八年级（下）期中数学试卷（拔尖卷）（考查范围：第16～18章）-2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列（华东师大版）

2024-2025学年八年级（下）期中数学试卷（拔尖卷） 【华东师大版】 考试时间：120分钟；满分：120分；考试范围：第16~18章 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级·江苏扬州·期中）若，的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 2．（3分）（24-25八年级·安徽安庆·期中）若一次函数（为常数且）的图像经过点，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 3．（3分）（24-25八年级·安徽阜阳·阶段练习）如图，直线与轴平行且与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 4．（3分）（24-25八年级·浙江杭州·期中）如图，在中，，平分，平分，则图中四边形的面积是（　　） A．24 B．12 C． D． 5．（3分）（24-25八年级·广东汕头·期末）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Min{a，b}表示a、b中的较小的值，如Min{2，4}＝2，按照这个规定，方程Min{，}＝－1的解为（   ） A．1 B．2 C．1或2 D．1或－2 6．（3分）（24-25八年级·广东佛山·期中）已知，如图，直线：，分别交平面直角坐标系于两点，直线：与坐标轴交于两点，两直线交于点；点是轴上一动点，连接，将沿翻折，点对应点刚好落在轴负半轴上，则所在直线解析式为（    ） A． B． C． D． 7．（3分）（24-25八年级·山东济南·期中）已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点．若对于，，都有，则的取值范围是（　　） A．或 B．且， C．或 D．且， 8．（3分）（24-25八年级·浙江杭州·期中）如图，已知，点A在边上，．过点A作于点C，以为一边在内作等边三角形，点P是围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作交于点D，作交于点E．设，则的最大值与最小值的和是（　  ） A． B．14 C． D． 9．（3分）（24-25八年级·江苏南京·期末）如图，点是反比例函数图像上的一动点，连接并延长交图像的另一支于点．在点的运动过程中，若存在点，使得，，则，满足（    ） A． B． C． D． 10．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，直线过点，连接，交于点，连，的周长等于，下列说法正确的个数为（    ） ； ； ； ． A．个 B．个 C．个 D．个 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级·福建泉州·期中）若，求（1） ；（2） ． 12．（3分）（24-25八年级·安徽安庆·阶段练习）如图，动点在平面直角坐标系中按箭头所示方向跳动，第一次从原点跳动到点，第二次跳动到点，第三次跳动到点，第四次跳动到点，第五次跳动到点，第六次跳动到点，…按这样的跳动规律，点的坐标是 ． 13．（3分）（24-25八年级·四川成都·期中）如图，是函数的图象上一点，直线分别交轴、轴于点、，过点作轴于点，交于点，作轴于点，交于点，当时，的值为 ． 14．（3分）（24-25八年级·重庆·开学考试）若关于的一元一次不等式组所有整数解的和为，且关于的分式方程解为奇数，则符合条件的所有整数的和为 ． 15．（3分）（24-25八年级·浙江温州·期中）如图，一副三角板如图放置，，顶点重合，将绕其顶点旋转，如图，在旋转过程中，当，连接、，这时的面积是 ． 16．（3分）（24-25八年级·广东深圳·期中）如图，直线分别与 轴、轴交于点、，是线段上一点，连接，将沿着翻折得，若点落在第四象限，且，则点的坐标为 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级·山西朔州·期末）下面是小柯同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母，得．第一步 移项，得．第二步 合并同类项，得．第三步 系数化为1，得．第四步 所以，原方程的解为．第五步． 任务： (1)小柯同学的求解过程从第_________步开始出现错误； (2)从解分式方程的步骤方面，请你对小柯同学提出两条建议：_________；_________； (3)请你写出完整的解上述分式方程的过程． 18．（6分）（24-25八年级·山东青岛·期末）如图，在网格中建立直角坐标系后，点、的坐标分别为和． (1)在图中准确画出平面直角坐标系，并写出点的坐标为 ； (2)顺次连接，，，得到，点在轴上且满足，则点的坐标为 ． 19．（6分）（24-25八年级·山东烟台·期末）如图，是等边三角形，是边上的高．点E在的延长线上，连接，，过A作与的延长线交于点F，连接，，． (1)求证：为等边三角形； (2)求证：四边形为平行四边形； (3)若，请直接写出四边形的周长． 20．（8分）（24-25八年级·河南·阶段练习）如图，直线：与反比例函数交于点，，连接，． (1)求反比例函数及直线的表达式； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在一点，使得？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点的坐标． 21．（8分）（24-25八年级·江苏盐城·阶段练习）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”． 如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判段Ａ与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①________（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于________． (3)若分式，（a，b为整数且），E是F的“关联分式”，且“关联值”，求c的值． 22．（10分）（24-25八年级·江苏南通·阶段练习）如图①，一条笔直的公路上有A、B、C三地，B．C两地相距150千米，甲、乙两辆汽车分别从B、C两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别驶往C、B两地．甲、乙两车到A地的距离y1、y2（千米）与行驶时间x（时）的关系如图②所示．根据图像进行以下探究： （1）请在图①中标出A地的位置，并作简要的文字说明； （2）求图②中M点的坐标，并解释该点的实际意义； （3）在图②中补全甲车的函数图像，求甲车到A地的距离y1与行驶时间x的函数表达式； （4）A地设有指挥中心，指挥中心及两车都配有对讲机，两部对讲机在15千米之内（含15千米）时能够互相通话，求两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间． 23．（10分）（24-25八年级·山东滨州·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边边，，，P、Q分别是边、上的动点，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动，当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为． (1)点B的坐标为___________； (2)连接、交于点E，过Q点作于D，当___________时，D、E、P三点在一条直线上； (3)当点P运动到的中点时，在平面内找一点M，使得以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为___________. 24．（12分）（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别交轴、轴于点，直线分别交轴、轴于点．                                 备用图 (1)求线段的中点坐标； (2)若点是直线上的一点，连接，若，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，若点在第一象限内，以为顶点作，射线交轴于．求点的坐标． 25．（12分）（24-25八年级·福建福州·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级（下）期中数学试卷（拔尖卷） 【华东师大版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级·江苏扬州·期中）若，的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是正确理解分式的基本性质．根据分式的基本性质对各个选项进行判断，即可解题． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意． 故选：D． 2．（3分）（24-25八年级·安徽安庆·期中）若一次函数（为常数且）的图像经过点，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律、一次函数与一元一次方程的关系．由直线向右平移8个单位得到直线，从而可得直线与x轴交点坐标，进而求解． 【详解】解：直线是由直线向右平移8个单位所得， ∵与x轴交点为， ∴直线与x轴交点坐标为， ∴的解为， 故选：A． 3．（3分）（24-25八年级·安徽阜阳·阶段练习）如图，直线与轴平行且与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，连接，易得，再利用分割法以及值的几何意义进行求解即可． 【详解】解：连接，设直线与轴交于点， ∵直线与轴平行， ∴， ∵直线与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点， ∴， ∴； 故选B． 4．（3分）（24-25八年级·浙江杭州·期中）如图，在中，，平分，平分，则图中四边形的面积是（　　） A．24 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行四边形的性质、勾股定理的应用、等腰三角形的判定与性质，过A作于H，求出，证出，进而得出四边形是平行四边形，求出结论即可． 【详解】解：过A作于H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理： ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的面积 ． 故选：C． 5．（3分）（24-25八年级·广东汕头·期末）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Min{a，b}表示a、b中的较小的值，如Min{2，4}＝2，按照这个规定，方程Min{，}＝－1的解为（   ） A．1 B．2 C．1或2 D．1或－2 【答案】B 【分析】分类讨论与的大小，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：当时，x＜0，方程变形为， 去分母得：2=3-x， 解得：x=1（不符合题意，舍去）； 当，，x＞0，方程变形得：， 去分母得：1=3-x， 解得：x=2， 经检验x=2是分式方程的解， 故选B． 【点睛】此题考查了解分式方程，分类讨论是解本题的关键． 6．（3分）（24-25八年级·广东佛山·期中）已知，如图，直线：，分别交平面直角坐标系于两点，直线：与坐标轴交于两点，两直线交于点；点是轴上一动点，连接，将沿翻折，点对应点刚好落在轴负半轴上，则所在直线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，待定系数法，折叠，勾股定理，过点作轴于，过点作轴于，先求出点的坐标，再求出直线的解析式，然后求出点坐标，得到，设点的坐标为，利用勾股定理可求出，由待定系数法即可求出所在直线解析式，求出点的坐标是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，点为点在轴负半轴上的对应点， 把代入直线：得， ， ∴， ∴， 把代入直线：得， ， ∴， ∴直线解析式为， ∴点坐标为， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设点的坐标为， 则，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 设所在直线解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴， 故选：． 7．（3分）（24-25八年级·山东济南·期中）已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点．若对于，，都有，则的取值范围是（　　） A．或 B．且， C．或 D．且， 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质．由题意得，反比例函数的图象在二、四象限或一、三象限，分两种情况讨论，即可求得的取值范围． 【详解】解：对于，未知，需分类讨论， 当时，反比例函数的图象在一、三象限，此时， ∴， ∵， ∴点和都在第一象限的图象上，且和都大于0， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，反比例函数的图象在二、四象限，此时， 由图象可知，时，， ∴点在第四象限的图象上， 对于分类讨论， 当时，，此时点在第四象限的图象上，随的增大而增大， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，，此时点在第二象限的图象上， 则，， ∴，， ∵，， 取点关于原点的中心对称点，则点， ∵， ∴，此时点和点都在第二象限的图象上，随的增大而增大， ∵， ∴， ∴， 解得，即； 当时， ∴，此时点不在反比例函数的图象上，舍去， 综上，且，， 故选：D． 8．（3分）（24-25八年级·浙江杭州·期中）如图，已知，点A在边上，．过点A作于点C，以为一边在内作等边三角形，点P是围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作交于点D，作交于点E．设，则的最大值与最小值的和是（　  ） A． B．14 C． D． 【答案】B 【分析】过P作PH⊥OY交于点H，构建30度的直角三角形，先证明四边形EODP是平行四边形，得EP＝OD＝a，在Rt△HEP中，∠EPH＝30°，可得EH的长，计算a+2b＝2OH，确认OH最大和最小值的位置，可得结论． 【详解】解：如图1，过P作PH⊥OY交于点H， ∵PD∥OY，PE∥OX， ∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP＝∠XOY＝60°， ∴EP＝OD＝a， Rt△HEP中，∠EPH＝30°， ∴EH＝EP＝a， ∴a+2b＝2（a+b）＝2（EH+EO）＝2OH， 当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值＝OC＝OA＝2，即a+2b的最小值是4； 当P在点B时，如图2， OC＝2，OA=4，AC＝BC＝， Rt△CHP中，∠HCP＝30°， ∴PH＝，CH＝， 则OH的最大值是：OC+CH＝2+3＝5，即（a+2b）的最大值是10， ∴a+2b的最大值和最小值的和＝4+10＝14， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，掌握确认a+2b的最值就是确认OH最值的范围． 9．（3分）（24-25八年级·江苏南京·期末）如图，点是反比例函数图像上的一动点，连接并延长交图像的另一支于点．在点的运动过程中，若存在点，使得，，则，满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，过点作轴于点，过点作轴于点，根据等腰直角三角形的性质得出，通过角的计算找出，结合“，”可得出，根据全等三角形的性质，可得出，进而得到，进一步得到． 【详解】解：连接，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示： 由直线与反比例函数的对称性可知、点关于点对称， ， 又，， ，， ，， ， 又，， ， ，， 点， ，， ，， ， 点是反比例函数图像上， ，即， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定及性质，解题的关键是求出点的坐标． 10．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，直线过点，连接，交于点，连，的周长等于，下列说法正确的个数为（    ） ； ； ； ． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】由的周长等于，可得，即得到，根据等腰三角形三线合一得到，即可判断；过点作，交与，证明，得到，同理可得，，，再由三角形的面积即可判断；过点 于，交于，可得，即可判断；过点作的延长线于点，由平行线可得，进而可得，得到，由勾股定理可得，设，则，在中，由勾股定理可得，求出进而可得的长，即可判断；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵的周长等于， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， 即， ∴，故正确； 过点作于M，交与， ∵， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∵，， ∴，故正确； 过点作于，交于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确； 过点作的延长线于点，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴，故正确； ∴说法正确的个数有个， 故选：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级·福建泉州·期中）若，求（1） ；（2） ． 【答案】 5 527 【分析】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）先判断x≠0，然后方程两边都除以x即可得解； （2）根据完全平方公式得出，再次根据完全平方公式得出，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ， ， ， 故答案为：5； （2）由（1）， ， ， ， ， ， ， 故答案为：527. 12．（3分）（24-25八年级·安徽安庆·阶段练习）如图，动点在平面直角坐标系中按箭头所示方向跳动，第一次从原点跳动到点，第二次跳动到点，第三次跳动到点，第四次跳动到点，第五次跳动到点，第六次跳动到点，…按这样的跳动规律，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的运动规律，找出点的运动规律是解题的关键． 根据点的运动可得，横坐标与所跳次数相同，即跳了次，该点的横坐标为，纵坐标每5次一循环，由此即可求解． 【详解】解：第一次从原点跳动到点， 第二次跳动到点， 第三次跳动到点， 第四次跳动到点， 第五次跳动到点， 第六次跳动到点， ∴横坐标与所跳次数相同，即跳了次，该点的横坐标为，纵坐标每5次一循环， ∴， ∴， 故答案为： ． 13．（3分）（24-25八年级·四川成都·期中）如图，是函数的图象上一点，直线分别交轴、轴于点、，过点作轴于点，交于点，作轴于点，交于点，当时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数系数k的几何意义，设P点坐标为，用t表示E、F的坐标，再根据两点距离公式与已知，便可得k的方程． 【详解】解：设P点坐标为， ∵点E，F分别是直线与，的交点， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得，， ∵， ∴． 故答案为：． 14．（3分）（24-25八年级·重庆·开学考试）若关于的一元一次不等式组所有整数解的和为，且关于的分式方程解为奇数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】10 【分析】不等式组整理后，根据所有整数解的和为，确定出的值，进而求出的范围，解分式方程，并检验即可得到满足题意的值，求出符合条件的所有整数即可求解． 【详解】解：， 不等式组整理得：， 由不等式组所有整数解的和为，得到或， ∴或， ∵分式方程 解得：， 经检验，当时，是方程的解， 又关于的分式方程解为奇数 ∴a为偶数，且， ∴或， ∴符合条件的所有整数的和为． 故答案为：10． 15．（3分）（24-25八年级·浙江温州·期中）如图，一副三角板如图放置，，顶点重合，将绕其顶点旋转，如图，在旋转过程中，当，连接、，这时的面积是 ． 【答案】 【分析】过点作，由得，再由得四边形为平行四边形，再证明≌得，再由可知垂直平分，延长交于，求出、，然后可用平行四边形的面积减三角形面积可得答案． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ，°， ， ， ， ， 在与中， ， ≌（SAS）， ， ， 垂直平分， 延长交于， ， ，， ， ， ， ， ， ． 垂直平分， =， ∴S△AED=S四边形ABCD-S△ABE-S△CDE-S△BEC = =． 故答案为：． 【点睛】本题是三角形旋转变换综合题，主要考查了平行线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质以及勾股定理，综合能力较强． 16．（3分）（24-25八年级·广东深圳·期中）如图，直线分别与 轴、轴交于点、，是线段上一点，连接，将沿着翻折得，若点落在第四象限，且，则点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数与轴对称性质的综合应用，能够综合题中条件作出辅助线并巧妙的借助勾股定理建立方程是本题的关键． 先灵活运用直线方程求出与坐标轴的交点坐标，明确各点坐标．再利用翻折的性质得到，，从而建立起等量关系．最后巧妙借助勾股定理，求出长度表达式，利用，最终通过建立方程求解得出点的坐标． 【详解】解：过点作轴，垂足为点． 令，则， 解得：． ． 令，则． ． ，． 由勾股定理可得： ． 沿着翻折得． ． 设 ． 在中，，即． 在中，，即． ， 解得：． ． ． 设，则． 由勾股定理得：． 即． ， 解得：． ． 故答案为：． 第Ⅱ卷 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级·山西朔州·期末）下面是小柯同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母，得．第一步 移项，得．第二步 合并同类项，得．第三步 系数化为1，得．第四步 所以，原方程的解为．第五步． 任务： (1)小柯同学的求解过程从第_________步开始出现错误； (2)从解分式方程的步骤方面，请你对小柯同学提出两条建议：_________；_________； (3)请你写出完整的解上述分式方程的过程． 【答案】(1)一 (2)去分母时，注意符号的变化；解分式方程要验根 (3)见解析 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化，检验的方法是解题的关键． （）根据去分母的方法即可判定； （）提出合理化建议即可； （）运用解分式方程的方法即可求解． 【详解】（1）解：小柯同学的求解过程从第一步开始出现错误， 故答案为：一； （2）解：两条建议：去分母时，注意符号的变化；解分式方程要验根； 故答案为：去分母时，注意符号的变化；解分式方程要验根； （3）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，合并得， 系数化为1，得． 经检验，是原方程的解． 18．（6分）（24-25八年级·山东青岛·期末）如图，在网格中建立直角坐标系后，点、的坐标分别为和． (1)在图中准确画出平面直角坐标系，并写出点的坐标为 ； (2)顺次连接，，，得到，点在轴上且满足，则点的坐标为 ． 【答案】(1)作图见解析， (2)或 【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，掌握三角形的面积计算公式及平面直角坐标系中点的坐标的特征是解题的关键． （1）根据点A和B的坐标确定坐标原点、建立平面直角坐标系，并写出点C的坐标即可； （2）设点D到的距离为h，分别将和的面积表示出来，再根据二者之间的数量关系得到h的值，从而求出点D的纵坐标，进而得到点D的坐标． 【详解】（1）解：根据点、的坐标分别为和建立如下平面直角坐标系： 点C的坐标为． 故答案为：． （2）解：设点D到的距离为h，则，， ∵， ∴， ∴， ∴点D的坐标纵坐标为或， ∴点D的坐标为或． 故答案为：或． 19．（6分）（24-25八年级·山东烟台·期末）如图，是等边三角形，是边上的高．点E在的延长线上，连接，，过A作与的延长线交于点F，连接，，． (1)求证：为等边三角形； (2)求证：四边形为平行四边形； (3)若，请直接写出四边形的周长． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，由三角形外角的定义及性质可得，由三角形内角和定理求出，即可得证； （2）由（1）可得，为等边三角形，，从而得出，，进而可得，利用平行四边形的判定即可得证； （3）结合勾股定理求出、的长即可得解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，是边上的高， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形； （2）证明：由（1）可得：，为等边三角形，， ∴，， ∴，又， ∴四边形为平行四边形； （3）解：∵， ∴,， ∵为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形外角性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 20．（8分）（24-25八年级·河南·阶段练习）如图，直线：与反比例函数交于点，，连接，． (1)求反比例函数及直线的表达式； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在一点，使得？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)；； (2)； (3)存在；或． 【分析】（1）首先点在反比例函数上，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出点的坐标，根据、的坐标利用待定系数法求一次函数的解析式； （2）求出直线与轴的交点坐标，根据计算出的面积； （3）设直线与直线的交点为点，点的坐标为，根据可列方程求出，从而得到点的坐标． 【详解】（1）解：点在反比例函数上， ， 反比例函数的解析式为， 又点也在反比例函数上， ， 点的坐标为， 把点、的坐标代入， 得到：， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）解：当时，， 解得：， 点的坐标为， ， ， ； （3）解：如下图所示，直线与直线的交点为点， 当时，， 点的坐标为， 设点的坐标为，则， ， ， ， 又 ， ， 解：或， 点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数图象、一次函数与几何图形、待定系数法求解析式，解决本题的关键要注重数形结合的思想． 21．（8分）（24-25八年级·江苏盐城·阶段练习）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”． 如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判段Ａ与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①________（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于________． (3)若分式，（a，b为整数且），E是F的“关联分式”，且“关联值”，求c的值． 【答案】(1)是， (2)①－3x－6；②1 (3)6或22 【分析】本题考查的是新定义题型，涉及分式的加减运算，二元方程的整数解，理解新定义，熟练掌握分式的加减运算法则是解本题的关键． （1）把与相加，根据同分母的分式的加法运算法则化简，根据化简结果判断即可； （2）把与相加，根据异分母的分式的加法法则化简，再根据与互为“关联分式”，且“关联值” ，求出多项式M，最后根据为正整数，分式的值为正整数求出x值即可． （3）把E与F相加，根据异分母的分式的加法法则化简，再根据E与F互为“关联分式”，且“关联值” ，得到，当时，，当时，则，根据a，b为整数解得，或，，即可求得． 【详解】（1）解： ，， ， 与互为“关联分式”， “关联值”； （2）解：① ，， ， 与互为“关联分式”，且“关联值” ， ， ， ②， 分式的值为正整数． 或，此时的值为1或， 为正整数， 的值为1． （3）解：∵，，E是F的“关联分式”，且“关联值”， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵a，b为整数 ∴当时， 当时，则 ∵a，b为整数 ∴，或，， ∴． 综上，c的值为6或22． 22．（10分）（24-25八年级·江苏南通·阶段练习）如图①，一条笔直的公路上有A、B、C三地，B．C两地相距150千米，甲、乙两辆汽车分别从B、C两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别驶往C、B两地．甲、乙两车到A地的距离y1、y2（千米）与行驶时间x（时）的关系如图②所示．根据图像进行以下探究： （1）请在图①中标出A地的位置，并作简要的文字说明； （2）求图②中M点的坐标，并解释该点的实际意义； （3）在图②中补全甲车的函数图像，求甲车到A地的距离y1与行驶时间x的函数表达式； （4）A地设有指挥中心，指挥中心及两车都配有对讲机，两部对讲机在15千米之内（含15千米）时能够互相通话，求两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间． 【答案】（1）A地位置如图所示．使点A满足AB：AC=2：3； （2）M（1.2，0），点M表示乙车1.2小时到达A地； （3）作图见试题解析，； （4）小时． 【详解】试题分析：（1）先根据题意作出图形，根据图形的特征即可得到结果； （2）先根据题意求得乙车的速度，再求出M点对应的时间，即可得到结果；； （3）根据待定系数法即可求得结果； （4）根据“两部对讲机在15千米之内（含15千米）时能够互相通话”作为不等关系列不等式组，即可求得通话的时间范围，从而求得结果. （1）A 地位置如图所示： 使点A满足AB∶AC＝2∶3； （2）乙车的速度150÷2＝75千米/时，   ， ∴M(1.2，0) ∴点 M表示乙车 1.2 小时到达 A地； （3）甲车的函数图象如图所示： 当时，； 当时，. （4）由题意得， 解得； ， 解得. ∴ ∴两车同时与指挥中心通话的时间为小时. 考点：一次函数的应用 点评：解答本题的关键是要分析题意根据实际意义准确的求出解析式，并会根据图示得出所需要的信息．同时注意要根据实际意义准确的找到不等关系，利用不等式组求解． 23．（10分）（24-25八年级·山东滨州·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边边，，，P、Q分别是边、上的动点，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动，当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为． (1)点B的坐标为___________； (2)连接、交于点E，过Q点作于D，当___________时，D、E、P三点在一条直线上； (3)当点P运动到的中点时，在平面内找一点M，使得以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为___________. 【答案】(1) (2)4 (3)或或 【分析】（1）过点C作于点H，然后根据题意可得点，进而问题可求解； （2）由题意得，则有，当点D、E、P三点共线时，可知，然后问题可求解； （3）由题意可知当以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形时，则可分①当为对角线时，②当以为对角线时，③当以为对角线时，然后分类求解即可． 【详解】（1）解：过点C作于点H，如图所示：    ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴； （2）解：如图所示， 由题意得：，是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 当点D、E、P三点共线时，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴当时，D、E、P三点在一条直线上； （3）解：由（2）及题意可知：， 当点P运动到的中点时，则有， 解得：， ∴， 当以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形时，则可分： ①当为对角线时，则根据平行四边形的性质可得，， ∴， ②当以为对角线时，即， ∴， ∴； ③当以为对角线时，即，，如图所示，过点M作于点N， ∴， ∴， ∴ ∴综上所述：当以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形时，则点或或． 【点睛】本题主要考查图形与坐标、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 24．（12分）（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别交轴、轴于点，直线分别交轴、轴于点．                                 备用图 (1)求线段的中点坐标； (2)若点是直线上的一点，连接，若，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，若点在第一象限内，以为顶点作，射线交轴于．求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】（1）根据题意先求出点，，的坐标，根据中点坐标公式即可得出线段的中点坐标； （2）设，分两种情况，当点在直线上方时，当点在直线下方时，根据三角形面积的关系分别求解即可； （3）过作于，过作轴，过作于，过作于，设，证明，则，，可得，解方程可得，由，得直线解析式为，即可得点的坐标． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 令，解得：， ， 令，解得：， ， 线段的中点坐标为； （2）设， 当点在直线上方时， ， ， ，，， ， ，， ，解得， 点的坐标为； 当点在直线下方时， ， ， ，，， ， ，， ，解得， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或； （3）过作于，过作轴，过作于，过作于， 设， 又点的坐标为，， ∴，， ，， 是等腰直角三角形， ，， 又， ， ，， ， 解得， ， 设直线的解析式是， 将点，代入得：， 解得：， 直线解析式为， 令，得，解得， 点的坐标为，． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查中点坐标公式，三角形的面积，等腰直角三角形性质及应用，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题，以及分类讨论思想的应用． 25．（12分）（24-25八年级·福建福州·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3，6 (2)真分式，，4 (3)当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． （1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽=面积÷长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，且为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时， ， ∴， 答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$