，利用向量的线性运算和三角恒等变换化简可得，进而求解. 【详解】（1）， . （2）（ⅰ）解法一：设，， 所表示的复数为，所表示的复数为 有， ， 故， 得 ， 其中，故线段长度的最小值为1. 解法二：连接，设，， 由可得，则， 当时， 化简得，令，. 则 . 同理可得：当时， （ⅱ）设，则，即点坐标为， 此时，，. 由（，）得： ， 即，解得， 故， ，其中， 可得. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 28．（23-24高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，设是坐标原点，向量，将绕点顺时针旋转得到向量，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】复数的向量表示、复数的三角表示、复数的坐标表示、复数乘、除运算的三角表示 【分析】易得对应的复数，再由对应的复数是求解. 【详解】解：设向量对应的复数是，则， 所以对应的复数是： ， ， 所以的坐标是， 故答案为： 29．（23-24高一下·浙江·期中）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，（，）则．设，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数的三角表示、求复数的实部与虚部 【分析】根据题意化简即可得解. 【详解】根据题意，由， 可得 . 故虚部为. 故选：C 30．（多选）（23-24高一下·湖北·期中）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．若，且，则 【答案】BCD 【知识点】复数的相等、复数乘、除运算的三角表示、求复数的模、共轭复数的概念及计算 【分析】对于B,C,D选项，，可以选设复数的代数形式或者三角形式，利用复数的运算法则和共轭复数的定义运算判断结果；对于A选项，可以考虑举反例说明其错误. 【详解】对于A项，当时，而故A项错误； 对于B项，设其中， 则，则； 而 ，故B项正确； 对于C项，设其中， ，则，而，故C项正确； 对于D项，设其中，,依题，不全为零， 则由可得，化简得 ，即 因不全为零，不妨设，则有，即, 故得，即，故D项正确. 故选：BCD. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 复数 题型概览 题型01复数的概念 题型02复数的四则运算 题型03复数的三角表示 复数的概念题型01 1．（23-24高一下·吉林·期中）已知复数是纯虚数，则 . 2．（23-24高一下·四川达州·期中）下列四种说法不正确的是（ ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 3．（23-24高一下·北京通州·期中）若复数为纯虚数，则实数 . 4．（23-24高一下·河北·期中）若复数，满足，，则的最小值为 ． 5．（23-24高一下·甘肃庆阳·期中）已知虚数是关于的方程的一个根，且，则（    ） A．3 B．2 C．4 D．7 6．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知，，且，则，的值分别为（    ） A．1， B．4，1 C．，1 D．1，3 7．（23-24高一下·新疆·期中）已知，则 ． 8．（23-24高一下·青海·期中）若为实数．则 ． 9．（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知复数（x，），则复平面内满足的点Z的集合围成的图形面积为，则实数 . 10．（23-24高一下·江苏苏州·期中）复数平面内表示复数的点分别满足下列条件： (1)位于第四象限； (2)位于第一象限或第三象限； (3)位于直线上．求实数的取值范围． 复数的四则运算题型02 11．（23-24高一下·安徽黄山·期中）若复数的共轭复数对应的点在第一象限，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 12．（多选）（23-24高一下·安徽黄山·期中）已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（   ） A．复数的虚部等于 B． C． D．若是实数，是纯虚数，则 13．（23-24高一下·安徽黄山·期中）已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且． (1)求复数； (2)求复数； (3)若是关于的方程的一个根，求实数，的值，并求出方程的另一个复数根． 14．（23-24高一下·江苏无锡·期中）（1）已知，若为纯虚数，求m的值． （2）已知复数z满足，求z． 15．（多选）（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 16．（23-24高一下·广西玉林·期中）复数z满足（i为虚数单位），则z的模是（   ） A． B．1 C．2 D． 17．（多选）（23-24高一下·广东广州·期中）已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（23-24高一下·辽宁大连·期中）复数（为虚数单位）的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一下·吉林·期中）已知复数是关于x的一元二次方程的一个根，则（    ） A． B． C．4 D．8 复数的三角表示题型03 21．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知复数（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 22．（23-24高一下·湖南岳阳·期中）欧拉公式把自然对数的底数､虚数单位､三角函数联系在一起，被誉为“数学中的天桥”.若复数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式.②方程（为正整数）有个不同的复数根； (1)求证：； (2)设，求； (3)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 24．（23-24高一下·浙江丽水·期中）欧拉公式：（为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将指数函数的定义域扩大到了复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”． (1)根据欧拉公式计算； (2)设函数，求函数在上的值域． 25．（23-24高一下·福建莆田·期中）法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的虚部为 ． 26．（23-24高一下·湖北武汉·期中）设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一下·重庆·期中）我们知道复数有三角形式，，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知圆半径为1，圆的内接正方形的四个顶点均在圆上运动，建立如图所示坐标系，设点所对应的复数为，点所对应的复数为，点所对应的复数为，点所对应的复数为. (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作等边，且在上方. （ⅰ）求线段长度的最小值； （ⅱ）若（，），求的取值范围. 28．（23-24高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，设是坐标原点，向量，将绕点顺时针旋转得到向量，则点的坐标是 ． 29．（23-24高一下·浙江·期中）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，（，）则．设，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 30．（多选）（23-24高一下·湖北·期中）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．若，且，则 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$