专题01 第6章 正弦 余弦 正切 余切（6考点清单，知识导图+11个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期中考点大串讲（沪教版2020必修第二册）

清单01 第6章 正弦 余弦 正切 余切 （6个考点梳理+11题型解读+提升训练） 清单01 象限角 第一象限角 第二象限角 第三象限角 或 第四象限角 或 清单02 轴线角 ① 终边落在轴非负半轴 ② 终边落在轴非负半轴 ③ 终边落在轴非正半轴 或 ④ 终边落在轴非正半轴 或 ⑤ 终边落在轴 ⑥ 终边落在轴 或 ⑦ 终边落在坐标轴 清单03 终边相同的角 所有与角终边相同的角为 清单04 扇形的弧长和面积 弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 清单05 三角函数定义 三角比值 定义 定义域 正弦 sinα＝ R 余弦 cosα＝ R 正切 tanα＝ 余切 cot= 清单06 同角三角函数基本关系 1、平方关系： sin2α＋cos2α＝1. 2、商数关系： tan α＝； 3、倒数关系：tan αcot α=1 sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；sinα＝cosα·tanα；cosα＝. sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin2α＝＝；cos2α＝＝. 【考点题型一】区间角的表示（） 【例1】（24-25高一下·江西赣州·开学考试）（1）已知角，将改写成的形式，并指出是第几象限角； （2）用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.    【答案】（1），第二象限角；（2）， 【知识点】找出终边相同的角、根据图形写出角（范围） 【分析】（1）整理可得，进而判断角所在象限； （2）根据题意，利用终边在直线上的角的表示方法，求出角的集合. 【详解】（1）因为， 所以角与的终边相同，且，所以角是第二象限角； （2）图①：因为， 所以阴影部分内(不包括边界)的角的集合； 图②：因为， 所以阴影部分内(不包括边界)的角的集合. 【变式1-1】.（24-25高一上·浙江·阶段练习）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】先写出在间阴影部分区域表示的角的范围，再写出终边落在阴影部分的区域内的任意角的集合. 【详解】在间阴影部分区域中两条边界所在的终边表示的角分别为和， 所以阴影部分的区域在间的范围是， 所以终边在阴影部分区域的角的集合为. 故选：C. 【变式1-2】.（23-24高一上·天津·阶段练习）若角的终边落在如图所示的阴影部分内，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据图形写出角（范围）、任意角的概念 【分析】根据给定图形，求出在内阴影部分的边界射线对应的角，进而确定阴影部分对应任意角的范围，即得结果. 【详解】依题意，在内阴影部分的边界射线对应的角分别为， 在内阴影部分对应角的范围是， 所以角的取值范围是. 故选：D 【变式1-3】.（24-25高一上·天津津南·期中）如图，终边落在阴影部分（含边界） 的角的集合是    【答案】 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】根据图形分别表示终边为，的角的集合即可得到结果. 【详解】由图可知，终边为的角的集合为，终边为的角的集合为， 故终边落在阴影部分（含边界） 的角的集合是. 故答案为：. 【变式1-4】.（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合． 【答案】 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】根据图中阴影直接写出再合并即可. 【详解】设终边落在阴影部分的角为，角的集合由两部分组成． ①． ②． 角的集合应当是集合①与②的并集： ． 【考点题型二】终边相同的角的集合（） 【例2】（24-25高一·上海·随堂练习）下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】找出终边相同的角 【分析】依题意可得与终边相同，再由终边相同角表示方法判断即可. 【详解】∵，∴与终边相同， 所以与的终边相同的角可以表示为或或， 又角度制与弧度制不可同时混用，符合题意的只有C． 故选：C. 【变式2-1】.（24-25高一上·上海·期末）在平面直角坐标系中，两个角与的终边重合，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】任意角的概念、找出终边相同的角 【分析】根据已知有，即可判断可能值. 【详解】由题设，可得， 所以各选项中只有满足. 故选：B 【变式2-2】.（24-25高一上·上海普陀·期末）已知，则是第 象限角 【答案】三 【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限 【分析】找到与终边相同的最小正角，即可判断所在象限. 【详解】由，故是第三象限角. 故答案为：三 【变式2-3】.（23-24高一下·上海·阶段练习）写出与终边相同的角的集合是 . 【答案】； 【知识点】找出终边相同的角 【分析】根据终边相同角的表示方法即可得解． 【详解】终边相同角相差的整数倍， 因此与终边相同的角的集合是． 故答案为：. 【变式2-4】.（22-23高一下·上海松江·阶段练习）已知，若与的终边相同，且，则 【答案】 【知识点】找出终边相同的角 【分析】根据已知条件，结合终边相同的角的定义求解即得. 【详解】依题意，，又与的终边相同，且， 所以. 故答案为： 【考点题型三】角度制与弧度制（） 【例3】（24-25高一上·上海·课堂例题）设，，，. (1)将、用弧度制表示出来，并指出它们各自是哪个象限的角； (2)将、用角度制表示出来，并在–720°~0°之间找出与它们终边重合的所有角. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限、角度化为弧度、弧度化为角度 【分析】（1）将角度数乘以即可化为弧度，再化为的形式，判断所在象限； （2）由将弧度化为角度，表示出终边重合的角，令其在–720°~0°之间，即可得到与它们终边重合的所有角. 【详解】（1），在第二象限； ，在第一象限, 即是第二象限的角，是第一象限的角. （2），终边重合的角是， 所以，解得或， 所以–720°~0°范围内与它终边重合的角是–612°和–252°； ，终边重合的角是为， 所以，解得或， 所以–720°~0°范围内与它终边重合的角是–420°. 【变式3-1】.（23-24高一下·上海·阶段练习）终边在轴正半轴上的角的集合是 （用弧度表示） 【答案】 【知识点】找出终边相同的角、用弧度制表示角的集合 【分析】根据给定条件，直接写出结论即得. 【详解】在内，终边在轴正半轴上的角为， 所以终边在轴正半轴上的角的集合是. 故答案为： 【变式3-2】.（24-25高一下·上海长宁·开学考试）与终边相同的角组成的集合为 ．（用弧度制表示） 【答案】 【知识点】找出终边相同的角、角度化为弧度 【分析】根据角度与弧度的转化关系及终边相同的角的表示规则计算可得. 【详解】因为，又， 所以与的终边相同， 所以与的终边相同， 则与终边相同的角组成的集合为. 故答案为： 【变式3-3】.（23-24高一·上海·课堂例题）写出终边在直线上的所有角组成的集合．（分别用弧度制和角度制来表示） 【答案】，. 【知识点】找出终边相同的角、用弧度制表示角的集合 【分析】把直线分成两条射线，来考虑终边落到这两条射线上的角的集合，然后取两部分的并集. 【详解】当角的终边落到上，则， 当角的终边落到上，则， 用弧度制表示时，终边在直线上的所有角组成的集合； 用角度制表示时，终边在直线上的所有角组成的集合. 【变式3-4】.（23-24高一·上海·课堂例题）分别将下列弧度化为角度： (1) (2) (3)（结果精确到0.01°）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】弧度化为角度 【分析】利用即可得出答案. 【详解】（1）=. （2）=. （3）=. 【考点题型四】扇形弧长与面积公式（） 【例4】（2025高三·全国·专题练习）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、扇形中的最值问题 【分析】（1）直接根据弧长公式进行计算即可； （2）由已知利用扇形面积，三角形面积公式即可得解弓形的面积 （3）由题意知，可得，然后结合二次函数的最值求法可得； 【详解】（1）． （2）设弓形面积为．由题知． ． （3）由已知得，， 所以． 所以当时，S取得最大值， 此时． 【变式4-1】.（24-25高一上·上海·期末）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为10cm，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】先求得弧长，利用扇形面公式积可求解. 【详解】因为扇形的弧所对的圆心角为，半径r=10cm， 则扇形的弧长， 扇形的面积为． 故答案为：. 【变式4-2】.（24-25高一下·上海浦东新·开学考试）设扇形的半径长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是 . 【答案】/0.125 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】由扇形的面积公式计算即可； 【详解】由扇形的面积公式可得，解得. 故答案为：. 【变式4-3】.（23-24高一上·上海奉贤·期末）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条与的夹角为，的长为，贴纸部分的长为，则贴纸部分的面积为 . 【答案】 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】依题意可知求得大、小两部分扇形面积相减即可得出贴纸部分的面积. 【详解】易知整个扇形纸扇完全打开后的面积为， 未贴纸部分的扇形半径的长为，该部分面积为； 所以贴纸部分的面积为. 故答案为： 【变式4-4】.（24-25高一上·上海·阶段练习）已知扇形的半径为4cm，面积为8cm2，则扇形圆心角的弧度为 . 【答案】1 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】应用扇形面积公式列方程求圆心角. 【详解】令扇形圆心角为，则，可得. 故答案为：1 【考点题型五】N分角（） 【例5】（23-24高一下·上海·期中）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第二或第四象限角 【答案】B 【知识点】确定n分角所在象限 【分析】根据第二象限角的范围确定半角的范围即可. 【详解】由题意可知， 当为偶数时，终边为第一象限角平分线，终边为纵轴正半轴， 当为奇数时，终边为第三象限角平分线，终边为纵轴负半轴， 即的终边落在直线及轴之间，即第一或第三象限. 故选：B. 【变式5-1】.（23-24高一下·上海黄浦·期中）已知是第一象限角，那么（    ） A．是第一、二象限角 B．是第一、三象限角 C．是第三、四象限角 D．是第二、四象限角 【答案】B 【知识点】确定n分角所在象限 【分析】由是第一象限角，可得，，进而得到，，进而求解. 【详解】因为是第一象限角， 所以，， 所以，， 当为偶数时，是第一象限角， 当为奇数时，是第三象限角， 综上所述，第一、三象限角. 故选：B. 【变式5-2】.（23-24高一·上海·课堂例题）如果是第三象限的角，判断是哪个象限的角． 【答案】第二或第四 【知识点】确定n分角所在象限 【分析】根据条件得到，再对分类讨论，分和，即可求出结果. 【详解】因为是第三象限的角，所以， 得到， 当时，，此时是第二象限的角， 当时，，此时是第四象限的角， 所以是第二或第四象限的角. 【考点题型六】定义法求三角函数（） 【例6】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知P是角的边上一点，且P点的坐标为，则 . 【答案】/ 【知识点】利用定义求某角的三角函数值、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据余弦的定义，求出余弦值即可. 【详解】因为,可得, 所以. 故答案为：. 【变式6-1】.（2023·上海浦东新·三模）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边经过点，则 . 【答案】 【知识点】利用定义求某角的三角函数值 【分析】根据题意，由三角函数的定义即可得到结果. 【详解】由三角函数的定义可知. 故答案为：. 【变式6-2】.（22-23高一下·上海青浦·期中）若点是角终边上的一点，则 【答案】/ 【知识点】利用定义求某角的三角函数值、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由终边上的点及三角函数的定义求余弦值即可. 【详解】由三角函数定义. 故答案为： 【变式6-3】.（23-24高一上·上海·期末）若角的终边上有一点，，则的值是 . 【答案】 【知识点】利用定义求某角的三角函数值、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】利用三角函数的定义求解. 【详解】解：因为角的终边上有一点， 所以，， 所以， 故答案为： 【变式6-4】.（24-25高一上·上海普陀·期末）已知是角终边上一点，且，则 【答案】/ 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】由角终边上的点及余弦值可得，再由定义求. 【详解】由题设，则， 所以. 故答案为： 【考点题型七】由某一三角函数求其余三角函数值（） 【例7】（24-25高一上·上海·随堂练习）若，且角的终边经过点，则P点的横坐标x为 ． 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据三角函数的定义列出方程，求解即得. 【详解】由题意可得，，且，解得，. 故答案为：. 【变式7-1】.（23-24高一上·上海·期末）已知点在角的终边上，且，则 ． 【答案】/ 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】由三角函数的定义可求得的值. 【详解】因为点在角的终边上，且，则， 且有，解得. 故答案为：. 【变式7-2】.（22-23高一下·上海黄浦·期中）若点是角终边上的一点，且，则的值是 . 【答案】 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据三角函数的定义列式求解，注意三角函数符号的判断. 【详解】由题意可得：，且， 解得或（舍去）， 所以的值是. 故答案为：. 【变式7-3】.（24-25高一上·上海·课堂例题）已知点是角终边上一点，且，求y的值. 【答案】. 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据终边上一点结合任意角余弦值求参即可. 【详解】由题意得， 所以， 所以. 【变式7-4】.（23-24高一下·上海·假期作业）已知角的终边上有一点，且，求：的值 【答案】或 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由三角函数的定义可得的值，为第一象限角和第二象限角两种情况分别求解即可. 【详解】由已知， 又，所以，所以是第一或第二象限角， 当为第一象限角时，，，则， 当为第二象限角时，，，则. 【考点题型八】由求分式或多项式值（） 【例8】（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知，则 . 【答案】/ 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】利用同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】 . 故答案为： 【变式8-1】.（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，则的值是 . 【答案】/ 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得. 【详解】因为，所以 . 故答案为： 【变式8-2】.（23-24高一·上海·课堂例题）已知，求的值． 【答案】. 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】根据给定条件，利用齐次式法计算即得. 【详解】，所以. 【变式8-3】.（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知，则= ． 【答案】/ 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】根据齐次式的计算方法求值. 【详解】因为. 故答案为： 【变式8-4】.（23-24高一·上海·课堂例题）已知，求的值． 【答案】 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】分子分母同时除以即可. 【详解】由于有意义，则， 对表达式分子分母同时除以， 则 【考点题型九】与的关系（） 【例9】（2024高一下·上海·专题练习）已知 (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)16 (2) 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】因为，两边平方得原式通分、化简，代入求值； 根据同角平方和的关系，即可求解，即可联立方程求解正余弦的值，进而根据代入正切的公式即可求值． 【详解】（1）因为， 所以， 所以． 所以； （2）因为， 所以， 所以， 又因为， 所以， 由可得． 所以． 【变式9-1】.（24-25高三上·上海·阶段练习）已知是三角形的内角，若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】将两边平方，求出，即可得到且，最后根据计算可得. 【详解】因为，所以， 即，所以，即， 又是三角形的内角，所以，则， 所以. 故选：A 【变式9-2】.（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，则 . 【答案】 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】利用切化弦，再结合平方公式求值即可. 【详解】 故答案为：. 【变式9-3】.（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知三角形内角满足，则 . 【答案】 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】首先将两边平方求出，再根据计算可得. 【详解】因为为三角形的内角，所以， 又，所以，即，所以， 所以， 所以. 故答案为： 【变式9-4】（24-25高一上·上海·期末）设常数，，关于的方程的两个实数根是，． (1)若，，分别求和的值 (2)若，，分别求和的值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】（1）根据条件，利用平方关系得到，再利用根与系数间的关系，即可求解； （2）根据条件，利用平方关系得到，可得，进而可判断出，再利用，即可求解. 【详解】（1）因为，，所以， 又方程的两个实数根是，， 所以，得到，. （2）由题知，又， 所以，又，解得， 因为，又，所以， 又，所以. 【考点题型十】利用诱导公式化简（） 【例10】（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）已知，求下列各式的值. (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）先利用诱导公式化简可求值； （2）利用1的代换可得原式，再化为的表达式可求值. 【详解】（1）. （2）. 【变式10-1】.（24-25高一下·上海·阶段练习）化简： . 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、诱导公式一、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六 【分析】根据诱导公式化简可得结论. 【详解】由诱导公式可得，， ，， ，， 所以. 故答案为：. 【变式10-2】.（24-25高一上·上海·期末）若角满足，则的值为 . 【答案】5 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】通过诱导公式和基本三角恒等式简化表达式，然后利用已知的正切值求解即可. 【详解】由诱导公式可知:，，， 将上述等式代入原表达式中，得到：， 又因为，且，所以， 所以，. 故答案为：5. 【变式10-3】.（24-25高一下·上海宝山·开学考试）化简：. 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】由诱导公式化简即可. 【详解】原式. 【变式10-4】（24-25高一上·上海·期末）已知． (1)化简并求； (2)若角为第二象限角，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式、特殊角的三角函数值 【分析】（1）利用诱导公式及倒数关系化简，再利用特殊角的三角函数值求解. （2）利用同角公式计算即得. 【详解】（1）依题意，， 所以. （2）由角为第二象限角，且，得， 所以. 【考点题型十一】由正弦值（余弦值，正切值）求角（） 【例11】（24-25高一上·上海·课堂例题）按照要求用反三角符号表示下列的角： (1)，； (2)，； (3)（a为常数），． 【答案】(1)或． (2)（）． (3)（）． 【知识点】反三角函数 【分析】分别根据反正弦函数，反余弦函数，反正切函数的定义域及三角函数的诱导公式求解. 【详解】（1）因为， 而， 所以由诱导公式可得，或 （2）因为，， 而， 所以在一个周期上，， 所以由余弦函数的周期可得（）. （3）因为， 所以在一个周期上，， 所以时，（）. 【变式11-1】.（24-25高一下·上海松江·阶段练习）方程的解集为 ． 【答案】 【知识点】已知三角函数值求角 【分析】由的取值范围可得，在该范围求解的解即可 【详解】因为，所以, 又因为，所以或者, 解得或, 所以该方程的解集为. 故答案为： 【变式11-2】.（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，分别求角x： (1)已知； (2)已知； (3)已知． 【答案】(1)或； (2)或； (3). 【知识点】特殊角的三角函数值、已知三角函数值求角 【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，求出内角，再由终边相同的角的表示求得解. 【详解】（1）由，得角是第三、四象限角， 当时，若角是第三象限角，则，若角是第四象限角，则， 所以所求角或. （2）由，得角是第二、三象限角， 当时，若角是第二象限角，则，若角是第三象限角，则， 所以所求角或. （3）由，得角是第二、四象限角， 当时，若角是第二象限角，则，若角是第四象限角，则， 所以所求角或，即. 【变式11-3】.（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）满足等式的解为 . 【答案】 【知识点】反三角函数 【分析】根据给定条件，利用反三角函数求出即得. 【详解】当时，，由，得 则，因此， 所以所求方程的解为. 故答案为： 【变式11-4】（24-25高一上·上海·课后作业）已知. (1)当时，求x的值； (2)当时，求x的值； (3)当时，求x的取值集合. 【答案】(1). (2)或. (3)或 【知识点】找出终边相同的角、特殊角的三角函数值 【分析】根据特殊角的三角函数值，根据不同的定义域，得到不同的自变量. 【详解】（1），，所以； （2），，所以或； （3），，得或， 所以取值集合为或. 提升训练 一、填空题 1．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为 . 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数、诱导公式五、六 【分析】设点在角的终边上，根据三角函数的定义求出，，设点的坐标为，则，利用诱导公式计算可得. 【详解】因为点的坐标为，所以， 设点在角的终边上，则，， 设点的坐标为， 则，， 所以点的坐标为. 故答案为： 2．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知，角的终边经过点 则 . 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式二、三、四 【分析】根据三角函数的定义及诱导公式计算可得. 【详解】因为角的终边经过点，又， 所以，又， 所以. 故答案为： 3．（24-25高一下·上海·开学考试）若是第四象限角，则点在第 象限. 【答案】三 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】根据正、余弦函数的符号法则，得，,即可得到答案. 【详解】是第四象限角，则， 故点在第三象限， 故答案为:三 4．（24-25高一下·四川内江·开学考试）外在美加内容美才是真的美，重庆书法家庹纯双在一个扇环牌匾上模仿王羲之的《兰亭序》，在精美的牌匾上写上优美的诗句，书法家飘逸灵动的字体，真是美轮美奂，扇环牌匾的两条弧长分别为15，9，AD的长度为2，则扇环的面积为    【答案】 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】延长相交于点，由圆心角求得，再结合扇形面积公式即可求解； 【详解】延长相交于点，设，    则，解得， 所以扇环的面积为， 故答案为： 5．（24-25高一上·上海普陀·期末）扇形的面积是，它的周长是，则扇形的半径 ． 【答案】 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】设扇形的弧长为，半径为，结合扇形面积公式及周长公式列方程求即可. 【详解】设扇形的弧长为，半径为， 因为扇形的面积是，它的周长是， 所以，所以， 所以扇形的半径为. 故答案为：. 6．（24-25高一上·上海·期末）化简： . 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据诱导公式以及同角三角函数的关系化简即可. 【详解】原式. 故答案为：． 7．（24-25高一下·上海·开学考试）已知角的终边上的点与关于轴对称，角的终边上的点与A关于直线对称，则的值为 . 【答案】0 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】利用点关于轴与直线的对称点的坐标，结合三角函数的定义即可得解. 【详解】由可知，都正在， 因为角的终边上的点与关于轴对称， 所以，则， 而角的终边上的点与A关于直线对称， 所以，则，， 则 . 故答案为：0. 8．（2024高三·上海·专题练习）已知，是关于x的方程的两个实根，且，则 ， ． 【答案】 2 /0.5 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、正、余弦齐次式的计算 【分析】根据韦达定理可得，进而可得方程的根，即可利用齐次式求解. 【详解】根据根与系数的关系得， ，∴． 而，∴，． 则，∴， 故，故，因此， ． 故答案为：2；． 9．（2024高一下·上海·专题练习）某书中记载计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积弦矢矢弧田如图所示由圆弧及其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，半径为的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是 .    【答案】 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】根据题意，由题中条件结合弧田面积公式求解即可． 【详解】   如图，由题意可得，． 在中，可得，， 则， 所以矢． 由， 得弦， 所以弧田面积弦矢 . 故答案为：． 10．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）设，若存在唯一一组使得成立，其中为实数，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】用换元法，设，由已知方程有唯一解，故判别式等于零，再结合同角三角函数平方和为解出. 【详解】，设，则 是唯一的， ，与联立得 设，则 在上有唯一解，设， 或（舍）或 当时，最大值为2，符合题意， 当时，取值可能大于2，故舍， 综上， 故答案为：. 11．（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知，则 ． 【答案】/－0.6 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】诱导公式化简后，弦化切，再代入计算． 【详解】因为， 所以． 故答案为：． 12．（22-23高三上·上海杨浦·阶段练习）设是第二象限角，且满足，则 . 【答案】 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】根据是第二象限角，得到，再由平方求解. 【详解】解：因为是第二象限角，即， 则， 当k为偶数时，为第一象限角，，与题意不符； 当k为奇数时，， 由平方得 ， 即， 所以， 故答案为： 二、单选题 13．（24-25高一下·上海·开学考试）已知角和的终边关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角函数恒等式的证明——诱导公式 【分析】由角和的终边关于轴对称，可得，，代入各个选项，根据诱导公式即可判断． 【详解】由角和的终边关于轴对称，可得，， 对于A，由，故A错误； 对于B，由，故B错误； 对于C，由，故C正确， 对于D，由，故D错误， 故选：C． 14．（23-24高一·上海·课堂例题）若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数的运算性质的应用、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据给定等式，结合对数运算及对数函数单调性求出，再利用同角公式计算即得. 【详解】由，得， 依题意，，则， 又， 因此，即，而， 所以. 故选：C 15．（24-25高一上·上海·单元测试）若，且，则角是第（    ）象限的角. A．一 B．三 C．一或三 D．二或四 【答案】D 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】先判断角所在的象限，再判断角所在的象限. 【详解】由条件知与异号，则为第二或第三象限的角.又与异号，则为第三或第四象限的角， 所以为第三象限的角，即，， ∴，， ∴为第二或第四象限的角. 故选：D. 16．（23-24高一下·上海·阶段练习）若终边不在坐标轴上，且，则在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据同角三角函数关系及任意角三角函数判断象限即可. 【详解】因为, 所以 所以终边不在坐标轴上 所以在第三象限. 故选：C. 三、解答题 17．（24-25高一上·云南怒江·期末）（1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值. 【答案】（1）（1）；（2）；（3） 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）由同角三角函数的平方关系代入计算即可得到，从而得到； （2）将原式化为齐次式，代入计算，即可得到结果. （3）结合同角三角函数关系解出方程即可. 【详解】（1）在第二象限， ， . （2）由， 所以. （3）因为，且，解得或（舍去）， 则. 18．（23-24高一上·上海·期末）已知，. (1)求的值； (2)求值：. 【答案】(1) (2) 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算、诱导公式五、六 【分析】（1）将两边平方得到，进而求得，与联立求出、，即可得解； （2）利用诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得. 【详解】（1）因为， 所以，即， 即，所以， 又，则，所以，所以， 所以， 则 ， 所以，， 则． （2）因为， 所以 . 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 第6章 正弦 余弦 正切 余切 （6个考点梳理+11题型解读+提升训练） 清单01 象限角 第一象限角 第二象限角 第三象限角 或 第四象限角 或 清单02 轴线角 ① 终边落在轴非负半轴 ② 终边落在轴非负半轴 ③ 终边落在轴非正半轴 或 ④ 终边落在轴非正半轴 或 ⑤ 终边落在轴 ⑥ 终边落在轴 或 ⑦ 终边落在坐标轴 清单03 终边相同的角 所有与角终边相同的角为 清单04 扇形的弧长和面积 弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 清单05 三角函数定义 三角比值 定义 定义域 正弦 sinα＝ R 余弦 cosα＝ R 正切 tanα＝ 余切 cot= 清单06 同角三角函数基本关系 1、平方关系： sin2α＋cos2α＝1. 2、商数关系： tan α＝； 3、倒数关系：tan αcot α=1 sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；sinα＝cosα·tanα；cosα＝. sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin2α＝＝；cos2α＝＝. 【考点题型一】区间角的表示（） 【例1】（24-25高一下·江西赣州·开学考试）（1）已知角，将改写成的形式，并指出是第几象限角； （2）用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.    【变式1-1】.（24-25高一上·浙江·阶段练习）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】.（23-24高一上·天津·阶段练习）若角的终边落在如图所示的阴影部分内，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】.（24-25高一上·天津津南·期中）如图，终边落在阴影部分（含边界） 的角的集合是    【变式1-4】.（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合． 【考点题型二】终边相同的角的集合（） 【例2】（24-25高一·上海·随堂练习）下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式2-1】.（24-25高一上·上海·期末）在平面直角坐标系中，两个角与的终边重合，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】.（24-25高一上·上海普陀·期末）已知，则是第 象限角 【变式2-3】.（23-24高一下·上海·阶段练习）写出与终边相同的角的集合是 . 【变式2-4】.（22-23高一下·上海松江·阶段练习）已知，若与的终边相同，且，则 【考点题型三】角度制与弧度制（） 【例3】（24-25高一上·上海·课堂例题）设，，，. (1)将、用弧度制表示出来，并指出它们各自是哪个象限的角； (2)将、用角度制表示出来，并在–720°~0°之间找出与它们终边重合的所有角. 【变式3-1】.（23-24高一下·上海·阶段练习）终边在轴正半轴上的角的集合是 （用弧度表示） 【变式3-2】.（24-25高一下·上海长宁·开学考试）与终边相同的角组成的集合为 ．（用弧度制表示） 【变式3-3】.（23-24高一·上海·课堂例题）写出终边在直线上的所有角组成的集合．（分别用弧度制和角度制来表示） 【变式3-4】.（23-24高一·上海·课堂例题）分别将下列弧度化为角度： (1) (2) (3)（结果精确到0.01°）． 【考点题型四】扇形弧长与面积公式（） 【例4】（2025高三·全国·专题练习）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【变式4-1】.（24-25高一上·上海·期末）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为10cm，则该扇形的面积为 ． 【变式4-2】.（24-25高一下·上海浦东新·开学考试）设扇形的半径长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是 . 【变式4-3】.（23-24高一上·上海奉贤·期末）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条与的夹角为，的长为，贴纸部分的长为，则贴纸部分的面积为 . 【变式4-4】.（24-25高一上·上海·阶段练习）已知扇形的半径为4cm，面积为8cm2，则扇形圆心角的弧度为 . 【考点题型五】N分角（） 【例5】（23-24高一下·上海·期中）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第二或第四象限角 【变式5-1】.（23-24高一下·上海黄浦·期中）已知是第一象限角，那么（    ） A．是第一、二象限角 B．是第一、三象限角 C．是第三、四象限角 D．是第二、四象限角 【变式5-2】.（23-24高一·上海·课堂例题）如果是第三象限的角，判断是哪个象限的角． 【考点题型六】定义法求三角函数（） 【例6】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知P是角的边上一点，且P点的坐标为，则 . 【变式6-1】.（2023·上海浦东新·三模）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边经过点，则 . 【变式6-2】.（22-23高一下·上海青浦·期中）若点是角终边上的一点，则 【变式6-3】.（23-24高一上·上海·期末）若角的终边上有一点，，则的值是 . 【变式6-4】.（24-25高一上·上海普陀·期末）已知是角终边上一点，且，则 【考点题型七】由某一三角函数求其余三角函数值（） 【例7】（24-25高一上·上海·随堂练习）若，且角的终边经过点，则P点的横坐标x为 ． 【变式7-1】.（23-24高一上·上海·期末）已知点在角的终边上，且，则 ． 【变式7-2】.（22-23高一下·上海黄浦·期中）若点是角终边上的一点，且，则的值是 . 【变式7-3】.（24-25高一上·上海·课堂例题）已知点是角终边上一点，且，求y的值. 【变式7-4】.（23-24高一下·上海·假期作业）已知角的终边上有一点，且，求：的值 【考点题型八】由求分式或多项式值（） 【例8】（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知，则 . 【变式8-1】.（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，则的值是 . 【变式8-2】.（23-24高一·上海·课堂例题）已知，求的值． 【变式8-3】.（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知，则= ． 【变式8-4】.（23-24高一·上海·课堂例题）已知，求的值． 【考点题型九】与的关系（） 【例9】（2024高一下·上海·专题练习）已知 (1)求的值； (2)求的值． 【变式9-1】.（24-25高三上·上海·阶段练习）已知是三角形的内角，若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】.（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，则 . 【变式9-3】.（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知三角形内角满足，则 . 【变式9-4】（24-25高一上·上海·期末）设常数，，关于的方程的两个实数根是，． (1)若，，分别求和的值 (2)若，，分别求和的值． 【考点题型十】利用诱导公式化简（） 【例10】（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）已知，求下列各式的值. (1)； (2) 【变式10-1】.（24-25高一下·上海·阶段练习）化简： . 【变式10-2】.（24-25高一上·上海·期末）若角满足，则的值为 . 【变式10-3】.（24-25高一下·上海宝山·开学考试）化简：. 【变式10-4】（24-25高一上·上海·期末）已知． (1)化简并求； (2)若角为第二象限角，且，求的值． 【考点题型十一】由正弦值（余弦值，正切值）求角（） 【例11】（24-25高一上·上海·课堂例题）按照要求用反三角符号表示下列的角： (1)，； (2)，； (3)（a为常数），． 【变式11-1】.（24-25高一下·上海松江·阶段练习）方程的解集为 ． 【变式11-2】.（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，分别求角x： (1)已知； (2)已知； (3)已知． 【变式11-3】.（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）满足等式的解为 . 【变式11-4】（24-25高一上·上海·课后作业）已知. (1)当时，求x的值； (2)当时，求x的值； (3)当时，求x的取值集合. 提升训练 一、填空题 1．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为 . 2．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知，角的终边经过点 则 . 3．（24-25高一下·上海·开学考试）若是第四象限角，则点在第 象限. 4．（24-25高一下·四川内江·开学考试）外在美加内容美才是真的美，重庆书法家庹纯双在一个扇环牌匾上模仿王羲之的《兰亭序》，在精美的牌匾上写上优美的诗句，书法家飘逸灵动的字体，真是美轮美奂，扇环牌匾的两条弧长分别为15，9，AD的长度为2，则扇环的面积为    5．（24-25高一上·上海普陀·期末）扇形的面积是，它的周长是，则扇形的半径 ． 6．（24-25高一上·上海·期末）化简： . 7．（24-25高一下·上海·开学考试）已知角的终边上的点与关于轴对称，角的终边上的点与A关于直线对称，则的值为 . 8．（2024高三·上海·专题练习）已知，是关于x的方程的两个实根，且，则 ， ． 9．（2024高一下·上海·专题练习）某书中记载计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积弦矢矢弧田如图所示由圆弧及其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，半径为的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是 .    10．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）设，若存在唯一一组使得成立，其中为实数，则的取值范围是 . 11．（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知，则 ． 12．（22-23高三上·上海杨浦·阶段练习）设是第二象限角，且满足，则 . 二、单选题 13．（24-25高一下·上海·开学考试）已知角和的终边关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 14．（23-24高一·上海·课堂例题）若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·上海·单元测试）若，且，则角是第（    ）象限的角. A．一 B．三 C．一或三 D．二或四 16．（23-24高一下·上海·阶段练习）若终边不在坐标轴上，且，则在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 三、解答题 17．（24-25高一上·云南怒江·期末）（1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值. 18．（23-24高一上·上海·期末）已知，. (1)求的值； (2)求值：. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$