专题02 第6章 常用三角公式（4考点清单，知识导图+7个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期中考点大串讲（沪教版2020必修第二册）

清单02 第6章 常用三角公式 （4个考点梳理+7题型解读+提升训练） 清单01 两角和与差公式 知识点01：两角和与差的余弦公式 两角和与差的余弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 知识点02：两角和与差的正弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 知识点03：两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,，，，. ③变形结论： 清单02 二倍角公式 知识点01：二倍角的正弦、余弦正切公式 ① ②；； ③ 清单03 降幂公式 ① ② 清单04 辅助角公式 (其中) 【考点题型一】两角和与差的余弦公式及其应用（） 【例1】（23-24高一下·上海金山·期末）设为锐角，且，则 . 【变式1-1】.（24-25高一上·上海·课后作业）若，，则 . 【变式1-2】.（23-24高一下·上海·假期作业）已知角､角的顶点均为坐标原点，始边均与轴的非负半轴重合，角的终边在第四象限，角的终边绕原点顺时针旋转后与重合，，则 【变式1-3】.（24-25高一上·上海·随堂练习），，，，则 . 【变式1-4】.（2024高一下·上海·专题练习）在平面直角坐标系中，已知锐角的终边与单位圆交点的纵坐标为，锐角的终边与单位圆交点的横坐标为． (1)求和的值； (2)求的值． 【考点题型二】两角和与差的正弦公式及其应用（） 【例2】（22-23高一下·上海静安·期中）已知为锐角，，. (1)求的值； (2)求的值. 【变式2-1】.（23-24高一下·上海·假期作业）已知，，，则 . 【变式2-2】.（23-24高一下·上海·期中）化简： . 【变式2-3】.（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）化简 ． 【变式2-4】.（24-25高一上·上海·课堂例题）化简：. 【考点题型三】两角和与差的正切公式及其应用（） 【例3】（23-24高一下·安徽六安·阶段练习）已知，，其中． (1)求的值； (2)求． 【变式3-1】.（23-24高一·全国·课后作业）已知，，，，则 ． 【变式3-2】.（23-24高三上·天津·阶段练习）已知角，为锐角，，，则的值为 ． 【变式3-3】.（24-25高一下·上海松江·阶段练习）已知，则 【变式3-4】.（23-24高三下·上海·开学考试）已知，则 ． 【考点题型四】二倍角公式的应用（） 【例4】（23-24高一·上海·课堂例题）利用二倍角公式，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【变式4-1】.（24-25高三上·上海·期中）已知点是角终边上一点，则 ． 【变式4-2】.（24-25高一下·上海·阶段练习）设都是第二象限的角，已知 . (1)求的值； (2)求的值. 【变式4-3】.（23-24高一·上海·课堂例题）已知，，求的值． 【变式4-4】.（24-25高一上·上海·课堂例题）利用二倍角公式，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【考点题型五】辅助角公式的应用（） 【例5】（23-24高一下·上海·假期作业）把下列各式化为的形式： (1)； (2)； (3). 【变式5-1】.（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）代数式可化为的形式，此时 . 【变式5-2】.（24-25高一上·上海·期末）方程 在 上的解为 . 【变式5-3】.（24-25高一上·上海·随堂练习）把化为（其中，）的形式为 . 【变式5-4】.（24-25高一上·上海·课堂例题）用辅助角公式化简下列各式： (1)； (2). 【考点题型六】三角恒等变化化简求值（） 【例6】（24-25高一上·上海·课后作业）（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 【变式6-1】.（23-24高一下·上海·阶段练习）设，化简的结果是 . 【变式6-2】.（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）化简： ． 【变式6-3】.（24-25高一上·上海·课后作业） . 【变式6-4】.（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求的值. 【考点题型七】拼凑角求角或求值（） 【例7】（23-24高一下·上海·开学考试）已知，均为锐角，且，． (1)求的值； (2)求的值． 【变式7-1】.（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，则 . 【变式7-2】.（23-24高一下·上海·期中）已知，，，，则 .（结果用反三角表示） 【变式7-3】.（23-24高一下·上海宝山·期末）已知，，，则 ． 【变式7-4】.（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，其中．求： (1)的值； (2)求角的值 提升训练 一、填空题 1．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）若，且均为锐角，，则 2．（24-25高一上·上海·期末）已知，且都是第二象限角，则 . 3．（23-24高一下·上海·期末）若，则的值为 ． 4．（23-24高一下·上海·期中）已知，，，，则 . 5．（23-24高一下·上海·假期作业）求值：已知为锐角，且, ，则的值为 ，的值为 . 6．（22-23高三上·上海嘉定·期中）若，则用t表示，可得 . 7．（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）已知，，则的值为 ． 8．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）已知为第三象限角，且，则的值为 ． 二、单选题 9．（23-24高一·上海·课堂例题）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·上海·课后作业）已知是第三象限的角，，，则等于（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·上海·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 12．（22-23高一下·江苏南京·期中）设，，，则有（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一·上海·随堂练习）已知，，则等于（    ）． A．；B．； C．； D．． 14．（24-25高一上·上海·单元测试）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 15．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，． (1)求的值； (2)若且，求的值． 16．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）（1）已知角的终边经过点，求的值； （2）已知，求的值. 17．（24-25高一上·上海·期末）已知角的终边过点． (1)求的值； (2)求的值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 第6章 常用三角公式 （4个考点梳理+7题型解读+提升训练） 清单01 两角和与差公式 知识点01：两角和与差的余弦公式 两角和与差的余弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 知识点02：两角和与差的正弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 知识点03：两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,，，，. ③变形结论： 清单02 二倍角公式 知识点01：二倍角的正弦、余弦正切公式 ① ②；； ③ 清单03 降幂公式 ① ② 清单04 辅助角公式 (其中) 【考点题型一】两角和与差的余弦公式及其应用（） 【例1】（23-24高一下·上海金山·期末）设为锐角，且，则 . 【答案】 【知识点】利用平方关系求参数、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】根据题意，两边平方再相加，结合同角基本关系式、和角的余弦公式求解. 【详解】根据题意，， 所以， 即， 两式相加，得， 所以. 故答案为： 【变式1-1】.（24-25高一上·上海·课后作业）若，，则 . 【答案】 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】利用同角三角形的平方关系及两角和的余弦公式即可求解. 【详解】因为，， 所以. 所以. 故答案为：. 【变式1-2】.（23-24高一下·上海·假期作业）已知角､角的顶点均为坐标原点，始边均与轴的非负半轴重合，角的终边在第四象限，角的终边绕原点顺时针旋转后与重合，，则 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】根据旋转方向和旋转量可得，因题设，要求的值，则考虑按照拆角，所以求出即得. 【详解】因为绕原点顺时针旋转后与重合，所以可令， 因为且的终边在第四象限，所以为第一象限角，所以， 所以. 故答案为：. 【变式1-3】.（24-25高一上·上海·随堂练习），，，，则 . 【答案】 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】先利用同角三角函数基本关系求出，再利用两角差的余弦公式进行求解. 【详解】 . 故答案为：. 【变式1-4】.（2024高一下·上海·专题练习）在平面直角坐标系中，已知锐角的终边与单位圆交点的纵坐标为，锐角的终边与单位圆交点的横坐标为． (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）根据任意角三角函数的定义和同角三角函数的关系可求得结果； （2）先求出，再根据的范围可求得答案. 【详解】（1）由三角函数的定义可知，，， 因为，为锐角， 所以， ； （2）因为，，， 所以， 因为，，所以， 所以． 【考点题型二】两角和与差的正弦公式及其应用（） 【例2】（22-23高一下·上海静安·期中）已知为锐角，，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、给值求角型问题、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系求得，然后算出的值； （2）结合，，可得，，即可求出的值. 【详解】（1）∵为锐角，，且，∴； ∵为锐角，，且，∴， ∴， （2）因为为锐角，，所以， ，所以，， 所以，∴； 【变式2-1】.（23-24高一下·上海·假期作业）已知，，，则 . 【答案】/ 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、给值求值型问题 【分析】由角的范围确定角的象限后结合三角函数基本关系与两角差的正弦公式即可得. 【详解】由，得， 由，故， ，故， 故 . 故答案为：. 【变式2-2】.（23-24高一下·上海·期中）化简： . 【答案】/ 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由正弦函数的和差角公式，代入计算，即可求解. 【详解】. 故答案为： 【变式2-3】.（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）化简 ． 【答案】 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、特殊角的三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据诱导公式以及两角和的正弦公式进行化简，即可求得答案. 【详解】由题意可得 ， 故答案为： 【变式2-4】.（24-25高一上·上海·课堂例题）化简：. 【答案】 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】直接由诱导公式、两角和的正弦公式计算即可求解. 【详解】原式. 【考点题型三】两角和与差的正切公式及其应用（） 【例3】（23-24高一下·安徽六安·阶段练习）已知，，其中． (1)求的值； (2)求． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值、已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 【分析】（1）根据题意由和差公式得出，联立，且，即可解出答案； （2）求出的值，结合，即可得出答案. 【详解】（1）， 即， 联立，且， 解得，． （2）由小问1得， 则， ，则 则． 【变式3-1】.（23-24高一·全国·课后作业）已知，，，，则 ． 【答案】/ 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 【分析】利用两角和的正切公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 因为，，所以， 所以， 故答案为: . 【变式3-2】.（23-24高三上·天津·阶段练习）已知角，为锐角，，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦） 【分析】先由同角三角函数的基本关系求得，再由两角和的正切公式结合即可得解. 【详解】因为角、为锐角，所以， 又，所以， 所以，又， 所以. 故答案为：. 【变式3-3】.（24-25高一下·上海松江·阶段练习）已知，则 【答案】/ 【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】由，根据二倍角公式即可求解. 【详解】由，所以 ， 故答案为：. 【变式3-4】.（23-24高三下·上海·开学考试）已知，则 ． 【答案】/ 【知识点】正、余弦齐次式的计算、二倍角的余弦公式、诱导公式五、六 【分析】利用二倍角公式以及弦切互化即可求解. 【详解】， 故答案为： 【考点题型四】二倍角公式的应用（） 【例4】（23-24高一·上海·课堂例题）利用二倍角公式，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、二倍角的正切公式 【分析】（1）（2）（3）直接利用三角函数的二倍角公式求出结果． 【详解】（1）； （2）； （3）． 【变式4-1】.（24-25高三上·上海·期中）已知点是角终边上一点，则 ． 【答案】/ 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的余弦公式 【分析】根据三角函数的定义求解正弦值，再利用二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】因为点是角终边上一点，， 所以， 则. 故答案为：. 【变式4-2】.（24-25高一下·上海·阶段练习）设都是第二象限的角，已知 . (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）先由同角三角函数的关系可得，再由余弦的和差角公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得，再由正切的和差角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为都是第二象限的角，由可得， 由可得， 则. （2）因为，， 则. 【变式4-3】.（23-24高一·上海·课堂例题）已知，，求的值． 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】由同角三角函数间的基本关系可求得，，由两角和与差的正切函数公式展开即可求值． 【详解】，， ，， ． 【变式4-4】.（24-25高一上·上海·课堂例题）利用二倍角公式，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二倍角的正切公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式求解即可. （2）利用二倍角的余弦公式求解即可. （3）利用二倍角的正切公式结合诱导公式求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）原式． 【考点题型五】辅助角公式的应用（） 【例5】（23-24高一下·上海·假期作业）把下列各式化为的形式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】辅助角公式、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）根据辅助角公式将其配成两角差的正弦展开式，逆用公式即得； （2）将看成整体角，利用辅助角公式将其配成两角和的正弦展开式，逆用公式即得； （3）根据辅助角公式将其配成两角和的正弦展开式，逆用公式即得. 【详解】（1） . （2） . （3）. 【变式5-1】.（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）代数式可化为的形式，此时 . 【答案】 【知识点】辅助角公式 【分析】利用辅助角公式来求得正确答案. 【详解】 ， 所以. 故答案为： 【变式5-2】.（24-25高一上·上海·期末）方程 在 上的解为 . 【答案】 【知识点】辅助角公式 【分析】先利用辅助角公式化简，结合范围求解可得答案. 【详解】因为，所以， 所以,即， 因为，所以. 故答案为： 【变式5-3】.（24-25高一上·上海·随堂练习）把化为（其中，）的形式为 . 【答案】 【知识点】辅助角公式、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】应用辅助角公式化简即可. 【详解】 . 故答案为：. 【变式5-4】.（24-25高一上·上海·课堂例题）用辅助角公式化简下列各式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】辅助角公式 【分析】根据辅助角公式进行化简得出结果； 【详解】（1） （2） 【考点题型六】三角恒等变化化简求值（） 【例6】（24-25高一上·上海·课后作业）（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 【答案】 ； 1； ； . 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）直接逆用两角差的正切公式； （2）利用变形，后逆用两角差的正切公式； （3）余切化为正切，后逆用两角差的正切公式；； （4）直接逆用两角和的正切公式 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； 故答案为：；1；；. 【变式6-1】.（23-24高一下·上海·阶段练习）设，化简的结果是 . 【答案】 【知识点】半角公式、二倍角的余弦公式 【分析】由二倍角的余弦公式结合角的范围即可化简. 【详解】， 因为，所以， 从而. 故答案为：. 【变式6-2】.（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）化简： ． 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据题意，利用诱导公式和两角和差公式分析求解. 【详解】原式 . 故答案为：. 【变式6-3】.（24-25高一上·上海·课后作业） . 【答案】1 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】运用余切与正切的关系，将其化为正切，后用两角和的正切公式化简即可. 【详解】， 故答案为：1 【变式6-4】.（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求的值. 【答案】 【知识点】三角恒等变换的化简问题、二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式 【分析】首先利用二倍角公式化简条件等式，求得的值，再将余弦，用二倍角公式公式表示，再表示成正切，即可求值. 【详解】∵ ， ∴，. 【考点题型七】拼凑角求角或求值（） 【例7】（23-24高一下·上海·开学考试）已知，均为锐角，且，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦） 【分析】（1）法一，根据平方关系和是锐角即可得出，再利用基本关系式即可得出，利用两角和的正切公式即可得出，利用基本关系式可得，，利用两角和的余弦公式展开即可得出答案．法二：令，根据已知条件求出的范围，利用商数关系、平方关系求出可得答案； （2）由（1）可得. 【详解】（1）法一：，， ，， ，解得， 联立，为锐角，解得， ； 法二：令， 因为，均为锐角，且，所以， 由得， ，解得， 所以； （2）由（1）可得． 【变式7-1】.（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，则 . 【答案】/ 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】由两角差的正切公式求解即可． 【详解】解： ， 故答案为： 【变式7-2】.（23-24高一下·上海·期中）已知，，，，则 .（结果用反三角表示） 【答案】 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、已知三角函数值求角、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据给定条件，利用同角公式、差角的余弦公式求出即可. 【详解】由，，得，而， 则，，， 又，则， 因此 ， 所以. 故答案为： 【变式7-3】.（23-24高一下·上海宝山·期末）已知，，，则 ． 【答案】 【知识点】给值求值型问题、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】结合所给角的象限与余弦值，可得其 正弦值，再利用两角差的正弦公式计算即可得. 【详解】由，，，则， 则，， . 故答案为：. 【变式7-4】.（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，其中．求： (1)的值； (2)求角的值 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值、给值求角型问题 【分析】（1）根据题意，利用三角函数的基本关系式，求得，结合两角差的正弦公式，即可求解； （2）根据题意，求得，得到，进而求得的值. 【详解】（1）解：因为且，可得， 所以 则. （2）解：由（1）知， 因为，可得， 又因为， 所以，可得，所以， 所以. 提升训练 一、填空题 1．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）若，且均为锐角，，则 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、给值求角型问题 【分析】利用配凑法将表示成,再去求解即可得到的值. 【详解】因为、为锐角，且，所以,, 所以,, 所以, 且因为，所以. 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·期末）已知，且都是第二象限角，则 . 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据给定条件，利用同角公式及差角的正弦公式计算得解. 【详解】由，都是第二象限角， 得， 所以. 故答案为： 3．（23-24高一下·上海·期末）若，则的值为 ． 【答案】/0.75 【知识点】正、余弦齐次式的计算、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的正弦公式 【分析】根据已知条件利用诱导公式和公式化简得到，两边平方结合正弦的二倍角公式即可. 【详解】由， 所以， 即， 所以， 即， 故答案为：. 4．（23-24高一下·上海·期中）已知，，，，则 . 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】先利用已知条件和同角三角函数的基本关系求出，然后利用两角和的余弦公式求解. 【详解】因为，，，， 所以，， 所以 . 故答案为： 5．（23-24高一下·上海·假期作业）求值：已知为锐角，且, ，则的值为 ，的值为 . 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】求出余弦值后用两角正弦的和差公式求解即可. 【详解】因为都是锐角，且,， 所以,，， 所以， ， 故答案为：， 6．（22-23高三上·上海嘉定·期中）若，则用t表示，可得 . 【答案】 【知识点】正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】使用倍角公式将原式化为，再次使用倍角公式将原式化为关于的齐次化分式，分式上下同除构造即可. 【详解】 将分式上下同除得 原式 故答案为： 7．（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）已知，，则的值为 ． 【答案】/0.96 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式、给值求值型问题 【分析】利用辅助角公式化简可得，结合角的范围确定的值，利用二倍角公式，即可求得答案. 【详解】由， 得，则，即， 由于，故，结合， 可知， 故， 故答案为： 8．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）已知为第三象限角，且，则的值为 ． 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正切公式 【分析】由，及为第三象限角，得的值，由为第三象限角确定的范围，再根据2倍角公式求的值. 【详解】为第三象限角， ，，， ，即， 即， 解得： 为第三象限角， 为第二或第四象限， . 故答案为：. 二、单选题 9．（23-24高一·上海·课堂例题）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式 【分析】利用二倍角的正弦公式及同角公式化简即得. 【详解】由，得， 所以. 故选：C 10．（24-25高一上·上海·课后作业）已知是第三象限的角，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限、半角公式、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】根据是第三象限的角，得到，并根据和辅助角公式得到，由半角公式求出答案. 【详解】是第三象限的角，故， 故， 因为，， 则，， 若，，，， 此时，满足要求，故， 若，，，， 此时，不合要求，舍去， ，D正确. 故选：D 11．（23-24高一上·上海·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式 【分析】结合同角三角函数的商数关系及二倍角公式即可求解. 【详解】由题知， 解得， 故选：C. 12．（22-23高一下·江苏南京·期中）设，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】先利用余弦的差角和倍角公式，正弦的二倍角公式以及商数关系，对进行化简，再利用的性质即可得到结果. 【详解】因为，， ，由的性质可知，， 故选：A. 13．（24-25高一·上海·随堂练习）已知，，则等于（    ）． A．；B．； C．； D．． 【答案】D 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】由余切公式及两角差的正切公式求解． 【详解】 故选：D． 14．（24-25高一上·上海·单元测试）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】根据同角基本关系式和正余弦的二倍角公式化简得，再分析三角函数符号去绝对值即可求解. 【详解】， 又由弧度的角位于第二象限，可得， 因为，所以为第三象限角， 所以， 所以， 故选：B. 三、解答题 15．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，． (1)求的值； (2)若且，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、二倍角的正弦公式、给值求值型问题 【分析】（1）由同角平方关系及正弦二倍角公式即可求解； （2）由展开求解即可； 【详解】（1）因为，， 由，可得：， 所以； （2）因为，， 由， 所以， 所以 ； 16．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）（1）已知角的终边经过点，求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式五、六、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】（1）先根据三角函数的定义求出的值，再利用诱导公式化简式子，最后代入的值求解； （2）利用二倍角公式将式子化简，再结合同角三角函数的基本关系将式子转化为只含的形式，最后代入的值求解. 【详解】（1）已知角的终边经过点，得到. ； （2） . 17．（24-25高一上·上海·期末）已知角的终边过点． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）根据角的终边过点求出角的三个三角函数值，代入求解即可； （2）由两角差的余弦公式和两角和的正切公式求解即可. 【详解】（1）因为角的终边过点，所以到原点的距离， 则，，， 所以； （2） . 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$