专题04 第7章 三角函数的图象与性质（4考点清单，知识导图+14个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期中考点大串讲（沪教版2020必修第二册）

清单04 第7章 三角函数的图象与性质 （4个考点梳理+14题型解读+提升训练） 清单01 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 对称轴方程 无 递增区间 递减区间 无 清单02 周期性 函数 周期 函数 周期 函数 () () () 周期 其它特殊函数，可通过画图直观判断周期 清单03 三角函数奇偶性 三角函数 取何值为奇函数 取何值为偶函数 () () () () () (1)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (2)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (3)函数是奇函数⇔()． 清单04 三角函数对称性 (1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (3)函数的图象的对称中心由)解得． 【考点题型一】五点法画正余弦函数的图象（） 【例1-1】（2024高一下·上海·专题练习）用“五点法”作出下列函数的简图. (1)，； (2)，. (3)在一个周期（）内的图像．   【例1-2】（2024高一上·全国·专题练习）用“五点法”作出下列函数，的简图： 【变式1-1】.（24-25高一上·上海·随堂练习）请用“五点法”作出下列函数在区间的图象： (1)； (2). 【考点题型二】含绝对值的正余弦函数图象（） 【例2】（23-24高一下·上海·课后作业）作出函数的大致图像. 【变式2-1】.（24-25高一上·上海·课堂例题）利用图象变换法作出，的简图，并说明该图象如何由正弦曲线的相关部分通过图象变换得到. 【变式2-2】.（23-24高一·上海·课堂例题）作出下列函数的大致图像： (1)，； (2)，． 【考点题型三】正余弦函数的单调性问题（） 【例3】（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的单调区间： (1)； (2)； (3). 【变式3-1】.（24-25高一上·上海·课后作业）函数在区间上严格减，实数的取值范围是 . 【变式3-2】.（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的最小正周期及单调区间． 【变式3-3】.（24-25高一上·上海·课后作业）若在区间上是严格增函数，求正实数a的最大值. 【考点题型四】正余弦函数的奇偶性问题（） 【例4-1】（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)． 【例4-2】（23-24高一下·上海静安·期末）已知函数，且，则（    ） A．11 B．14 C．17 D．20 【例4-3】（23-24高一下·上海嘉定·期中）函数（其中）为奇函数，则 ； 【变式4-1】.（23-24高一下·上海·期中）函数是（    ）. A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【变式4-2】.（23-24高一下·上海·阶段练习）函数的奇偶性是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【变式4-3】.（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，则 . 【变式4-4】.（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列函数的奇偶性. (1)； (2)； (3). 【考点题型五】正余弦函数的周期性问题（） 【例5】（24-25高一上·上海·课后作业）下列函数：①；②；③；④；⑤，其中最小正周期为的有 .（填序号） 【变式5-1】.（2024高一下·上海·专题练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．的图象关于直线对称 B．的周期为 C．是的一个对称中心 D．在区间上单调递增 【变式5-2】.（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的周期为，若，则正整数 . 【变式5-3】.（24-25高三上·上海·阶段练习）函数的最小正周期为 . 【变式5-4】.（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最小正周期： (1) (2)； 【考点题型六】正余弦函数的对称性问题（） 【例6】（22-23高一下·上海徐汇·期末）函数的一条对称轴是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】.（24-25高三上·上海·期中）已知函数为偶函数，则的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】.（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数（其中）的最小正周期为，求k的值. 【考点题型七】正余弦函数的值域问题（） 【例7】（23-24高一下·上海·阶段练习）函数的值域为 ． 【变式7-1】.（24-25高一下·上海·阶段练习）函数，则的最小值为 ． 【变式7-2】.（23-24高二上·上海·阶段练习）已知． (1)求函数的最小正周期T； (2)求函数的单调增区间； (3)当时，求函数的值域． 【变式7-3】.（24-25高三上·上海黄浦·阶段练习）已知函数 (1)求函数的最小正周期和单调减区间； (2)若，求的值域. 【变式7-4】.（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）已知. (1)若，求在上的值域； (2)若，求的最大值. 【考点题型八】正切函数的定义（） 【例8】（2024高三·全国·专题练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】.（23-24高一下·上海·课后作业）函数的定义域是 . 【考点题型九】正切函数的单调性（） 【例9】（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的定义域和单调区间． 【变式9-1】.（24-25高三上·上海·开学考试）函数的单调减区间是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【变式9-2】.（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数在上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考点题型十】正切函数的奇偶性（） 【例10】（23-24高一下·上海浦东新·期末）对于函数，其中，已知，则 . 【变式10-1】.（23-24高一下·上海·期中）函数是（    ）. A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【变式10-2】.（23-24高一下·上海·课后作业）函数的奇偶性是 ． 【变式10-3】.（22-23高一下·上海虹口·期中）对于函数，其中．若，则 ． 【考点题型十一】正切函数周期性（） 【例11】（24-25高一·上海·随堂练习）函数的最小正周期为 ． 【变式11-1】.（24-25高三上·上海·开学考试）函数的最小正周期为 ． 【变式11-2】.（23-24高一下·上海宝山·期末）函数的最小正周期为 ． 【考点题型十二】正切函数对称性（） 【例12】（23-24高一下·上海·课后作业）下列坐标所表示的点不是函数的图像的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】.（23-24高一下·上海黄浦）函数的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】.（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）“函数的图象关于对称”是“，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点题型十三】正切函数的值域（） 【例13】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的最小值为 . 【变式13-1】.（2024高一·全国·专题练习）已知，求函数的最小值． 【变式13-2】.（23-24高一·上海·课堂例题）求函数，的最大值与最小值． 提升训练 一、填空题 1．（24-25高一上·上海·课后作业）函数，的图象与直线的交点的坐标为 . 2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数，的值域是 . 3．（24-25高一下·上海·阶段练习）函数，则的最小值为 ． 4．（24-25高三上·上海·阶段练习）函数的最小正周期为 . 5．（24-25高一·上海·随堂练习）函数的最小正周期为 ． 6．（23-24高一下·上海·期中）若函数在上为严格增函数，则实数的取值范围是 . 7．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数的最小正周期为，则方程在上的解集为 . 8．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数，其中，、、，且，则 ． 9．（23-24高一下·上海杨浦·期中）函数  是奇函数，则 ； 10．（23-24高三上·上海虹口·开学考试）已知函数，，若对任意，都存在，使得等式，则实数的取值范围是 ． 11．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）已知，则函数的值域是 . 12．（23-24高三下·上海闵行·阶段练习）已知函数，其中在上是严格增函数，则的最大值为 ． 二、单选题 13．（24-25高三上·上海浦东新·阶段练习）设函数，若对于任意，在区间上总存在确定的，使得，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）已知函数，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 三、解答题 15．（23-24高三下·上海·阶段练习）对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“函数”． (1)试判断，是否为“函数”，简要说明理由； (2)若是定义在区间上的“函数”求实数的取值范围； 16．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数. (1)将化成的形式，并写出的最小正周期及对称轴方程； (2)若在上的值域为，求的取值范围. 17．（23-24高二下·上海·期末）已知函数，其中是常数. (1)若，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若，且函数在严格单调减，求实数的最大值； (3)若，且不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 18．（23-24高一下·上海徐汇·期中）设为常数，函数（）． (1)设，求函数的单调区间及周期； (2)若函数为偶函数，求此函数的值域． . 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 第7章 三角函数的图象与性质 （4个考点梳理+14题型解读+提升训练） 清单01 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 对称轴方程 无 递增区间 递减区间 无 清单02 周期性 函数 周期 函数 周期 函数 () () () 周期 其它特殊函数，可通过画图直观判断周期 清单03 三角函数奇偶性 三角函数 取何值为奇函数 取何值为偶函数 () () () () () (1)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (2)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (3)函数是奇函数⇔()． 清单04 三角函数对称性 (1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (3)函数的图象的对称中心由)解得． 【考点题型一】五点法画正余弦函数的图象（） 【例1-1】（2024高一下·上海·专题练习）用“五点法”作出下列函数的简图. (1)，； (2)，. (3)在一个周期（）内的图像． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【知识点】五点法画正弦函数的图象 【分析】根据五点画图法的原则：描点、连线、绘图，找到函数中对应的五个点，操作画图即可. 【详解】（1）解：由，列表： 描点、连线、绘图，可得函数的图象，如图所示.    （2）解：由，可得，列表如下： 1 －1 描点、连线，可得函数的图象，如图所述，    （3）解：列表: 0 0 1 0 -1 0 描点、连线，可得函数的图象，如图所示：      【例1-2】（2024高一上·全国·专题练习）用“五点法”作出下列函数，的简图： 【答案】作图见解析 【知识点】五点法画正弦函数的图象、y=Asinx+B的图象 【分析】根据题意，结合三角函数的五点作图法，列表、描点、连线，即可求解. 【详解】解：列表 0 0 1 0 0 0 描点，连线，如图所示： 【变式1-1】.（24-25高一上·上海·随堂练习）请用“五点法”作出下列函数在区间的图象： (1)； (2). 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析. 【知识点】五点法画正弦函数的图象、五点法画余弦函数的图象 【分析】（1）（2）先用列表，然后五点法画出函数的图，然后再利用偶函数的对称性，画出的完整的图即可. 【详解】（1）列表如下： 0 1 0 -1 0 1 0 -1 -2 -1 0 描点连线，画出函数的图，如下图所示： 因为是偶函数，利用函数的奇偶性画出的完整的图，如下图所示： （2）列表如下： 0 0 1 0 -1 0 0 1 0 -1 0 描点连线，画出函数的图，如下图所示： 因为是偶函数，利用函数的奇偶性画出的完整的图，如下图所示： 【考点题型二】含绝对值的正余弦函数图象（） 【例2】（23-24高一下·上海·课后作业）作出函数的大致图像. 【答案】图象见解析 【知识点】画出具体函数图象、含绝对值的正弦函数的图象、奇偶函数对称性的应用 【分析】列表，描点，画出图像，再结合函数的奇偶性，画出完整图像. 【详解】解：列表 x 0 0 1 0 -1 0 作图：先作出的图像，又原函数是偶函数,图像关于y轴对称，即可作出的图像. 【变式2-1】.（24-25高一上·上海·课堂例题）利用图象变换法作出，的简图，并说明该图象如何由正弦曲线的相关部分通过图象变换得到. 【答案】答案见解析 【知识点】含绝对值的正弦函数的图象 【分析】先作出，的图象，然后将x轴下方的部分翻转到x轴上方去可得答案. 【详解】解：作，的图象，并将x轴下方的部分翻转到x轴上方（原x轴上方的部分不变）， 得，的图象，如图所示. 【变式2-2】.（23-24高一·上海·课堂例题）作出下列函数的大致图像： (1)，； (2)，． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】五点法画余弦函数的图象、含绝对值的余弦函数的图象 【分析】（1）根据五点作图法列表、描点、连线，作出函数简图. （2）根据翻折变换画出函数简图. 【详解】（1） 列表如下 作出图象，如图所示. （2）函数的图象如下图所示： 函数的图象可由函数在x轴下方的图象沿轴翻折得到： 【考点题型三】正余弦函数的单调性问题（） 【例3】（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的单调区间： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【知识点】求sinx的函数的单调性、求sinx型三角函数的单调性 【分析】利用三角函数的性质，结合整体代入法即可得解. 【详解】（1）函数的递增区间为，， 递减区间为，， 则函数的递增区间为，， 递减区间为，， （2）因为求的单调增区间即求的单调减区间， 因为求的单调减区间即求的单调增区间， 所以的单调递增区间为，； 单调递减区间为，. （3）令，，得，， 即，， 所以的单调递减区间为，； 令，，得，， 即，， 所以的单调递增区间为，. 【变式3-1】.（24-25高一上·上海·课后作业）函数在区间上严格减，实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用余弦函数的单调性求参数 【分析】分与讨论，求出的范围，结合余弦函数的单调性即可求解. 【详解】当时，因为，所以. 因为函数在区间上严格减， 所以，解得； 当时，因为，所以， 故不可能满足函数在区间上严格减. 综上所述，，即实数的取值范围是. 故答案为:. 【变式3-2】.（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的最小正周期及单调区间． 【答案】答案见详解 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】根据周期公式求最小正周期，以为整体，结合余弦函数单调性运算求解. 【详解】由题意可知：的最小正周期； 令，解得， 令，解得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【变式3-3】.（24-25高一上·上海·课后作业）若在区间上是严格增函数，求正实数a的最大值. 【答案】 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】根据三角函数单调递增，解不等式，，即可求解. 【详解】由题，，解得，. 又在区间上是严格增函数，且a为正实数， ∴故正实数a的最大值为. 【考点题型四】正余弦函数的奇偶性问题（） 【例4-1】（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求含cosx的函数的奇偶性 【分析】（1）（2）（3）先确定定义域，再由定义判断即可. 【详解】（1）函数的定义域为，且， 即函数为奇函数. （2）由，解得， 即函数的定义域为，关于原点对称， 且， 即函数为奇函数. （3）由，解得， 即函数的定义域为，不关于原点对称， 即函数为非奇非偶函数. 【例4-2】（23-24高一下·上海静安·期末）已知函数，且，则（    ） A．11 B．14 C．17 D．20 【答案】B 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用、由正弦函数的奇偶性求函数值 【分析】根据可求的值. 【详解】因为，故， 而，故， 故选：B. 【例4-3】（23-24高一下·上海嘉定·期中）函数（其中）为奇函数，则 ； 【答案】/ 【知识点】由余弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】根据给定条件，利用正余弦函数的奇偶性，结合诱导公式求解作答. 【详解】函数是奇函数，则，而， 所以. 故答案为： 【变式4-1】.（23-24高一下·上海·期中）函数是（    ）. A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】C 【知识点】诱导公式五、六、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的奇偶性 【分析】利用诱导公式化简，再根据正弦函数的性质判断即可. 【详解】因为， 所以的最小正周期，且为奇函数. 故选：C 【变式4-2】.（23-24高一下·上海·阶段练习）函数的奇偶性是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】B 【知识点】求余弦（型）函数的奇偶性、诱导公式五、六 【分析】利用三角函数诱导公式化简所求函数，再利用余弦函数的奇偶性即可得解. 【详解】因为，显然是偶函数. 故选：B. 【变式4-3】.（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，则 . 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的性质，即可求解. 【详解】由奇函数的性质，可知得.经检验满足题意 故答案为： 【变式4-4】.（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列函数的奇偶性. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)非奇非偶函数 (2)奇函数 (3)奇函数 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求含sinx的函数的奇偶性、求对数型复合函数的定义域 【分析】（1）利用特殊值验证可得答案； （2）（3）求出函数定义域，根据奇偶性定义判断可得答案； 【详解】（1）函数的定义域关于原点对称， 又∵， ， ∴， ∴为非奇非偶函数； （2）由，解得， 得函数定义域为，关于原点对称. 又 ， ∴是奇函数； （3）∵，∴， ∴且，， ∴函数的定义域关于原点对称， 又∵， ∴是奇函数. 【考点题型五】正余弦函数的周期性问题（） 【例5】（24-25高一上·上海·课后作业）下列函数：①；②；③；④；⑤，其中最小正周期为的有 .（填序号） 【答案】② 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】化简各函数解析式，结合三角函数性质可得最小正周期. 【详解】①，最小正周期为，错误； ②，最小正周期为，正确； ③，最小正周期为，错误； ④，最小正周期为，错误； ⑤，无周期性，错误； 故答案为：②. 【变式5-1】.（2024高一下·上海·专题练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．的图象关于直线对称 B．的周期为 C．是的一个对称中心 D．在区间上单调递增 【答案】B 【知识点】二倍角的正弦公式、求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】利用二倍角公式化简可得，根据函数图象逐项进行判断即可得到答案． 【详解】由函数， 由此可作出的函数图象，如图所示， 对于A中，由， 所以关于直线不对称，所以A错误； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，由函数图象可知，不存在对称中心，所以C错误； 对于D中，因为，，， 所以函数在上不是单调递增函数，所以D错误. 故选：B. 【变式5-2】.（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的周期为，若，则正整数 . 【答案】3，4，5，6 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】利用三角函数的周期的求法，求出函数周期，再根据条件解不等式，得解. 【详解】根据题意得：， ，即， ，解得：，即， . 故答案为： 【变式5-3】.（24-25高三上·上海·阶段练习）函数的最小正周期为 . 【答案】 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】由余弦二倍角公式及两角和的余弦公式化简后计算周期即可得. 【详解】 ， 则其最小正周期. 故答案为：. 【变式5-4】.（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最小正周期： (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）根据正弦函数的最小正周期公式求解即可. （2）根据正弦函数的最小正周期公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以函数的最小正周期为； （2）因为，所以函数的最小正周期为. 【考点题型六】正余弦函数的对称性问题（） 【例6】（22-23高一下·上海徐汇·期末）函数的一条对称轴是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】令即可求解. 【详解】令，可得， 令，可得. 所以函数的一条对称轴是. 故选:B. 【变式6-1】.（24-25高三上·上海·期中）已知函数为偶函数，则的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】由已知可得，进而可得的解析式，从而可求对称中心. 【详解】因为为偶函数， 所以，又，所以， 所以， 由，解得， 所以的对称中心为. 故选：B. 【变式6-2】.（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数（其中）的最小正周期为，求k的值. 【答案】. 【知识点】二倍角的余弦公式、辅助角公式、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】利用二倍角公式结合辅助角公式化简原函数，再利用最小正周期的定义求解即可. 【详解】， ， . 因为，所以. 【考点题型七】正余弦函数的值域问题（） 【例7】（23-24高一下·上海·阶段练习）函数的值域为 ． 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】利用换元法，结合正弦函数的值域与二次函数的性质即可得解. 【详解】令，则， 易知开口向上，对称轴为， 当时，， 当时，， 所以的值域为. 故答案为：. 【变式7-1】.（24-25高一下·上海·阶段练习）函数，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】求含cosx的二次式的最值 【分析】把作为一个整体，结合二次函数性质求最小值． 【详解】， 因为， 所以时，， 故答案为：． 【变式7-2】.（23-24高二上·上海·阶段练习）已知． (1)求函数的最小正周期T； (2)求函数的单调增区间； (3)当时，求函数的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）先利用辅助角公式化一，再根据正弦函数的周期性即可得解； （2）根据正弦函数的单调性即可得解； （3）根据正弦函数的值域即可得解. 【详解】（1）， 则； （2）令，，得， 所以函数的单调增区间为； （3）由，得， 所以， 所以函数的值域为． 【变式7-3】.（24-25高三上·上海黄浦·阶段练习）已知函数 (1)求函数的最小正周期和单调减区间； (2)若，求的值域. 【答案】(1)最小正周期； (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、求正弦（型）函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用和角公式、二倍角公式和辅助角公式将函数解析式化成正弦型函数，求得最小正周期，借助于正弦函数的单调区间即可求出其单调减区间； （2）由给定范围求得整体角的范围，结合正弦函数的图象，即可求得函数的值域. 【详解】（1） ， 故函数的最小正周期 由，可得. 故函数的单调减区间为：； （2）因，由，可得， 由正弦函数的图象，可得， 故的值域为. 【变式7-4】.（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）已知. (1)若，求在上的值域； (2)若，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】利用同角三角函数的平方式整理函数解析式，再利用换元法化简函数解析式，结合正弦函数与二次函数的性质，可得答案. 【详解】（1）由题意可知， 令,当时， 由在上单调递增，在上单调递减，则， 令， 由在上单调递增，在上单调递减， 则，， 所以. （2）由(1)可知：， 令，则， 令， 由在上单调递增，在上单调递减， 则. 【考点题型八】正切函数的定义（） 【例8】（2024高三·全国·专题练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正切函数的定义 【分析】由正切函数的定义域，令，，解不等式，即可求出结果. 【详解】由正切函数的定义域，令，，即，所以函数的定义域为. 故选:D． 【变式8-1】.（23-24高一下·上海·课后作业）函数的定义域是 . 【答案】 【知识点】正切函数的定义 【分析】首先根据正切函数的定义得到，，再解不等式即可. 【详解】因为，所以，， 解得，因为，所以 故答案为： 【考点题型九】正切函数的单调性（） 【例9】（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的定义域和单调区间． 【答案】定义域为，增区间为，没有减区间 【知识点】求正切型三角函数的单调性、求正切（型）函数的定义域 【分析】根据正切型三角函数定义域、单调区间的求法求得正确答案. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为， 由解得， 所以函数的单调递增区间为，没有减区间. 【变式9-1】.（24-25高三上·上海·开学考试）函数的单调减区间是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【知识点】求正切型三角函数的单调性 【分析】由正切函数的诱导公式变形后结合单调性即可求出； 【详解】， 令，， 解得， 所以函数的单调减区间是（）， 故选：D. 【变式9-2】.（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数在上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用正切函数的单调性求参数 【分析】根据题意得到，，即可得到答案. 【详解】因为函数在上是减函数， 所以，，， . 故选：B. 【考点题型十】正切函数的奇偶性（） 【例10】（23-24高一下·上海浦东新·期末）对于函数，其中，已知，则 . 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、诱导公式二、三、四、由正弦函数的奇偶性求函数值、由正切函数的奇偶性求函数值 【分析】根据诱导公式计算的值并观察与的关系即可求得结果. 【详解】 而 所以，故 故答案为：. 【变式10-1】.（23-24高一下·上海·期中）函数是（    ）. A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】C 【知识点】求正切（型）函数的奇偶性、求正切（型）函数的周期 【分析】根据正切函数的性质判断即可. 【详解】函数为最小正周期为的奇函数. 故选：C 【变式10-2】.（23-24高一下·上海·课后作业）函数的奇偶性是 ． 【答案】奇函数 【知识点】求含tanx的函数的奇偶性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】解正切不等式，求得函数定义域；再结合奇偶性的定义，即可判断. 【详解】由，得或， ∴函数定义域为∪，关于原点对称． 又， ∴，∴是奇函数． 故答案为：奇函数. 【变式10-3】.（22-23高一下·上海虹口·期中）对于函数，其中．若，则 ． 【答案】 【知识点】由正切函数的周期求值、三角函数的化简、求值——诱导公式、由正切函数的奇偶性求函数值 【分析】代入计算得到，再计算，得到答案. 【详解】，故， . 故答案为： 【考点题型十一】正切函数周期性（） 【例11】（24-25高一·上海·随堂练习）函数的最小正周期为 ． 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的周期 【分析】利用函数的最小正周期计算公式即可求解. 【详解】函数的最小正周期为： 故答案为：. 【变式11-1】.（24-25高三上·上海·开学考试）函数的最小正周期为 ． 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的周期 【分析】利用求出最小正周期. 【详解】的最小正周期为. 故答案为： 【变式11-2】.（23-24高一下·上海宝山·期末）函数的最小正周期为 ． 【答案】/ 【知识点】求正切（型）函数的周期 【分析】由正切型函数周期性定义计算即可得. 【详解】由正切型函数性质可知. 故答案为：. 【考点题型十二】正切函数对称性（） 【例12】（23-24高一下·上海·课后作业）下列坐标所表示的点不是函数的图像的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求正切（型）函数的对称中心 【分析】令可求得函数对称中心，再逐一判断即可. 【详解】令，解得， 所以的对称中心为， 当时，可得对称中心，当时，可得对称中心，当时，可得对称中心为，令，解得不是整数，不符合，故不是函数对称中心. 故选：D. 【变式12-1】.（23-24高一下·上海黄浦）函数的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求正切（型）函数的对称中心 【分析】求解出对称中心为，对赋值则可判断. 【详解】令， 解得， 所以函数图象的对称中心是， 令,得函数图像的一个对称中心是， 故选：C. 【变式12-2】.（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）“函数的图象关于对称”是“，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】正切函数对称性的应用、必要条件的判定及性质 【分析】利用正切函数的性质结合集合间的基本关系判定充分、必要条件即可. 【详解】当函数的图象关于对称时， 有，，得，， 易知， 所以“函数的图象关于对称”是“，”的必要不充分条件． 故选：B． 【考点题型十三】正切函数的值域（） 【例13】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的最小值为 . 【答案】2 【知识点】求二次函数的值域或最值、求正切（型）函数的值域及最值 【分析】配方，结合即可求解. 【详解】因为，由于，所以当时，函数取最小值2. 故答案为：2 【变式13-1】.（2024高一·全国·专题练习）已知，求函数的最小值． 【答案】4 【知识点】正、余弦齐次式的计算、求含tanx的二次式的最值 【分析】利用正余弦齐次式法变形函数，再换元并借助二次函数求出最小值. 【详解】当时，，设，则， 则，当且仅当时等号成立． 所以的最小值为4. 【变式13-2】.（23-24高一·上海·课堂例题）求函数，的最大值与最小值． 【答案】最大值为，最小值为 【知识点】求含tanx的二次式的最值 【分析】利用换元法，结合正切函数、二次函数等知识求得正确答案. 【详解】依题意，函数，， 设， 则， 所以当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为. 提升训练 一、填空题 1．（24-25高一上·上海·课后作业）函数，的图象与直线的交点的坐标为 . 【答案】 【知识点】已知三角函数值求角、诱导公式二、三、四、正弦函数图象的应用 【分析】由题可得，然后根据条件可得，进而即得. 【详解】函数， 由，即 ，解得， 当时，得， 则函数，的图象与直线的交点的坐标为. 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数，的值域是 . 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】根据的范围求出的范围可得答案. 【详解】因为，所以， 所以. 可得的值域为. 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海·阶段练习）函数，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】求含cosx的二次式的最值 【分析】把作为一个整体，结合二次函数性质求最小值． 【详解】， 因为， 所以时，， 故答案为：． 4．（24-25高三上·上海·阶段练习）函数的最小正周期为 . 【答案】 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】由余弦二倍角公式及两角和的余弦公式化简后计算周期即可得. 【详解】 ， 则其最小正周期. 故答案为：. 5．（24-25高一·上海·随堂练习）函数的最小正周期为 ． 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的周期 【分析】利用函数的最小正周期计算公式即可求解. 【详解】函数的最小正周期为： 故答案为：. 6．（23-24高一下·上海·期中）若函数在上为严格增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用正切函数的单调性求参数、求正切型三角函数的单调性 【分析】根据正切型函数的单调性可得，即可求解. 【详解】在上为严格增函数，则， 由于，则,故， 因此，解得， 故答案为： 7．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数的最小正周期为，则方程在上的解集为 . 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、由余弦（型）函数的周期性求值、求正切（型）函数的周期 【分析】由题意得，求出的值后，得题述方程等价于，从而或，由此解三角函数方程即可得解. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得， 从而方程即，即，所以或， 而在上的解集为，在上的解集为， 从而方程在上的解集为. 故答案为： . 8．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数，其中，、、，且，则 ． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由正切函数的奇偶性求函数值 【分析】构造奇函数，利用奇函数的定义求解函数值. 【详解】设，则， 的定义域为， ，所以为奇函数， 所以，，所以， 所以， 故答案为: . 9．（23-24高一下·上海杨浦·期中）函数  是奇函数，则 ； 【答案】/ 【知识点】求余弦（型）函数的奇偶性、逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】由两角和的余弦公式化简函数后，根据奇偶性得出的表达式，从而得出结论． 【详解】，它是奇函数， 则，，， 又，所以． 故答案为：． 10．（23-24高三上·上海虹口·开学考试）已知函数，，若对任意，都存在，使得等式，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】分析可知函数在上的值域是函数在上值域的子集，分、、三种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】由题意可知，函数在上的值域是函数在上值域的子集. 当时，，当时，. （i）若，则， 由题意可得，解得，此时； （ii）当时，，不合乎题意； （iii）当时，， 由题意可得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 11．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）已知，则函数的值域是 . 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】由诱导公式以及辅助角公式化简，即可利用三角函数的性质求解最值. 【详解】 故答案为： 12．（23-24高三下·上海闵行·阶段练习）已知函数，其中在上是严格增函数，则的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求sinx型三角函数的单调性 【分析】由整体代入法得函数的单调递增区间，对比即可得解. 【详解】由于函数满足的单调递增区间为，， 解得，； 故函数的单调递增区间为，； 故，； 故，，即的最大值为． 故答案为：. 二、单选题 13．（24-25高三上·上海浦东新·阶段练习）设函数，若对于任意，在区间上总存在确定的，使得，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数不等式能成立（有解）问题、函数不等式恒成立问题、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】由三角函数图象的单调性得,,根据，可得即可根据求解. 【详解】因为， 若，则， 所以,，即,， 由在区间上总存在确定的，使得， 则在区间上总存在确定的，使得， 当时，, 故，故 故的最大值为：， 故选：C． 14．（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）已知函数，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、求cosx型三角函数的单调性 【分析】利用余弦函数的性质求解即可. 【详解】，可化为， 故单调增区间满足：，， 解得，. 令，，令，， ， 所以的单调递增区间是，. 故选：D 三、解答题 15．（23-24高三下·上海·阶段练习）对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“函数”． (1)试判断，是否为“函数”，简要说明理由； (2)若是定义在区间上的“函数”求实数的取值范围； 【答案】(1)是；理由见解析 (2) 【知识点】函数与方程的综合应用、由正切（型）函数的值域（最值）求参数、函数新定义、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据定义结合即可判断； （2）将原问题等价转换为在有解，且在上恒成立，分离参数即可求解. 【详解】（1）根据题意，，可得，故是“函数”； （2）因为为“函数”，所以存在，使， 即， 整理得在有解． 因为，所以，可得， 结合在上恒成立，可得， 综上所述，，即实数的取值范围是. 16．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数. (1)将化成的形式，并写出的最小正周期及对称轴方程； (2)若在上的值域为，求的取值范围. 【答案】(1)对称轴为直线 (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求余弦（型）函数的最小正周期、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）根据题意，由恒等变换公式代入计算，化简，再由余弦型函数的性质，即可得到结果； （2）根据题意，分在上单调以及在上不单调讨论，然后结合条件列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1） ，由题意得的最小正周期. 由图像可知，对称轴为直线. （2）若在上单调，则， 得， 则 由，得，则， 所以. 若在上不单调， 则在上的图像上必定有一个最高点或最低点， 且在上的图像无论经过任何一个最高点或任何一个最低点， 的取值范围均相同. 假设在上的图像的最高点为，则， 当，即时，，此时取得最小值， 且最小值是.易得，则，所以. 综上，的取值范围为. 17．（23-24高二下·上海·期末）已知函数，其中是常数. (1)若，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若，且函数在严格单调减，求实数的最大值； (3)若，且不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)非奇非偶，理由见解析 (2)2 (3) 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性求参数值 【分析】（1）当时，根据奇偶函数的定义和、即可判断的奇偶性； （2）根据单调函数的定义可得，即，解之即可求解； （3）由题意可得，由（1）（2），结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】（1）当时，，则， 所以是奇函数； 当且时，，， 且，此时是非奇非偶函数. （2）任取，有， 因此恒成立，即， 因为，，只需，即， 因此的最大值为； （3），因此，则， 由（1）（2）知是奇函数，且在、上单调递减，在上单调递增， 所以此时的值域为，所以， 又因为， 所以不等式， 由于最小值为， 所以，解得. 18．（23-24高一下·上海徐汇·期中）设为常数，函数（）． (1)设，求函数的单调区间及周期； (2)若函数为偶函数，求此函数的值域． 【答案】(1)增区间，减区间为； (2) 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、求正弦（型）函数的最小正周期、求cosx(型)函数的值域、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据三角函数诱导公式以及辅助角公式可化简得，结合正弦函数性质即可求得答案； （2）根据函数的奇偶性求得a的值，结合余弦函数性质可求得答案. 【详解】（1）因为，所以， 令，解得， 即函数的单调增区间为； 令，解得， 函数的单调减区间为 函数的周期为. （2）函数为偶函数，则， 即， 即，即， 由于，则， 故， 由于，故. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$