精品解析：2025年广西壮族自治区钦州市中考一模数学试题

2025年钦州市初中学科素养测试数学 （时间：120分钟；满分：120分） 注意事项： 1．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效．考试结束时，将答题卡交回． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 3 2. 下列四幅“二十四节气”标识图中，文字上方所设计的图案是轴对称图形的是（ ） A. 惊蛰 B. 立春 C. 雨水 D. 芒种 3. 据统计，截至2025年3月14日12时，电影《哪吒之魔童闹海》累计票房（含海外票房）突破14969000000元．数据14969000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ） A. B. C. D. 5. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 一只不透明的袋子中装有个黄球，个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出个球，摸到黄球的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线，直角三角板的直角顶点在直线a上，若，则的度数是（ ） A B. C. D. 9. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 10. 有一列货运火车装运一批货物，如果每节车厢装65吨，则还剩20吨装不下；如果每节车厢装66吨，则还可多装40吨．设这列火车共有节车厢，这批货物共有吨，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 11. 综合实践小组同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 当液体密度时，浸在液体中的高度 B. 当液体密度时，浸在液体中的高度 C. 当浸在液体中高度时，该液体的密度 D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度 12. 如图，抛物线与轴交于两点，的直角顶点在抛物线对称轴上，为线段上一点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 单项式的系数是___________． 14. 某校航模社团学生来自七、八、九三个年级，如图是各年级人数的扇形统计图，如果九年级的人数为人，那么该社团总人数为___________人 15. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，则到的距离是___________（结果保留根号）． 16. 如图为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中长度为米，长度为米，圆心角，则裙长为___________米． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 为了解，两款扫地机器人在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了，两款扫地机器人各台，记录下它们运行的最长时间（分钟），并分四个等级：不合格，合格，良好，优秀． 收集数据： 款： 款： 分析数据： 类别 平均数 中位数 众数 方差 根据以上信息，解答下列问题： （1）表中___________，___________； （2）某商场购买一批款扫地机器人台，请估算这批款机器人运行最长时间的等级为“良好及以上”的台数； （3）根据题中的信息和数据，你认为哪款扫地机器人运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 20. 如图，已知． （1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接、．求证：四边形是菱形． 21. 如图，四边形内接于是的直径，平分，点在延长线上，． （1）求的度数； （2）若，求半径长； （3）求证：是的切线． 22. 综合与实践 现有三个款式的杯子，它们的高度不同．数学兴趣小组对杯子叠放的总高度与杯子数量之间的数学问题开展研究． 【实践操作】 （1）把A款杯子按如图①所示方式整齐地叠放成一摞，6只杯子叠放的总高度为，已知一只A款杯子的高度为，且叠放总高度与杯子数量的函数解析式为，请求出的值； （2）把A款杯子按如图②所示的方式整齐地叠放成一摞，7只杯子叠放的总高度为，已知一只B款杯子的高度为，请求出叠放总高度与杯子数量的函数解析式； （3）把C款杯子按如图③所示的方式整齐地叠放成两摞，3只杯子叠放的总高度为，8只杯子叠放的总高度为，请直接写出叠放总高度与杯子数量的函数解析式； 【知识运用】 （4）已知杯子摆放区的高度为，若把款杯子叠放成一摞放入杯子摆放区，请问一摞最多能叠放多少只杯子？ 23. 在数学兴趣小组活动中，小明同学对几何动点问题进行了探究： 问题背景：在中，．点D为边上一动点，连接，点为边上一动点，连接，以为边，在右侧作等边，连接． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当点运动到的四等分点（靠近点）时，点停止运动，此时点从点运动到点，试判断点从点运动到点的过程中线段和的数量关系，并说明理由； （3）如图3，点从的四等分点（靠近点）出发，向终点A运动，同时，点从点出发，向终点运动，运动过程中，始终保持，求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年钦州市初中学科素养测试数学 （时间：120分钟；满分：120分） 注意事项： 1．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效．考试结束时，将答题卡交回． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列各数中，最小数是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数大小的比较，熟知有理数的大小比较法则是解题的关键．根据有理数的大小比较法则，即正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数，两个负数中绝对值大的反而小，进行比较判断即可． 【详解】解：由题意得，， ∴最小的数是， 故选：C． 2. 下列四幅“二十四节气”标识图中，文字上方所设计的图案是轴对称图形的是（ ） A. 惊蛰 B. 立春 C. 雨水 D. 芒种 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项B能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选B． 3. 据统计，截至2025年3月14日12时，电影《哪吒之魔童闹海》累计票房（含海外票房）突破14969000000元．数据14969000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：数据14969000000用科学记数法表示为， 故选：B． 4. 如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据左视图的意义和画法可以得出答案． 【详解】解：∵该几何体为放倒的三棱柱， ∴根据左视图的画法，从左往右看，看到的是一个直角在左边的直角三角形， 故选：A． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解答本题的关键．从正面、上面和左面三个不同的方向看一个物体，并描绘出所看到的三个图形，即几何体的三视图． 5. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式，二次根式的化简，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念逐一判断即可解题． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查单项式乘以单项式，同底数幂的除法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．根据相应的运算法则逐一分析即可． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 7. 一只不透明的袋子中装有个黄球，个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出个球，摸到黄球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率公式的应用，熟练掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：一只不透明的袋子中装有个黄球，个红球，这些球除颜色外都相同， 搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黄球的概率为：， 故选：A． 8. 如图，直线，直角三角板的直角顶点在直线a上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，先利用平角定义可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵ ∴， 故选：B． 9. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集等知识点，正确求得一元一次不等式的解集是解题的关键． 先求出不等式的解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解：解不等式可得． 在数轴上表示如下： 故选D． 10. 有一列货运火车装运一批货物，如果每节车厢装65吨，则还剩20吨装不下；如果每节车厢装66吨，则还可多装40吨．设这列火车共有节车厢，这批货物共有吨，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意是解题关键．每节车厢装65吨，则还剩20吨装不下，则；如果每节车厢装66吨，则还可多装40吨，则，即可建立方程组． 【详解】解：设这列火车共有节车厢，这批货物共有吨，则可列方程组为， 故选：C． 11. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 当液体密度时，浸在液体中的高度 B. 当液体密度时，浸在液体中的高度 C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的应用，由题意可得，设，把，代入解析式，进而结合函数图象，逐项分析判断，求解即可． 【详解】解：设h关于的函数解析式为， 把，代入解析式，得． ∴h关于的函数解析式为． A. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意； B. 当液体密度时，浸在液体中高度，故该选项不正确，不符合题意； C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度，故该选项正确，符合题意； D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 12. 如图，抛物线与轴交于两点，的直角顶点在抛物线对称轴上，为线段上一点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数交点式，二次函数图象及性质，勾股定理，等积法求线段长，三角函数等．根据题意先求出，，后求出对称轴，再设，再利用勾股定理求出，再过点作，再用等积法求出，再利用三角函数即可得到本题答案． 【详解】解：∵抛物线与轴交于两点， ∴令，即或， ∴，， ∵在抛物线对称轴上， ∴，对称轴：直线， ∴为等腰直角三角形， 设， ∴， ∴，解得：， ∵如图点在第三象限， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴过点作， ， ∴，即，解得：， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 单项式的系数是___________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查单项式的系数，解题的关键是掌握单项式系数的定义．根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数，得出结果． 【详解】解：单项式的系数是7， 故答案为：7． 14. 某校航模社团学生来自七、八、九三个年级，如图是各年级人数的扇形统计图，如果九年级的人数为人，那么该社团总人数为___________人 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了扇形统计图的应用，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．利用九年级的学生为人，除以扇形统计图中九年级学生人数所占比例，即可求出总人数． 【详解】解：该社团总人数为（人）， 故答案为：． 15. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，则到的距离是___________（结果保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 由题意得，，分别在，进行解直角三角形即可求出，再由即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴在中，，， 在中，， ∴， 故答案为：． 16. 如图为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中长度为米，长度为米，圆心角，则裙长为___________米． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了扇形的弧长公式．解题的关键在于正确的计算． 由题意知，，，计算求解的值，然后根据计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，， ∴， 故答案为：1． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用平方根解方程，掌握知识点，正确计算是解题的关键． （1）先计算有理数的乘方，再计算乘除法，最后进行加减计算； （2）利用平方根的定义即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） 解得：． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 当 时，原式 ． 19. 为了解，两款扫地机器人在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了，两款扫地机器人各台，记录下它们运行的最长时间（分钟），并分四个等级：不合格，合格，良好，优秀． 收集数据： 款： 款： 分析数据： 类别 平均数 中位数 众数 方差 根据以上信息，解答下列问题： （1）表中___________，___________； （2）某商场购买一批款扫地机器人台，请估算这批款机器人运行最长时间的等级为“良好及以上”的台数； （3）根据题中的信息和数据，你认为哪款扫地机器人运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1）， （2）台 （3）款扫地机器人运行性能更好，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数和众数的确定方法求解即可； （2）用乘以“良好及以上”的占比，即可求解； （3）根据中位数和众数作决策即可． 【小问1详解】 解：款扫地机器人运行的最长时间的数据中出现次数最多的是，即众数为， 款扫地机器人运行的最长时间的平均数为 ， 故答案为：，； 【小问2详解】 这批款机器人运行最长时间的等级为“良好及以上”的台数为：（台）； 小问3详解】 款扫地机器人运行性能更好，理由如下： 款运行的最长时间的数据从小到大排列为：，，，，，，，，，， 款运行的最长时间的中位数为， 两款机器人的平均时间相同，但是款的众数和中位数均比款大， 款扫地机器人运行性能更好． 【点睛】本题考查统计表，求平均数数、众数，利用中位数和众数作决策，部分估计总体，解题的关键是掌握相关知识． 20. 如图，已知． （1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接、．求证：四边形菱形． 【答案】（1）作图见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，垂直平分线的画法，掌握平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据垂直平分线的画法即可求解； （2）根据平行四边形的性质可证，可得，可证四边形是平行四边形，再结合垂直平分线的性质可得，由“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可求证． 【小问1详解】 解：分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接交于点，交于点，如图所示， ∴是对角线的垂直平分线； 【小问2详解】 解：如图所示，连接，设与交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，且， 在中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ 平行四边形是菱形． 21. 如图，四边形内接于是的直径，平分，点在延长线上，． （1）求的度数； （2）若，求半径的长； （3）求证：是的切线． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了圆的综合问题，涉及圆周角定理，切线的判定，勾股定理，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由角平分线结合圆周角定理得，而，即可求解的度数； （2）在（1）的基础上得到，再由勾股定理即可求解直径长，则半径即可求解； （3）连接，证明出，由，证得即可 【小问1详解】 解：如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴的半径长为； 小问3详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线． 22. 综合与实践 现有三个款式的杯子，它们的高度不同．数学兴趣小组对杯子叠放的总高度与杯子数量之间的数学问题开展研究． 【实践操作】 （1）把A款杯子按如图①所示的方式整齐地叠放成一摞，6只杯子叠放的总高度为，已知一只A款杯子的高度为，且叠放总高度与杯子数量的函数解析式为，请求出的值； （2）把A款杯子按如图②所示的方式整齐地叠放成一摞，7只杯子叠放的总高度为，已知一只B款杯子的高度为，请求出叠放总高度与杯子数量的函数解析式； （3）把C款杯子按如图③所示的方式整齐地叠放成两摞，3只杯子叠放的总高度为，8只杯子叠放的总高度为，请直接写出叠放总高度与杯子数量的函数解析式； 【知识运用】 （4）已知杯子摆放区的高度为，若把款杯子叠放成一摞放入杯子摆放区，请问一摞最多能叠放多少只杯子？ 【答案】（1）3；（2）；（3）；（4）最多能叠放17只杯子 【解析】 【分析】本题考查了一次函数实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）把时，代入即可求解； （2）运用待定系数法求解； （3）运用待定系数法求解； （4）由题意得，解不等式即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 解得： （2）解：设叠放总高度与杯子数量的函数解析式为， 当时，，时，， ∴， 解得：， ∴叠放总高度与杯子数量的函数解析式为； （3）解：设叠放总高度与杯子数量的函数解析式为， 当；， ∴， 解得：， ∴叠放总高度与杯子数量的函数解析式为； （4）解：由题意，， 解得：， ∴最多能叠放17只杯子． 23. 在数学兴趣小组活动中，小明同学对几何动点问题进行了探究： 问题背景：在中，．点D为边上一动点，连接，点为边上一动点，连接，以为边，在右侧作等边，连接． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当点运动到的四等分点（靠近点）时，点停止运动，此时点从点运动到点，试判断点从点运动到点的过程中线段和的数量关系，并说明理由； （3）如图3，点从的四等分点（靠近点）出发，向终点A运动，同时，点从点出发，向终点运动，运动过程中，始终保持，求出的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明且，从而证明三角形全等； （2）过点作，垂足为点，取中点，连接，由四等分点证明，再根据三线合一得到，进而证明，最后可得是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得到； （3）以为边作等边三角形，连接，证明，则可得点在以为直径的圆弧上运动，起点为的中点，终点为点，连接，交圆弧于点，此时取得最小值，即可求出答案． 【小问1详解】 证明：是等边三角形， ， ， ，即， 又， ． 【小问2详解】 ，理由如下： 过点作，垂足为点，取中点，连接， ， ， ， 点是的中点， ， 是等边三角形， ， 点是中点，点是四等分点， ， ， ， 由（1）得， 又， ， ， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ． 【小问3详解】 以为边作等边三角形，连接， ，是等边三角形， ， ， ， ，即当点和点运动过程中，始终保持， 则点在以为直径的圆弧上运动，起点为的中点，终点为点， 由三角形三边关系可知，则， 连接，交圆弧于点，此时取得最小值， 是等边三角形，点是中点，， ， ， ， 则的最小值为． 【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，隐圆，本题的关键在于构造全等三角形，发现隐圆从而解决最小值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $