专题9.14 中心对称图形——平行四边形压轴题综合测试卷-2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列（苏科版）

第9章 中心对称图形——平行四边形压轴题综合测试卷 【苏科版】 考试时间：120分钟；满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级·河南商丘·期末）如图，在等腰中，，，边在轴上，将绕原点逆时针旋转得到，若，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·期中）如图，中，对角线相交于点，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（3分）（24-25八年级·湖北荆门·期中）如图，为等腰，，，，在一条直线上，且四边形为矩形，若，，，分别为，的中点，连接，则的长为（　　） A． B． C． D． 4．（3分）（24-25八年级·福建厦门·期中）在菱形中，，，点在上，，若点是菱形四条边上异于点的一点，，则以下长度中，不可能是的长度的是（    ） A． B．4 C． D． 5．（3分）（24-25八年级·江苏宿迁·期中）如图，正方形的对角线、相交于点，且，正方形的顶点与点重合，边与重合，将正方形绕点顺时针旋转，与边交于点，与边交于点，连接交于点，在整个运动过程中，则点经过的路径长是（　　） A．1 B． C． D． 6．（3分）（24-25八年级·浙江绍兴·期末）等腰，，，，则（   ） A．3 B． C． D．4 7．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，边长为的正方形中，点分别是的中点，与交于点，记四边形的面积为，则的值是（用含的代数式表示）（    ） A． B． C． D． 8．（3分）（24-25八年级·辽宁丹东·期末）如图，已知点P是菱形的对角线延长线一点，过点P分别作、延长线的垂线，垂足分别为点E、F．若，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 9．（3分）（24-25八年级·辽宁丹东·期末）如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 10．（3分）（24-25八年级·湖南永州·期末）如图，在正方形中，、分别是边、上的点，，，连接交于点，交于点．下列结论：①；②的周长为；③；④．正确的有（    ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级·四川广元·期末）如图，在矩形中，，，在平面内有一点，，过点作，且，连接、、，点是线段的中点，连接，则线段长度范围是 ． 12．（3分）（24-25八年级·河南南阳·期末）如图，在矩形纸片中，，折叠纸片，使点A落在边上的点处，折痕交边于点，交边于点S，P为的中点，连接，则线段长度的取值范围是 ． 13．（3分）（24-25八年级·黑龙江牡丹江·期末）如图，矩形中，，，E是上一点，将沿折叠得到，，垂足为H，若，则 ． 14．（3分）（24-25八年级·浙江台州·期末）如图，把正方形的对角线绕着顶点旋转到，以为一边作正方形，过，作直线，过作，垂足为，连接，则的值是 ． 15．（3分）（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期末）如图，平行四边形中，点在上，连接，交于点，平分，，若，，则线段的长为 ．    16．（3分）（24-25八年级·河南信阳·期末）如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针旋转，当时，的长度为 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）在如图所示的小正方形网格中，，，，，，均为小正方形的顶点，仅用无刻度的直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示： (1)图中，作关于点中心对称的三角形； (2)图中，是网格线上的一点，连接，根据网格特点在图中标出的中点，将线段平移得到线段，点的对应点为点； (3)图中，，，，，线段绕着点旋转可以得到线段，直接写出旋转中心的坐标 ． 18．（6分）（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，以、为边作，点为中点，连接、．          (1)分别求出线段和线段所在直线解析式； (2)点为线段上的一个动点，作点关于点的中心对称点，设点横坐标为，用含的代数式表示点的坐标（不用写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下， ①当点移动到的边上时，求点坐标； ②为中点，为中点，连接、．请利用备用图探究，直接写出在点的运动过程中，周长的最小值和此时点的坐标． 19．（8分）（24-25八年级·湖北十堰·期末）（1）如图1， 在中，与相交于点， 过点的直线交于点， 交于点， 则与的数量关系是 ； （2）在中，，请仅用无刻度的直尺，按要求完成以下的作图(保留作图痕迹)． ①如图2， 点在边上， 且， 作的平分线； ②如图3， 点，分别在边，上，且，连接，过点作的垂线． 20．（8分）（24-25八年级·陕西汉中·期末）在四边形中，对角线，相交于点，过点的两条直线，分别交边，，，于点，，，． 【问题发现】 （1）如图1，若四边形是正方形，且，则_____； 【问题探究】 （2）如图2，若四边形是矩形，且满足，设，，，求的长（用含，，的代数式表示）； 【问题解决】 （3）如图3，张大伯有一块平行四边形菜地，且米，米，点处是一口水井，且米，是原先就有的一条沟渠，且经过平行四边形菜地的对角线的交点，张大伯准备再修建一条经过点的沟渠，将该菜地分成四个面积相等的部分，并分别种上四种不同的蔬菜，试确定点的位置． 21．（10分）（24-25八年级·云南德宏·期末）已知：如图，在四边形和中，，．点P是边上一点，且，M是延长线上一点，连接． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图1，若，求证：； (3)如图2，连接，若，求的长． 22．（10分）（24-25八年级·安徽安庆·阶段练习）平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图①． (1)写出点C的坐标； (2)在图①中，连接，得到图②，求与的交点M的坐标； (3)将图②中的线段向两方延长得到图③，若点 D、E为直线上不与B、C重合的动点，是否存在这样的点D、E，使得四边形为矩形？若存在，请在图中画出矩形，并求出矩形的面积和点 D、E 的坐标，若不存在，请说明理由． 23．（12分）（24-25八年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 问题情境：如图1，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点． 解决问题： （1）四边形是（      ） A． 平行四边形    B． 矩形    C． 正方形 （2）若，，则四边形的面积为 ； 深入探究： （3）将图1中的绕点逆时针旋转，得到，点的对应点分别为点． ①如图2，当线段经过点时，所在直线分别与线段交于点．猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②当直线与直线垂直时，直线直线交于点．若，，则线段的长度为 ． 24．（12分）（24-25八年级·广东珠海·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，点，以为边在右侧作正方形． (1)当点B在x轴正半轴上运动时，求点C的坐标（用m表示）； (2)当时，如图2，P为上一点，连接，过点P作，过A作，与交于点M，求证：； (3)在（2）的条件下，如图3，连交于点N，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 中心对称图形——平行四边形压轴题综合测试卷 【苏科版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级·河南商丘·期末）如图，在等腰中，，，边在轴上，将绕原点逆时针旋转得到，若，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴于点，点作轴于点，设，根据等边对等角可得，根据角所对的直角边等于斜边的一半可得，再根据勾股定理可得，得到，根据旋转的性质可得， ，然后在中，根据角所对的直角边等于斜边的一半和根据勾股定理可得，，据此即可求解． 【详解】解：过点作轴于点，点作轴于点，设， ∴， ∵等腰中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵绕原点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化旋转，等边对等角，角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，掌握旋转的性质和直角三角形的有关性质是解题的关键． 2．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·期中）如图，中，对角线相交于点，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，过点作于，过点作的延长线于，由可得，由勾股定理得，由平行四边形性质得，，进而得到，，，即可得到，，即得，由勾股定理即可求出的长，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，过点作的延长线于，则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．（3分）（24-25八年级·湖北荆门·期中）如图，为等腰，，，，在一条直线上，且四边形为矩形，若，，，分别为，的中点，连接，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长至，使，连接，根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得，，推得，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得，推得，设，根据矩形的对边相等可得，求得，根据直角三角形两锐角互余得出，根据直角三角形中角所对的边是斜边的一半可得，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出的值，即可列出方程，解方程求出的值，即可求解． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 设， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 则, 解得：， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形中位线的定义和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解一元一次方程等解题的关键是添加辅助线，构建三角形的中位线． 4．（3分）（24-25八年级·福建厦门·期中）在菱形中，，，点在上，，若点是菱形四条边上异于点的一点，，则以下长度中，不可能是的长度的是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】分点位于边上、位于边上、位于边上三种情况讨论，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：当点位于边上时，如图所示： 菱形中，，， ，， ； 当点位于边上时，如图所示： 菱形中，，， 是等边三角形， 过点作于点， ， 由勾股定理得， ， 点与点重合， ； 当点位于边上时， ，，， ， ， 由勾股定理得． 综上，的长为或4或． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 5．（3分）（24-25八年级·江苏宿迁·期中）如图，正方形的对角线、相交于点，且，正方形的顶点与点重合，边与重合，将正方形绕点顺时针旋转，与边交于点，与边交于点，连接交于点，在整个运动过程中，则点经过的路径长是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】取中点，利用正方形的性质证明，得到，当时，易证此时四边形是正方形，此时，即点G与点H重合，有最小值，利用正方形的性质求出；由点是与的交点，是定线段，得到点G在线段上运动，在整个运动过程中，当边与重合，点G，点E与点C重合，当时，点G与点H重合，当边与重合，点G，点F与点C重合，即点G在整个运动过程中，由点C运动到点H，再由点H运动到点C，即点经过的路径长是，即可得出结果． 【详解】解：如图，取中点， 在正方形中，， 又∵， ∴， ∴， ， 当时， 则， ，， 四边形是正方形， ，即点G与点H重合， ， ； 点是与的交点，是定线段，， 点G在线段上运动， 在整个运动过程中， 当边与重合，点G，点E与点C重合，有最大值， 当时，点G与点H重合，有最小值， 当边与重合，点G，点F与点C重合，有最大值， 点G在整个运动过程中，由点C运动到点H，再由点H运动到点C， 点经过的路径长是， 点经过的路径长是， 故选：A． 【点睛】此题主要考查正方形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质． 6．（3分）（24-25八年级·浙江绍兴·期末）等腰，，，，则（   ） A．3 B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，正确作辅助线是解题的关键. 将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则，，得到，可求出，，可证明，得到，可证明，，则，得出，，则，求出，即可得到结论. 【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 故选：B. 7．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，边长为的正方形中，点分别是的中点，与交于点，记四边形的面积为，则的值是（用含的代数式表示）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用勾股定理和三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键，连接，依题意得，证明和全等得，，进而可证明，根据三角形的面积公式求出，则，再由勾股定理得，继而得，，然后根据即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是正方形，边长为， ，， 点分别是的中点， ， 在中，由勾股定理得：， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ，， ， 故选：C． 8．（3分）（24-25八年级·辽宁丹东·期末）如图，已知点P是菱形的对角线延长线一点，过点P分别作、延长线的垂线，垂足分别为点E、F．若，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识点，求出、将转换为是解题的关键． 如图：连接交于O，由菱形的性质与勾股定理得到，则，再由，，则即可解答． 【详解】解：如图：连接交于O， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ． 故选C． 9．（3分）（24-25八年级·辽宁丹东·期末）如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形与三角形综合．熟练掌握菱形性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，勾股定理，是解题的关键． 作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接，则，可得，根据，得，得,得,根据菱形性质和，可得，得，得，得取得最小值为17 ． 【详解】作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接， 则，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，，且， ∴， ∴， ∴， ∴当点E在线段上时，取得最小值17． 故选：C． 10．（3分）（24-25八年级·湖南永州·期末）如图，在正方形中，、分别是边、上的点，，，连接交于点，交于点．下列结论：①；②的周长为；③；④．正确的有（    ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，旋转的性质等，构造全等三角形是解题的关键．由四边形是正方形得， ，，再将绕点逆时针旋转得到，在上取一点，使，根据旋转的性质及证明 ，然后根据全等三角形的性质判断①②③；再证明 ，可得，，，然后说明 ，最后根据全等三角形的面积相等判断④即可． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， ，． 将绕点逆时针旋转得到，则共线，在上取一点，使．    根据旋转的性质可知，，． ∵，， ∴， ∴， 即． ∵，， ∴ ， ∴， ∴的周长 ． 故①②③正确； ∵，，， ∴ ， ∴． ∵，，， ∴ ， ∴， ∴． 所以④不正确． 正确的有①②③． 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级·四川广元·期末）如图，在矩形中，，，在平面内有一点，，过点作，且，连接、、，点是线段的中点，连接，则线段长度范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，利用三角形的中位线定理构造辅助线是解题关键．取的中点，连接，先根据矩形的性质和勾股定理求出，再根据勾股定理可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形的三边关系即可得． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∵，点为的中点， ∴， 又∵点是线段的中点，点为的中点， ∴， 由三角形的三边关系得：（当且仅当点共线时，等号成立）， ∴，即， 故答案为：． 12．（3分）（24-25八年级·河南南阳·期末）如图，在矩形纸片中，，折叠纸片，使点A落在边上的点处，折痕交边于点，交边于点S，P为的中点，连接，则线段长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 根据题意，由折叠的性质以及直角三角形的性质，知，分以下两种情况当时，最长， 最长；当时，最短，最短，分别讨论，设，则，结合勾股定理即可得出线段长度的取值范围，线段长度的取值范围即可求解． 【详解】由折叠的性质可知：， 在中，P为的中点 ， 由题可得：当时，最长，最长值为6，如下图： 当时，最短，如下图： 设，则， 在中， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， ． 13．（3分）（24-25八年级·黑龙江牡丹江·期末）如图，矩形中，，，E是上一点，将沿折叠得到，，垂足为H，若，则 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当点在上方时，过点作，交于点，交于点，由矩形的性质可得，，，由平行公理的推论可得，由两直线平行同旁内角互补可得，，可证得四边形是矩形，于是可得，可证得四边形是矩形，于是可得，由邻补角互补可得，，进而可证得四边形是矩形，于是可得，，由折叠的性质可得，，在中，根据勾股定理可得，则，设，则，，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出的长；当点在下方时，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，推导过程与完全相同，同理可得的长；综上，可得答案． 【详解】解：分两种情况讨论： 当点在上方时， 如图，过点作，交于点，交于点， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 由折叠的性质可得： ，， 在中，根据勾股定理可得： ， ， 设，则，， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：， ； 当点在下方时， 如图，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点， 推导过程与完全相同， 同理可得：； 综上，或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，轴对称的性质，矩形的判定与性质，平行公理的推论，勾股定理，两直线平行同旁内角互补，利用邻补角互补求角度，解一元一次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并运用分类讨论思想是解题的关键． 14．（3分）（24-25八年级·浙江台州·期末）如图，把正方形的对角线绕着顶点旋转到，以为一边作正方形，过，作直线，过作，垂足为，连接，则的值是 ． 【答案】 【分析】过作于点，过作于点，根据等腰三角形的性质可得，又四边形是正方形，可得，，通过同角的余角相等得，即可证明，根据性质得，过作交于点，设与交于点，再证明，则，由勾股定理得出，最后代入即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，过作于点， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过作交于点， ∴， ∴， ∴， 设与交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，同角的余角相等，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 15．（3分）（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期末）如图，平行四边形中，点在上，连接，交于点，平分，，若，，则线段的长为 ．    【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，长方形的性质，勾股定理，解二元一次方程组等知识点．正确地作出辅助线是解题的关键． 首先利用证明，从而得；然后根据平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，证明；作于点，于点，则有四边形是长方形；最后根据勾股定理列出关于、的二元一次方程组求解即可． 【详解】如图，连结， 四边形是平行四边形， ，，，． ， ， ， ， ， 又 ， ． ． 平分， ， ， ． 作于点，于点， 则有四边形是长方形， ． 设，，则，． 在中， ①； 在中， ②； 联立①②，解得． 则． 故线段的长为4．    16．（3分）（24-25八年级·河南信阳·期末）如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针旋转，当时，的长度为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理．分两种情况讨论，作于，延长交于，交于，连接，利用直角三角形性质和勾股定理求得，和的长，在中，求得，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作于，延长交于，交于，连接， ∵在菱形中，，， ∴，，，， 由旋转的性质得，，， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， ∴三点共线， 在中，，， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； 如图， 同理，，， ， ∴； 综上，的长度为或． 故答案为：或． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）在如图所示的小正方形网格中，，，，，，均为小正方形的顶点，仅用无刻度的直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示： (1)图中，作关于点中心对称的三角形； (2)图中，是网格线上的一点，连接，根据网格特点在图中标出的中点，将线段平移得到线段，点的对应点为点； (3)图中，，，，，线段绕着点旋转可以得到线段，直接写出旋转中心的坐标 ． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了画已知图形关于某点中心对称的图形，平移（作图），找旋转中心等知识点，熟练掌握各种基本的做图技巧是解题的关键． （1）根据中心对称的性质分别作出，，的对应点，，，然后顺次连接即可； （2）先作出的中点，然后根据平移的性质作出的对应点，最后连接即可； （3）旋转中心有两种可能，由图即可直接写出旋转中心的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求作： （2）解：如图，点和线段即为所求作： （3）解：如图，旋转中心有两种可能，即图中的和： 由图可知：，， 故答案为：或． 18．（6分）（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，以、为边作，点为中点，连接、．          (1)分别求出线段和线段所在直线解析式； (2)点为线段上的一个动点，作点关于点的中心对称点，设点横坐标为，用含的代数式表示点的坐标（不用写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下， ①当点移动到的边上时，求点坐标； ②为中点，为中点，连接、．请利用备用图探究，直接写出在点的运动过程中，周长的最小值和此时点的坐标． 【答案】(1)所在直线的解析式为；所在直线解析式为 (2) (3)①或，②周长最小值为； 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出点和点的坐标，再用待定系数法求出线段和线段所在直线解析式即可； （2）根据所在直线的解析式为，点横坐标为，得出点，再根据点和点关于点的中心对称点，即可得出点的坐标； （3） ①根据题意进行分类讨论：当点在上时，当点在上时，即可得出结论；②过点作于点，过点作于点，通过证明，得出，延长，过点作于点，证明，进而得出，过点作，则，即可推出点在直线上运动，作点关于直线的对称点，当点，，在同一条直线上时，周长取最小值，即可求出 周长取最小值；根据中点坐标公式得出，，再证明点是中点，则，求出，根据点为中点，得出，最后根据，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ∵点为中点， ∴， 设所在直线的解析式为， 把，代入得： ，解得：， ∴所在直线的解析式为； 设所在直线解析式为， 把点，代入的： ，解得：， ∴所在直线解析式为． （2）解：∵所在直线的解析式为，点横坐标为， ∴点， 设点， ∵点和点关于点的中心对称点， ∴， 整理得：， ∴； （3）解：①当点在上时， ∵点在上， ∴，解得， ∴；      当点在上时， ∵，且在上， ∴，解得：， ∴；        综上：或； ②∵，， ∴， ∵为中点，为中点， ∴， 过点作轴于点， ∵，， ∴， ∴，则，      过点作于点，过点作于点， ∵点是点关于点的中心对称点，   ∴， 又∵， ∴， ∴， 延长，过点作于点， ∵点是中点， ∴， ∵， ∴， ∴，则，   ∵，， ∴， ∵，， ∴设， 在中，根据勾股定理可得：，即， 解得：，   ∴， 过点作， ∵，，， ∴， 则点在直线上运动， 作点关于直线的对称点，   根据轴对称的性质以及平行线间的距离处处相等可得， 当点，，在同一条直线上时，，此时周长取最小值， 在中，根据勾股定理可得：， ∴周长最小值为；      ∵，，，为中点，为中点， ∴，， ∵，， ∴是的中位线，则点是中点， ∴， 过点作于点， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴，即点为中点， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴      【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，平行四边形的性质，中心对称，勾股定理，轴对称，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法，中点坐标公式，正确作出辅助线，确定周长最小时各点的位置． 19．（8分）（24-25八年级·湖北十堰·期末）（1）如图1， 在中，与相交于点， 过点的直线交于点， 交于点， 则与的数量关系是 ； （2）在中，，请仅用无刻度的直尺，按要求完成以下的作图(保留作图痕迹)． ①如图2， 点在边上， 且， 作的平分线； ②如图3， 点，分别在边，上，且，连接，过点作的垂线． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，从而推出，即可得到答案； （2）连接，根据和可推出，故平分； （3）连接、、、，、交于点， 连接延长交与点，连接，可推出四边形是菱形，得到，同（1）可得，从而推出四边形为平行四边形，得到，即可得到，故为所求． 【详解】解：（1），理由如下： 四边形是平行四边形 ， 在和中 故答案为： （2）连接， 又 平分 故如图所示，即为所求： （3）连接、、、，、交于点， 连接延长交与点，连接， 四边形是平行四边形 ， ， 四边形是平行四边形 又 平行四边形是菱形 在和中 四边形为平行四边形 故如图所示，即为所求， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，角平分线的判定，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握平行四边形和菱形的判定与性质是解题的关键． 20．（8分）（24-25八年级·陕西汉中·期末）在四边形中，对角线，相交于点，过点的两条直线，分别交边，，，于点，，，． 【问题发现】 （1）如图1，若四边形是正方形，且，则_____； 【问题探究】 （2）如图2，若四边形是矩形，且满足，设，，，求的长（用含，，的代数式表示）； 【问题解决】 （3）如图3，张大伯有一块平行四边形菜地，且米，米，点处是一口水井，且米，是原先就有的一条沟渠，且经过平行四边形菜地的对角线的交点，张大伯准备再修建一条经过点的沟渠，将该菜地分成四个面积相等的部分，并分别种上四种不同的蔬菜，试确定点的位置． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，能将该菜地分成四个面积相等的部分 【分析】(1）如图1，根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论； （2）如图2，过作于N，于M，根据图形的面积得到，于是得到结论； （3）如图3，过作，，则，，根据平行四边形的面积公式得到，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1，四边形是正方形， ，， 在与中， ， ， ， 故答案为． （2）解：如图2，过作于N，于M， ， ， ， ， ，． ， （3）解：如图3，过作，，则，， ， ， ， ， ，， ，解得米， 米， 当时，能将该菜地分成四个面积相等的部分． 【点睛】本题考查了正方形、矩形、平行四边形的性质及三角形、四边形的面积问题，认真阅读材料，理解并证明是解决问题的关键． 21．（10分）（24-25八年级·云南德宏·期末）已知：如图，在四边形和中，，．点P是边上一点，且，M是延长线上一点，连接． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图1，若，求证：； (3)如图2，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由，可得，由，可得，则，进而可证四边形是平行四边形； （2）由，可得，证明，则，进而可证； （3）如图，延长到点N，使，连接，证明，则，由，可得垂直平分，则，，由，，可求，，则，证明四边形是正方形，证明，则，，由，，可得，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长到点N，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 由（1）可得，四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得，，（舍去）， ∴的长为． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行四边形的判定，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识．熟练掌握平行线的判定与性质，平行四边形的判定，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理是解题的关键． 22．（10分）（24-25八年级·安徽安庆·阶段练习）平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图①． (1)写出点C的坐标； (2)在图①中，连接，得到图②，求与的交点M的坐标； (3)将图②中的线段向两方延长得到图③，若点 D、E为直线上不与B、C重合的动点，是否存在这样的点D、E，使得四边形为矩形？若存在，请在图中画出矩形，并求出矩形的面积和点 D、E 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，图见解析，矩形的面积为12， 【分析】（1）根据平行四边形的对边相等和已知点的坐标求得点的坐标即可； （2）首先求得直线的解析式，然后得到直线的解析式，联立后即可求得交点的坐标； （3）分别过点、作于点，于点，过、分别作轴和的垂线，垂足分别为、，利用四边形是平行四边形，得到，从而得到四边形是矩形，且与平行四边形面积相等，从而求得矩形的面积为12，求得线段和线段后即可求得点的坐标，同理即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， 、， ； （2）解：如图②，设所在的直线的解析式为， 直线经过点、， ， 解得： 所在直线的解析式为， 由于直线过原点， 设直线的表达式为， 将点代入，得， 解得：， 直线的表达式为， 联立方程 解得：， 即的坐标是； （3）解：存在这样的、，使得四边形是矩形． 分别过点、作于点，于点，过、分别作轴的垂线和的垂线，垂足分别为、， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形，且与平行四边形面积相等， 平行四边形的面积为， 矩形的面积为12，即， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 四边形是矩形，四边形是平行四边形， ，，，， ，，     ， ， ， ， ， ， 点的坐标为． 【点睛】此题主要考查四边形的综合知识、勾股定理等知识，综合性较强，熟练掌握知识点及应用是解题的关键． 23．（12分）（24-25八年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 问题情境：如图1，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点． 解决问题： （1）四边形是（      ） A． 平行四边形    B． 矩形    C． 正方形 （2）若，，则四边形的面积为 ； 深入探究： （3）将图1中的绕点逆时针旋转，得到，点的对应点分别为点． ①如图2，当线段经过点时，所在直线分别与线段交于点．猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②当直线与直线垂直时，直线直线交于点．若，，则线段的长度为 ． 【答案】（1）B；（2）（3）①，理由见解析；②或 【分析】（1）由和菱形性质得，．可证四边形为矩形； （2）根据含30度角的直角三角形的性质得出，，再由菱形及矩形的性质求面积即可； （3）①由菱形和旋转得性质证，可证； ②分情况讨论：当点在线段上时，当点在线段延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：（1），     ， 四边形为菱形， ∴， ∴， ， ∴， 四边形为矩形， 故选：B． （2）∵，，， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴面积为：， 故答案为：； （3）①．理由如下： ∵四边形为菱形， ， 旋转得到， ， ， ， ， ， ， ． ②解：如图所示，当点N在线段上时，过点A作于P， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， 由旋转知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴； 当点N在线段延长线上时，在上，过点A作于K，连接，如图所示： 由旋转知：，，，， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ， ∴，， ∵， ∴ 四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴， 综上，的长度为1或7， 故答案为：1或7． 【点睛】本题是正方形，菱形综合题，主要考查正方形的判定与性质，菱形的性质，矩形的判定与性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握特殊图形的性质与判定，添加正确的辅助线是解题关键． 24．（12分）（24-25八年级·广东珠海·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，点，以为边在右侧作正方形． (1)当点B在x轴正半轴上运动时，求点C的坐标（用m表示）； (2)当时，如图2，P为上一点，连接，过点P作，过A作，与交于点M，求证：； (3)在（2）的条件下，如图3，连交于点N，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）如图1中，作轴于．利用全等三角形的性质即可解决问题； （2）如图2中，在上取点Q，使，连接，先证明，再根据全等三角形的性质解决问题即可； （3）过M作交于F．证明，再根据全等三角形的性质解决问题即可； 【详解】（1）如图1中，作轴于E． ， ，， ， ， ， ，， ． （2）如图，在上取点Q，使，连接， 正方形为对角线， ，，， ， ， ①，， ， ， ， ， ， ， ，② 由①②知：， ， ． （3）如图，过M作交于F． 正方形， ， ∴ ，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或特殊四边形解决问题，学会利用参数解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$