第11讲 四边形中的尺规作图和格点作图-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（苏科版）

八年级下苏科版第11讲 专题3--四边形中的尺规作图和格点作图 考点点拨 尺规作图的关键点： ①找到对称中心，然后根据四边形的性质和判定作图； ②根据内错角或同位角相等，两直线平行，可以通过作一个角等于已知角构造平行线； 格点作图的关键点： ①找到对称中心，然后根据四边形的性质和判定作图； ②三角形的三条高交于一点、三条角平分线交于一点、三条中线交于一点的合理利用； 精选题型 1．（2024春•鼓楼区校级期中）（1）图1是在Rt△ABC中，∠B＝90°，用直尺和圆规作矩形ABCD，作法是“以点A为圆心，BC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D“，请判断所作的四边形ABCD是不是矩形，并说明理由． （2）如图2，在矩形ABCD的边AB上任取一点E，O是AC中点，在BC、CD、DA上各找一点F、G、H，使得四边形EFGH是菱形．（要求：利用直尺和圆规，作出图形，保留作图痕迹） 优网版权所有 【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； （2）连接EO，延长EO交CD于点G，作线段EG的垂直平分线，交AD于点H，交BC于点F，连接EF，FG，GH，EH，四边形EFGH即为所求（根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明） 【解答】解：（1）如图1中，四边形ABCD是矩形． 理由：∵AD＝BC，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠B＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； （2）四边形EFGH即为所求． 2．（2024春•建邺区校级期中）已知：如图，正方形ABCD中，点E、F分别是边AB和BC上的点，且满足BE＝CF． （1）不用圆规，请只用不带刻度的直尺作图：在边CD和DA上分别作出点G和点H，DG＝AH＝BE＝CF（保留作图痕迹，不写作法作法）； （2）判断：四边形EFGH的形状是 　正方形　． 【分析】（1）根据正方形是中心对称图形作图即可； （2）证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），推出EF＝FG＝GH＝HE，得到四边形EFGH是菱形，再证明∠AEH+∠BEF＝∠BFE+∠BEF＝90°，即可得到四边形EFGH是正方形． 【解答】解：（1）如图1所示：DG＝AH＝BE＝CF； ； （2）四边形EFGH是正方形，理由如下： 如图2， ∵正方形ABCD中， ∴AB∥CD，OB＝OD， ∴∠EBO＝∠GDO， ∵∠EOB＝∠GOD， ∴△EOB≌△GOD（ASA）， ∴BE＝DG， 同理AH＝CF， ∵BE＝CF， ∴EF＝FG＝GH＝HE， ∵正方形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA，AB＝BC＝CD＝DA， ∵DG＝AH＝BE＝CF， ∴AE＝BF＝CG＝DH， ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS）， ∴EF＝FG＝GH＝HE， ∴四边形EFGH是菱形， ∴∠AEH＝∠BFE， ∵∠AEH+∠BEF＝∠BFE+∠BEF＝90°， ∴四边形EFGH是正方形． 故答案为：正方形． 3．（2024春•南京期中）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线． （1）在AD边上确定一点E，将△BED沿BD翻折后，点E的对应点F恰好落在BC边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接BE、DF，判断四边形BEDF的形状． 【分析】（1）作BD的垂直平分线即可； （2）由矩形的性质、翻折性质及线段垂直平分线的性质即可证明． 【解答】解：（1）所作的图形如图： ； （2）证明：四边形BEDF是菱形．理由如下： ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， 由翻折知，BE＝BF， 由作图知，BE＝DE， ∴DE＝BF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵BE＝BF， ∴四边形BEDF是菱形． 4．（2024春•南京期中）已知菱形ABCD． （1）如图①，点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上，且AE＝AH＝CF＝CG．求证：四边形EFGH是矩形； （2）如图②，点M在BC上，用直尺和圆规作出两种不同的矩形MNPQ，使得点N，P，Q分别在CD，DA，AB上（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 【分析】（1）首先利用菱形的性质得到∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB＝BC＝CD＝DA，然后根据AE＝AH＝CF＝CG，得到BE＝BF＝DH＝DG，从而证得△AEH≌△CGF，△BEF≌△DGH，证得四边形EFGH是平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定四边形EFGH是矩形； （2）连接对角线AC和BD交于点O，以O为圆心，OM为半径画圆分别交CD、DA、AB上使得点 N（N1）、P、Q（Q1），则QP∥BD∥MN，QM∥AC∥PN，且AC⊥BD，连接Q1N1，MP，四边形MNPQ与MN1PQ1均为矩形． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°， ∵AE＝AH＝CF＝CG， ∴BE＝BF＝DH＝DG， ∴△AEH≌△CFG（SAS），△BEF≌△DHG（SAS）， ∴∠AEH＝∠AHE，∠BEF＝∠BFE， ∵∠A+∠AEH+∠AHE+∠B+∠BEF+∠BFE＝360°， ∴2∠AEH+2∠BEF＝180°， ∴∠AEH+∠BEF＝90°， ∴∠HEF＝90°， 同理∠EFG＝∠FGH＝90°， ∴四边形EFGH是矩形； （2）解：连接对角线AC和BD交于点O，以O为圆心，OM为半径画圆分别交CD、DA、AB上使得点 N（N1）、P、Q（Q1），则QP∥BD∥MN，QM∥AC∥PN，且AC⊥BD， ∴四边形MNPQ为矩形，连接Q1N1，MP， ∵Q1N1，MP为直径， ∴∠PQ1M＝∠MN1P＝∠Q1MN1＝90°， ∴四边形MN1PQ1为矩形， 即四边形MNPQ与MN1PQ1均为矩形． 5．（2024春•建邺区校级期中）已知四边形ABCD为矩形，点E是边AB的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）在图1中作出矩形ABCD的对称轴m，使 m∥AD； （2）在图2中作出矩形ABCD的对称轴n，使 n∥AB． 【分析】（1）如图1中，连接AC，BD交于点O，作直线OE即可； （2）如图2中，同法作出点O，连接CE，BF交于点T，作直线OT即可． 【解答】解：（1）如图1中，直线m即为所求； （2）如图2中，直线n即为所求； 6．（2024春•玄武区期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，E为AB上一点． （1）如图①，只用无刻度直尺在CD上作出点F，使得四边形AECF为平行四边形； （2）如图②，用直尺和圆规作出矩形EFGH，使得点F、G、H分别在BC、CD、DA上．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【分析】（1）连接AC，BD交于点O，连接OE，延长EO交CD于点F，点F即为所求作． （2）连接AC，BD交于点O，连接OE，延长EO交CD于点G，以O为圆心OG为半径作弧交BC于点F，延长FO交AD于点H，连接EF，FG，GH，EH，四边形EFGH即为所求． 【解答】解：（1）如图1，点F，四边形AECF即为所求作． （2）如图2，四边形EFGH即为所求作． 理由：由△AOE≌△COF，可得OE＝OF， 由△AOH≌△COF．可得OH＝OF， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵OG＝OF， ∴FH＝EG， ∴四边形EFGH是矩形． 7．（2024春•鼓楼区期中）如图，已知△ABC，AP平分∠BAC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）． （1）作菱形AMPN，使点M，N分别在边AB、CA上，并根据你的作法证明你的结论； （2）若∠C＝90°，AB＝8，BP＝4，求（1）中所作菱形AMPN的面积． 【分析】（1）作线段AP的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，连接PM、PN得四边形AMPN即为所求菱形，通过证明四条边相等即可证明； （2）由四边形AMPN是菱形、∠C＝90°，可得△BPM为直角三角形，通过勾股定理求得PB、PM、BM的长度，再由相似三角形求得PC的长度，最后由AN•PC求得AMPN的面积． 【解答】解：（1）作线段AP的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，连接PM、PN得四边形AMPN即为所求菱形， 证明：∵MN是AP的垂直平分线， ∴AN＝PN，AM＝PM，∠AON＝∠AOM＝90°， ∵AP平分∠BAC， ∴∠NAO＝∠MAO， ∵AO＝AO ∴△AON≌△AOM（ASA）， ∴AN＝AM， ∴AN＝PN＝PM＝AM， ∴四边形AMPN是菱形； （2）∵四边形AMPN是菱形， ∴AN＝PN＝PM＝AM，PM∥AC， ∵∠C＝90°，AB＝8，BP＝4， ∴∠BPM＝∠C＝90°， 设AN＝PN＝PM＝AM＝x，则BM＝8﹣x， 由勾股定理得：BM2＝PM2+BP2， ∴（8﹣x）2＝x2+42， 解得：x＝3， ∴BM＝8﹣3＝5， ∵PM∥AC， ∴，即， 解得：BC， ∴PC＝BC﹣BP4， ∴菱形AMPN的面积＝AN•PC＝3． 8．（2024春•锡山区期中）如图①，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝13，BC边上的高为4，点E是边AD上一动点． （1）尺规作图：请在图①中作菱形AEFG，使点F，G在边BC上．（不写作法，保留作图痕迹） （2）聪明的你一定会发现，可作出的菱形的个数随着点E的位置变化而变化．请直接写出菱形的个数及对应的AE的长的取值范围． 【分析】（1）如图②，在边AD上取一点E，以点A为圆心，AE长为半径画弧，交BC于点G，在BC上截取GF＝AE，连接EF，则四边形AEFG为所求作的菱形．根据邻边相等的四边形是菱形证明即可； （2）如图①中，过点A作AT⊥BC于点T，利用勾股定理求出A＝CT，在TC上取一点G，使得AG＝CG，设AG＝CG＝x，利用勾股定理求出x，分五种情形，分别求解． 【解答】解：（1）如图①，菱形AEFG即为所求； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴AE∥GF， ∵AE＝GF， ∴四边形AEFG是平行四边形， ∵AE＝AG， ∴四边形AEFG是菱形； （2）如图②中，过点A作AT⊥BC于点T， 在Rt△ABT中，BT3， ∵BC＝13， ∴CT＝13﹣3＝10， 在TC上取一点G，使得AG＝CG，设AG＝CG＝x， 则有x2＝42+（10﹣x）2， ∴x， 观察图形可知： ①当0＜AE＜4时，菱形的个数为0； ②当AE＝4时，菱形的个数为1； ③当4＜AE≤5时，菱形的个数为2； ④当5＜AE时，菱形的个数为1； ⑤当AE≤13时，菱形的个数为0． 9．（2024春•新吴区期中）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹． （1）如图1，四边形ABCD是平行四边形，E为BC上任意一点，请只用直尺（不带刻度）在边AD上找点F，使DF＝BE； （2）如图2，BE是菱形ABCD的边AD上的高，请只用直尺（不带刻度）作出菱形ABCD的边AB上的高DF． 【分析】（1）连接AC、BD交于点O，作直线EO交AD于F，点F即为所求． （2）连接AC交BF于点T，作直线DT交AB于F，线段DF即为所求． 【解答】解：（1）连接AC、BD交于点O，作直线EO交AD于F，点F即为所求． （2）连接AC交BF于点T，作直线DT交AB于F，线段DF即为所求． 10．（2024春•滨湖区期中）如图，四边形ABCD是矩形． （1）请用无刻度的直尺和圆规在图中作一个菱形FBED，其中F在直线AD上，E在直线BC上； （不要求写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若AB＝3，AD＝9，求所作菱形的面积． 【分析】（1）作线段BD的垂直平分线，交AD于点F，交BC于点E，连接BF，DE即可． （2）根据菱形的性质可得BE＝DE．由矩形的性质可得BC＝AD＝9，CD＝AB＝3，∠C＝90°．设BE＝DE＝x，则CE＝9﹣x．在Rt△CDE中，由勾股定理得，DE2＝CE2+CD2，代入求出x的值，再结合菱形的面积公式计算即可． 【解答】解：（1）如图，作线段BD的垂直平分线，交AD于点F，交BC于点E，连接BF，DE， 则四边形FBED即为所求． （2）∵四边形FBED为菱形， ∴BE＝DE． ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝9，CD＝AB＝3，∠C＝90°． 设BE＝DE＝x， 则CE＝9﹣x． 在Rt△CDE中，由勾股定理得，DE2＝CE2+CD2， 即x2＝（9﹣x）2+32， 解得x＝5， ∴BE＝5， ∴菱形FBED的面积为BE•CD＝5×3＝15． 11．（2024春•淮安区期中）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线． （1）利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； （2）连接AF、CE，求证四边形AECF为菱形． 【分析】（1）利用基本作图作AC的垂直平分线即可； （2）先根据线段垂直平分线的性质得到EF⊥AC，OA＝OC，再证明△AOE≌△COF得到OE＝OF，然后利用对角线互相垂直平分的四边形为菱形得到结论． 【解答】（1）解：如图，EF为所作； （2）证明：∵EF垂直平分AC， ∴EF⊥AC，OA＝OC， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF， ∴AC与EF互相垂直平分， ∴四边形AECF为菱形． 12．（2024春•邗江区期中）已知正方形ABCD，P是CD的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．（保留画图痕迹，不写画法） （1）在图①中，画PQ⊥AB，垂足为Q； （2）在图②中，画BH⊥AP，垂足为H． 【分析】（1）连接AC、BD，它们相交于O点，延长PO交AB于Q，则PQ⊥AB； （2）连接DQ交AP于E点，延长OE交AD于F，连接BF交AP于H，则可证明△ABF≌△DAP得到∠ABF＝∠DAP，再证明∠AHB＝90°，则BH⊥AP． 【解答】解：（1）如图①，PQ为所作； （2）如图②，BH为所作． 13．（2024春•盐城期中）如图①，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝13，BC边上的高为4．求作菱形AEFG，使点E在边AD上，点F，G在边BC上． 小宁的作法1．如图②，在边AD上取一点E． 2．以点A为圆心，AE长为半径画弧，交BC于点G． 3．在BC上截取GF＝AE，连接EF，则四边形AEFG为所求作的菱形． （1）证明小宁所作的四边形AEFG是菱形． （2）小宁进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点E的位置变化而变化．请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的AE的长的取值范围． 【分析】（1）根据邻边相等的四边形是菱形证明即可； （2）如图①中，过点A作AT⊥BC于点T，利用勾股定理求出A＝CT，在TC上取一点G，使得AG＝CG，设AG＝CG＝x，利用勾股定理求出x，分五种情形，分别求解． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴AE∥GF， ∵AE＝GF， ∴四边形AEFG是平行四边形， ∵AE＝AG， ∴四边形AEFG是菱形． （2）解：如图①中，过点A作AT⊥BC于点T， 在Rt△ABT中，BT3， ∵BC＝13， ∴CT＝13﹣3＝10， 在TC上取一点G，使得AG＝CG，设AG＝CG＝x， 则有x2＝42+（10﹣x）2， ∴x， 观察图象可知： ①当0＜AE＜4时，菱形的个数为0； ②当AE＝4时，菱形的个数为1； ③当4＜AE≤5时，菱形的个数为2； ④当5＜AE时，菱形的个数为1； ⑤当AE≤13时，菱形的个数为0． 14．（2024春•建邺区期中）已知∠MAN，按要求完成下列尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图①，B，C分别在射线AM、AN上，求作▱ABDC； （2）如图②，点O是∠MAN内一点，求作线段PQ，使P、Q分别在射线AM、AN上，且点O是PQ的中点． 【分析】（1）分别以B、C点为圆心，以AC、AB为半径画弧．两弧相交于点D，则四边形ABDC满足条件； （2）连接AO，延长AO到G使OG＝AO，再作∠PGA＝∠OAN交AM于P，连接PO并延长交AN于Q，则PQ满足条件． 【解答】解：（1）如图①，平行四边形ABDC为所作； （2）如图②，PQ为所作． 15．（2024春•灌云县期中）如图，AE∥BF． （1）请用直尺和圆规完成以下基本作图：在射线BF上截取BC＝AB，作∠ABC的平分线，交AE于点D，连接CD；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形ABCD是菱形． 【分析】（1）以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交BF于点C．再根据角平分线的作图方法作图即可． （2）结合平行线的性质、角平分线的定义可得∠ADB＝∠ABD，则AB＝AD，进而可得BC＝AD，则四边形ABCD为平行四边形，再结合菱形的判定可得结论． 【解答】（1）解：如图所示． （2）证明：∵AE∥BF， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AB＝AD． ∵BC＝AB， ∴BC＝AD， ∴四边形ABCD为平行四边形． ∵BC＝AB， ∴四边形ABCD为菱形． 16．（2024春•徐州期中）如图，点O是∠MAN内一点，求作线段PQ，使P、Q分别在射线AM、AN上，且点O是PQ的中点（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹）． 小亮的作法如下：作OT∥AN，交AM于点T，在射线TO上截取OE＝OT，在AN上截取AQ，使得AQ＝TE，连接QO，延长QO交AM于点P，线段PQ即为所求． （1）请证明小亮作法的正确性； （2）请你再设计另一种尺规作图的方法（保留作图痕迹，不写作法）． 【分析】（1）根据作图过程可得四边形ATEQ是平行四边形，然后证明△OTP≌△OEQ（ASA），即可解决问题． （2）连接AO，延长AO到T，使得OT＝OA，作TP∥AN交AM于点P，连接PO，延长PO交AN于点Q，线段PQ即为所求． 【解答】解：（1）如图1，作∠POT＝∠AQO，则OT∥AN，交AM于点T，在射线TO上截取OE＝OT，在AN上截取AQ，使得AQ＝TE，连接QO，延长QO交AM于点P，线段PQ即为所求， 证明：由作图过程可知：OT∥AN，AQ＝TE， ∴四边形ATEQ是平行四边形， ∴AT∥QE，AT＝QE， ∴∠OTP＝∠OEQ， ∵OT＝OE，∠TOP＝∠EOQ， ∴△OTP≌△OEQ（ASA）， ∴OP＝OQ； （2）解：如图2，线段PQ即为所求，点O是PQ的中点． 17．（2024春•建湖县期中）已知直线l和直线外一点A，只利用圆规完成以下作图．（保留作图痕迹，不写画法） （1）图①中，作点B，使AB∥l； （2）图②中，作点B、C、D，使A、B、C、D为矩形的四个顶点． 【分析】（1）在直线l上任意取点M、N，再分别以点A、N为圆心，MN、AM的长为半径画弧，两弧相交于B点，则AB∥直线l； （2）在直线l任意取点O，以O点为圆心，OA为半径作圆交直线l于E、F，然后分别以E、F为圆心，EA为半径画弧交⊙O于B、C、D． 【解答】解：（1）如图①，点B为所作； （2）如图②，矩形ABCD为所作． 18．（2024春•玄武区校级期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC中，A是格线上的点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图（1）中，作▱ABDC； （2）在图（2）中，将线段CB绕C逆时针旋转90°至CE（点E为点B的对应点）；过点E作EF⊥AB于F．（可以写出必要的文字说明） 【分析】（1）根据平行四边形的定义画出图形； （2）利用△CDE的三条高交于一点，作出直线EF即可． 【解答】解：（1）如图1中，平行四边形ABCD即为所求； （2）如图2中，直线EF即为所求． 方法：取CD是中点J，连接BJ，延长BJ交直线AC于点T，则DT∥BC，DT⊥EC，取格点W，连接CW交DT于点Q，作直线EQ交AB一点F，直线EF即为所求． 19．（2024春•亭湖区校级期中）规定：每个顶点都在格点的四边形叫做格点四边形．在10×6的正方形网格中画出符合要求的格点四边形（设每个小正方形的边长为1）． （1）在图甲中画出一个以AB为边的平行四边形，且它的面积为8． （2）在图乙中画出一个以AB为对角线的矩形，且它的面积为6． 【分析】（1）利用平行四边形的性质画出符合题意的图形； （2）利用矩形的性质画出符合题意得图形即可． 【解答】解：（1）如图甲所示，平行四边形ABCD即为所求（答案不唯一）． （2）如图乙所示，矩形AEBF即为所求（答案不唯一）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下苏科版第11讲 专题3--四边形中的尺规作图和格点作图 考点点拨 尺规作图的关键点： ①找到对称中心，然后根据四边形的性质和判定作图； ②根据内错角或同位角相等，两直线平行，可以通过作一个角等于已知角构造平行线； 格点作图的关键点： ①找到对称中心，然后根据四边形的性质和判定作图； ②三角形的三条高交于一点、三条角平分线交于一点、三条中线交于一点的合理利用； 精选题型 1．（2024春•鼓楼区校级期中）（1）图1是在Rt△ABC中，∠B＝90°，用直尺和圆规作矩形ABCD，作法是“以点A为圆心，BC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D“，请判断所作的四边形ABCD是不是矩形，并说明理由． （2）如图2，在矩形ABCD的边AB上任取一点E，O是AC中点，在BC、CD、DA上各找一点F、G、H，使得四边形EFGH是菱形．（要求：利用直尺和圆规，作出图形，保留作图痕迹） 优网版权所有 2．（2024春•建邺区校级期中）已知：如图，正方形ABCD中，点E、F分别是边AB和BC上的点，且满足BE＝CF． （1）不用圆规，请只用不带刻度的直尺作图：在边CD和DA上分别作出点G和点H，DG＝AH＝BE＝CF（保留作图痕迹，不写作法作法）； （2）判断：四边形EFGH的形状是 　 　． 3．（2024春•南京期中）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线． （1）在AD边上确定一点E，将△BED沿BD翻折后，点E的对应点F恰好落在BC边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接BE、DF，判断四边形BEDF的形状． 4．（2024春•南京期中）已知菱形ABCD． （1）如图①，点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上，且AE＝AH＝CF＝CG．求证：四边形EFGH是矩形； （2）如图②，点M在BC上，用直尺和圆规作出两种不同的矩形MNPQ，使得点N，P，Q分别在CD，DA，AB上（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 5．（2024春•建邺区校级期中）已知四边形ABCD为矩形，点E是边AB的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）在图1中作出矩形ABCD的对称轴m，使 m∥AD； （2）在图2中作出矩形ABCD的对称轴n，使 n∥AB． 6．（2024春•玄武区期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，E为AB上一点． （1）如图①，只用无刻度直尺在CD上作出点F，使得四边形AECF为平行四边形； （2）如图②，用直尺和圆规作出矩形EFGH，使得点F、G、H分别在BC、CD、DA上．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 7．（2024春•鼓楼区期中）如图，已知△ABC，AP平分∠BAC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）． （1）作菱形AMPN，使点M，N分别在边AB、CA上，并根据你的作法证明你的结论； （2）若∠C＝90°，AB＝8，BP＝4，求（1）中所作菱形AMPN的面积． 8．（2024春•锡山区期中）如图①，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝13，BC边上的高为4，点E是边AD上一动点． （1）尺规作图：请在图①中作菱形AEFG，使点F，G在边BC上．（不写作法，保留作图痕迹） （2）聪明的你一定会发现，可作出的菱形的个数随着点E的位置变化而变化．请直接写出菱形的个数及对应的AE的长的取值范围． 9．（2024春•新吴区期中）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹． （1）如图1，四边形ABCD是平行四边形，E为BC上任意一点，请只用直尺（不带刻度）在边AD上找点F，使DF＝BE； （2）如图2，BE是菱形ABCD的边AD上的高，请只用直尺（不带刻度）作出菱形ABCD的边AB上的高DF． 10．（2024春•滨湖区期中）如图，四边形ABCD是矩形． （1）请用无刻度的直尺和圆规在图中作一个菱形FBED，其中F在直线AD上，E在直线BC上； （不要求写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若AB＝3，AD＝9，求所作菱形的面积． 11．（2024春•淮安区期中）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线． （1）利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； （2）连接AF、CE，求证四边形AECF为菱形． 12．（2024春•邗江区期中）已知正方形ABCD，P是CD的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．（保留画图痕迹，不写画法） （1）在图①中，画PQ⊥AB，垂足为Q； （2）在图②中，画BH⊥AP，垂足为H． 13．（2024春•盐城期中）如图①，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝13，BC边上的高为4．求作菱形AEFG，使点E在边AD上，点F，G在边BC上． 小宁的作法1．如图②，在边AD上取一点E． 2．以点A为圆心，AE长为半径画弧，交BC于点G． 3．在BC上截取GF＝AE，连接EF，则四边形AEFG为所求作的菱形． （1）证明小宁所作的四边形AEFG是菱形． （2）小宁进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点E的位置变化而变化．请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的AE的长的取值范围． 14．（2024春•建邺区期中）已知∠MAN，按要求完成下列尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图①，B，C分别在射线AM、AN上，求作▱ABDC； （2）如图②，点O是∠MAN内一点，求作线段PQ，使P、Q分别在射线AM、AN上，且点O是PQ的中点． 15．（2024春•灌云县期中）如图，AE∥BF． （1）请用直尺和圆规完成以下基本作图：在射线BF上截取BC＝AB，作∠ABC的平分线，交AE于点D，连接CD；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形ABCD是菱形． 16．（2024春•徐州期中）如图，点O是∠MAN内一点，求作线段PQ，使P、Q分别在射线AM、AN上，且点O是PQ的中点（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹）． 小亮的作法如下：作OT∥AN，交AM于点T，在射线TO上截取OE＝OT，在AN上截取AQ，使得AQ＝TE，连接QO，延长QO交AM于点P，线段PQ即为所求． （1）请证明小亮作法的正确性； （2）请你再设计另一种尺规作图的方法（保留作图痕迹，不写作法）． 17．（2024春•建湖县期中）已知直线l和直线外一点A，只利用圆规完成以下作图．（保留作图痕迹，不写画法） （1）图①中，作点B，使AB∥l； （2）图②中，作点B、C、D，使A、B、C、D为矩形的四个顶点． 18．（2024春•玄武区校级期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC中，A是格线上的点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图（1）中，作▱ABDC； （2）在图（2）中，将线段CB绕C逆时针旋转90°至CE（点E为点B的对应点）；过点E作EF⊥AB于F．（可以写出必要的文字说明） 19．（2024春•亭湖区校级期中）规定：每个顶点都在格点的四边形叫做格点四边形．在10×6的正方形网格中画出符合要求的格点四边形（设每个小正方形的边长为1）． （1）在图甲中画出一个以AB为边的平行四边形，且它的面积为8． （2）在图乙中画出一个以AB为对角线的矩形，且它的面积为6． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$