专题02 勾股定理（贵州专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编

专题02 勾股定理 题型概览 题型01 利用勾股定理求线段长度 题型02 利用勾股定理解决面积问题 题型03 利用勾股定理表示无理数 题型04 两点之间的距离公式的应用 题型05 勾股定理的证明与计算 题型06 判断条件是否构成直角三角形 题型07 勾股定理逆定理与图形面积 题型08 勾股数的判断 题型09 勾股定理的实际应用 利用勾股定理求线段长度题型01 1．（2024春•罗甸县期中）在直角三角形中，一直角边长是5，斜边长是13，则另一直角边长是（　　） A． B．12 C． D．8 2．（2024秋•钟山区校级期中）在Rt△ABC中，已知其两边长分别为a，b，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的斜边长为（　　） A．5 B． C．5或 D．5或4 3．（2024秋•观山湖区校级期中）已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800，则斜边长为（　　） A．80 B．30 C．90 D．120 4．（2024秋•南明区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D．若CD＝1，则BD的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2024秋•乌当区期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，则Rt△ABC的斜边AB上的高CD的长是（　　） 第5题 第6题 A． B． C．9 D．6 6．（2024春•西秀区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是边BC上任意一点，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则DE+DF＝（　　） A．3 B．4 C．4.8 D．不能确定 7．（2024春•沿河县期中）以△ABC的顶点A为圆心，大于二分之一AC为半径画弧与AC，AB分别交于两点，分别以这两点为圆心，以大于二分之一两点间距离为半径（半径不变）画弧，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，那么AD的长是（　　） 第7题 第8题 A． B． C． D． 8．（2024春•沿河县期中）在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，则边BC的长是 　 　． 9．（2024春•罗甸县期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，BD⊥AC于点D，BD＝6，CD＝2，则AD的长为 　 　． 10．（2024春•云岩区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E．若AC＝6，AB＝10． （1）求AE的长； （2）求DE的长． 11．（2024秋•榕江县校级期中）已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b． （1）如果a＝7，b＝24，求c； （2）如果a＝12，c＝13，求b． 利用勾股定理解决面积问题题型02 1．（2024秋•观山湖区校级期中）如图，阴影长方形的面积是（　　） A．9cm2 B．24cm2 C．45cm2 D．51cm2 2．（2024秋•七星关区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（　　） A．100 B．80 C．48 D．24 3．（2024秋•云岩区校级期中）如图，以直角三角形三边为直径的半圆，则他们面积关系正确的是（　　） A．S1+S2＞Sy B．S1+S2＞S3 C．S1+S2＝S3 D．S1+S2＝2S3 4．（2024秋•六盘水期中）如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A，C的面积分别为400，625，则正方形B的面积是（　　） A．10 B．25 C．225 D．500 5．（2024春•台江县校级期中）如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是 　 　cm2． 利用勾股定理表示无理数题型03 1．（2024春•罗甸县期中）如图，在数轴上以长为2的OE为边，作一个正方形OEFG，以正方形的对角线OF的长为半径作圆，其与数轴的两个交点分别为A，B，则点B在数轴上表示的数是（　　） A． B． C．﹣2.5 D． 2．（2024秋•钟山区校级期中）如图，数轴上A点表示的数为﹣1，B点表示的数是2，过点B作BC⊥AB千点B，且BC＝2（单位长度），以点A为圆心，AC的长为半径作弧，弧与数轴的一个交点D表示的数为（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•七星关区校级期中）如图，已知OA＝OB．则点A所表示的数是 　　 ． 两点之间的距离公式的应用题型04 1．（2024春•遵义期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，若A点的坐标为（4，4），B点的坐标为（1，0），则AB的长为 　． 2．（2024秋•赫章县校级期中）如图，P（x，y）是平面直角坐标系中的一点． （1）用二次根式表示线段OP的长． （2）若x，y，求OP的长． 3．（2024秋•贵州期中）如图，P（x，y），A（1，0）是直角坐标系中的两点． （1）用二次根式表示线段PA的长． （2）若x＝1，y，求PA的长． 勾股定理的证明与计算题型05 1．（2024春•黔东南州期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•观山湖区校级期中）如图所示是由4个全等的直角三角形与一个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边长（x＞y），请观察图案指出下列关系不正确的是（　　） A．x2+y2＝49 B．x﹣y＝2 C．2xy+4＝49 D．x+y＝13 3．（2024秋•七星关区校级期中）两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，连接AD，△ABC的三边长分别为a，b，c（a＞b），四边形ACFD的面积可以表示为或，从而可推导出a2+b2＝c2． （1）将△DEF从图1的位置开始沿BC向左移动，直到点F与点B重合时停止（如图2），此时AB与DE相交于点O，连接AD，AE，请利用图2证明勾股定理； （2）在图2的基础上，若四边形AEBD的面积为200，AC＝12，求BC的长． 判断条件是否构成直角三角形题型06 1．（2024秋•云岩区校级期中）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．6，7，8 2．（2024春•沿河县期中）下列四组线段中，不能构成直角三角形的是（　　） A．5，12，13 B．1，，3 C．3，4，5 D．1，1， 3．（2024春•西秀区期中）下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（　　） A．三个角的比为1：2：3 B．三条边满足关系a2＝b2﹣c2 C．三条边的比为1：2：3 D．三个角满足关系∠B+∠C＝∠A 4．（2024春•西秀区期中）在以下列线段a、b、c的长为边的三角形中，不能构成直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B． C． D．a＝9，b＝12，c＝15 5．（2024春•石阡县期中）已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．a2﹣b2＝c2 B．∠C＝∠A﹣∠B C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝5：12：13 6．（2024春•西秀区期中）已知△ABC三边长a、b、c，且满足，则此三角形一定是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 勾股定理逆定理与图形面积题型07 1．（2024秋•从江县校级期中）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝9m，BC＝12m，CD＝8m，AD＝17m，则四边形ABCD的面积为（　　） A．108m2 B．114m2 C．122m2 D．158m2 2．（2024秋•云岩区校级期中）如图，已知在△ABD中，AB＝8，AD＝17，∠ABD＝90°，BC＝9，CD＝12，求△BCD的面积． 3．（2024秋•贵阳期中）如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝12，AC⊥BC，点D为△ABC内一点，且CD＝3，BD＝4． （1）求BC的长； （2）求图中阴影部分（四边形ABDC）的面积． 4．（2024秋•金沙县期中）如图，∠ADC＝90°，AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m． （1）试判断以点A，B，C为顶点的三角形的形状，并说明理由； （2）求该图的面积． 5．（2024秋•观山湖区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，，AD＝13，求四边形ABCD的面积． 勾股数的判断题型08 1．（2024春•西秀区期中）下列数组是勾股数的是（　　） A．1， B．3，4，5 C．6，8，14 D．7，23，26 2．（2024春•沿河县期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．6，8，10 3．（2024秋•金沙县期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．1，2，3 B．，， C．3，4，5 D．0.3，0.4，0.5 4．（2024秋•赫章县校级期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．1，2，3 B．3，4，5 C．，， D．，， 勾股定理的实际应用题型07 1．（2024秋•贵阳期中）华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（　　）米． A． B．20 C．15 D． 2．（2024春•黔东南州期中）如图，学校需要测量升旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．经测量，绳子多出的部分长度为2m，将绳子沿地面拉直，绳子底端距离旗杆底端6m，则旗杆的高度为（　　） A．10m B．9m C．8m D．7m 3．（2024秋•贵阳期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它沿水平方向向前推进3米（即DE＝3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（　　） A．1米 B．1.5米 C．2米 D．4米 4．（2024春•遵义期中）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路AC、AD和AB，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路AC和公路CB互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路DH与公路AB在H处连接，且公路DH和公路AB互相垂直，已知AC＝9千米，AB＝15千米，BD＝5千米． （1）求公路CD、AD的长度； （2）若修公路DH每千米的费用是2000万元，请求出修建公路DH的费用． 5．（2024秋•云岩区校级期中）一架云梯AB长25m，按如图所示的方式斜靠在一面墙上，云梯底端离墙的距离BC为7m． （1）求此架云梯的顶端到地面的距离AC； （2）如果云梯的顶端A下滑了4m到达E处，求它的底部B在水平方向移动的距离BF的长． 6．（2024秋•乌当区期中）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方12米的C处，过了1.5秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米． （1）求BC的长； （2）这辆小汽车在BC段的速度约是多少米/秒？（结果精确到0.1） 7．（2024春•印江县期中）某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图 测量数据 边的长度 ①测得水平距离BC的长为15米． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米． ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米． 数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度AD．请完成以下任务． （1）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AB＝17．求线段AD的长． （2）如果小明想要风筝沿DA方向再上升12米，BC长度不变，则他应该再放出多少米线？ 1．（2024秋•钟山区校级期中）如图，Rt△ABC的两直角边长分别为1，2，以Rt△ABC的斜边AC为一直角边，另一直角边CD长为1画第2个Rt△ACD；再以Rt△ACD的斜边AD为一直角边，另一直角边DE长为1画第3个Rt△ADE；…以此类推，第4个直角三角形的斜边的平方是（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 2．（2024春•黔东南州期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（　　） A．2 B．4 C．3 D． 3．（2024春•黔东南州期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为 　 　． 4．（2024秋•乌当区期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ 　 　． 5．（2024秋•观山湖区校级期中）某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱．已知大厅圆柱高4米，底面周长1米．由于在中学同学三年，他们打算精确地用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），那么螺旋形花圈的长至少　 　米． 6．（2024秋•贵阳期中）已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4，计算结果为斜边长度5，同理计算可以看成直角边长度分别为a、8，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知a+b＝12（a＞0，b＞0），计算的最小值为 　 　． 7．（2024春•红花岗区校级期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷． （1）应用场景1—在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示2的点A，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB＝1，以原点O为圆心，OB为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点C表示的数是 　 　； （2）应用场景2—解决实际问题．如图2，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线（BD），已知门宽6尺，求竹竿长． 8．（2024秋•贵阳期中）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边，当a2+b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）． （1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为　锐角　三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为　 　三角形． （2）猜想，当a2+b2　 　c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2　 　c2时，△ABC为钝角三角形． （3）判断当a＝2，b＝4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围． 9．（2024秋•清镇市期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O． （1）若AO＝2，BO＝3，CO＝4，DO＝5，请求出AB2，BC2，CD2，DA2的值； （2）若AB＝6，CD＝10，求BC2+AD2的值； （3）请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 10．（2024秋•观山湖区校级期中）阅读下面的材料，然后解答问题： 我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． 理解： ①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？　 　（填“是”或“不是”） ②若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形 　 　（填“是”或“不是”）奇异三角形． 探究： 在Rt△ABC中，两边长分别是a、c，且a2＝50，c2＝100，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由． 拓展： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a2：b2：c2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 勾股定理 题型概览 题型01 利用勾股定理求线段长度 题型02 利用勾股定理解决面积问题 题型03 利用勾股定理表示无理数 题型04 两点之间的距离公式的应用 题型05 勾股定理的证明与计算 题型06 判断条件是否构成直角三角形 题型07 勾股定理逆定理与图形面积 题型08 勾股数的判断 题型09 勾股定理的实际应用 利用勾股定理求线段长度题型01 1．（2024春•罗甸县期中）在直角三角形中，一直角边长是5，斜边长是13，则另一直角边长是（　　） A． B．12 C． D．8 【分析】根据勾股定理，即可求解． 【解答】解：∵一直角边长是5，斜边长是13， ∴另一直角边长是． 故选：B． 2．（2024秋•钟山区校级期中）在Rt△ABC中，已知其两边长分别为a，b，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的斜边长为（　　） A．5 B． C．5或 D．5或4 【分析】根据题意求出a＝3，b＝4，分类讨论b是斜边，a，b是直角边两种情况即可求解． 【解答】解：由（a﹣3）2+|b﹣4|＝0得，a＝3，b＝4； ①若a，b是直角边，则斜边长为5， ②∵b＞a， ∴若b是斜边，则斜边长为4． 综上，该直角三角形的斜边长为5或4． 故选：D． 3．（2024秋•观山湖区校级期中）已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800，则斜边长为（　　） A．80 B．30 C．90 D．120 【分析】设此直角三角形的斜边是c，两直角边分别为a，b，则a2+b2+c2＝1800，根据勾股定理可得2c2＝1800，即可求解． 【解答】解：设此直角三角形的斜边是c，两直角边分别为a，b，则a2+b2+c2＝1800， 根据勾股定理得：a2+b2＝c2， 所以2c2＝1800， 解得c＝30或﹣30（舍去）， 即斜边长为30． 故选：B． 4．（2024秋•南明区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D．若CD＝1，则BD的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】先求出∠CAB＝60°，根据角平分线的性质得∠BAD＝∠CAD＝30°，然后根据等角对等边得BD＝AD，AC＝18，BC＝12，根据含30°角直角三角形的特征即可求解． 【解答】解：在△ABC中， ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAB＝60°， 又∵AD平分∠CAB， ∴∠BAD＝∠CAD＝30°， ∴． 在Rt△ACD中， ∵∠C＝90°，∠CAD＝30°，CD＝1， ∴BD＝AD＝2CD＝2， 故选：A． 5．（2024秋•乌当区期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，则Rt△ABC的斜边AB上的高CD的长是（　　） A． B． C．9 D．6 【分析】根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8， 由勾股定理得，AB10， △ABC的面积BC×ACAB×CD，即6×810×CD， 解得，CD， 故选：B． 6．（2024春•西秀区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是边BC上任意一点，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则DE+DF＝（　　） A．3 B．4 C．4.8 D．不能确定 【分析】根据三角形的面积公式即可得到AB•DEAC•DF，进而求得DE+DF的值． 【解答】解：如图，连接AD，过点A作BC边上的垂线AG，垂足为D， ∵AB＝AC＝5，BC＝6， ∴BG＝CG＝3． ∴AG4． ∴AB•DEAC•DF6×4， 即12． ∴DE+DF＝4.8． 故选：C． 7．（2024春•沿河县期中）以△ABC的顶点A为圆心，大于二分之一AC为半径画弧与AC，AB分别交于两点，分别以这两点为圆心，以大于二分之一两点间距离为半径（半径不变）画弧，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，那么AD的长是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据含30°角的直角三角形性质得出AC＝2，BC＝2，进而解答即可． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4， ∴∠CAB＝90°﹣30°＝60°，AC＝2，BC＝2， 由作图可知AD平分∠CAB， ∴∠CAD＝∠BAD＝30°， ∴AD＝2CD， ∵∠BAD＝∠B＝30°， ∴AD＝DB＝2CD， 故选：C． 8．（2024春•沿河县期中）在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，则边BC的长是 　14或4　． 【分析】根据题意作出如图1和图2，分两种情况分别求解即可． 【解答】解：如图1，在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12， ∴BD9， CD5， ∴BC＝BD+DC＝14； 如图2，在Rt△ABD中，AB＝15，AD＝12， ∴BD9， 在Rt△ACD中，由勾股定理得， CD5， ∴BC＝BD﹣CD＝9﹣5＝4， 综上所述，BC的长为14或4， 故答案为：14或4． 9．（2024春•罗甸县期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，BD⊥AC于点D，BD＝6，CD＝2，则AD的长为 　3　． 【分析】利用勾股定理得到，利用直角三角形性质与等腰三角形性质得到BE＝AE，设CE＝x，，进而得到AB，利用勾股定理建立等式求出x的值，即可算出AD的长． 【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E， ∵BD⊥AC，BD＝6，CD＝2， ∴， ∵∠ABC＝45°，AE⊥BC， ∴∠EAB＝45°＝∠ABC， ∴BE＝AE， 设CE＝x，， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 故答案为：3． 10．（2024春•云岩区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E．若AC＝6，AB＝10． （1）求AE的长； （2）求DE的长． 【分析】（1）证明Rt△ACD≌Rt△AED（HL），得出AE＝AC＝6即可； （2）根据勾股定理求出，设DE＝x，则CD＝x，BD＝8﹣x，根据勾股定理得出DE2+BE2＝BD2，即x2+42＝（8﹣x）2，求出结果即可． 【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DC＝DE． 在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AE＝AC＝6． （2）∵AB＝10，AE＝6， ∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4． 在Rt△ABC中，由勾股定理，得： ， 设DE＝x，则CD＝x，BD＝8﹣x， 在Rt△BDE中，由勾股定理得DE2+BE2＝BD2， 即x2+42＝（8﹣x）2， 解得x＝3， ∴DE的长为3． 11．（2024秋•榕江县校级期中）已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b． （1）如果a＝7，b＝24，求c； （2）如果a＝12，c＝13，求b． 【分析】（1）利用勾股定理计算c； （2）利用勾股定理计算b． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°， 由勾股定理得： c ＝25； （2）在Rt△ABC中， 由勾股定理得： b ＝5． 利用勾股定理解决面积问题题型02 1．（2024秋•观山湖区校级期中）如图，阴影长方形的面积是（　　） A．9cm2 B．24cm2 C．45cm2 D．51cm2 【分析】利用勾股定理求出长方形的长，再根据长方形的面积公式计算即可． 【解答】解：由勾股定理得，长方形的长为：， ∴阴影长方形的面积是：8×3＝24cm2， 故选：B． 2．（2024秋•七星关区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（　　） A．100 B．80 C．48 D．24 【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB2＝AC2+BC2＝82+62＝100， ∴正方形的面积＝AB2＝100， 故选：A． 3．（2024秋•云岩区校级期中）如图，以直角三角形三边为直径的半圆，则他们面积关系正确的是（　　） A．S1+S2＞Sy B．S1+S2＞S3 C．S1+S2＝S3 D．S1+S2＝2S3 【分析】根据勾股定理进行计算即可． 【解答】解：设直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c， 以直角三角形三边为直径的半圆，则他们面积关系： 则， ， ∴． 故选：C． 4．（2024秋•六盘水期中）如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A，C的面积分别为400，625，则正方形B的面积是（　　） A．10 B．25 C．225 D．500 【分析】根据正方形的面积与边长的关系，可知SC＝SB+SA，则SB＝SC﹣SA由此即可求解． 【解答】解：设正方形A，B，C的边长分别为a，b，c， 根据勾股定理得a2+b2＝c2， ∴SB＝SC﹣SA， ∴SB＝625﹣400＝225， 故选：C． 5．（2024春•台江县校级期中）如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是 　17　cm2． 【分析】根据勾股定理有S正方形1+S正方形2＝S大正方形＝49，S正方形C+S正方形D＝S正方形2，S正方形A+S正方形B＝S正方形1，等量代换即可求正方形D的面积． 【解答】解：根据勾股定理可知， ∵S正方形1+S正方形2＝S大正方形＝49， S正方形C+S正方形D＝S正方形2， S正方形A+S正方形B＝S正方形1， ∴S大正方形＝S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B＝49． ∴正方形D的面积＝49﹣8﹣10﹣14＝17（cm2）； 故答案为：17． 利用勾股定理表示无理数题型03 1．（2024春•罗甸县期中）如图，在数轴上以长为2的OE为边，作一个正方形OEFG，以正方形的对角线OF的长为半径作圆，其与数轴的两个交点分别为A，B，则点B在数轴上表示的数是（　　） A． B． C．﹣2.5 D． 【分析】由题意得OB＝OA＝OF，根据勾股定理即可求出OB的长，再根据点B在原点左侧，即可得出点B在数轴上表示的数． 【解答】解：由题意得， ∵点B在原点左侧， ∴点B在数轴上表示的数是． 故选：A． 2．（2024秋•钟山区校级期中）如图，数轴上A点表示的数为﹣1，B点表示的数是2，过点B作BC⊥AB千点B，且BC＝2（单位长度），以点A为圆心，AC的长为半径作弧，弧与数轴的一个交点D表示的数为（　　） A． B． C． D． 【分析】首先在直角三角形中运用勾股定理求出CA的长度，然后根据AC＝AD可得AD的长度，即可求出数轴上点D表示的数 【解答】解：在直角三角形中运用勾股定理求出CA的长度， ∴， ∴点D到原点的距离为， ∴点D表示的数是． 故选：C． 3．（2024秋•七星关区校级期中）如图，已知OA＝OB．则点A所表示的数是 　　． 【分析】由勾股定理求出OB的长，从而确定OA的长，再求A点表示的数即可． 【解答】解：由题可知，BO， ∵OA＝OB， ∴OA， ∴A点表示的数是， 故答案为：． 两点之间的距离公式的应用题型04 1．（2024春•遵义期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，若A点的坐标为（4，4），B点的坐标为（1，0），则AB的长为 　5　． 【分析】根据勾股定理计算即可． 【解答】解：∵A点的坐标为（4，4），B点的坐标为（1，0）， ∴AB5． 故答案为：5． 2．（2024秋•赫章县校级期中）如图，P（x，y）是平面直角坐标系中的一点． （1）用二次根式表示线段OP的长． （2）若x，y，求OP的长． 【分析】（1）用勾股定理即可；（2）代入计算即可． 【解答】解：（1）OP；（2）OP4． 3．（2024秋•贵州期中）如图，P（x，y），A（1，0）是直角坐标系中的两点． （1）用二次根式表示线段PA的长． （2）若x＝1，y，求PA的长． 【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论； （2）把x＝1，y代入（1）中的式子，即可得到答案． 【解答】解：（1）∵P（x，y），A（1，0）， ∴PA； （2）∵x＝1，y， ∴PA4， 故PA的长为4． 勾股定理的证明与计算题型05 1．（2024春•黔东南州期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 【解答】解：A、大正方形的面积为：c2； 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：a2+b2， ∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理． B、梯形的面积为：； 也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ∴， ∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理． C、大正方形的面积为：（a+b）2； 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：2ab+c2， ∴（a+b）2＝2ab+c2， ∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理． D、大正方形的面积为：（a+b）2； 也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab， ∴D选项不能证明勾股定理． 故选：D． 2．（2024秋•观山湖区校级期中）如图所示是由4个全等的直角三角形与一个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边长（x＞y），请观察图案指出下列关系不正确的是（　　） A．x2+y2＝49 B．x﹣y＝2 C．2xy+4＝49 D．x+y＝13 【分析】利用勾股定理和正方形的面积公式解答即可． 【解答】解：A．根据勾股定理以及正方形的面积公式即可得到，故本选项正确，不符合题意； B．根据小正方形的边长是2即可得到，故本选项正确，不符合题意； C．根据四个直角三角形的面积和加上小正方形的面积即可得到，故本选项正确，不符合题意； D．根据A，C联立得： ， 得：x2+2xy+y2+4＝98， 解得：x+y（负值舍去）， 故本选项错误，符合题意； 故选：D． 3．（2024秋•七星关区校级期中）两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，连接AD，△ABC的三边长分别为a，b，c（a＞b），四边形ACFD的面积可以表示为或，从而可推导出a2+b2＝c2． （1）将△DEF从图1的位置开始沿BC向左移动，直到点F与点B重合时停止（如图2），此时AB与DE相交于点O，连接AD，AE，请利用图2证明勾股定理； （2）在图2的基础上，若四边形AEBD的面积为200，AC＝12，求BC的长． 【分析】（1）先根据题意求出梯形的面积，再求出四边形CABD的面积，即可证明结论； （2）根据题意得到S△ADE+S△BDE＝200，进而得到，再根据a2+b2＝c2计算即可得到答案． 【解答】（1）证明：由题意得：， 将△DEF从图1的位置开始沿BC向左移动，直到点F与点B重合时停止，由图1所示，AB⊥DE， ∴由平移的性质可得到图2中AB⊥DE， ∴， ， ∵S四边形ACBD＝S梯形ACBD， ∴， ∴a2+b2＝c2； （2）解：∵四边形AEBD的面积为200，AC＝12， ∴S四边形AEBD＝S△ADE+S△BDE＝200， ∴， ∴， ∴， ∴c＝20或c＝﹣20（舍去）， ∴． 判断条件是否构成直角三角形题型06 1．（2024秋•云岩区校级期中）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．6，7，8 【分析】根据勾股定理逆定理，进行判断即可． 【解答】解：A、22+32≠42，2，3，4不能组成直角三角形，不符合题意； B、32+42＝52，3，4，5能组成直角三角形，符合题意； C、42+52≠62，4，5，6不能组成直角三角形，不符合题意； D、62+72≠82，6，7，8不能组成直角三角形，不符合题意， 故选：B． 2．（2024春•沿河县期中）下列四组线段中，不能构成直角三角形的是（　　） A．5，12，13 B．1，，3 C．3，4，5 D．1，1， 【分析】根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【解答】解：A、132＝169，a2+b2＝25+144＝169，满足c2＝a2+b2，能构成直角三角形，故不符合题意； B、，不满足c2＝a2+b2，故符合题意； C、52＝25，32+42＝9+16＝25，满足c2＝a2+b2，能构成直角三角形，故不符合题意； D、，满足c2＝a2+b2，能构成直角三角形，故不符合题意； 故选：B． 3．（2024春•西秀区期中）下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（　　） A．三个角的比为1：2：3 B．三条边满足关系a2＝b2﹣c2 C．三条边的比为1：2：3 D．三个角满足关系∠B+∠C＝∠A 【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【解答】解：A、三个角的比为1：2：3，设最小的角为x，则x+2x+3x＝180°，x＝30°，3x＝90°，故正确； B、三条边满足关系a2＝b2﹣c2，故正确； C、三条边的比为1：2：3，12+22≠32，故错误； D、三个角满足关系∠B+∠C＝∠A，则∠A为90°，故正确． 故选：C． 4．（2024春•西秀区期中）在以下列线段a、b、c的长为边的三角形中，不能构成直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B． C． D．a＝9，b＝12，c＝15 【分析】根据三角形内角和和勾股定理逆定理逐项判断即可． 【解答】解：A．因为∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，不能构成直角三角形，符合题意； B．因为，则a2+b2＝c2，能构成直角三角形，不符合题意； C．因为 ，则a2+c2＝b2，能构成直角三角形，不符合题意； D．因为a＝9，b＝12，c＝15，则a2+b2＝225＝c2，能构成直角三角形，不符合题意； 故选：A． 5．（2024春•石阡县期中）已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．a2﹣b2＝c2 B．∠C＝∠A﹣∠B C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝5：12：13 【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【解答】解：A、∵a2﹣b2＝c2，∴a2＝b2+c2，故△ABC是直角三角形； B、∵∠C＝∠A﹣∠B，∴∠A＝90°，故△ABC是直角三角形； C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝180°75°，故△ABC不是直角三角形； D、∵52+122＝132，∴a2+b2＝c2，故△ABC是直角三角形． 故选：C． 6．（2024春•西秀区期中）已知△ABC三边长a、b、c，且满足，则此三角形一定是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【分析】根据平方，绝对值相加为0，可分别求出a，b，c的值，根据边长可判断三角形的形状． 【解答】解：∵（a﹣2）2+|b﹣2|+|c﹣2|＝0， ∴a﹣2＝0，a＝2；b﹣2＝0，b＝2；c﹣20，c＝2． ∵22+22， 即：a2+b2＝c2， ∴所以此三角形是直角三角形． 又∵a＝b， ∴故此三角形是等腰直角三角形． 故选：C． 勾股定理逆定理与图形面积题型07 1．（2024秋•从江县校级期中）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝9m，BC＝12m，CD＝8m，AD＝17m，则四边形ABCD的面积为（　　） A．108m2 B．114m2 C．122m2 D．158m2 【分析】连接AC，勾股定理求出AC的长，勾股定理逆定理得到△ACD为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可． 【解答】解：连接AC， ∵∠B＝90°，AB＝9m，BC＝12m， ∴AC15（cm）， ∵CD2+AC2＝82+152＝172＝AD2， ∴△ACD为直角三角形， ∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD9×128×15＝114（cm2）； 故选：B． 2．（2024秋•云岩区校级期中）如图，已知在△ABD中，AB＝8，AD＝17，∠ABD＝90°，BC＝9，CD＝12，求△BCD的面积． 【分析】根据勾股定理求出BD＝15，根据勾股定理逆定理推出△BCD是直角三角形，∠C＝90°，根据三角形面积公式求解即可． 【解答】解：∵AB＝8，AD＝17，∠ABD＝90°， ∴BD15， ∵BC＝9，CD＝12， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，∠C＝90°， ∴△BCD的面积CD•BC12×9＝54． 3．（2024秋•贵阳期中）如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝12，AC⊥BC，点D为△ABC内一点，且CD＝3，BD＝4． （1）求BC的长； （2）求图中阴影部分（四边形ABDC）的面积． 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）由勾股定理逆定理可证△BCD为直角三角形，且∠BDC＝90°，再根据S四边形ABDC＝S△ABC﹣S△BCD，结合三角形面积公式求解即可． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2， ∴； （2）∵CD＝3，BD＝4，BC＝5， ∴CD2+BD2＝BC2， ∴△BCD为直角三角形，且∠BDC＝90°， ∴． ∵， ∴S四边形ABDC＝S△ABC﹣S△BCD＝24． 4．（2024秋•金沙县期中）如图，∠ADC＝90°，AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m． （1）试判断以点A，B，C为顶点的三角形的形状，并说明理由； （2）求该图的面积． 【分析】（1）根据勾股定理求出AC长，再根据勾股定理的逆定理判断即可； （2）分别求出△ACB和△ADC的面积，再相减即可． 【解答】解：（1）以点A，B，C为顶点的三角形的形状是直角三角形， 理由是：连接AC， ∵∠ADC＝90°，AD＝4m，CD＝3m， ∴由勾股定理得：AC5m， ∵AB＝13m，BC＝12m， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， 即以点A，B，C为顶点的三角形的形状是直角三角形； （2）图形的面积S＝S△ACB﹣S△ADC24（m）2． 5．（2024秋•观山湖区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，，AD＝13，求四边形ABCD的面积． 【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，再勾股定理的逆定理可证△DCA为直角三角形，然后将两个直角三角形的面积相加即为四边形ABCD的面积． 【解答】解：连接AC，∵AB＝3，BC，∠ABC＝90°， ∴AC5， ∵DC＝12，AD＝13， ∴△DCA为直角三角形， ∴四边形ABCD的面积＝S△DCA+S△ACB AC•CDAB•BC， 5×123， ＝30， ． 答：四边形ABCD的面积为． 勾股数的判断题型08 1．（2024春•西秀区期中）下列数组是勾股数的是（　　） A．1， B．3，4，5 C．6，8，14 D．7，23，26 【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数逐一判断即可． 【解答】解：A．1，，不是整数，此数组不是勾股数，不符合题意； B．32+42＝52，此数组是勾股数，符合题意； C．62+82≠142，此数组不是勾股数，不符合题意； D．72+232≠262，此数组不是勾股数，不符合题意． 故选：B． 2．（2024春•沿河县期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．6，8，10 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【解答】解：A、22+32≠42，故不是勾股数，故本选项不符合题意； B、42+52≠62，故不是勾股数，故本选项不符合题意； C、72+82≠92，故不是勾股数，故本选项不符合题意； D、82+62＝102，故是勾股数，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（2024秋•金沙县期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．1，2，3 B．，， C．3，4，5 D．0.3，0.4，0.5 【分析】根据勾股数的定义（能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数）逐项判断即可得． 【解答】解：A、12+22≠32，故此项不是勾股数，不符合题意； B、，，，这三个数不是正整数，故此项不是勾股数，不符合题意； C、32+42＝52，且这三个数均为正整数，则此项是勾股数，符合题意； D、0.3，0.4，0.5都是小数，不是正整数，故此项不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 4．（2024秋•赫章县校级期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．1，2，3 B．3，4，5 C．，， D．，， 【分析】根据勾股数的概念判断即可． 【解答】解：A、∵12+22≠32， ∴1，2，3三个数不是勾股数，本选项不符合题意； B、∵32+42＝52， ∴3，4，5三个数是勾股数，本选项符合题意； C、∵，，都不是正整数， ∴，，三个数不是勾股数，本选项不符合题意； D、∵，，， ∴，，三个数不是勾股数，本选项不符合题意； 故选：B． 勾股定理的实际应用题型07 1．（2024秋•贵阳期中）华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（　　）米． A． B．20 C．15 D． 【分析】在圆柱的展开图中，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成了直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘3便是答案． 【解答】解：展开图： 12÷3＝4（米）， （米）， 5×3＝15（米）， 故选：C． 2．（2024春•黔东南州期中）如图，学校需要测量升旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．经测量，绳子多出的部分长度为2m，将绳子沿地面拉直，绳子底端距离旗杆底端6m，则旗杆的高度为（　　） A．10m B．9m C．8m D．7m 【分析】设旗杆的高度AB为x m，则AC＝（x+2）m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程求解即可． 【解答】解：设旗杆的高度AB为x m，则AC＝（x+2）m， 由题意可知BC＝6m， 在Rt△ABC中，由勾股定理得， AB2+BC2＝AC2， 即x2+62＝（x+2）2， 解得x＝8， 即旗杆的高度为8m， 故选：C． 3．（2024秋•贵阳期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它沿水平方向向前推进3米（即DE＝3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（　　） A．1米 B．1.5米 C．2米 D．4米 【分析】过点C作CF⊥AB于点F，易得CF＝DE＝3米，再利用勾股定理求出AF的长，即可解决问题． 【解答】解：如图，过点C作CF⊥AB于点F， 则∠AFC＝90°，四边形CFDE为矩形， ∴CF＝DE＝3米． ∵AB＝AC＝5米， ∴AF4（米）， ∴BF＝AB﹣AF＝5﹣4＝1（米）， 即此时木马上升的高度为1米， 故选：A． 4．（2024春•遵义期中）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路AC、AD和AB，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路AC和公路CB互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路DH与公路AB在H处连接，且公路DH和公路AB互相垂直，已知AC＝9千米，AB＝15千米，BD＝5千米． （1）求公路CD、AD的长度； （2）若修公路DH每千米的费用是2000万元，请求出修建公路DH的费用． 【分析】（1）根据勾股定理得出千米，再求出CD＝7千米，然后根据勾股定理即可得出答案； （2）根据面积相等得出，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝9千米，AB＝15千米， ∴千米， ∵BD＝5千米， ∴CD＝7千米， ∴千米； （2）∵DH⊥AB， ∴， 解得：DH＝3千米， ∴修建公路DH的费用为3×2000＝6000（万元）． 5．（2024秋•云岩区校级期中）一架云梯AB长25m，按如图所示的方式斜靠在一面墙上，云梯底端离墙的距离BC为7m． （1）求此架云梯的顶端到地面的距离AC； （2）如果云梯的顶端A下滑了4m到达E处，求它的底部B在水平方向移动的距离BF的长． 【分析】（1）利用勾股定理直接求解即可． （2）如果云梯的顶端A下滑了4m到达E处，则EC＝AC﹣AE＝24﹣4＝20m，再利用勾股定理求出CF，再根据BF＝CF﹣BC求解即可． 【解答】解：（1）， 则此架云梯的顶端到地面的距离AC为24m． 答：此架云梯的顶端到地面的距离AC为24m； （2）如果云梯的顶端A下滑了4m到达E处， 则EC＝AC﹣AE＝24﹣4＝20m， 则， ∴BF＝CF﹣BC＝15﹣7＝8m． 答：它的底部B在水平方向移动的距离BF的长为8m． 6．（2024秋•乌当区期中）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方12米的C处，过了1.5秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米． （1）求BC的长； （2）这辆小汽车在BC段的速度约是多少米/秒？（结果精确到0.1） 【分析】（1）直接利用勾股定理计算BC的长即可； （2）利用路程除以时间即可求解． 【解答】解：（1）∵车速检测仪A处的正前方是C处， ∴AC⊥BC， ∵AC＝12米，AB＝20米， ∴BC16（米）， 答：BC的长为16米． （2）这辆小汽车在BC段的速度约是（米/秒）， 答：这辆小汽车在BC段的速度约是10.7米/秒． 7．（2024春•印江县期中）某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图 测量数据 边的长度 ①测得水平距离BC的长为15米． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米． ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米． 数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度AD．请完成以下任务． （1）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AB＝17．求线段AD的长． （2）如果小明想要风筝沿DA方向再上升12米，BC长度不变，则他应该再放出多少米线？ 【分析】（1）根据勾股定理求出AC，进而求出AD； （2）先根据勾股定理求出风筝线的长，再根据题意计算，得到答案． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AB＝17， 由勾股定理得：AC8， 则AD＝AC+CD＝8+1.7＝9.7； （2）风筝沿DA方向再上升12米后，风筝的高度为20米， 则此时风筝线的长为：25（米）， 25﹣17＝8（米）， 答：他应该再放出8米线． 1．（2024秋•钟山区校级期中）如图，Rt△ABC的两直角边长分别为1，2，以Rt△ABC的斜边AC为一直角边，另一直角边CD长为1画第2个Rt△ACD；再以Rt△ACD的斜边AD为一直角边，另一直角边DE长为1画第3个Rt△ADE；…以此类推，第4个直角三角形的斜边的平方是（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 【分析】在直角三角形中，利用勾股定理求解即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝2，BC＝1， AC2＝22+12＝5＝1+4， 在Rt△ACD中，AC2＝5，CD＝1， AD2＝5+12＝6＝2+4， 在Rt△ADE中，AD2＝6，DE＝1， AE2＝6+12＝7＝3+4， .....． 第n个直角三角形斜边的平方是n+4， ∴第4个直角三角形斜边的平方是4+4＝8． 故选：D． 2．（2024春•黔东南州期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（　　） A．2 B．4 C．3 D． 【分析】连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出AF＝FC．再根据ASA证明△FOA≌△BOC，那么AF＝BC＝3，等量代换得到FC＝AF＝3，利用线段的和差关系求出FD＝AD﹣AF＝1．然后在直角△FDC中利用勾股定理求出CD的长． 【解答】解：如图，连接FC，则OE垂直平分AC， 则AF＝FC． ∵AD∥BC， ∴∠FAO＝∠BCO． 在△FOA与△BOC中， ， ∴△FOA≌△BOC（ASA）， ∴AF＝BC＝3， ∴FC＝AF＝3，FD＝AD﹣AF＝4﹣3＝1． 在△FDC中，∵∠D＝90°， ∴CD2+DF2＝FC2， ∴CD2+12＝32， ∴CD＝2． 故选：A． 3．（2024春•黔东南州期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为 　8或5或　． 【分析】根据△ABP为等腰三角形进行分类讨论，分别求出BP的长，即可求出t的值． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm， 由勾股定理得：BC8（cm）， ①当AB＝AP时，如图1所示： ∵∠ACB＝90°， ∴AC⊥BP， ∴PC＝BC＝8（cm）， ∴BP＝16（cm）， ∴t＝16÷2＝8（s）， ②当BP＝BA＝10cm时，如图2所示： ∴t＝10÷2＝5（s）， ③当PA＝PB时，如图3所示： 设BP＝x cm，则PC＝（8﹣x）cm， 在Rt△ACP中，由勾股定理得：（8﹣x）2+62＝x2， ∴x， ∴BPcm， ∴t2（s）； 综上所述，t的值为8或5或， 故答案为：8或5或． 4．（2024秋•乌当区期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ 　20　． 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 【解答】解：∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2， AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2， ∴AB2+CD2＝AD2+BC2， ∵AD＝2，BC＝4， ∴AB2+CD2＝22+42＝20． 故答案为：20． 5．（2024秋•观山湖区校级期中）某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱．已知大厅圆柱高4米，底面周长1米．由于在中学同学三年，他们打算精确地用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），那么螺旋形花圈的长至少　5　米． 【分析】要求花圈的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理． 【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形， 则有螺旋线长为三个长方形并排后的长方形的对角线长 ∵圆柱高4米，底面周长1米 x2＝（1×3）2+42＝9+16＝25 所以，花圈长至少是5m． 6．（2024秋•贵阳期中）已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4，计算结果为斜边长度5，同理计算可以看成直角边长度分别为a、8，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知a+b＝12（a＞0，b＞0），计算的最小值为 　13　． 【分析】根据题意灵活构造出直角三角形是解题的关键．取线段BD，使BD＝12，在BD上任取一点C，设BC＝a，CD＝b，构造Rt△ABC，Rt△CDE，使∠ABD＝∠BDE＝90°，且AB＝2，DE＝3，则可得，可得当点A，C，E三点共线时，AC+CE的值最小，最小值等于AE的长，构造直角三角形计算即可． 【解答】解：如图，取线段BD，使BD＝12，在BD上取一点C，设BC＝a，CD＝b，构造Rt△ABC，Rt△CDE，使∠ABD＝∠BDE＝90°，且AB＝2，DE＝3， 则BC+CD＝a+b＝12，，， 则， ∴当点A，C，E三点共线时，AC+CE的值最小， 即的值最小，最小值等于AE的长， 过点A作AF⊥ED交ED延长线于点F， 则四边形ABDF是长方形， ∴AF＝BD＝12，DF＝AB＝2， ∴， ∴的最小值为13． 故答案为：13． 7．（2024春•红花岗区校级期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷． （1）应用场景1—在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示2的点A，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB＝1，以原点O为圆心，OB为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点C表示的数是 　　； （2）应用场景2—解决实际问题．如图2，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线（BD），已知门宽6尺，求竹竿长． 【分析】（1）根据勾股定理求得OB，根据实数与数轴关系解答； （2）竹竿长x尺，则门高（x﹣2）尺，利用勾股定理列方程求解即可． 【解答】解：（1）由题意，OA＝2，∠OAB＝90°，OC＝OB， 在Rt△OAB中，， ∴， ∴点C表示的数为， 故答案为：； （2）竹竿长x尺，由题意，竹竿BD＝x，门高AB＝（x﹣2）尺，门宽AD＝6尺， 在Rt△ADB中，∠DAB＝90°， ∴AD2+AB2＝BD2， ∴62+（x﹣2）2＝x2， 解得x＝10， 答：竹竿长10尺． 8．（2024秋•贵阳期中）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边，当a2+b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）． （1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为　锐角　三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为　钝角　三角形． （2）猜想，当a2+b2　＞　c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2　＜　c2时，△ABC为钝角三角形． （3）判断当a＝2，b＝4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围． 【分析】（1）利用勾股定理列式求出两直角边为6、8时的斜边的值，然后作出判断即可； （2）根据（1）中的计算作出判断即可； （3）根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边c点的最大值，然后得到c的取值范围，然后分情况讨论即可得解． 【解答】解：（1）两直角边分别为6、8时，斜边10， ∴△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形； 当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形； 故答案为：锐角；钝角； （2）当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形； 当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形； 故答案为：＞；＜； （3）∵c为最长边，2+4＝6， ∴4≤c＜6， a2+b2＝22+42＝20， ①a2+b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2， ∴当4≤c＜2时，这个三角形是锐角三角形； ②a2+b2＝c2，即c2＝20，c＝2， ∴当c＝2时，这个三角形是直角三角形； ③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2， ∴当2c＜6时，这个三角形是钝角三角形． 9．（2024秋•清镇市期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O． （1）若AO＝2，BO＝3，CO＝4，DO＝5，请求出AB2，BC2，CD2，DA2的值； （2）若AB＝6，CD＝10，求BC2+AD2的值； （3）请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 【分析】（1）根据垂直得到的直角三角形，利用勾股定理，得到结果； （2）根据勾股定理得到的关系式，得到BC2+AD2＝136； （3）根据（1）（2）可得到：垂美四边形的两组对边的平方和相等． 【解答】解：（1）∵AC⊥BD， ∴△ABO是直角三角形， ∴AB2＝AO2+BO2， 同理，可得：BC2＝BO2+CO2，CD2＝CO2+DO2，AD2＝AO2+DO2， ∵AO＝2，BO＝3，CO＝4，DO＝5， ∴AB2＝13，BC2＝25，CD2＝41，AD2＝29； （2）由（1）得： BC2+AD2＝（BO2+CO2）+（AO2+DO2） ＝（BO2+AO2）+（CO2+DO2） ＝AB2+CD2， 即：BC2+AD2＝AB2+CD2， ∵AB＝6，CD＝10， ∴BC2+AD2＝62+102＝136； （3）结论：“垂美”四边形的两组对边的平方和相等． 10．（2024秋•观山湖区校级期中）阅读下面的材料，然后解答问题： 我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． 理解： ①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？　是　（填“是”或“不是”） ②若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形 　是　（填“是”或“不是”）奇异三角形． 探究： 在Rt△ABC中，两边长分别是a、c，且a2＝50，c2＝100，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由． 拓展： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a2：b2：c2． 【分析】理解：①根据题中所给的奇异三角形的定义、等边三角形的性质判断； ②根据奇异三角形的定义判断； 探究：分c为斜边、b为斜边两种情况，根据勾股定理、奇异三角形的定义判断； 拓展：根据勾股定理、奇异三角形的定义计算即可． 【解答】解：①设等边三角形的边长为a， ∵a2+a2＝2a2， ∴等边三角形一定是奇异三角形， 故答案为：是； ②∵12+（）2＝2×22， ∴该三角形是奇异三角形， 故答案为：是； 探究：当c为斜边时，b2＝c2﹣a2＝50，Rt△ABC不是奇异三角形； 当b为斜边时，b2＝c2+a2＝150， ∵50+150＝2×100， ∴a2+b2＝2c2 ∴Rt△ABC是奇异三角形； 拓展：Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴a2+b2＝c2， ∵c＞b＞a， ∴2c2＞b2+a2，2a2＜b2+c2， ∵Rt△ABC是奇异三角形， ∴2b2＝a2+c2， ∴2b2＝a2+a2+b2， ∴b2＝2a2， ∵a2+b2＝c2， ∴c2＝3a2， ∴a2：b2：c2＝1：2：3． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$