专题02 第7章 三角函数（考点串讲，6大考点&20大题型剖析）-2024-2025学年高一数学下学期期中考点大串讲（沪教版2020必修第二册）

沪教版（2020）高一数学下学期·期中大串讲 专题02 第7章 三角函数 （6考点&20题型） 人教版2024 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 考点透视 清单01 正弦、余弦、正切函数的图象与性质  考点透视 清单02 周期性  考点透视 清单03 三角函数奇偶性  考点透视 清单04 三角函数对称性  考点透视 清单05 三角函数图象变化  考点透视 清单05 三角函数图象变化  考点透视 清单06 求三角函数解析式  题型剖析 【考点题型一】五点法画正余弦函数的图象 题型剖析 【考点题型一】五点法画正余弦函数的图象 题型剖析 【考点题型一】五点法画正余弦函数的图象 题型剖析 【考点题型二】含绝对值的正余弦函数图象 题型剖析 【考点题型二】含绝对值的正余弦函数图象 题型剖析 【考点题型三】正余弦函数的单调性问题 题型剖析 【考点题型三】正余弦函数的单调性问题 题型剖析 【考点题型三】正余弦函数的单调性问题 题型剖析 【考点题型四】正余弦函数的奇偶性问题 题型剖析 【考点题型四】正余弦函数的奇偶性问题 【答案】B 题型剖析 【考点题型五】正余弦函数的周期性问题 【答案】② 题型剖析 【考点题型五】正余弦函数的周期性问题 【答案】B 题型剖析 【考点题型六】正余弦函数的对称性问题 【答案】B 题型剖析 【考点题型六】正余弦函数的对称性问题 【答案】B 题型剖析 【考点题型七】正余弦函数的值域问题 题型剖析 【考点题型七】正余弦函数的值域问题 题型剖析 【考点题型八】正切函数的定义 【答案】D 题型剖析 【考点题型九】正切函数的单调性 题型剖析 【考点题型九】正切函数的单调性 【答案】D 题型剖析 【考点题型十】正切函数的奇偶性 题型剖析 【考点题型十一】正切函数周期性 题型剖析 【考点题型十二】正切函数对称性 【答案】D 题型剖析 【考点题型十二】正切函数对称性 【答案】C 题型剖析 【考点题型十三】正切函数的值域 【答案】2 题型剖析 【考点题型十三】正切函数的值域 【答案】4 题型剖析 【考点题型十四】三角函数图象变化 【答案】C 【考点题型十四】三角函数图象变化 【答案】D 题型剖析 【考点题型十五】求三角函数解析式 题型剖析 【答案】C 题型剖析 【考点题型十五】求三角函数解析式 题型剖析 【答案】①④ 题型剖析 【答案】①④ 题型剖析 【答案】①④ 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 易错易混 【答案】C 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 (1)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (2)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (3)函数是奇函数⇔()． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (3)函数的图象的对称中心由)解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 形如的解析式求法： 1、求法： ①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置. ②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解. 2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出. 3、求法： ①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解. （第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近） ②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解. ③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例1-1】（2024高一下·上海·专题练习）用“五点法”作出下列函数的简图. (1)，； (2)，. (3)在一个周期（）内的图像． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）解：由，列表： 描点、连线、绘图，可得函数的图象，如图所示.    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例1-1】（2024高一下·上海·专题练习）用“五点法”作出下列函数的简图. (1)，； (2)，. (3)在一个周期（）内的图像． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）解：由，可得，列表如下： 1 －1 描点、连线，可得函数的图象，如图所述，    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例1-1】（2024高一下·上海·专题练习）用“五点法”作出下列函数的简图. (1)，； (2)，. (3)在一个周期（）内的图像． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）解：列表: 0 0 1 0 -1 0 描点、连线，可得函数的图象，如图所示：      试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例2】（23-24高一下·上海·课后作业）作出函数的大致图像. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】解：列表 x 0 0 1 0 -1 0 作图：先作出的图像，又原函数是偶函数,图像关于y轴对称，即可作出的图像. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式2-1】.（24-25高一上·上海·课堂例题）利用图象变换法作出，的简图，并说明该图象如何由正弦曲线的相关部分通过图象变换得到. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】解：作，的图象，并将x轴下方的部分翻转到x轴上方（原x轴上方的部分不变）， 得，的图象，如图所示. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例3】（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的单调区间： (1)；(2)；(3). 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）函数的递增区间为，， 递减区间为，， 则函数的递增区间为，， 递减区间为，， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）因为求的单调增区间即求的单调减区间， 因为求的单调减区间即求的单调增区间， 所以的单调递增区间为，； 单调递减区间为，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例3】（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的单调区间： (1)；(2)；(3). 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）令，，得，， 即，， 所以的单调递减区间为，； 令，，得，， 即，， 所以的单调递增区间为，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式3-1】.（24-25高一上·上海·课后作业）函数在区间上严格减，实数的取值范围是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】当时，因为，所以. 因为函数在区间上严格减， 所以，解得； 当时，因为，所以， 故不可能满足函数在区间上严格减. 综上所述，，即实数的取值范围是. 故答案为:. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例4-1】（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)；(2)；(3)． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）函数的定义域为，且， 即函数为奇函数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由，解得， 即函数的定义域为，关于原点对称， 且， 即函数为奇函数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）由，解得， 即函数的定义域为，不关于原点对称， 即函数为非奇非偶函数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 例4-2】（23-24高一下·上海静安·期末）已知函数，且，则（    ） A．11 B．14 C．17 D．20 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，故， 而，故， 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例5】（24-25高一上·上海·课后作业）下列函数：①；②；③；④；⑤，其中最小正周期为的有 .（填序号） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】①，最小正周期为，错误； ②，最小正周期为，正确； ③，最小正周期为，错误； ④，最小正周期为，错误； ⑤，无周期性，错误； 故答案为：②. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式5-1】.（2024高一下·上海·专题练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．的图象关于直线对称 B．的周期为 C．是的一个对称中心 D．在区间上单调递增 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由函数， 由此可作出的函数图象，如图所示， 对于A中，由， 所以关于直线不对称，所以A错误； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，由函数图象可知，不存在对称中心，所以C错误； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于D中，因为，，， 所以函数在上不是单调递增函数，所以D错误. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例6】（22-23高一下·上海徐汇·期末）函数的一条对称轴是（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】令，可得， 令，可得. 所以函数的一条对称轴是. 故选:B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式6-1】.（24-25高三上·上海·期中）已知函数为偶函数，则的对称中心为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为为偶函数， 所以，又，所以， 所以， 由，解得， 所以的对称中心为. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例7】（23-24高一下·上海·阶段练习）函数的值域为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】令，则， 易知开口向上，对称轴为， 当时，， 当时，， 所以的值域为. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式7-1】.（24-25高一下·上海·阶段练习）函数，则的最小值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】， 因为， 所以时，， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例8】（2024高三·全国·专题练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由正切函数的定义域，令，，即，所以函数的定义域为. 故选:D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例9】（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的定义域和单调区间． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为， 由解得， 所以函数的单调递增区间为，没有减区间. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式9-1】.（24-25高三上·上海·开学考试）函数的单调减区间是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】， 令，， 解得， 所以函数的单调减区间是（）， 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例10】（23-24高一下·上海浦东新·期末）对于函数，其中，已知，则 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】 而 所以，故 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例11】（24-25高一·上海·随堂练习）函数的最小正周期为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】函数的最小正周期为： 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例12】（23-24高一下·上海·课后作业）下列坐标所表示的点不是函数的图像的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】令，解得， 所以的对称中心为， 当时，可得对称中心，当时，可得对称中心，当时，可得对称中心为，令，解得不是整数，不符合，故不是函数对称中心. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式12-1】.（23-24高一下·上海黄浦）函数的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】令， 解得， 所以函数图象的对称中心是， 令,得函数图像的一个对称中心是， 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例13】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的最小值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，由于，所以当时，函数取最小值2. 故答案为：2 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式13-1】.（2024高一·全国·专题练习）已知，求函数的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】当时，，设，则， 则，当且仅当时等号成立． 所以的最小值为4. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例14】（24-25高一上·上海·课堂例题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到， 故选：C． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式14-1】.（24-25高二上·上海·阶段练习）把函数的图像经过变换得到图像，这个变换是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】 ， 则， 将向右平移个单位可得到， 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例15】（23-24高三上·上海虹口·期末）已知函数，的部分图象如图所示，则 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意得，函数周期为，所以， 所以，由， 得，即， 又因为，所以，所以. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式15-1】.（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）下图是函数的部分图像，则（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】解：由图象知函数的周期 ， 即 即   当 时，，解得， 所以， ， 当 时， ，解得， 所以， 故选： C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例16】（24-25高一下·湖南永州·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，则正确的有 ． ①的最小正周期为 ②当时，的值域为 ③将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 ④将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】对于①：由图可知：，故①正确； 由，知， 因为，所以，所以，即，， 又因为，所以， 所以函数为； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于④：由题意得到的图象， 因为当时，，可得到的图象关于点对称，故④正确． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例16】（24-25高一下·湖南永州·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，则正确的有 ． ①的最小正周期为 ②当时，的值域为 ③将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 ④将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于②：当时，，所以，故②错误； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于③，由题意得到的图象，故③错误； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于④，把函数的图象向右平移得到的图象，故④正确； 对于⑤，函数在上是增函数，故⑤错误. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式16-1】.（24-25高一上·上海·课堂例题）下面有五个命题： ①函数的最小正周期是； ②终边在y轴上的角的集合是； ③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点； ④把函数的图象向右平移得到的图象； ⑤函数在上是减函数. 其中真命题的序号是 .（写出所有真命题的序号） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】对于①，函数的最小正周期是，故①正确； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于②，终边在y轴上的角的集合是，故②错误； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于③，当时，， 当时，由三角函数线可知， 当时，， 这意味着函数的图象和函数的图象在内没有公共点， 同理函数的图象和函数的图象在内没有公共点， 综上所述，函数的图象和函数的图象只有一个公共点，故③错误； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ②当时，可得，，则有，解得. 当时，，此时，， 当时，，此时，. 综上所述，a的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例17】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知，，且函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)设，若函数与在上有相同的最大值，求a的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1） ， 因为且函数的最小正周期为，故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）可知. 若，时，， 当时，函数取得最大值，即. 而函数与存在相同的最大值， 故当时，函数在内取得最大值， 因此可得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ①当时，可得，则有，解得； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式17-1】.（24-25高一下·上海宝山·开学考试）已知函数. (1)求； (2)求函数的单调递增区间. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由， , 解得：， 所以函数的单调增区间为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例18】（2024高一下·上海·专题练习）某同学用“五点法”画函数，在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表： 0 0 1 0 0 0 0 0 (1)请填写上表的空格处，并写出函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位，再所得图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递增区间； (3)在（2）的条件下，若在上恰有奇数个零点，求实数的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）解：根据表中的数据可得，解得， 令表格空格从左到右依次为，故，所以， 又，所以完表如下： 0 0 1 0 0 0 0 0 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）解：将函数的图象向右平移个单位，所得图象的解析式为：， 再将所得图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，故. 此时， 令，则，故. 当时，为增函数，故为减函数； 当时，为减函数，故为增函数. 所以的增区间为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (3)在（2）的条件下，若在上恰有奇数个零点，求实数的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）解：，的周期为， 当时，令，考虑方程的根情况， 因为，故在必有两个不同的实数根， 因为在有奇数个零点，故. 若，则方程，在共有4个不同的实数根，在有0个实数根或2个实数根， 故在有个根或个根，与有奇数个零点矛盾，舍去. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 若，，则在共有2个不同的实数根，在有0个实数根或2个实数根， 故在有个根或，与有奇数个零点矛盾，舍去. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 同理,，也不成立，所以或， 若，则，此时的根为， 方程在共有3个不同的实数根，而在上，有两个不同的根，无解， 所以在有个根，与有奇数个零点矛盾，舍去； 若，则，方程的根， 方程在共有3个不同的实数根，而在上，无解，有一个根， 所以在有个根，符合题意. 综上，，在共有3031个不同的零点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式18-1】.（22-23高一下·上海虹口·期中）已知数． (1)将函数解析式化为的形式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)将的图象先向左平移个单位，再将各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若关于的方程在上有且只有一个实数解，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）解： . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）解：因为，则，所以，， 所以，，， 因为不等式对任意恒成立，则， 所以，对任意恒成立， 则，解得. 因此，实数的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (3)将的图象先向左平移个单位，再将各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若关于的方程在上有且只有一个实数解，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）解：将的图象向左平移个单位，可得到函数， 再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）， 可得到函数的图象， 当时，， 因为关于的方程在上有且只有一个实数解， 所以，直线与函数在上的图象只有一个公共点，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数在上的图象只有一个公共点. 因此，实数的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例19】（23-24高一下·上海宝山·期末）已知函数的部分图像如图所示： (1)求函数的表达式； (2)当时，求方程的所有根的和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）解：由函数的图象，可得，可得，所以， 因为，即， 可得，即， 又因为，可得，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例19】（23-24高一下·上海宝山·期末）已知函数的部分图像如图所示： (1)求函数的表达式； (2)当时，求方程的所有根的和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）解：由，可得或， 因为，可得， 当时，，设方程的解为， 则，可得； 当时，，则，可得， 综上所述，方程的所有根的和为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式19-1】.（24-25高一下·湖南·阶段练习）已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，若关于的方程在上有两解，求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为， ， 所以 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ， 所以的最小正周期为. 由，解得， 所以的单调递增区间为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 结合的图象可得或. 当时，，故； 当时，，故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）将的图象向左平移个单位，得 从而， 因为，所以， 令， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，若关于的方程在上有两解，求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 由已知可得当时， 方程有两个不同的解， 所以当时，函数与的图象有两个不同的交点， 作函数，的图象可得， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例20】（23-24高一下·山东日照·阶段练习）已知函数，满足，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得的函数为偶函数. (1)求的解析式： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为，则， 所以，函数的最小正周期为，则，则， 将函数的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度， 所得的函数为偶函数， 则为偶函数， 所以，，可得， 因为，可得，所以，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）因为，所以，， 故，， 而恒成立， 即，整理可得. 令，， 设，，设、，且， 则， 由于，，则，所以， 即区间上单调递增，故，故， 即实数的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (3)若函数的图象在区间且上至少含有个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）由题意知， 由得， 故或，， 解得或，， 故的零点为或，， 所以相邻两个零点之间的距离为或， 若最小，则和都是零点，此时在区间、、、分别恰有、、、个零点， 所以在区间上恰有个零点， 从而在区间上至少有一个零点，所以， 另一方面，在区间上恰有个零点， 所以的最小值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式20-1】.（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知函数的部分图象如下图所示． (1)求的解析式及单调减区间； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由图可得， 函数的最小正周期为，则， 所以，， 因为，可得， 因为，则，所以，，所以，， 因此，， 由解得， 所以，函数的单调递减区间为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)要得到的图象，需要将的图象作怎样的变换？（详细写出每步变换） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象， 继续将图象纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象， 最后将图象向上平移1个单位得到的图象； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (3)对于（2）中的函数，若对任意，有，求实数a的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）当时，， 则，则， 对任意的、，， 则，故实数的最小值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（23-24高三下·上海黄浦·阶段练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 B．横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 C．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 D．横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】要得到函数的图象， 需先将函数的图象上所有的点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 从而得到，从而排除BD； 对于A，再向右平行移动个单位长度， 得，显然不满足题意，故A错误； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于C，再向左平行移动个单位长度， 得，故C正确. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（24-25高二下·上海·阶段练习）函数为奇函数，则 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】函数为奇函数，则. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（24-25高一下·上海·阶段练习）函数的图象的一部分如图所示，则的初相为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】/ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由图可知， 周期，所以，所以， 因为点在函数图象上， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以初相为， 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知 ． (1)设 ，若对任意的，不等式 成立，求的取值范围； (2)画出函数 的大致图象，并写出满足 的的集合． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）∵，∴， ∴，故. ∵，∴， ∴， ∵对任意的，不等式 成立， ∴，且， 由得，，， ∴，即的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知 ． (1)设 ，若对任意的，不等式 成立，求的取值范围； (2)画出函数 的大致图象，并写出满足 的的集合． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由题意得， ， 令， ∵时，，时，， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∵，，， ∴在上的大致图象为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 由得，，故， ∵，∴， 令，则在上单调递增，在上单调递减， 又∵， ∴或， ∴或， ∴满足的的集合为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $$