专题02 相交线与平行线压轴训练（贵州专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期中真题分类汇编

专题02 相交线与平行线压轴训练 1．（2024春•贵州期中）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆AO垂直底座MN于点O，AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD、CE组成的∠DCE始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线CD∥MN，CE∥BA，若∠BAO＝158°，则∠DCE＝（　　） A．58° B．68° C．32° D．22° 2．（2024春•沿河县期中）如图，AB∥CD，则∠A、∠C、∠E、∠F满足的数量关系为（　　） A．∠A+∠C+∠F＝∠E B．∠A+∠C+∠E+∠F＝360° C．∠A+∠C+∠E﹣∠F＝180° D．∠A+∠C﹣∠E+∠F＝180° 3．（2024春•遵义期中）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024春•沿河县期中）如图①，两条直线相交有一个交点．如图②，三条直线相交最多有3个交点．如图③，四条直线相交最多有6个交点．如图④，五条直线相交最多有10个交点，则n条直线相交最多交点个数为 　 　 ．（用含n的代数式表示） 5．（2024春•罗甸县期中）如图，已知AB∥CD，E是平行线间一点，∠BAE与∠DCE的平分线交于点F，∠BAF与∠DCF的平分线交于点P，则∠APC与∠AEC的数量关系是 　 　 ． 6．（2024春•红花岗区校级期中）已知如图，直线AB∥CD，∠F＝60°，点G在线段FH上，∠GHC＝n∠FEG，若∠BEF与∠EGH的比值是定值，则n＝　 　 ． 7．（2024秋•水城区期中）如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向向右平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于　 　 ． 8．（2024春•贵州期中）如图（1），已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，探究∠BED与∠B、∠D之间的关系． 【学以致用】 （1）如图（1）当∠B＝30°，∠D＝35°时，求∠BED的度数； （2）如图（2），已知AB∥CD，若∠A＝135°，∠C＝130°，求出∠AEC的度数． 9．（2024春•南明区校级期中）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知∠MAC＝120°，∠NBE＝60°． （1）已知驱逐舰在AC方向上航行，巡洋舰在BE方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； （2）已知驱逐舰到达点C后沿C﹣D继续航行，巡洋舰到达点E后沿E﹣F继续航行，且MN∥EF，∠ACD＝140°．若驱逐舰在原航向上向左转动α（0°＜α＜180°）后，才能与巡洋舰航向相同，求α的值． 10．（2024春•西秀区期中）如图，已知AD∥BC，∠B＝50°，点Q是射线BC上一动点（与点B不重合），AE，AF分别平分∠BAQ和∠QAD，分别交射线BC于点E，F． （1）求∠EAF的度数； （2）点Q在运动过程中，∠BQA与∠BFA之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律； （3）点Q在运动过程中，当∠BEA＝∠BAF时，求∠BAE的度数． 11．（2024春•沿河县期中）已知直线AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点． 问题提出：（1）如图1，∠A＝120°，∠C＝130°，求∠APC的度数； 问题迁移：（2）如图2，写出∠APC，∠A，∠C之间的数量关系，并说明理由； 问题应用：（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝20°，∠PAB＝150°，求∠PEH的度数． 12．（2024春•毕节市期中）如图，已知AB∥CD． （1）如图①，EF分别和AB，CD相交于点E，F，求证∠1＝∠2； （2）如图②，试猜想∠1，∠2，∠EFD之间有什么数量关系，并证明你的结论； （3）如图③，若FH⊥AB于点E，∠1＝40°，求∠EFD的度数． 13．（2024春•遵义期中）今年春节期间，为了营造节日氛围，各地纷纷上演各种“灯光秀”．“灯光秀”为了强化灯光效果，某地在河的两岸安置了可旋转探照灯．如图1，灯A射线AE自AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线BF自BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是3°/秒，灯B转动的速度是1°/秒，两灯同时转动，转动时间为t秒．假定这一带两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°． （1）∠EAN＝　 　 °（用含t的式子表示）； （2）当t＝55时，求∠BCA的度数； （3）如图2，在灯A射线已转过AB但未到达AN时．若两灯射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，在转动过程中，∠BCD：∠BAC的比值是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 相交线与平行线压轴训练 1．（2024春•贵州期中）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆AO垂直底座MN于点O，AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD、CE组成的∠DCE始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线CD∥MN，CE∥BA，若∠BAO＝158°，则∠DCE＝（　　） A．58° B．68° C．32° D．22° 【分析】如图所示，过点A作AG∥MN，过点B作BH∥CD，则AG∥MN∥BH∥CD，由OA⊥MN得到∠OAG＝90°，则∠BAG＝∠BAO﹣∠OAG＝68°，进而得到∠ABH＝∠BAG＝68°，再根据平行线的性质得到∠ABC+∠BCE＝180°＝∠CBH+∠BCD，由此即可得到∠DCE＝∠ABH＝68°． 【解答】解：如图所示，过点A作AG∥MN，过点B作BH∥CD， ∵CD∥MN， ∴AG∥MN∥BH∥CD， ∵OA⊥MN， ∴AG⊥OA，即∠OAG＝90°， ∵∠BAO＝158°， ∴∠BAG＝∠BAO﹣∠OAG＝68°， ∴∠ABH＝∠BAG＝68°， ∵CE∥AB，BH∥CD， ∴∠ABC+∠BCE＝180°＝∠CBH+∠BCD， ∴∠ABH+∠CBH+∠BCE＝180°＝∠CBH+∠BCE+∠DCE， ∴∠DCE＝∠ABH＝68°， 故选：B． 2．（2024春•沿河县期中）如图，AB∥CD，则∠A、∠C、∠E、∠F满足的数量关系为（　　） A．∠A+∠C+∠F＝∠E B．∠A+∠C+∠E+∠F＝360° C．∠A+∠C+∠E﹣∠F＝180° D．∠A+∠C﹣∠E+∠F＝180° 【分析】过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，得到EM∥FN∥CD，因此∠A+∠AEM＝180°，∠MEF＝∠NFE，∠NFC＝∠C，得到∠MEF＝∠EFC﹣∠C，故∠AEM＝∠AEF+∠C﹣∠EFC，于是得到∠A+∠AEF+∠C﹣∠EFC＝180°． 【解答】解：过E作EM∥AB，过F作FN∥AB， ∵AB∥CD， ∴EM∥FN∥CD， ∴∠A+∠AEM＝180°，∠MEF＝∠NFE，∠NFC＝∠C， ∴∠C+∠MEF＝∠NFE+∠NFC＝∠EFC， ∴∠MEF＝∠EFC﹣∠C， ∵∠AEM＝∠AEF﹣∠MEF＝∠AEF+∠C﹣∠EFC， ∴∠A+∠AEF+∠C﹣∠EFC＝180°． 故选：C． 3．（2024春•遵义期中）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质解答．延长FG，交CH于I，构造出直角三角形，利用直角三角形两锐角互余解答． 【解答】解：延长FG，交CH于I． ∵AB∥CD， ∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH， ∵FD∥EH， ∴∠EHC＝∠D， ∵FE平分∠AFG， ∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC， ∴3∠EHC＝90°， ∴∠EHC＝30°， ∴∠D＝30°， ∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°， ∴①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°正确， ∵FE平分∠AFG， ∴∠AFI＝30°×2＝60°， ∵∠BFD＝30°， ∴∠GFD＝90°， ∴∠GFH+∠HFD＝90°， 可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可， ∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确． 故选B． 4．（2024春•沿河县期中）如图①，两条直线相交有一个交点．如图②，三条直线相交最多有3个交点．如图③，四条直线相交最多有6个交点．如图④，五条直线相交最多有10个交点，则n条直线相交最多交点个数为 　n（n﹣1）　 ．（用含n的代数式表示） 【分析】首先根据图①得最多交点的个数为1个，由图②得最多交点的个数为1+2＝3个，由图③得最多交点的个数为1+2+3＝6个，图④得出最多交点的个数为1+2+3+4＝10个；…，以此类推，n条直线相交最多交点个数为：1+2+3+4+…+（n﹣1），据此可得出答案． 【解答】解：由图①可知：两条直线有1个交点； 由图②可知：三条直线相交最多有3个交点，即3＝1+2； 由图③可知：四条直线相交最多有6个交点，即6＝1+2+3； 由图④可知，五条直线相交最多有10个交点，即10＝1+2+3+4； …，以此类推，n条直线相交最多交点个数为：1+2+3+4+…+（n﹣1）n（n﹣1）． 故答案为：n（n﹣1）． 5．（2024春•罗甸县期中）如图，已知AB∥CD，E是平行线间一点，∠BAE与∠DCE的平分线交于点F，∠BAF与∠DCF的平分线交于点P，则∠APC与∠AEC的数量关系是 　∠APC∠AEC　 ． 【分析】过点E作EH∥AB，过点P作PQ∥AB，根据AP平分∠BAF，CP平分∠DCF，设∠BAP＝∠FAP＝α，∠DCP＝∠FCP＝β，则∠BAF＝2α，∠DCF＝2β，再根据AF平分∠BAE，CF平分∠DCE得∠BAE＝4α，∠DCE＝4β，证明AB∥EH∥CD得∠AEH＝∠BAE＝4α，∠CEH＝∠DCE＝4β，则∠AEC＝∠AEH+∠CEH＝4（α+β），再证明AB∥PQ∥CD得∠APF＝∠BAP＝α，∠CPQ＝∠DCP＝β，则∠APC＝∠APF+∠CPQ＝α+β，由此可得∠APC与∠AEC的数量关系． 【解答】解：∠APC与∠AEC的数量关系是：∠APC∠AEC，理由如下： 过点E作EH∥AB，过点P作PQ∥AB，如图所示： ∵AP平分∠BAF，CP平分∠DCF， ∴设∠BAP＝∠FAP＝α，∠DCP＝∠FCP＝β， ∴∠BAF＝2α，∠DCF＝2β， ∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE， ∴∠EAF＝∠BAF＝2α，∠ECF＝∠DCF＝2β， ∴∠BAE＝4α，∠DCE＝4β， ∵AB∥CD，EH∥AB， ∴AB∥EH∥CD， ∴∠AEH＝∠BAE＝4α，∠CEH＝∠DCE＝4β， ∴∠AEC＝∠AEH+∠CEH＝4（α+β）， ∵AB∥CD，PQ∥AB， ∴AB∥PQ∥CD， ∴∠APF＝∠BAP＝α，∠CPQ＝∠DCP＝β， ∴∠APC＝∠APF+∠CPQ＝α+β， ∴∠AEC＝4∠APC， 即∠APC∠AEC． 6．（2024春•红花岗区校级期中）已知如图，直线AB∥CD，∠F＝60°，点G在线段FH上，∠GHC＝n∠FEG，若∠BEF与∠EGH的比值是定值，则n＝　2　 ． 【分析】过F作FM∥AB，则AB∥FM∥CD，设∠FEG＝α，则∠GHC＝nα，用α、n表示出∠BEF与∠EGH的比值，进而根据代数式的特征进行解答便可． 【解答】解：过F作FM∥AB，则AB∥FM∥CD， ∴∠EFM＝180°﹣∠BEF，∠MFH＝∠GHC， ∴∠EFH＝∠EFM+∠MFH＝180°﹣∠BEF+∠GHC＝60°， 设∠FEG＝α，则∠GHC＝nα， ∴180°﹣∠BEF+nα＝60°， ∴∠BEF＝120°+nα， ∵∠EGH＝∠EFG+∠FEG＝60°+α， ∴， 当n﹣2＝0时，即n＝2时，为定值． 故答案为：2． 7．（2024秋•水城区期中）如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向向右平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于　4或8　 ． 【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝12﹣x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解． 【解答】解：设AC交A′B′于H， ∵A′H∥CD，AC∥C′A′， ∴四边形A′HCK是平行四边形， ∵∠A＝45°，∠D＝90° ∴△A′HA是等腰直角三角形 设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝12﹣x ∴x•（12﹣x）＝32 ∴x＝4或8， 即AA′＝4或8． 故答案为：4或8． 8．（2024春•贵州期中）如图（1），已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，探究∠BED与∠B、∠D之间的关系． 【学以致用】 （1）如图（1）当∠B＝30°，∠D＝35°时，求∠BED的度数； （2）如图（2），已知AB∥CD，若∠A＝135°，∠C＝130°，求出∠AEC的度数． 【分析】（1）因为∠BED＝∠B+∠D，所以当当∠B＝30°，∠D＝35°时，∠BED＝65°； （2）如图所示过点E作EF∥AB，利用平行线的定理和推论可知∠AEC＝∠AEF+∠CEF，最后计算出∠AEC的度数． 【解答】解：（1）过点E作EF∥AB． ∴EF∥AB，CD∥AB， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF， ∵∠BED＝∠BEF+∠DEF， ∴∠BED＝∠B+∠D， 又∵∠B＝30°，∠D＝35°， ∴∠BED＝65°； （2）过点E作EF∥AB，如图： ∴EF∥AB，CD∥AB， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°， 又∵∠A＝135°，∠C＝130°， ∴∠AEF＝180°﹣135°＝45°，∠CEF＝180°﹣130°＝50°， ∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝45°+50°＝95°， 答：∠AEC的度为95°． 9．（2024春•南明区校级期中）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知∠MAC＝120°，∠NBE＝60°． （1）已知驱逐舰在AC方向上航行，巡洋舰在BE方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； （2）已知驱逐舰到达点C后沿C﹣D继续航行，巡洋舰到达点E后沿E﹣F继续航行，且MN∥EF，∠ACD＝140°．若驱逐舰在原航向上向左转动α（0°＜α＜180°）后，才能与巡洋舰航向相同，求α的值． 【分析】（1）根据平行线的判定证明AC∥BE，利用平行线的定义判断即可； （2）判断出若与巡洋舰航向相同，则EF∥HG，利用平行公理得到HG∥MN，求出∠CHG，即可求出α的值． 【解答】解：（1）不会，理由是： ∵∠MAC＝120°， ∴∠CAN＝60°， ∵∠NBE＝60°， ∴∠CAN＝∠NBE， ∴AC∥BE， ∴这两艘舰艇不会相撞； （2）如图，若要驱逐舰与巡洋舰航向相同， 则EF∥HG， ∵MN∥EF， ∴HG∥MN， ∴∠CHG+∠CAN+ACD＝360°， ∴∠CHG＝160° ∴α＝180°﹣∠CHG＝20°． 10．（2024春•西秀区期中）如图，已知AD∥BC，∠B＝50°，点Q是射线BC上一动点（与点B不重合），AE，AF分别平分∠BAQ和∠QAD，分别交射线BC于点E，F． （1）求∠EAF的度数； （2）点Q在运动过程中，∠BQA与∠BFA之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律； （3）点Q在运动过程中，当∠BEA＝∠BAF时，求∠BAE的度数． 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义可得结论； （2）根据平行线的性质和三角形外角的性质可得结论； （3）由已知可得：∠BFA＝∠BAE，则∠BAE＝∠EAQ＝∠FAQ＝∠FAD，从而可得结论． 【解答】解：（1）∵AD∥BC，∠B＝50°， ∴∠BAD＝180°﹣50°＝130°， ∵AE，AF分别平分∠BAQ和∠QAD， ∴∠BAE＝∠EAQ，∠FAQ＝∠FAD， ∴∠EAF＝∠EAQ+∠FAQ∠BAD＝65°； （2）∠BQA与∠BFA之间的数量关系不发生变化，有∠BQA＝2∠BFA，理由如下： ∵AD∥BC， ∴∠FAD＝∠BFA， ∵∠FAD＝∠FAQ， ∴∠FAQ＝∠BFA， ∵∠BQA＝∠QAF+∠BFA， ∴∠BQA＝2∠BFA； （3）∵∠BEA＝∠BAF，∠BEA＝∠BFA+∠EAF，∠BAF＝∠BAE+∠EAF， ∴∠BFA＝∠BAE， 由（1）知：∠FAD＝∠BFA， ∴∠BAE＝∠EAQ＝∠FAQ＝∠FAD， ∵∠BAD＝130°， ∴∠BAE＝32.5°． 11．（2024春•沿河县期中）已知直线AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点． 问题提出：（1）如图1，∠A＝120°，∠C＝130°，求∠APC的度数； 问题迁移：（2）如图2，写出∠APC，∠A，∠C之间的数量关系，并说明理由； 问题应用：（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝20°，∠PAB＝150°，求∠PEH的度数． 【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠APQ＝60°，∠CPQ＝50°，最后可以求出∠APC＝110°； （2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可证得∠APC＝∠A﹣∠C； （3）由（2）知，∠APC＝∠PAB﹣∠PCD，先证∠BEF＝∠PQB＝110°、∠PEG∠FEG，∠GEH∠BEG，根据∠PEH＝∠PEG﹣∠GEH可得答案． 【解答】解：（1）∠A+∠C+∠APC＝360° 如图1所示，过点P作PQ∥AB， ∴∠A+∠APQ＝180°， ∵∠A＝120°， ∴∠APQ＝180°﹣∠A＝180°﹣120°＝60°， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠C+∠CPQ＝180°， ∵∠C＝130°， ∴∠CPQ＝180°﹣∠C＝180°﹣130°＝50°， ∴∠APC＝∠APQ+∠CPQ＝60°+50°＝110°； （2）∠APC＝∠A﹣∠C，理由如下： 如图2，作PQ∥AB， ∴∠A＝∠APQ， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠C＝∠CPQ， ∵∠APC＝∠APQ﹣∠CPQ， ∴∠APC＝∠A﹣∠C； （3）由（2）知，∠APC＝∠PAB﹣∠PCD， ∵∠APC＝20°，∠PAB＝150°， ∴∠PCD＝130°， ∵AB∥CD， ∴∠PQB＝∠PCD＝130°， ∵EF∥PC， ∴∠BEF＝∠PQB＝130°， ∵∠PEG＝∠PEF， ∴∠PEG∠FEG， ∵EH平分∠BEG， ∴∠GEH∠BEG， ∴∠PEH＝∠PEG﹣∠GEH ∠FEG∠BEG ∠BEF ＝65°． 12．（2024春•毕节市期中）如图，已知AB∥CD． （1）如图①，EF分别和AB，CD相交于点E，F，求证∠1＝∠2； （2）如图②，试猜想∠1，∠2，∠EFD之间有什么数量关系，并证明你的结论； （3）如图③，若FH⊥AB于点E，∠1＝40°，求∠EFD的度数． 【分析】（1）首先根据平行线的性质求得∠EFD＝∠2，然后根据∠EFD与∠1是对顶角从而可得∠1＝∠2； （2）猜想的结论是：∠1+∠2＝∠EFD．过F作FG∥AB，则AB∥FG∥CD，利用平行线的性质解决问题即可； （3）过F作FG∥AB，则AB∥FG∥CD，利用平行线的性质和垂线的定义解决问题即可． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠2＝∠EFD， ∵∠1＝∠EFD， ∴∠1＝∠2． （2）解：猜想的结论是：∠1+∠2＝∠EFD． 证明：如图②中，过F作FG∥AB， ∵FG∥AB，AB∥CD， ∴AB∥FG∥CD， ∴∠1＝∠DFG，∠2＝∠EFG， ∴∠1+∠2＝∠DFG+∠EFG， ∵∠DFG+∠EFG＝∠EFD， ∴∠1+∠2＝∠EFD． （3）解：如图③，过F作FG∥AB， FG∥AB，AB∥CD， ∴AB∥FG∥CD， ∴∠EFG＝∠AEF，∠DFG＝∠1＝40°， ∵FH⊥AB， ∴∠AEF＝90°， ∴∠EFG＝90°． ∴∠EFD＝∠EFG+∠DFG＝90°+40°＝130°． 13．（2024春•遵义期中）今年春节期间，为了营造节日氛围，各地纷纷上演各种“灯光秀”．“灯光秀”为了强化灯光效果，某地在河的两岸安置了可旋转探照灯．如图1，灯A射线AE自AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线BF自BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是3°/秒，灯B转动的速度是1°/秒，两灯同时转动，转动时间为t秒．假定这一带两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°． （1）∠EAN＝　（180﹣3t）　 °（用含t的式子表示）； （2）当t＝55时，求∠BCA的度数； （3）如图2，在灯A射线已转过AB但未到达AN时．若两灯射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，在转动过程中，∠BCD：∠BAC的比值是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由． 【分析】（1）根据题意得∠MAE＝3t，则∠EAN＝180°﹣3°t， （2）过点C作CG∥MN，则PQ∥CG∥MN，当t＝55时，∠CAN＝180﹣3t＝15°，则∠CAN＝∠GCA＝15°，利用角度和差有∠BCA＝∠GCA+∠BCG即可； （3）设A灯转动时间为t秒，则∠CAN＝180﹣3t，∠BAC＝∠BAN﹣∠CAN，根据平行线的性质得∠BCA＝∠CBD+∠CAN，结合垂直得∠BCD＝∠ACD﹣∠BCA，则有2∠BAC＝3∠BCD即可． 【解答】解：（1）根据题意得∠MAE＝3t，则∠EAN＝180°﹣3°t， 故答案为：180﹣3t； （2）过点C作CG∥MN，如图， 则PQ∥CG∥MN， 当t＝55时，∠CAN＝180﹣3t＝180°﹣3°×55＝15° ∴∠CAN＝∠GCA＝15°， ∵∠BCG＝∠CBP＝55°， ∴∠BCA＝∠GCA+∠BCG＝70°； （3）设A灯转动时间为t秒，则∠CAN＝180﹣3t， ∵∠BAN＝45°， ∴∠BAC＝∠BAN﹣∠CAN＝45﹣（180﹣3t）＝3t﹣135， ∵PQ∥MN， ∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180﹣3t＝180﹣2t， ∵CD⊥AC， ∴∠ACD＝90° ∴∠BCD＝∠ACD﹣∠BCA＝90﹣（180﹣2t）＝2t﹣90， ∴2∠BAC＝3∠BCD， ∴， 即∠BCD：∠BAC的比值是一个定值，这个定值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$