热点08 锐角三角函数（8大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（山东专用）

热点08 锐角三角函数 中考数学中锐角三角函数部分主要考向分为三类： 一、特殊角的三角函数值相关运算（每年1道，6~8分） 二、解直角三角形（每年1道，3分） 三、解直角三角形的应用（每年1题，3~8分） 中考数学中，对锐角三角函数的考察主要以特殊角的三角函数值及其有关计算、解直角三角形、解直角三角形的应用三个方面为主．其中，特殊角的三角函数值主要和实数相关概念放一起考察计算题，而解直角三角形及其各种应用则选择、填空、简答题都有出现，其中应用则偏向大题多些，难度一般中等或偏上，分值也比较可观，但对应考点掌握熟练，计算和审题上够小心了，一般不会失分。在解决直角三角形的实际应用问题时，往往通过做垂线，构造直角三角形进行求解。注意，在结合已知边角无法直接求解目标边角时，可以设出未知数，利用已知数据或者三角比列出方程。 考向一：正弦、余弦、正切 【题型1 由三角函数值求角】 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 1．（2023·山东济宁·二模）已知、均为锐角，且满足，则（    ） A．45° B．60° C．75° D．105° 【分析】根据绝对值和二次根式的非负性即可求出和，再根据特殊角的锐角三角函数值求出、，最后代入即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∵，均为锐角 ∴， ∴． 故选C． 2．（2022·山东滨州·一模）如图，在半径为6的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，sinD=,则BC的长为（    ） A． B． C． D． 【分析】设BC与OA交于E点，根据点A是劣弧的中点，得到=，继而得到∠COA=∠AOB，根据，得出锐角∠D=30°，再同一段弧其所对圆心角是其所对应圆周角的两倍，得到∠COA=2∠D，∠COA=60°=∠AOB，再得到∠OCB=∠OBC=30°，因为∠OEC=180°-∠OCB-∠COA=90°，可知△OEC是直角三角形，利用特殊角即可求出CE，再同理求出BE，即可求出BC． 【详解】设BC与OA交于E点， ∵点A是劣弧的中点， ∴=， ∴圆心角∠COA=∠AOB， ∵， ∴锐角∠D=30°， ∵同一段弧其所对圆心角是其所对应圆周角的两倍，即∠COA=2∠D， ∴∠COA=60°=∠AOB， 又∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC=30°， ∴∠OEC=180°-∠OCB-∠COA=90°，即△OEC是直角三角形， ∵OC=6，∠OCB=∠OBC=30°， ∴CE=OC=， 同理可求出BE=， ∴BC=CE+EB=， 故选：A． 考向二：解三角形 【题型2 解直角三角形】 1 两锐角互余； 2 三边满足直角边的平方和等于斜边的平方 3 边角关系：正弦是对边与斜边的比；余弦是邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比。 1．（2022·山东滨州·中考真题）在中，，则 ． 【分析】根据，得，结合解答即可． 本题考查了勾股定理，三角函数，熟练掌握勾股定理，正确计算三角函数是解题的关键． 【详解】解：根据，得， 故． 故答案为：． 2．（2023·山东·中考真题）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．用计算器求的长，下列按键顺序正确的是（　　）    A．   B．   C．   D．   【分析】根据正弦的定义得出，进而可得答案． 【详解】解：由题意得， ∴， ∴按键顺序为， 故选：B． 3．（2024·山东德州·中考真题）如图，中，对角线平分．    (1)求证：是菱形； (2)若，，求菱形的边长．（参考数据：，，） 【分析】此题考查平行四边形性质和菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，解直角三角形． （1）根据平行四边形性质得出，再结合角平分线的定义及等腰三角形的判定即可得出，，根据邻边相等的平行四边形是菱形进而得出结论； （2）连接，由菱形性质可知，，，在利用余弦求出长即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是菱形． （2）连接，交于点O，    ∵四边形是菱形．，， ∴，，， ∴， 即菱形的边长为5． 4．（2023·山东·中考真题）如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则 ．    【分析】过点A作于H，根据等边三角形的性质可得，再由，可得，再根据，可得，从而可得，利用锐角三角函数求得，再由，求得，即可求得结果． 【详解】解：过点A作于H， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：．    5．（2023·山东淄博·中考真题）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接，．若正方形与的边长之比为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【分析】设的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为，小正方形的边长为x，由题意得，解得，即可求解． 【详解】解：过点D作交的延长线于点N， 由题意可得，两个正方形之间是4个相等的三角形， 设的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为，小正方形的边长为x， 即，，， 由题意得，，解得， 在中，，则， ， 则， ∴， 故选：A．    6．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【分析】连接交于点F，设，则，利用勾股定理求得，由折叠得到，垂直平分，则，由代入求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接交于点F， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处， ∴点C与点A关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：A． 7．（2023·山东烟台·中考真题）如图，在菱形中，对角线相交于点经过两点，交对角线于点，连接交于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)已知的半径与菱形的边长之比为，求的值． 【分析】（1）利用垂径定理得，利用菱形的性质得，利用半径相等得，即可证明，据此即可证明结论成立； （2）设，由题意得，求得，由勾股定理得到，求得，利用菱形的性质求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：连接，    ∵，由垂径定理知， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴设， ∵的半径与菱形的边长之比为， ∴在中，， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴， ∴． 考向三：解直角三角形的实际应用 【题型3 俯仰角问题】 俯仰角指的都是视线与水平线的夹角。 1．（2024·山东泰安·中考真题）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点处测得瞭望台正对岸A处的俯角为，测得瞭望台顶端处的俯角为，已知瞭望台高12米（图中点，，，在同一平面内），那么大汶河此河段的宽为 米．（参考数据：，，，） 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用—仰角、俯角问题等知识点，熟练掌握解直角三角形是解题关键． 根据题意可得，则，再通过解直角三角形求得和，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：由题知, ∴, 在， ∴, ∴, 在中，, ∴, ∴． 故答案为：74． 2．（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区 全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（    ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点C，根据题意得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】如图，延长交于点C． 由题意得． 在中，， ， ． 在中，， ， ． 故选B． 3．（2023·山东青岛·中考真题）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，，．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【分析】过点作于点，过点作于点，先证和均为等腰直角三角形，四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，则，，，然后在中，利用得，由此解出，再利用勾股定理求出即可得的长． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，如图，    依题意得：，，， 又 和均为等腰直角三角形， ，， ，， ， ，，， 四边形为矩形， ，，， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， ， 在中，， 即：， ， 解得：， 检验：是原方程的根． ， 在等腰中，由勾股定理得：， 点为的中点， ， 答：太阳能电池板宽的长度约为． 4．（2023·山东·中考真题）某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点，在点和建筑物之间选择一点，测得．用高的测角仪在处测得建筑物顶部的仰角为，在处测得仰角为，则该建筑物的高是 ．    【分析】结合三角形外角和等腰三角形的判定求得，然后根据特殊角的三角函数值解直角三角形． 【详解】解：由题意可得：四边形，四边形，四边形均为矩形，    ∴，， 在Rt中，， 在Rt中，， ∴， ∴， ∴， 在Rt中，，即， 解得， ∴ 故答案为：． 5．（2023·山东烟台·中考真题）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方53米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，）    【分析】过点P作于点F，延长交延长线于点E，先根据含角直角三角形的性质得出，设米，则米，进而得出米，证明四边形为矩形，则米，米，根据线段之间的和差关系得出米，最后根据，列出方程求解即可． 【详解】解：过点P作于点F，延长交延长线于点E， 根据题意可得：、垂直于水平面，，，， ∴， ∵米，              ∴（米）， 设米，则米， ∵，， ∴米， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴米，米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 答：该风力发电机塔杆的高度为32米．    6．（2022·山东枣庄·中考真题）为传承运河文明，弘扬民族精神，枣庄市政府重建了台儿庄古城．某校“综合与实践”小组开展了测量台儿庄古城城门楼（如图①）高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告． 测量台儿庄古城城门楼高度的实践报告 活动课题 测量台儿庄古城城门楼高度 活动目的 运用三角函数知识解决实际问题 活动工具 测角仪、皮尺等测量工具 方案示意图 测量步骤 如图② （1）利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为39°； （2）前进了10米到达A处（选择测点A，B与O在同一水平线上，A，B两点之间的距离可直接测得，测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为56°． 参考数据 sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5． 计算城门楼PO的高度（结果保留整数） 【分析】设OA＝x米，则OB＝（x+10）米，在Rt△AOP中，利用锐角三角函数可得OP≈1.5OA＝1.5x米，在Rt△BOP中，利用锐角三角函数可得OP≈0.8OB＝0.8（x+10）米，然后列出方程，即可求解． 【详解】解：设OA＝x米，则OB＝（x+10）米， 在Rt△AOP中，tan∠OAP＝＝tan56°≈1.5， ∴OP≈1.5OA＝1.5x米， 在Rt△BOP中，tan∠OBP＝＝tan39°≈0.8， ∴OP≈0.8OB＝0.8（x+10）米， ∴1.5x＝0.8（x+10）， 解得：x＝， ∴OP≈1.5x＝1.5×≈17米， 答：台儿庄古城城门楼的高度约为17米． 7．（2022·山东淄博·中考真题）如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E的俯角为16°．    科学计算器按键顺序 计算结果 （已取近似值）    0.156    0.158 0.276    0.287 问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．（解答过程中可直接使用表格中的数据哟！） 【分析】在Rt△AEG中，利用正切函数求得AG的长，在Rt△ACH中，利用正切函数求得CH的长，据此求解即可得到综合楼的高度． 【详解】解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，理由如下： 作EG⊥AB，垂足为G，作AH⊥CD，垂足为H，如图： ·   由题意知，EG= BF= 40米，EF= BG= 12.88米，∠HAE= 16°= ∠AEG= 16°，∠CAH =9°， 在Rt△AEG中， tan ∠AEG=， ∴tan 16°=，即0.287≈， ∴AG = 40×0.287=11.48（米）， ∴AB = AG+BG=11.48+12.88= 24.36（米）， ∴HD= AB =24.36米， 在Rt△ACH中，AH =BD= BF＋FD=80米， tan∠CAH =， ∴tan 9°= ，即0.158≈， ∴CH =80×0.158= 12.64（米）， ∴CD=CH＋HD = 12.64＋24.36= 37.00（米）， 则综合楼的高度约是37.00米． 【题型4 坡度坡角问题】 坡度为竖直方向距离与水平方向距离的比，等于坡角的正切。 注意：坡度不是角度，而是比值。 1．（2022·山东烟台·中考真题）如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1） （参考数据表） 计算器按键顺序 计算结果（已精确到0.001） 11.310 0.003 14.744 0.005 【分析】根据题意可得DF＝AB＝0.15米，然后根据斜坡AC的坡比为1：2，可求出BC，CD的长，从而求出EB的长，最后在Rt△AEB中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得： DF＝AB＝0.15（米）， ∵斜坡AC的坡比为1：2， ∴＝，＝， ∴BC＝2AB＝1.5（米），CD＝2DF＝0.3（米）， ∵ED＝2.55米， ∴EB＝ED+BC﹣CD＝2.55+1.5﹣0.3＝3.75（米）， 在Rt△AEB中，tan∠AEB＝＝＝， 查表可得，∠AEB≈11.310°≈12°， ∴为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于12度． 2．（2022·山东日照·中考真题）2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i=1：2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB=30°．若雪道AB长为270m，雪道BC长为260m． (1)求该滑雪场的高度h； (2)据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量． 【分析】（1）过B作BF∥AD，过D过AF⊥AD，两直线交于F，过B作BE垂直地面交地面于E，根据题知∠ABF=∠DAB=30°，可得，由BC的坡度i=1：2.4，设BE=tm，则CE=2.4tm，可得t2+（2.4t）2=2602，即可得h=AF+BE=235（m）； （2）设甲种设备每小时的造雪量是xm3，可得：，即方程并检验可得甲种设备每小时的造雪量是15m3，则乙种设备每小时的造雪量是50m3． 【详解】（1）解：过B作BF∥AD，过A过AF⊥AD，两直线交于F，过B作BE垂直地面交地面于E，如图： 根据题知∠ABF=∠DAB=30°， ∴， ∵BC的坡度i=1：2.4， ∴BE：CE=1：2.4， 设BE=tm，则CE=2.4tm， ∵BE2+CE2=BC2， ∴t2+（2.4t）2=2602， 解得t=100（m），（负值已舍去）， ∴h=AF+BE=235（m）， 答：该滑雪场的高度h为235m； （2）设甲种设备每小时的造雪量是xm3，则乙种设备每小时的造雪量是（x+35）m3， 根据题意得：， 解得x=15， 经检验，x=15是原方程的解，也符合题意， ∴x+35=50， 答：甲种设备每小时的造雪量是15m3，则乙种设备每小时的造雪量是50m3． 3．（2024·山东威海·中考真题）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整） 课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角 成员 组长：×××  组员：×××，×××，××× 测量工具 竹竿，米尺 测量示意图 说明：是一根笔直的竹竿．点是竹竿上一点．线段的长度是点到地面的距离．是要测量的倾斜角． 测量数据 …… …… (1)设，，，，，，，，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏． (2)根据（）中选择的数据，写出求的一种三角函数值的推导过程． (3)假设，，，根据（）中的推导结果，利用计算器求出的度数，你选择的按键顺序为________． 【分析】（）根据题意选择需要的数据即可； （）过点作于点，可得，得到，即得，得到，再根据正弦的定义即可求解； （）根据（）的结果即可求解； 本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：需要的数据为：，，，； （2）解：过点作于点，则， ∵， ∴， ∴ ∴， 即 ∴， ∴； （3）解：∵， ∴按键顺序为， 故答案为：． 【题型5 方向角问题】 注意：方向角问题在解决时，往往设计到路程、速度、时间等量，所以解题的第一步应该是把已知的方向角以及其他的量，都转化成三角形中的边、角。 1．（2023·山东临沂·中考真题）如图，灯塔A周围9海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？ （参考数据：）    【分析】过点作，分别解和，求出的长，即可得出结论． 【详解】解：过点作，由题意，得：，，， 设，    在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴渔船没有触礁的危险． 2．（2022·山东青岛·中考真题）如图，为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活·绿色出行”健步走公益活动．小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东的点C处，观光船到滨海大道的距离为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时，观光船沿北偏西的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D处的距离．（参考数据：，，，，，） 【分析】过点C作于点F，根据题意利用正切函数可得，由矩形的判定和性质得出，结合图形利用锐角三角函数解三角形即可． 【详解】解：过点C作于点F， 由题意得，， 在中，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴四边形为矩形 ∴． 在中， ∵ ∴ 答：观光船从C处航行到D处的距离为米． 3．（2023·山东聊城·中考真题）东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向处，南关桥C在城门楼B的正南方向处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东方向，南关桥C在南偏东方向（点A，B，C，P四点在同一平面内）．求明珠大剧院到龙堤的距离（结果精确到）． （参考数据：，，，，，）    【分析】如图，首先证明四边形是矩形，可得，，然后解直角三角形求出，，进而得出关于的方程，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，由题意得，，，，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 答：明珠大剧院到龙堤的距离为．    【题型6 光线问题】 1．（2024·山东烟台·中考真题）根据收集的素材，探索完成任务． 探究太阳能热水器的安装 素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装． 素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，；夏至日时，． ，， ，， ，， ，， 素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼共11层，乙楼共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，为某时刻的太阳光线． 问题解决 任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择________日（填冬至或夏至）时，α为________（填，，，中的一个）进行计算． 任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器． 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意是解答的关键． 任务一：根据题意直接求解即可； 任务二：过E作于F，利用正切定义求得 【详解】解：任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需为冬至日时的最大角度，即， 故答案为：冬至，； 任务二：过E作于F，则，米，， 在中，， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米）， （层）， 答：乙楼中2层（含2层）以下不能安装该品牌太阳能热水器． 2．（2023·山东·中考真题）如图，某育苗基地为了能够最大限度地遮挡夏季炎热的阳光和充分利用冬天的光照，计划在苗圃正上方搭建一个平行于地面的遮阳蓬．已知苗圃的（南北）宽米，该地区一年中正午时刻太阳光与地平面的最大夹角是，最小夹角是．求遮阳蓬的宽和到地面的距离． 参考数据：，，，，，．    【分析】过点D作于F，解，得，解，得，所以，解得米，从而得米，再由矩形的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于F，    在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：(米)， ∴(米)， ∴(米)， ∵ ∴矩形， ∴米，米． 答：遮阳蓬的宽为7.5米，到地面的距离为4.2米． 【题型7 综合实践】 综合实践是近年来比较热门的考法，题目在解时实际往往比传统问题要简单，但是学生需要耐下心去仔细阅读并理解题目信息，圈出关键数据，明确到底这道题已知哪些条件，又要求哪些量。 1．（2024·山东济南·中考真题）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表： 综合实践活动记录表 活动内容 测量轻轨高架站的相关距离 测量工具 测倾器，红外测距仪等 过程资料 相关数据及说明：图中点，在同平面内，房顶，吊顶和地面所在的直线都平行，点在与地面垂直的中轴线上，，． 成果梳理 …… 请根据记录表提供的信息完成下列问题： (1)求点到地面的距离； (2)求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，， 【分析】本题主要考查了平行线的性质及解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）过点作，交的延长线于点，由得，在中解直角三角形即可得解； （2）过点作，垂足为由平行线的性质得，进而得，根据平行线间的距离处处相等得，从而得，最后在中，解直角三角形即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点， 在中 答：点到地面的距离为 （2）解：如图，过点作，垂足为 ， ， 平行线间的距离处处相等 ， ∵， 在中 答：顶部线段的长为 2．（2024·山东·中考真题）【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点．测量，两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到数据：米，，．画出示意图，如图 【问题解决】（1）计算，两点间的距离． （参考数据：，，，，） 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案： 如图2，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且，，当，，在同一条直线上时，只需测量即可． （2）乙小组的方案用到了________．（填写正确答案的序号） ①解直角三角形    ②三角形全等 【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用，解直角三角形的应用，灵活应用知识点是解本题的关键； （1）如图，过作于，先求解，，再求解及即可； （2）由全等三角形的判定方法可得，可得，从而可得答案. 【详解】解：如图，过作于， ∵米，，，， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（米）； 即，两点间的距离为米； （2）∵，，当，，在同一条直线上时， ∴， ∴， ∴， ∴只需测量即可得到长度； ∴乙小组的方案用到了②； 3．（2022·山东临沂·中考真题）如图是一座独塔双索结构的斜拉索大桥，主塔采用倒“Y”字形设计，某学习小组利用课余时间测量主塔顶端到桥面的距离．勘测记录如下表： 活动内容 测量主塔顶端到桥面的距离 成员 组长：×××    组员：×××××××××××× 测量工具 测角仪，皮尺等 测量示意图 说明：左图为斜拉索桥的侧面示意图，点A、C，D，B在同一条直线上，，点A，C分别与点B，D关于直线EF对称 测量数据 的大小 28° AC的长度 84m CD的长度 12m 请利用表中提供的信息，求主塔顶端E到AB的距离（参考数据：，，）． 【分析】延长EF交AB于M，由题意可得，可得AM的长度，再根据解直角三角形即可． 【详解】延长EF交AB于M， ，点A，C分别与点B，D关于直线EF对称， ，， ， ， ， ， 答：主塔顶端E到AB的距离约为47.7m． 【题型8 其他应用】 1．（2023·山东济南·中考真题）图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．    (1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； (2)若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由． （结果精确到，参考数据：，，，） 【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可； （2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可． 【详解】（1）如图，作，垂足为点    在中 ∵， ∴ ∴ ∵平行线间的距离处处相等 ∴ 答：车后盖最高点到地面的距离为． （2）没有危险，理由如下： 过作，垂足为点    ∵， ∴ ∵ ∴ 在中， ∴． ∵平行线间的距离处处相等 ∴到地面的距离为． ∵ ∴没有危险． 2．（2022·山东济宁·中考真题）知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c． ∵， ∴， ∴ (1)拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程． (2)解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离． 【分析】拓展研究：作CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，根据正弦的定义得AE = csinB， AE= bsin∠BCA，CD= asinB，CD = bsin∠BAC，从而得出结论； 解决问题：由拓展探究知， 代入计算即可． 【详解】（1）（拓展探究）证明：作CD⊥AB于点D，AC⊥BC于点E． 在RtΔABE中，， 同理：， ． ． ． ． ． （2）（解答问题）解：在ΔABC中， ∴ 解得： 答：点A到点B的距离为m． 3．（2022·山东威海·中考真题）小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河岸设立A，B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M．测得AB＝50m，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°．请你依据所测数据求出这段河流的宽度（结果精确到0.1m）． 参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈． 【分析】过点M作MN⊥AB，利用正切函数得出AN≈，BN≈，结合图形得出，然后求解即可． 【详解】解：过点M作MN⊥AB， 根据题意可得：， ∴AN≈ ， ∴BN≈ ∵AN+BN=AB=50， ∴， 解得：MN=(m)， ∴河流的宽度约为17.1m． （建议用时：15分钟） 1．（2023·山东济宁·二模）如图，四边形中，，直线分别交，于点E，F．则的值等于（    ）    A． B． C． D． 【分析】先根据，得到，则，再根据平角的定义求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 故选B． 2．（2023·山东东营·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【分析】（1）如图：，然后根据等边对等角可得、即，再根据可得，进而得到即可证明结论； （2）如图：连接，有圆周角定理可得，再解直角三角形可得，进而得到，然后说明，最后根据弧长公式即可解答． 【详解】（1）证明：如图：连接    ∵， ∴, ∵， ∴, ∴, ∴, ∴。 ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图：连接 ∵是的直径， ∴, 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（2022·山东德州·中考真题）如图1，在等腰三角形中，，为底边的中点，过点作，垂足为，以点为圆心，为半径作圆，交于点，． (1)与的位置关系为_______； (2)求证：是的切线； (3)如图2，连接，，，求的直径．(结果保留小数点后一位．参考数据：) 【分析】（1）利用直线与圆的相切的定义解答即可； （2）过点作于点，连接，通过证明，利用直线与圆相切的定义解答即可； （3）过点作于点，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，再利用垂径定理和直角三角形的边角关系定理求得圆的半径，则圆的直径可求． 【详解】（1）解：，点为圆心，为半径， 圆心到直线的距离等于圆的半径， 为的切线， 与的位置关系为相切， 故答案为：相切； （2）证明：过点作于点，连接，如图， ，为底边的中点， 为的平分线， ，， ， 为的半径， 为的半径， 是的切线； （3）解：过点作于点，如图， ，， ， ， ． ， ， ，， 为的平分线， ． 在中， ， ∴ 的直径． 4．（2023·山东日照·模拟预测）【问题情境】 （1）如图1，在正方形中，E，F，G分别是上的点，于点Q．求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，交于点O．求的值． 【拓展提升】 （3）如图3，点P是线段上的动点，分别以为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交于点M、N、H．求： ①的度数： ②的值． 【分析】（1）作交于点，证即可得证； （2）将线段平移至处，连接，过点作，设正方形网格的边长为单位1，分别求出即可求解； （3）①平移线段至处，连接，证即可求解．②证明，根据相似三角形的面积比等于相似比，进行求解即可． 【详解】（1）证明：作交于点，如图：   四边形是正方形， ，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：将线段平移至处，连接，过点作，如图所示： ， 设正方形网格的边长为单位1， 由勾股定理可得：，，， ， ， ∴， ； （3）解：①平移线段至处，连接，如图3所示：    则，四边形是平行四边形， ， 四边形与四边形都是正方形， ，， ， ， 在和中， ，， ， ， ， ； ②如图： ∵为正方形的对角线， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（2025·山东济南·一模）如图，在中，是的内接三角形，是的直径，在上取一点D，使，过点C的切线分别与的延长线交于点E，F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【分析】（1）连接，利用圆周角定理和切线的性质求得，，推出，由等边对等角求得，推出，由等角对等边即可证明； （2）先推出，推出，求得，，在中，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径，是的切线，切点为点C， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：同理， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 6．（2023·山东日照·中考真题）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角，再沿方向前进至C处测得最高点A的仰角，，则灯塔的高度大约是（    ）（结果精确到，参考数据：，）      A． B． C． D． 【分析】在中，得出，设，则，，在中，根据正切得出，求解即可得出答案． 【详解】解：在中，， ， 设，则，， 在中，， ， ， 灯塔的高度AD大约是． 故选：B． 7．（2023·山东·中考真题）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处俯角为，楼顶C点处的俯角为，已知点A与大楼的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度（结果保留根号）    【分析】如图，过作于，过作于，而，则四边形是矩形，可得，，求解，，可得，，可得． 【详解】解：如图，过作于，过作于，而，    则四边形是矩形， ∴，， 由题意可得：，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴大楼的高度为． 8．（2022·山东济南·中考真题）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（    ）（精确到1m．参考数据：，，，） A．28m B．34m C．37m D．46m 【分析】在Rt△ABD中，解直角三角形求出，在Rt△ABC中，解直角三角形可求出AB． 【详解】解：在Rt△ABD中，tan∠ADB＝， ∴， 在Rt△ABC中，tan∠ACB＝， ∴， 解得：m， 故选：C． 9．（2023·山东泰安·中考真题）在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前C处，测得该塔顶端B的仰角为，后退（）到D处有一平台，在高（）的平台上的E处，测得B的仰角为．则该电视发射塔的高度为 ．（精确到．参考数据：）    【分析】如图所示，过点E作于F，则四边形是矩形，可得到；设，则，解得到，解得到，进而建立方程 ，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点E作于F， 由题意得，， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：55．    10．（2022·山东菏泽·中考真题）菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：） 【分析】根据正弦的定义求出AC，根据余弦的定义求出BC，根据正切的定义求出CD，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：在Rt△ABC中，AB=8米，∠ABC=37°， 则AC=AB•sin∠ABC≈8×0.60=4.8（米）， BC=AB•cos∠ABC≈8×0.80=6.40（米）， 在Rt△ADC中，∠ADC=30°， 则CD=≈8.30（米）， ∴BD=CD-BC=8.30-6.40≈1.9（米）， 答：BD的长约为1.9米． 11．（2023·山东淄博·中考真题）如图，与斜坡垂直的太阳光线照射立柱（与水平地面垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若米，米，斜坡的坡角，则立柱的高为 米（结果精确到米）．         科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值）          【分析】如图，过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为G，则四边形为矩形，可得米，，．于是．解，得，从而（米），解中，（米）．于是（米）． 【详解】解：如图，过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为G， 则四边形为矩形， ∴米，． ∴． ∴． 中，，（米）． ∴（米）． 中，， ∴（米）． ∴（米）． 故答案为：19.2米．    12．（2024·山东青岛·中考真题）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题． 方案名称 滑梯安全改造 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为，（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上） 测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得． 解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长） （参考数据：） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点E作于H，则四边形是矩形，可得，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 答：调整后的滑梯会多占的一段地面． 13．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）    【分析】过点作于点，由垂线段最短可得的长即为所求，先求出，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，然后在中，解直角三角形可得的长，从而可得的长，最后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，    由垂线段最短可知，的长即为所求， 由题意得：，千米， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，千米，千米， 千米， 在中，千米， 答：输油管道的最短长度是千米． 14．（2022·山东东营·中考真题）胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”.已知主塔垂直于桥面于点B，其中两条斜拉索与桥面的夹角分别为和，两固定点D、C之间的距离约为，求主塔的高度（结果保留整数，参考数据：） 【分析】在Rt△ABD中，利用正切的定义求出，然后根据∠C＝45°得出AB＝BC，列方程求出BD，即可解决问题． 【详解】解：∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， 在Rt△ABD中，， 在Rt△ABC中，∠C＝45°， ∴AB＝BC， ∴， ∴m， ∴AB＝BC＝m， 答：主塔的高度约为78m． 55 / 55 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点08 锐角三角函数 中考数学中锐角三角函数部分主要考向分为三类： 一、特殊角的三角函数值相关运算（每年1道，6~8分） 二、解直角三角形（每年1道，3分） 三、解直角三角形的应用（每年1题，3~8分） 中考数学中，对锐角三角函数的考察主要以特殊角的三角函数值及其有关计算、解直角三角形、解直角三角形的应用三个方面为主．其中，特殊角的三角函数值主要和实数相关概念放一起考察计算题，而解直角三角形及其各种应用则选择、填空、简答题都有出现，其中应用则偏向大题多些，难度一般中等或偏上，分值也比较可观，但对应考点掌握熟练，计算和审题上够小心了，一般不会失分。在解决直角三角形的实际应用问题时，往往通过做垂线，构造直角三角形进行求解。注意，在结合已知边角无法直接求解目标边角时，可以设出未知数，利用已知数据或者三角比列出方程。 考向一：正弦、余弦、正切 【题型1 由三角函数值求角】 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 1．（2023·山东济宁·二模）已知、均为锐角，且满足，则（    ） A．45° B．60° C．75° D．105° 2．（2022·山东滨州·一模）如图，在半径为6的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，sinD=,则BC的长为（    ） A． B． C． D． 考向二：解三角形 【题型2 解直角三角形】 1 两锐角互余； 2 三边满足直角边的平方和等于斜边的平方 3 边角关系：正弦是对边与斜边的比；余弦是邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比。 1．（2022·山东滨州·中考真题）在中，，则 ． 2．（2023·山东·中考真题）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．用计算器求的长，下列按键顺序正确的是（　　）    A．   B．   C．   D．   3．（2024·山东德州·中考真题）如图，中，对角线平分．    (1)求证：是菱形； (2)若，，求菱形的边长．（参考数据：，，） 4．（2023·山东·中考真题）如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则 ．    5．（2023·山东淄博·中考真题）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接，．若正方形与的边长之比为，则等于（    ）    A． B． C． D．    6．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（    ） A．2 B． C． D． 7．（2023·山东烟台·中考真题）如图，在菱形中，对角线相交于点经过两点，交对角线于点，连接交于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)已知的半径与菱形的边长之比为，求的值． 考向三：解直角三角形的实际应用 【题型3 俯仰角问题】 俯仰角指的都是视线与水平线的夹角。 1．（2024·山东泰安·中考真题）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点处测得瞭望台正对岸A处的俯角为，测得瞭望台顶端处的俯角为，已知瞭望台高12米（图中点，，，在同一平面内），那么大汶河此河段的宽为 米．（参考数据：，，，） 2．（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区 全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（    ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 3．（2023·山东青岛·中考真题）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，，．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到．参考数据：，，，） 4．（2023·山东·中考真题）某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点，在点和建筑物之间选择一点，测得．用高的测角仪在处测得建筑物顶部的仰角为，在处测得仰角为，则该建筑物的高是 ．    5．（2023·山东烟台·中考真题）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方53米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，）    6．（2022·山东枣庄·中考真题）为传承运河文明，弘扬民族精神，枣庄市政府重建了台儿庄古城．某校“综合与实践”小组开展了测量台儿庄古城城门楼（如图①）高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告． 测量台儿庄古城城门楼高度的实践报告 活动课题 测量台儿庄古城城门楼高度 活动目的 运用三角函数知识解决实际问题 活动工具 测角仪、皮尺等测量工具 方案示意图 测量步骤 如图② （1）利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为39°； （2）前进了10米到达A处（选择测点A，B与O在同一水平线上，A，B两点之间的距离可直接测得，测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为56°． 参考数据 sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5． 计算城门楼PO的高度（结果保留整数） 7．（2022·山东淄博·中考真题）如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E的俯角为16°．    科学计算器按键顺序 计算结果 （已取近似值）    0.156    0.158 0.276    0.287 问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．（解答过程中可直接使用表格中的数据哟！） 【题型4 坡度坡角问题】 坡度为竖直方向距离与水平方向距离的比，等于坡角的正切。 注意：坡度不是角度，而是比值。 1．（2022·山东烟台·中考真题）如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1） （参考数据表） 计算器按键顺序 计算结果（已精确到0.001） 11.310 0.003 14.744 0.005 2．（2022·山东日照·中考真题）2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i=1：2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB=30°．若雪道AB长为270m，雪道BC长为260m． (1)求该滑雪场的高度h； (2)据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量． 3．（2024·山东威海·中考真题）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整） 课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角 成员 组长：×××  组员：×××，×××，××× 测量工具 竹竿，米尺 测量示意图 说明：是一根笔直的竹竿．点是竹竿上一点．线段的长度是点到地面的距离．是要测量的倾斜角． 测量数据 …… …… (1)设，，，，，，，，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏． (2)根据（）中选择的数据，写出求的一种三角函数值的推导过程． (3)假设，，，根据（）中的推导结果，利用计算器求出的度数，你选择的按键顺序为________． 【题型5 方向角问题】 注意：方向角问题在解决时，往往设计到路程、速度、时间等量，所以解题的第一步应该是把已知的方向角以及其他的量，都转化成三角形中的边、角。 1．（2023·山东临沂·中考真题）如图，灯塔A周围9海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？ （参考数据：）    2．（2022·山东青岛·中考真题）如图，为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活·绿色出行”健步走公益活动．小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东的点C处，观光船到滨海大道的距离为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时，观光船沿北偏西的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D处的距离．（参考数据：，，，，，） 3．（2023·山东聊城·中考真题）东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向处，南关桥C在城门楼B的正南方向处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东方向，南关桥C在南偏东方向（点A，B，C，P四点在同一平面内）．求明珠大剧院到龙堤的距离（结果精确到）． （参考数据：，，，，，）       【题型6 光线问题】 1．（2024·山东烟台·中考真题）根据收集的素材，探索完成任务． 探究太阳能热水器的安装 素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装． 素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，；夏至日时，． ，， ，， ，， ，， 素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼共11层，乙楼共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，为某时刻的太阳光线． 问题解决 任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择________日（填冬至或夏至）时，α为________（填，，，中的一个）进行计算． 任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器． 2．（2023·山东·中考真题）如图，某育苗基地为了能够最大限度地遮挡夏季炎热的阳光和充分利用冬天的光照，计划在苗圃正上方搭建一个平行于地面的遮阳蓬．已知苗圃的（南北）宽米，该地区一年中正午时刻太阳光与地平面的最大夹角是，最小夹角是．求遮阳蓬的宽和到地面的距离． 参考数据：，，，，，．    【题型7 综合实践】 综合实践是近年来比较热门的考法，题目在解时实际往往比传统问题要简单，但是学生需要耐下心去仔细阅读并理解题目信息，圈出关键数据，明确到底这道题已知哪些条件，又要求哪些量。 1．（2024·山东济南·中考真题）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表： 综合实践活动记录表 活动内容 测量轻轨高架站的相关距离 测量工具 测倾器，红外测距仪等 过程资料 相关数据及说明：图中点，在同平面内，房顶，吊顶和地面所在的直线都平行，点在与地面垂直的中轴线上，，． 成果梳理 …… 请根据记录表提供的信息完成下列问题： (1)求点到地面的距离； (2)求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，， 2．（2024·山东·中考真题）【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点．测量，两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到数据：米，，．画出示意图，如图 【问题解决】（1）计算，两点间的距离． （参考数据：，，，，） 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案： 如图2，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且，，当，，在同一条直线上时，只需测量即可． （2）乙小组的方案用到了________．（填写正确答案的序号） ①解直角三角形    ②三角形全等 【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案． 3．（2022·山东临沂·中考真题）如图是一座独塔双索结构的斜拉索大桥，主塔采用倒“Y”字形设计，某学习小组利用课余时间测量主塔顶端到桥面的距离．勘测记录如下表： 活动内容 测量主塔顶端到桥面的距离 成员 组长：×××    组员：×××××××××××× 测量工具 测角仪，皮尺等 测量示意图 说明：左图为斜拉索桥的侧面示意图，点A、C，D，B在同一条直线上，，点A，C分别与点B，D关于直线EF对称 测量数据 的大小 28° AC的长度 84m CD的长度 12m 请利用表中提供的信息，求主塔顶端E到AB的距离（参考数据：，，）． 【题型8 其他应用】 1．（2023·山东济南·中考真题）图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．    (1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； (2)若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由． （结果精确到，参考数据：，，，） 2．（2022·山东济宁·中考真题）知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c． ∵， ∴， ∴ (1)拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程． (2)解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离． 3．（2022·山东威海·中考真题）小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河岸设立A，B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M．测得AB＝50m，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°．请你依据所测数据求出这段河流的宽度（结果精确到0.1m）． 参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈． （建议用时：15分钟） 1．（2023·山东济宁·二模）如图，四边形中，，直线分别交，于点E，F．则的值等于（    ）    A． B． C． D． 2．（2023·山东东营·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 3．（2022·山东德州·中考真题）如图1，在等腰三角形中，，为底边的中点，过点作，垂足为，以点为圆心，为半径作圆，交于点，． (1)与的位置关系为_______； (2)求证：是的切线； (3)如图2，连接，，，求的直径．(结果保留小数点后一位．参考数据：) 4．（2023·山东日照·模拟预测）【问题情境】 （1）如图1，在正方形中，E，F，G分别是上的点，于点Q．求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，交于点O．求的值． 【拓展提升】 （3）如图3，点P是线段上的动点，分别以为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交于点M、N、H．求： ①的度数： ②的值． 5．（2025·山东济南·一模）如图，在中，是的内接三角形，是的直径，在上取一点D，使，过点C的切线分别与的延长线交于点E，F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 6．（2023·山东日照·中考真题）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角，再沿方向前进至C处测得最高点A的仰角，，则灯塔的高度大约是（    ）（结果精确到，参考数据：，）      A． B． C． D． 7．（2023·山东·中考真题）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处俯角为，楼顶C点处的俯角为，已知点A与大楼的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度（结果保留根号）    8．（2022·山东济南·中考真题）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（    ）（精确到1m．参考数据：，，，） A．28m B．34m C．37m D．46m 9．（2023·山东泰安·中考真题）在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前C处，测得该塔顶端B的仰角为，后退（）到D处有一平台，在高（）的平台上的E处，测得B的仰角为．则该电视发射塔的高度为 ．（精确到．参考数据：）    10．（2022·山东菏泽·中考真题）菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：） 11．（2023·山东淄博·中考真题）如图，与斜坡垂直的太阳光线照射立柱（与水平地面垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若米，米，斜坡的坡角，则立柱的高为 米（结果精确到米）．         科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值）          12．（2024·山东青岛·中考真题）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题． 方案名称 滑梯安全改造 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为，（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上） 测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得． 解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长） （参考数据：） 13．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）    14．（2022·山东东营·中考真题）胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”.已知主塔垂直于桥面于点B，其中两条斜拉索与桥面的夹角分别为和，两固定点D、C之间的距离约为，求主塔的高度（结果保留整数，参考数据：） 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$