专题03 立体几何初步（人教A版2019必修第二册）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编

专题03 立体几何初步 题型概览 题型01基本立体图形 题型02立体图形的直观图 题型03简单几何体的表面积与体积 题型04点线面之间的位置关系 题型05空间直线、平面的平行 题型06空间直线、平面的垂直 基本立体图形题型01 1．（多选）（23-24高一下·云南昭通·期中）下列命题中，正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 2．（23-24高一下·福建厦门·期中）已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·吉林·期中）如图，在正四棱锥中，是棱上的动点，一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（23-24高一下·新疆·期中）如图，在直三棱柱中，D，G，E分别为所在棱的中点，，三棱柱挖去两个三棱锥，后所得的几何体记为，则（    ） A．有7个面 B．有13条棱 C．有7个顶点 D．直线直线EF 5．（23-24高一下·吉林·期中）十棱锥共有（    ） A．10个顶点 B．20个顶点 C．10条棱 D．20条棱 6．（23-24高一下·青海·期中）几何体是由一个正方体切剖一个角得到的，其直观图如图所示．已知，M是上一动点．则的最小值为 ． 7．（23-24高一下·福建龙岩·期中）在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 8．（23-24高一下·陕西西安·期中）如图，下列长方体中由下面的平面图形围成的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·山东临沂·期中）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是12． (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 10．（23-24高一下·山东·期中）已知正四棱锥的底面边长为2，高为，则其内切球半径是（    ） A．1 B． C． D． 立体图形的直观图题型02 11．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，斜边，则原图形的面积是 ． 12．（23-24高一下·上海闵行·期中）将边长为的正三角形，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则 ．    13．（23-24高一下·浙江台州·期中）如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（   ）    A． B．1 C． D． 14．（23-24高一下·湖南岳阳·期中）如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在x′轴上，与x′轴垂直，且，则的面积为（    ） A．2 B． C．4 D． 15．（23-24高一下·福建厦门·期中）如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形面积是（    ） A． B．1 C． D． 16．（23-24高一下·浙江台州·期中）如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（ ） A． B． C．8 D．10 17．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，的边，，则原中角A的角平分线长度是（    ）    A． B． C． D． 18．（23-24高一下·浙江·期中）水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 19．（23-24高一下·广东·期中）如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，则（    ）    A． B．4 C．6 D． 20．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，三角形是三角形的直观图，则三角形的面积是 ． 简单几何体的表面积与体积题型03 21．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.    (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积. 22．（23-24高一下·河南漯河·期中）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的半径为 . 23．（23-24高一下·云南曲靖·期中）祖暅（公元5-6世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等；该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立.据此，为，为的椭球体的体积是 .    24．（23-24高一下·吉林·期中）如图所示，在三棱柱中，若点E，F分别满足，，平面将三棱柱分成的左、右两部分的体积分别为和，则＝ . 25．（23-24高一下·河北·期中）已知圆锥的母线长为2，其外接球表面积为，则圆锥的高为 ． 26．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）直三棱柱中，，，，则它的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一下·福建厦门·期中）如图，直三棱柱中，，，，点P在棱上，且，则当 时，的面积取最小值；此时三棱锥的外接球的表面积为 ． 28．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）圆柱的轴截面是边长为4cm的正方形，则该圆柱的表面积为 ． 29．（23-24高一下·浙江·期中）已知圆台的上，下底面的半径长分别为2，3，母线长2，则其体积为（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高一下·四川乐山·期中）已知三棱锥的顶点都在球的表面上，若球的表面积为，，，，则当三棱锥的体积最大时，（    ） A． B．30 C． D． 点线面之间的位置关系题型04 31．（23-24高一下·黑龙江·期中）下列命题正确的是（    ） A．若直线上有无数个点不在平面内，则 B．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 C．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 D．若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行 32．（多选）（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）正方体的棱长为a，M，N分别是正方形，的中心（如图所示）.则下列结论正确的是（    ） A． B．AB与共面 C．平面与该正方体所得的截面面积为． D．平面将正方体分成前后两部分的体积比为 33．（23-24高一下·贵州·期中）若直线不平行于平面，且直线，则下列说法正确的是（    ） A．内存在与平行的直线 B．内所有直线都与异面 C．与有公共交点 D．内所有直线都与相交 34．（多选）（23-24高一下·福建福州·期中）若直线不平行于平面，且，则下列结论错误的是（    ） A．内的所有直线与是异面直线 B．内不存在与平行的直线 C．内存在唯一一条直线与平行 D．内的所有直线与都相交 35．（23-24高一下·河南洛阳·期中）若直线在平面外，则（    ） A． B．与至多有一个公共点 C．与没有公共点 D．与至少有一个公共点 36．（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知直线是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，，则 D．，，三个平面最多可将空间分割成8个部分 37．（多选）（23-24高一下·河北邯郸·期中）已知表示两条不同直线，a表示平面，则下列选项正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 38．（多选）（23-24高一下·甘肃庆阳·期中）已知平面平面，则下列说法错误的是（    ） A．平面内所有的直线与直线异面 B．平面内存在一条直线与直线平行 C．平面内存在无数条直线与直线相交 D．有且只有一个过直线的平面与平面平行 39．（23-24高一下·北京·期中）如图，在正方体中，直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都不是 40．（多选）（23-24高一下·广东惠州·期中）若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则下列命题错误的是（   ） A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行 B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直 C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交 D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面 空间直线、平面的平行题型05 41．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期中）如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法不正确的有（    ） A．动点轨迹的长度为 B．三棱锥体积的最小值为 C．与不可能垂直 D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 42．（多选）（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在正方体中，，为正方形的中心，为棱的中点，点在线段上（不包含端点）运动，点在正方形内（包括边界）运动，且平面，下列说法正确的有（   ）    A．与一定异面 B．的最小值为 C．三棱锥体积的最小值为 D．与不可能垂直 43．（23-24高一下·广东广州·期中）在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 44．（23-24高一下·广东深圳·期中）四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则 . 45．（多选）（23-24高一下·吉林·期中）如图，在棱长为4的正方体中，E，F分别是棱，的中点，P是正方形内的动点，则下列结论正确的是（    ） A．若平面，则点P的轨迹长度为 B．若平面，则三棱锥的体积为定值 C．若，则点P的轨迹长度为 D．若P是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是 46．（多选）（23-24高一下·黑龙江·期中）下面四个命题中，正确的为（    ） A．相交于同一点的三条直线在同一平面内 B．在平面外，其三边延长线分别和交于，则一定共线 C．一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等 D．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 47．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点．若平面，则的值为 ． 48．（23-24高一下·福建厦门·期中）如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面． (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； (3)直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD?若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 49．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，点M、N、Q分别是、、的中点.求证：平面平面. 50．（23-24高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），E，F分别是PD，AC的中点. (1)证明：平面. (2)若平面平面，证明：. 空间直线、平面的垂直题型06 51．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，已知四棱台中，，，且，Q为线段中点，    (1)求证：平面； (2)若四棱锥的体积为 ①求证：平面； ②求与平面夹角的正弦值． 52．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． (1)判断在梭上是否存在一点使平面，若存在，求；若不存在，说明理由； (2)当点分别是的中点时，求异面直线和的夹角的余弦值． 53．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知圆锥底面半径，底面圆周上两点、满足，圆锥顶点到直线的距离为，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 54．（23-24高一下·广西玉林·期中）如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，，点D是棱的中点，点O为与交点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 55．（23-24高一下·上海嘉定·期中）在如图所示的圆柱中，AB是底面圆的直径，PA是圆柱的母线，且，设点C（与不重合）是底面圆周上的动点． (1)求证：平面； (2)当二面角P-BC-A的大小为时，求点C到平面PAB的距离； (3)记点D是线段PB的中点，点E在线段PA上，若，求的最小值． 56．（多选）（23-24高一下·河南漯河·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则（    ） A． B．平面与平面的交线平行于平面 C．在棱上存在点，使得平面 D．到平面的距离为 57．（23-24高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，E为侧棱PD上的点，且. (1)证明：； (2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 58．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在正方体中，分别是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求三棱锥的体积． 59．（23-24高一下·江苏·期中）已知正方体的棱长为3，点是线段上靠近点的三等分点，是中点，则下列命题正确的有 ． ①直线与所成角的正切值为    ②三棱柱外接球的半径为 ③平面截正方体所得截面为等腰梯形  ④点到平面的距离为 60．（23-24高一下·辽宁沈阳·期中）如图，四棱锥是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥是正四面体，G为的中点，则下列结论错误的是（ ） A．点共面 B．平面平面 C． D．平面ACD 求异面直线所成角 1．（23-24高一下·陕西安康·期中）在正方体中，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山西朔州·期中）如图，在直三棱柱中，D为的中点，，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·辽宁营口·期中）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为 A． B． C． D． 4．（多选）（23-24高一下·河北邯郸·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，M，N分别为，的中点，其中不正确的结论是（    ）    A．直线MN与AC所成的角为 B．直线AM与BN是平行直线 C．二面角的平面角的正切值为 D．点C与平面MAB的距离为 5．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）在正方体中，为的中点，则直线与直线所成角的余弦值为 . 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 立体几何初步 题型概览 题型01基本立体图形 题型02立体图形的直观图 题型03简单几何体的表面积与体积 题型04点线面之间的位置关系 题型05空间直线、平面的平行 题型06空间直线、平面的垂直 基本立体图形题型01 1．（多选）（23-24高一下·云南昭通·期中）下列命题中，正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 【答案】BC 【知识点】棱台的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、判断几何体是否为棱柱 【分析】根据简单几何体的结构特征，逐项判断，即可得出结果. 【详解】 如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故A错误； 棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四边形，则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥， 故B正确；由平行六面体的概念和性质可知： 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故C正确； 根据棱台的特征可知：棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点。 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体， 不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，故D错误. 故选：BC. 2．（23-24高一下·福建厦门·期中）已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆锥的结构特征辨析、圆锥中截面的有关计算 【分析】依据题意作出圆锥的轴截面，再分析其轴截面三角形的顶角是否大于等于，结合三角函数即可得解. 【详解】 如图，是圆锥的轴截面，设圆锥的底面圆半径为. 若,所得截面面积最大值为,则,故不符合题意； 若，此时所得截面面积得最大值为，符合题意， 此时有，解得，又，则. 故选：D. 3．（23-24高一下·吉林·期中）如图，在正四棱锥中，是棱上的动点，一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形、棱锥的展开图 【分析】根据题意，将平面和平面展开到同一个平面，利用两点之间线段最短可得AC的长就是蚂蚁爬行的路程的最小值，由余弦定理计算以及二倍角公式可得答案. 【详解】根据题意，如图，将平面和平面展开到同一个平面， 连接，与交于点，则的长就是蚂蚁爬行的路程的最小值， 设，则， 又由得，则， 则有， 故， 则，即这只蚂蚁爬行的路程的最小值是. 故选：C. 4．（多选）（23-24高一下·新疆·期中）如图，在直三棱柱中，D，G，E分别为所在棱的中点，，三棱柱挖去两个三棱锥，后所得的几何体记为，则（    ） A．有7个面 B．有13条棱 C．有7个顶点 D．直线直线EF 【答案】ABD 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类 【分析】根据平面的定义，结合柱体和锥体的性质、线线平行传递性逐一判断即可. 【详解】对于A，由图可知，有面BCGF，面EFG，面，面，面，面，面共7个，故A正确； 对于C，有顶点B，C，G，F，E，，，D共8个，故C错误； 对于B，有棱BF，FG，GC，CB，FE，EG，BD，，，，，，共13条棱，故B正确； 对于D，取AB中点H，连接CH，，则可得，， 因为，则F为AH中点，且E为中点，则， 所以直线直线BD，故D正确； 故选：ABD 5．（23-24高一下·吉林·期中）十棱锥共有（    ） A．10个顶点 B．20个顶点 C．10条棱 D．20条棱 【答案】D 【知识点】棱锥的结构特征和分类 【分析】根据棱锥的分类及性质，即可求出结果. 【详解】因为十棱锥共有个顶点，条棱， 故选：D. 6．（23-24高一下·青海·期中）几何体是由一个正方体切剖一个角得到的，其直观图如图所示．已知，M是上一动点．则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形、棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，则即为所求的最小值，理由余弦定理运算求解.． 【详解】以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接， 因为，所以，所以三点共线， 在中，根据正弦定理可得， 可得， 所以的最小值为. 故答案为：. 7．（23-24高一下·福建龙岩·期中）在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】B 【知识点】棱台的展开图、棱台的结构特征和分类 【分析】把四边形，展开至同一个平面，求出长即可得解. 【详解】把四边形，展开至同一个平面，连接，，， 过点作，则，又，则， 在中，，，则， 此时线段中点到点的距离，即线段与相交， 因此的最小值就是展开图中的长，点为与的交点， 所以的最小值为. 故选：B    8．（23-24高一下·陕西西安·期中）如图，下列长方体中由下面的平面图形围成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】利用长方体的表面展开图，判断即可. 【详解】长方体由展开图知道，有4个面是阴影，两个空白部分是相对的，剩余是4个阴影部分.则围成的是下面图形 . 故选：D． 9．（23-24高一下·山东临沂·期中）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是12． (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】圆锥中截面的有关计算、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）根据面积关系可得，进而可得母线长； （2）取的中点，由题意可得，利用基本不等式求面积最大值. 【详解】（1）因为轴截面的面积为，解得， 所以圆锥的母线长为. （2）取的中点，连接，则， 可得，则， 当且仅当，等号成立，此时， 所以截面面积的最大值. 10．（23-24高一下·山东·期中）已知正四棱锥的底面边长为2，高为，则其内切球半径是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】根据正四棱锥的轴截面，转化成等腰三角形的内切圆问题，转化为直角三角形，运用勾股定理解出内切球半径. 【详解】 设正四棱锥内切球球心为，其在底面的投影为，则三点共线，内切球半径为，取中点，中点，则正四棱锥内切球半径即为的内切圆半径， 因为底面边长为，所以，， 因为高为，即，则， 所以， 在中，即，解得， 故选：D. 立体图形的直观图题型02 11．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，斜边，则原图形的面积是 ． 【答案】 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据直观图中的位置关系以及线段长度还原出原图形，即可计算出面积. 【详解】易知， 所以原图形中，且，如下图所示： 因此其面积为. 故答案为： 12．（23-24高一下·上海闵行·期中）将边长为的正三角形，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则 ．    【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】先在直角坐标系中得出各边的数值，再按“斜二测”画法作图，得出相关关系，再利用余弦定理，求出边. 【详解】由题意，在平面直角坐标系中，三角形是边长为的正三角形， ，边上的高为， 按“斜二测”画法如下图所示 ，， 在三角形中，，    由余弦定理得 . 故答案为： 13．（23-24高一下·浙江台州·期中）如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（   ）    A． B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得． 【详解】利用斜二测画法的定义，画出原图形，    由是等腰直角三角形，，斜边，得， 因此，， 所以原平面图形的面积是. 故选：A 14．（23-24高一下·湖南岳阳·期中）如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在x′轴上，与x′轴垂直，且，则的面积为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】利用斜二测画法的定义通过的长确定OA，OB的长，再求出的面积. 【详解】∵在轴上，在轴上， ∴在x轴上，在y轴上， ，，如图， ∴. 故选：B. 15．（23-24高一下·福建厦门·期中）如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形面积是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】求出的面积，再利用直观图与原图形面积关系求出结果. 【详解】在中，，由，得， 因此的面积， 所以原三角形面积是. 故选：C 16．（23-24高一下·浙江台州·期中）如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（ ） A． B． C．8 D．10 【答案】D 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测画法的原则进行求解即可. 【详解】由题设知：原四边形中且， 所以原四边形为平行四边形， 而，则原四边形中，故， 综上，四边形的周长为. 故选：D 17．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，的边，，则原中角A的角平分线长度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】由的直观图可得，，，再利用角平分线定理可求得，再由勾股定理可得结论. 【详解】易知为直角三角形，且，，由勾股定理可得， 设角A的角平分线交BC于D，如下图所示：    根据角平分线性质知， 又因为，所以，， 所以， 故选：D． 18．（23-24高一下·浙江·期中）水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 【答案】B 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】由图形和通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边，，且，故三角形为等比三角形. 【详解】由图形知，在原中，，因为，则， 因为，则，所以，即原是一个等边三角形； 故选：B 19．（23-24高一下·广东·期中）如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，则（    ）    A． B．4 C．6 D． 【答案】C 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测的性质还原图形，再由勾股定理求解. 【详解】还原四边形，如图所示， 依题意可得． 取的中点，连接，则，且， 故．    故选：C 20．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，三角形是三角形的直观图，则三角形的面积是 ． 【答案】2 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】画出原图形可得答案． 【详解】由直观图画出原图，如图， 可得是等腰三角形，且，， 所以三角形的面积. 故答案为：2． 简单几何体的表面积与体积题型03 21．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.    (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】柱体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、求组合体的体积 【分析】（1）求出三棱柱的体积，得到的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案； （2）将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积. 【详解】（1）因为底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm， 所以底面三角形为直角三角形，两直角边分别为3cm，4cm， 又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm， 所以.    设圆柱底面圆的半径为， 则， 圆柱体积. 所以剩下的几何体的体积. （2）由（1）直三棱柱可补形为棱长分别为3cm，4cm，2cm的长方体， 它的外接球的球半径满足，即. 所以，该直三棱柱的外接球的表面积为.    22．（23-24高一下·河南漯河·期中）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的半径为 . 【答案】 【知识点】正弦定理求外接圆半径、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】在这个三棱锥中，已知平面，我们可以根据已知条件求出长方体的体对角线，进而求出外接球的半径. 【详解】因为平面，我们将三棱锥补成长方体. 在中，，， 设，根据正弦定理（为外接圆半径）， 这里就是长方体底面长方形外接圆半径. ，即，解得. 又因为，这个就是长方体的一条棱. 设外接球半径为，根据长方体的体对角线长等于外接球的直径. 长方体底面长方形的对角线长为，长方体的一条棱. 根据长方体体对角线公式（这里，和是底面长方形的两条边，其对角线长为），则体对角线. 因为，所以. 故答案为：. 23．（23-24高一下·云南曲靖·期中）祖暅（公元5-6世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等；该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立.据此，为，为的椭球体的体积是 .    【答案】 【知识点】求旋转体的体积 【分析】由题意，从而得到椭球的体积为，再代入数据求解即可. 【详解】因为总有圆所以，半椭球的体积等于， 故椭球的体积为，所以该椭环体积是. 故答案为：. 24．（23-24高一下·吉林·期中）如图所示，在三棱柱中，若点E，F分别满足，，平面将三棱柱分成的左、右两部分的体积分别为和，则＝ . 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】先计算三棱柱的体积，再得出三棱台的体积，从而根据，即可求解. 【详解】在三棱柱中，设的面积为S，三棱柱的高为h， 则三棱柱的体积为，由，， 得，则，且，于是的面积为， 则三棱台的体积为，从而， 所以. 故答案为： 25．（23-24高一下·河北·期中）已知圆锥的母线长为2，其外接球表面积为，则圆锥的高为 ． 【答案】 【知识点】圆锥的结构特征辨析、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据圆锥的特征，再找到球心的位置，再结合勾股定理得出高. 【详解】 设圆锥高，而母线，在中，则， 设圆锥外接球的半径为R，显然外接球的球心为O在高上， 球心O到底面圆心的距离，由，得， 因此，解得，所以长为． 故答案为：. 26．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）直三棱柱中，，，，则它的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】根据直三棱柱的外接球，即为对应长方体的外接球，外接球的直径是长方体的对角线，由此求出外接球的表面积. 【详解】由题意，直三棱柱中，，，，画出长方体，如图所示： 则长方体的外接球即为三棱柱的外接球，所求的外接球的直径为体对角线，则外接球的表面积是， 故选：C 27．（23-24高一下·福建厦门·期中）如图，直三棱柱中，，，，点P在棱上，且，则当 时，的面积取最小值；此时三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 / 【知识点】基本不等式求和的最小值、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】设，先求得的关系式，然后利用基本不等式求得的面积取最小值，以及此时的值.根据三棱锥外接球表面积的求法求得三棱锥的外接球的表面积. 【详解】设，则，， 由于，所以，整理得， 所以 ， 当且仅当即时等号成立. 此时，所以，所以， 由于，所以是三棱锥的外接球的直径， 所以外接球的半径为，表面积为. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：求解三角形面积的最值问题，可以先将面积的表达式求出，然后根据表达式的结构，利用基本不等式、函数的最值等知识来求得面积的最值.求解几何体外接球有关问题，关键是判断出外接球的球心和半径. 28．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）圆柱的轴截面是边长为4cm的正方形，则该圆柱的表面积为 ． 【答案】 【知识点】圆柱轴截面的有关计算、圆柱表面积的有关计算 【分析】根据圆柱轴截面可求得圆柱的半径和高，即可求得圆柱表面积. 【详解】由圆柱的轴截面是边长为4cm的正方形可知， 该圆柱上底面直径为4cm，半径为2cm，高为4cm； 根据圆柱表面积公式可得. 故答案为：. 29．（23-24高一下·浙江·期中）已知圆台的上，下底面的半径长分别为2，3，母线长2，则其体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】根据题意，利用圆台的性质，求得圆台的高，结合圆台的体积公式，即可求解. 【详解】由题意知，圆台的上，下底面的半径长分别为2，3，母线长2， 设圆台的高为，可得， 所以圆台的体积为. 故选：B. 30．（23-24高一下·四川乐山·期中）已知三棱锥的顶点都在球的表面上，若球的表面积为，，，，则当三棱锥的体积最大时，（    ） A． B．30 C． D． 【答案】C 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】、、三点共线且平面和点位于点异侧时，三棱锥的体积最大，由勾股定理计算即可求出. 【详解】在中，根据正弦定理，可得， 又，所以．如图： 设为的外心，则为的中点，且， 由于球的表面积为，设球的半径为，则，解得或（舍去）， 所以球的半径，， 当、、三点共线且平面和点位于点的异侧时，， 三棱锥的体积最大，此时. 故选：C 点线面之间的位置关系题型04 31．（23-24高一下·黑龙江·期中）下列命题正确的是（    ） A．若直线上有无数个点不在平面内，则 B．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 C．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 D．若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断 【分析】根据空间中线面的位置关系对每个选项逐一判断. 【详解】A选项，当时，在直线上，除了之外，其余点有无数个都不在内，故A选项错误； B选项，若两条平行直线中的一条与一个平面平行，另一条有可能在平面内，就不与平面平行，B选项错误； C选项，若直线与平面平行，则与平面内的直线平行或异面，C选项错误； D选项，若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行，D选项正确. 故选：D 32．（多选）（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）正方体的棱长为a，M，N分别是正方形，的中心（如图所示）.则下列结论正确的是（    ） A． B．AB与共面 C．平面与该正方体所得的截面面积为． D．平面将正方体分成前后两部分的体积比为 【答案】BCD 【知识点】判断正方体的截面形状、锥体体积的有关计算、空间中的点（线）共面问题、异面直线的判定 【分析】作出平面判断AC；作出平面截正方体所得截面，推理、计算判断BD. 【详解】在正方体中，过作分别交于，连接，则， 对于A，平面，点平面，点， 又点平面， 因此是异面直线，A错误； 对于C，四边形是矩形，且是平面截该正方体所得的截面，而为正方形的中心， 则是的中点，，矩形的面积，C正确； 连接，矩形是正方体的对角面，则， 由为正方形的中心，得点为中点，因此， 点共面，则与共面，B正确； 对于D，，延长交于点，连接交于点， 延长交于，连接，令直线交于，连接， 则四边形是平面截正方体所得截面， 由分别为正方形，的中心，得， 连接， 多面体的体积， 而正方体的体积，因此平面将正方体分成前后两部分的体积比为，D正确. 故选：BCD 33．（23-24高一下·贵州·期中）若直线不平行于平面，且直线，则下列说法正确的是（    ） A．内存在与平行的直线 B．内所有直线都与异面 C．与有公共交点 D．内所有直线都与相交 【答案】C 【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析、线面关系有关命题的判断 【分析】利用线面的位置关系直接判断得解. 【详解】由直线不平行于平面，且直线，得直线与平面相交，则与有公共交点，C正确； 平面内不存在直线与平行，否则，与已知矛盾，因此内所有直线都与异面或相交，ABD错误. 故选：C 34．（多选）（23-24高一下·福建福州·期中）若直线不平行于平面，且，则下列结论错误的是（    ） A．内的所有直线与是异面直线 B．内不存在与平行的直线 C．内存在唯一一条直线与平行 D．内的所有直线与都相交 【答案】ACD 【知识点】异面直线的概念及辨析、线面关系有关命题的判断 【分析】依题意可知与平面相交，再判断直线与平面内的直线的位置关系即可. 【详解】因为直线不平行于平面，且，则与平面相交， 设交点为，则平面内所有过点的直线与直线相交，即共面， 平面内所有不过点的直线与直线异面，故A错误，D错误； 显然内不存在与平行的直线，故B正确，C错误. 故选：ACD 35．（23-24高一下·河南洛阳·期中）若直线在平面外，则（    ） A． B．与至多有一个公共点 C．与没有公共点 D．与至少有一个公共点 【答案】B 【知识点】线面关系有关命题的判断 【分析】根据直线与平面的位置关系即可判断. 【详解】直线在平面外，包含两种情况：一是；二是与相交，此时与有一个公共点. 综上，与至多有一个公共点. 故选：B 36．（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知直线是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，，则 D．，，三个平面最多可将空间分割成8个部分 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】对于A，与相交、平行或异面；对于B，或；对于C，由于直线未必相交，故无法判定与平行；对于D，，，三个平面两两垂直时，最多可将空间分割成8个部分． 【详解】直线是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面， 对于A，若，，则与相交、平行或异面，故A错误； 对于B，若，，则或，故B错误； 对于C，若，，且，，由于直线未必相交，所以与不一定平行，故C错误； 对于D，，，三个平面两两垂直时，最多可将空间分割成8个部分，故D正确 故选：D． 37．（多选）（23-24高一下·河北邯郸·期中）已知表示两条不同直线，a表示平面，则下列选项正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BD 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】根据空间中直线与平面以及平面与平面的位置关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，若，，则或者异面，或者相交，故A错误， 对于B，若，，则，故B正确， 对于C，若，，则或者，故C错误， 对于D，若，，则，D正确， 故选：BD 38．（多选）（23-24高一下·甘肃庆阳·期中）已知平面平面，则下列说法错误的是（    ） A．平面内所有的直线与直线异面 B．平面内存在一条直线与直线平行 C．平面内存在无数条直线与直线相交 D．有且只有一个过直线的平面与平面平行 【答案】ABD 【知识点】线面关系有关命题的判断 【分析】根据空间线面位置关系即可判断. 【详解】对A，当平面内的直线过点时，该直线与直线相交，故A错误； 对B，假设平面内存在一条直线与直线相互平行，则该直线与直线共面，即该直线与相交，显然不成立，故B错误； 对C，在平面内过的直线都与直线相交，故C正确 对D，平面，因此不存在过直线AB的平面与平面平行，故D错误． 故选：ABD． 39．（23-24高一下·北京·期中）如图，在正方体中，直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都不是 【答案】C 【知识点】异面直线的判定 【分析】由异面直线的判定定理判断即可. 【详解】因为平面，平面，， 所以直线与是异面直线. 故选：C 40．（多选）（23-24高一下·广东惠州·期中）若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则下列命题错误的是（   ） A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行 B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直 C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交 D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面 【答案】ACD 【知识点】公理的应用、异面直线的概念及辨析 【分析】选项A由反证法得出判断；选项B由异面直线的公垂线唯一得出判断；选项C，D可借用图形提供反例． 【详解】设过点的直线为，若与都平行，则平行，与异面矛盾，故A错误； 由于只有唯一的公垂线，而过点与公垂线平行的直线只有一条，故B正确； 对于选项C，D可参考下图的正方体， 设为直线，为直线，若点在点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故C错误； 若在点，则由图中可知直线及均与异面，故选项D错误. 故选：ACD. 空间直线、平面的平行题型05 41．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期中）如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法不正确的有（    ） A．动点轨迹的长度为 B．三棱锥体积的最小值为 C．与不可能垂直 D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 【答案】C 【知识点】锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明面面平行 【分析】对A由平面，联想到存在一个过的平面与平面平行，利用正方体特征找到平面平面，进而得到的轨迹为线段，对B，根据棱锥体积公式分析即可，对C举反例即可；对D，利用勾股定理求出外接球半径即可. 【详解】对A，如图，令中点为，中点为，连接， 又正方体中，为棱的中点，可得， 平面平面，又， 且平面，所以平面平面， 又平面，且平面，平面， 又为正方形内一个动点（包括边界），平面平面，而平面平面， ，即的轨迹为线段. 由棱长为2的正方体得线段的长度为，故选项A正确； 对B，由正方体侧棱底面，所以三棱锥体积为， 所以面积最小时，体积最小，如图， ，易得在处时最小， 此时，所以体积最小值为，故选项B正确； 对C，当为线段中点时，由可得， 又中点为，中点为， ，而，，故选项C不正确； 对D，如图，当在处时，三棱锥的体积最大时， 由已知得此时，所以在底面的射影为底面外心， ，，所以底面为直角三角形， 所以在底面的射影为中点，设为，如图，设外接球半径为， 由，可得外接球半径， 外接球的表面积为，故选项D正确. 故选：C. 42．（多选）（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在正方体中，，为正方形的中心，为棱的中点，点在线段上（不包含端点）运动，点在正方形内（包括边界）运动，且平面，下列说法正确的有（   ）    A．与一定异面 B．的最小值为 C．三棱锥体积的最小值为 D．与不可能垂直 【答案】BC 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、锥体体积的有关计算、异面直线的判定、面面平行证明线面平行 【分析】取为的中点，结合中位线的性质可判断A选项；将、延展为同一个平面，可知当、、三点共线时，取最小值，结合平面几何相关知识可判断B选项；取、的中点、，求出点的轨迹为线段，可得出面积的最小值，结合锥体的体积公式可判断C选项；取为的中点，利用等腰三角形的几何性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，连接、、，则为的中点，    当为的中点时，由于四边形为正方形，则也为的中点， 此时，，A错； 对于B选项，易知是边长为的等边三角形，是等腰直角三角形， 且， 将、延展为同一个平面，如下图所示：    当、、三点共线时，取最小值， 在和中，，，， 所以，，所以，， 因为，，则为的中点，且， 则，， 所以，的最小值为，B对； 对于C选项，分别取、的中点、，连接、、、，    因为，，、分别为、的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，所以，且， 又因为，，则且， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，，则四边形为平行四边形，所以，， 因为、分别为、的中点，所以，，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，、平面，故平面平面， 当点时，平面，则平面， 所以，点的轨迹为线段， 当点与点重合时，点到直线的距离取最小值， 此时，的面积取最小值，且最小值为， 则，即三棱锥体积的最小值为，C对； 对于D选项，因为，同理可得，即， 当点为线段的中点时，， 又因为，此时，，D错. 故选：BC. 【点睛】思路点睛：（1）计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状； （2）对于几何体内部折线段长的最值，可采用转化法，转化为两点间的距离，结合勾股定理求解. 43．（23-24高一下·广东广州·期中）在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、证明线面平行、线面平行的性质 【分析】根据给定条件，利用面面平行、线面平行的关系，逐项判断即可. 【详解】对于A，由，，，得或是异面直线，A错误； 对于B，由，，得或，B错误； 对于C，由，，得与相交或，C错误； 对于D，由，得存在过的平面与相交，令交线为，则， 而，，于是，又，，则，因此，D正确. 故选：D 44．（23-24高一下·广东深圳·期中）四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则 . 【答案】 【知识点】证明线面平行、补全线面平行的条件 【分析】连接BD，交AC于点O，连接OE，利用中位线性质和线面平行的判定证明平面ACE，结合平面ACE，则证明平面平面ACE，再利用利用面面平行的性质则有，即可得到答案. 【详解】连接BD，交AC于点O，连接OE，由是正方形，得， 在线段PE取点G，使得，如下图所示： 由，得， 连接BG，FG，则， 由平面，平面，得平面， 而平面，，平面， 因此平面平面，又平面平面， 平面平面，则， 所以. 故答案为：. 45．（多选）（23-24高一下·吉林·期中）如图，在棱长为4的正方体中，E，F分别是棱，的中点，P是正方形内的动点，则下列结论正确的是（    ） A．若平面，则点P的轨迹长度为 B．若平面，则三棱锥的体积为定值 C．若，则点P的轨迹长度为 D．若P是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是 【答案】ABD 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明面面平行、立体几何中的轨迹问题 【分析】根据面面平行的判定定理与性质，三棱锥的体积公式，三棱锥的外接球的求法，针对各个选项分别求解即可. 【详解】解：对A选项，如图， 分别取，的中点N，M， 则易得，，， ，， 平面，平面 从而易得平面平面， 又P是正方形内的动点，且平面， ∴P点的轨迹为线段，又，∴A选项正确； 对B选项，由A选项分析可知P点的轨迹为线段，， ∴三角形的面积为定值，又D到平面的距离也为定值， ∴三棱锥的体积为定值，∴B选项正确； 对C选项，如图，若，又，且平面， 则， ∴P点的轨迹是正方形内以为圆心，1为半径的四分之一圆弧， ∴P的轨迹长度为，∴C选项错误； 对D选项，如图， 若P是棱的中点，取的中点G，的中点H， 则，∴G到E，F，P的距离相等，又平面， ∴三棱锥的外接球的球心O在上， 设，则，又，， 设三棱锥的外接球的半径为R，则， ∴在与中，根据勾股定理可得： ，解得， ∴， ∴三棱锥的外接球的表面积是，∴D选项正确. 故选：ABD. 46．（多选）（23-24高一下·黑龙江·期中）下面四个命题中，正确的为（    ） A．相交于同一点的三条直线在同一平面内 B．在平面外，其三边延长线分别和交于，则一定共线 C．一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等 D．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 【答案】BD 【知识点】平面的基本性质及辨析、空间中的点（线）共面问题、等角定理的应用 【分析】举例说明判断A；利用平面基本事实判断B；利用等角定理判断C；利用反证法判断D. 【详解】对于A，三棱锥的三条侧棱所在直线交于同一点，而这三条直线不共面，故A错误； 对于B，所在平面与平面相交，由平面基本事实知，公共点都在交线上，故B正确； 对于C，一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线,则这两角相等或互补，故C错误； 对于D，因为四个点不共面，假设其中任意三点共线， 由平面公理2的推论可得此四点共面，与已知矛盾，所以假设错误，故D正确. 故选：BD. 47．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点．若平面，则的值为 ． 【答案】2 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】连接相交于，根据线面平行的性质、可得答案. 【详解】连接相交于点，连接， 因为平面，平面平面，平面， 所以，所以， 因为，所以， 所以，即， 可得. 故答案为：. 48．（23-24高一下·福建厦门·期中）如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面． (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； (3)直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD?若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在，为中点，证明见解析. 【知识点】证明线面平行、证明面面平行、线面平行的性质 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理证明即可. （2）利用线面平行的判定定理证明即可. （3）利用面面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）. 依题意，，平面，平面，则平面， 又平面平面，平面，所以. （2）取中点，连接，在中， 在中，，则，即四边形为平行四边形， 因此，平面，平面， 所以平面. （3）当为中点时，平面平面 证明如下： 取的中点为，连接， 在中，，平面，平面， 则平面，同理可证，平面， 又平面，， 所以平面平面. 49．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，点M、N、Q分别是、、的中点.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【知识点】证明面面平行、证明线面平行 【分析】根据题意结合三角形的中位线定理可得，，则由线面平行的判定定理可得平面，平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论. 【详解】因为底面为平行四边形，为的中点， 所以为的中点， 因为M、Q分别是、的中点.， 所以，， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 因为平面， 所以平面平面. 50．（23-24高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），E，F分别是PD，AC的中点. (1)证明：平面. (2)若平面平面，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面平行、线面平行的性质 【分析】（1）利用中位线定理及线面平行的判定定理即可证明； （2）由（1）得平面，由线面平行的性质定理即可证明. 【详解】（1）连接, 因为底面是正方形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以是的中位线， 所以， 因为平面，平面， 所以平面 （2）分别是的中点， ， 平面，平面， 平面， 若平面平面， 又平面， 所以. 空间直线、平面的垂直题型06 51．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，已知四棱台中，，，且，Q为线段中点，    (1)求证：平面； (2)若四棱锥的体积为 ①求证：平面； ②求与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)①证明见解析；②. 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、证明线面垂直、求线面角 【分析】（1）将四棱台补成四棱锥，取的中点，证四边形为平行四边形，再利用其性质及线面平行的判定推理得证. （2）①利用体积法求出点到平面的距离即可证得平面；②求出，再利用线面角的向量法求解. 【详解】（1）分别延长线段，，，交于点，将四棱台补成四棱锥， 由，得，则，取的中点，连接，， 则，且，四边形为平行四边形. 因此，又平面，平面， 所以平面.    （2）①由（1）得，， 又等腰梯形的高，其面积， 设到平面距离为，则，得， 而，平面，平面，则平面， 因此点D到平面的距离等于点C到平面的距离， 所以平面. ②在等腰梯形中，过作于，连接，，， 由①知，平面，则是与平面的夹角， ，则， 所以与平面夹角的正弦值. 52．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． (1)判断在梭上是否存在一点使平面，若存在，求；若不存在，说明理由； (2)当点分别是的中点时，求异面直线和的夹角的余弦值． 【答案】(1)存在， (2) 【知识点】余弦定理解三角形、求异面直线所成的角、证明线面垂直 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理以及性质定理，结合三角形相似即可得出结论； （2）易知，结合余弦定理即可求得异面直线和的夹角的余弦值． 【详解】（1）作于点，如下图所示： 因为底面为正方形，所以， 又因为平面，平面，所以， 且平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，平面， 所以此时满足平面； 又因为，因此， 因为，所以，所以； 可得 （2）由（1）可知两两垂直， 因为点分别是的中点，所以， 因此异面直线和的夹角即为和的夹角，即（或其补角）； 不妨取，则， 所以， 在中，由余弦定理可得 因此异面直线和的夹角的余弦值为. 53．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知圆锥底面半径，底面圆周上两点、满足，圆锥顶点到直线的距离为，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆锥表面积的有关计算、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据圆锥的几何特征计算出圆锥的高和母线长，结合圆锥的侧面积公式可求得结果. 【详解】设圆锥的顶点为，底面圆圆心为点，取线段的中点，连接、、、， 因为，，则，， 因为圆锥顶点到直线的距离为，所以， 因为圆锥底面半径，故，又， 所以为等腰直角三角形，为斜边， 因为为线段的中点， 故， 因为平面，平面，，， 在中，， 在中，， 所以，圆锥的底面圆半径为，母线长为， 因此，该圆锥的侧面积为. 故答案为：. 54．（23-24高一下·广西玉林·期中）如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，，点D是棱的中点，点O为与交点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、求点面距离、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据已知可得，再由线面平行的判定证结论； （2）根据已知是等腰直角三角形，应用线面垂直的判定和性质证，并求出相关线段长，应用等体积法有，求点面距离. 【详解】（1）由O是的交点，又为正方形，则O为的中点，又D是中点， 在中，又面面，故平面. （2）三棱柱中，，且， 易知是等腰直角三角形，点D是棱的中点， 所以， 四边形为正方形，，则， 又，而，且，则， 由在面内，则面，面， 所以，而，在面内， 则面，面，故，所以， 由，则，又， 若到平面的距离为d，则，可得. 55．（23-24高一下·上海嘉定·期中）在如图所示的圆柱中，AB是底面圆的直径，PA是圆柱的母线，且，设点C（与不重合）是底面圆周上的动点． (1)求证：平面； (2)当二面角P-BC-A的大小为时，求点C到平面PAB的距离； (3)记点D是线段PB的中点，点E在线段PA上，若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【知识点】证明线面垂直、求点面距离、线面垂直证明线线垂直、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定推理得证. （2）利用几何法，结合二面角大小求出，再利用等体积法求出距离. （3）延长至，使得，由勾股定理可得，把问题转化为求即可. 【详解】（1）由AB是圆柱底面圆的直径，是底面圆周上除外的点，得， 而平面，平面，则，又平面， 所以平面. （2）由（1）知，平面，平面，则，而， 于是为二面角的平面角，，在中，，， 设点到面的距离为，由，得， 即，则 所以点到面的距离. （3）延长至，使得，则 因此，当且仅当为与的交点时取等号， 取的中点，连接，由点D是线段PB的中点，得，则平面， 平面，于是，又，则， 所以的最小值为. 56．（多选）（23-24高一下·河南漯河·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则（    ） A． B．平面与平面的交线平行于平面 C．在棱上存在点，使得平面 D．到平面的距离为 【答案】ABD 【知识点】证明线面垂直、求点面距离、线面垂直证明线线垂直、线面平行的性质 【分析】对于A，根据线面垂直的判定与性质即可判断；对于B，根据线面平行的性质即可判断；对于C，利用反证法并结合线面垂直的性质即可判断，对于D，利用等体积法可求出点到平面距离. 【详解】对于A，如图所示，取中点，连接， 因为底面是菱形，，则为三角形，又因为侧面为正三角形， 则，则， 又平面，所以平面， 因为平面，所以，故A正确； 对于B，因为底面为菱形，所以，又平面平面， 所以平面.设平面与平面的交线为， 因为平面，平面，平面平面，所以. 又因为平面平面，所以平面，故B正确； 对于C，假设在棱上存在点，使得平面，因为平面，则， 因为，所以为的中点， 连接，因为平面，平面，则， 所以为锐角，与不垂直，因为， 则与不垂直，因为平面，这与平面矛盾， 所以不存在这样的点，使得平面，故C错误； 对于D，因为平面平面，，平面平面，平面， 所以平面，所以为三棱锥的高， 因为和为等边三角形，则，， 因为平面，平面，则，则， 所以， 设到平面的距离为， 则由得，解得，故D正确. 故选：ABD. 57．（23-24高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，E为侧棱PD上的点，且. (1)证明：； (2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【知识点】证明面面平行、面面平行证明线线平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）设交AC于点O，由题意可得PO⊥AC，，可证得平面，进而证得结论. （2）在线段PE取一点G，使得，由题意可得，可证得平面，进而可得平面平面，再证得，可得的值. 【详解】（1）设交于点O，连接，正方形中，则，， 又，则，又平面， 因此平面，而平面， 所以. （2）侧棱上存在一点F，满足条件， 证明如下：如图，正方形中，， 在线段取一点G，使得，由，得， 连接，则，而平面，平面， 则平面，由平面，，平面， 得平面平面，而平面平面，平面平面， 于是，， 所以＝. 58．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在正方体中，分别是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、证明面面平行、证明线面垂直、求点面距离 【分析】（1）连接，利用面面平行的判定定理即可证明得出结论； （2）利用线面垂直的判定定理可证明平面，求得点到平面的距离，再由等体积法可得三棱锥的体积． 【详解】（1）连接，如下图所示： 根据正方体性质可得，所以可得， 且，因此可得四边形为平行四边形，因此； 又平面,平面， 所以平面; 又因为，且，所以四边形为平行四边形， 因此，又平面,平面， 所以平面， 又，平面， 所以平面平面； （2）连接，如下图所示： 因为，平面，平面， 可得平面； 易知为正方形，所以； 由正方体性质可得平面，因为平面， 所以； 又，平面， 因此平面， 所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，为； 所以三棱锥的体积为 即三棱锥的体积为. 59．（23-24高一下·江苏·期中）已知正方体的棱长为3，点是线段上靠近点的三等分点，是中点，则下列命题正确的有 ． ①直线与所成角的正切值为    ②三棱柱外接球的半径为 ③平面截正方体所得截面为等腰梯形  ④点到平面的距离为 【答案】①②④ 【知识点】多面体与球体内切外接问题、求异面直线所成的角、求点面距离、线面垂直证明线线垂直 【分析】借助等角定理可得直线与所成角与直线与所成角相等，计算出可判断①；由三棱柱外接球与正方体外接球相同，故计算正方体体对角线的一半可判断②；借助平行线的性质可作出该截面，计算边长可判断③：借助等体积法计算可判断④. 【详解】对于①：由，故直线与所成角与直线与所成角相等， 连接，可得，又， 平面，平面，所以， 故，故①正确； 对于②：三棱柱外接球与正方体外接球相同， 故其外接球半径为，故②正确； 对于③：如图：取中点，连接，过点作， 交于点，则，所以平面截正方体所得截面为梯形， 由，所以， 所以，，所以， 所以梯形不是等腰梯形，故③错误； 对于④：如图：设点到平面的距离为，则， 而， ， 所以，故④正确. 故答案为：①②④. 60．（23-24高一下·辽宁沈阳·期中）如图，四棱锥是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥是正四面体，G为的中点，则下列结论错误的是（ ） A．点共面 B．平面平面 C． D．平面ACD 【答案】D 【知识点】证明面面平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】A.由题意转化为证明平面和平面，即可证明；B.根据面面平行的判断定理转化为证明平面和平面，即可证明；C.由A选项的证明可证明线线垂直；D.利用反证法，说明不成立. 【详解】选项A：如图，取中点，连接,,,， 因为是正四棱锥，是正四面体，为的中点， 所以，,， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 所以四点共面， 由题意知，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为，所以，所以四点共面，故A说法正确； 选项B：由选项A知，又平面，平面，所以平面， 因为，且平面，平面，所以平面， 又平面，平面，且，所以平面平面，故B说法正确； C选项：由选项A可得平面，又平面，所以，故C说法正确； D选项：假设平面，因为平面，则， 由选项A知四边形是平行四边形，所以四边形是菱形， 与，矛盾，故D说法错误. 故选：D 求异面直线所成角 1．（23-24高一下·陕西安康·期中）在正方体中，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】取的中点，直线与直线所成的角为，在中求其正切值即可. 【详解】如图，取的中点，连接，，则且 故直线与直线所成的角为. 因为面，面，所以，， 设，，则.    故选：A 2．（23-24高一下·山西朔州·期中）如图，在直三棱柱中，D为的中点，，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】取的中点E，连接，易得（或其补角）为异面直线与所成的角，进而求其大小即可. 【详解】如图，取的中点E，连接，则，则（或其补角）即为异面直线与所成的角. 由条件知：，则， 故选：C. 3．（23-24高一下·辽宁营口·期中）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可. 【详解】在正方体中，，所以异面直线与所成角为， 设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以， 则.故选C.    【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法： （1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角； （2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值. 4．（多选）（23-24高一下·河北邯郸·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，M，N分别为，的中点，其中不正确的结论是（    ）    A．直线MN与AC所成的角为 B．直线AM与BN是平行直线 C．二面角的平面角的正切值为 D．点C与平面MAB的距离为 【答案】BC 【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析、求异面直线所成的角、求点面距离、求二面角 【分析】利用线线平行结合异面直线的夹角即可求解A，由异面直线的性质即可求解B，根据二面角的定义可得其平面角，即可根据三角形的边角关系求解C，根据等体积法即可求解D. 【详解】对于A，连接，，则直线与所成角为或其补角， 为等边三角形，，直线与所成角为，故A对；    对于B，取中点为，连接，由于，而相交，所以直线，异面，故B错误；    对于C，连接相交于，连接, 由于，所以, 所以为二面角的平面角， 在中，，故C错误，    对于D，，设到平面的距离为， 由得，故D正确， 故选：BC 5．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）在正方体中，为的中点，则直线与直线所成角的余弦值为 . 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】作辅助线，证明、，将问题转化为求的余弦值；再求出的三条边长，利用余弦定理即可得出答案. 【详解】设正方体边长为1， 取的中点，连接、， 因为点、分别为、的中点， 所以且， 所以且，四边形为平行四边形， 所以， 连接、，交点记为点，连接， 因为点、分别为、的中点， 所以 所以直线与直线所成的角，即直线与直线所成的角， 即为或其补角， 在中，， ， ， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故答案为：.    2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$