专题4.2 平行四边形性质的综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题4.2 平行四边形性质的综合 · 典例分析 【典例1】如图，在中，，，E为射线上一点，直线与直线交于点G，于H，的延长线与直线交于点F． （1）当E在线段上时， ①若，，求的面积； ②求证：； （2）若，，求的长． 【思路点拨】 （1）①过点G作，垂足为P，证明是等腰直角三角形，求出，再根据含30度角的直角三角形的特征，求出，利用勾股定理求出，进而得到，利用勾股定理即可求出，即可得到的面积；②如图，延长交的延长线于，连接，利用全等三角形的性质证明即可； （2）根据题意可求，当点E在线段上时，根据，，，，可得，进而得到，即，同理（1）②可证，，进而得到，推出是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一，得到，即可求出；当点E在射线上时，同理证明是等腰三角形，即可解答． 【解题过程】 （1）①解：过点G作，垂足为P， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为：； ②如图1中，延长交的延长线于，连接， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：当点E在线段上时， ，，， ， ，， ， ，即， 同理（1）②得，，， ， 是等腰三角形， ， ； 当点E在射线上时， 同理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ； 综上，长为2或． · 学霸必刷 1．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平行四边形中，，，E是边延长线上一点，连接，是等边三角形，连接，则的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 3．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，对角线相交于点，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图所示，在中，，F是的中点，作，垂足E在线段上，连接，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，的对角线，交于点，平分，交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④垂直平分；⑤，其中成立的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，是内一点，，，，连接，，，下列结论：①；②为等腰直角三角形； ③；④，其中正确的个数有 （       ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 7．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，直线过点，连接，交于点，连，的周长等于，下列说法正确的个数为（    ） ； ； ； ． A．个 B．个 C．个 D．个 8．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期末）如图，在平行四边形中，平分交于点E，若，则的度数是 9．（23-24九年级下·重庆江北·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，为中点，为延长线上一点，若平分，则 ．    10．（24-25九年级上·江西抚州·期中）在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，过F作的垂线交于E，则 ．    11．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知在平行四边形中，，点在上，，将沿翻折到，连接．则的长为 ，的长为 ．      12．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，平行四边形中，点在上，连接，交于点，平分，，若，，则线段的长为 ．    13．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，点 E是边上一点， 且 交于点F， P是延长线上一点，给出下面四个结论： ①平分 ；②；③；④当 时，， 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 14．（24-25九年级上·重庆北碚·开学考试）如图，在平行四边形中，，，，点，点是边上的一点，点是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，则的长度为 ． 15．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在平行四边形中，分别是边上动点．将四边形沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上，的对应点为，连接、，其中交于点．若，，，则的长度为 ． 16．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点作，交的延长线于点，交于点，若，，，，则下列所有正确结论的序号是 ． ①平分；②；③；④． 17．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在中，，，，P为边上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B，C的对应点分别为，，过的中点E作交于点F，连接，若，则的面积是 ． 18．（2024九年级上·全国·专题练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线，画图结果用实线）．    （1）在图1中，先在上画点E，使，再在上画点F，使； （2）在图2中，先在上画点H，使，再在上画点G，使． 19．（2024·上海嘉定·模拟预测）如图，在中，，过点C作于点F，交于点M，且，连接，使，连接． （1）求证：； （2）试判断的形状，并说明理由． 20．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，在中，，F是中点，，垂足为G，延长线交于点H，，连接． （1）若，求的值； （2）求证：． 21．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知平行四边形为边上的中点，为边上的一点． （1）如图1，连接并延长交的延长线于点，求证：； （2）如图2，若，求； （3）如图3，若为的中点，为的中点，，求线段的长． 22．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，为 的对角线，，平分，点F为射线上一点． （1）如图1，当点F在的延长线上，且，连接与交于点G． ①求证：； ②若，求的长； （2）如图2，当点F在线段上，连接与交于点H，若，，试探究三条线段之间的数量关系． 23．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，已知四边形为平行四边形，的平分线与相交于，与延长线相交于，过点分别作，的垂线，垂足为，． （1）求证：为等腰三角形； （2）如图1，连接，且． ①求证：； ②若，，求的长． （3）如图2，若，将线段绕点顺时针旋转至，连接、，请判断的形状，并说明理由． 24．（24-25九年级上·湖北·期末）【提出问题】 如图1，在中，于点E，于点F．求证：； 【问题探究】 如图2，在四边形中， ，G是的中点，P是上的一点，连接，．若，．求证：； 【拓展延伸】 如图3，在四边形中， ，P是边上的一点，连接，．若，，，，，直接写出PD的长为 ． 25．（23-24八年级下·四川成都·期末）在中，，对角线平分，点M为射线上一点，连接，将沿直线翻折得到，连接．    （1）如图1，点在边上，，求的度数； （2）射线与射线交于点F，在射线上取一点G，使，连接，交于点H． ①如图2，点M在线段上，求证：； ②点M在线段延长线上，和，之间有何数量关系？写出你的结论并证明． 26．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）数学课上张老师出示了一个问题：如图1，在中， E为边上一点，连接， 求证： ①小芳同学说：不必添画辅助线，可以直接利用图1进行证明． ②小芮同学说：可以添画图2中的辅助线，然后进行证明． （1）请你选择一名同学的想法，写出证明过程． 【问题探究】 （2）小迪同学在此问题基础上，过点E作 ，交于点F，如图3，小琳根据小迪的作法，写出了线段之间的数量关系：请你判断这一结论是否成立，如果成立，请你写出证明过程；若不成立，请你写出关于这三条线段数量关系的新结论，并证明． 【类比拓展】 （3）小怡同学突发奇想，过点E作交于点 F，如图4，若的面积为12，，请你直接写出线段的长． 27．（23-24八年级下·河南南阳·期中）中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接． （1）若， ①如图①，当点E在线段上时，易证，结合图形，请直接写出线段，，的数量关系是 ；（不需说明理由） ②如图②，当点E在线段的延长线上时，请写出线段，，的数量关系，并证明； （2）如图③，若，当点E在线段延长线上时，猜想并直接写出线段，，的数量关系是 ．（不需说明理由） （3）在（1）、（2）的情况下，若，，则_______．（不需说明理由） 28．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）【问题背景】 某数学兴趣小组在学习了平行四边形后，对其进行了轴对称变换的操作，进一步研究平行四边形的性质．在中，，，，点是边上任意一点，连接，将四边形沿翻折得到四边形，射线与相交于点． 【操作发现】 （1）如图1，无论点在什么位置，图中都会有一条线段与相等，请猜想与相等的线段，并说明理由． 【问题延伸】 （2）当点的位置发生变化时，线段存在最小值，请求出线段的最小值． 【问题拓展】 （3）如图2，连接，当是以为一条直角边的直角三角形时，求线段的长． 29．（23-24八年级下·山东青岛·期末）综合实践课上，同学们展开了以“轴对称”为主题的探究活动． 实践操作： 四边形是平行四边形，，，在边上取一点，如图①，连接，点关于的对称点为点，连接，． 问题解决： （1）当与重合时，连接，与有何位置和数量关系，请说明理由； （2）如图②，当时，连接，与位置关系为______，数量关系为______； （3）若，时，求线段的长． 30．（23-24九年级上·重庆北碚·期中）如图，在平行四边形中，平分，交于点E，点F是线段上一点，连接，点G是线段上一点，连接，交于点N． （1）如图1，若，，求的面积； （2）如图2，点H是线段的中点，连接，若，求证：； （3）如图3，若，，，，将绕着点A旋转，得到．连接．点O是线段的中点，连接．请直接写出线段长度的最小值． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.2 平行四边形性质的综合 · 典例分析 【典例1】如图，在中，，，E为射线上一点，直线与直线交于点G，于H，的延长线与直线交于点F． （1）当E在线段上时， ①若，，求的面积； ②求证：； （2）若，，求的长． 【思路点拨】 （1）①过点G作，垂足为P，证明是等腰直角三角形，求出，再根据含30度角的直角三角形的特征，求出，利用勾股定理求出，进而得到，利用勾股定理即可求出，即可得到的面积；②如图，延长交的延长线于，连接，利用全等三角形的性质证明即可； （2）根据题意可求，当点E在线段上时，根据，，，，可得，进而得到，即，同理（1）②可证，，进而得到，推出是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一，得到，即可求出；当点E在射线上时，同理证明是等腰三角形，即可解答． 【解题过程】 （1）①解：过点G作，垂足为P， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为：； ②如图1中，延长交的延长线于，连接， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：当点E在线段上时， ，，， ， ，， ， ，即， 同理（1）②得，，， ， 是等腰三角形， ， ； 当点E在射线上时， 同理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ； 综上，长为2或． · 学霸必刷 1．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【思路点拨】 本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质以及垂线段最短的性质，勾股定理等知识，设与交于点O，作于，首先利用勾股定理求出，当P与重合时，的值最小，的最小值，从而求解． 【解题过程】 解：设与交于点O，作于．如图所示： 在中，， ∴为等腰直角三角形， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 当P与重合时，的值最小，则的值最小， 的最小值． 故选：C． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平行四边形中，，，E是边延长线上一点，连接，是等边三角形，连接，则的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 【思路点拨】 本题主要考查了平行四边形，等边三角形．熟练掌握平行四边形性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含的直角三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 在射线上取点G，使，连接，，根据平行四边形性质证明是等边三角形，得到，，根据是等边三角形，得到，，得到，得到，得到，得到，点F在直线上运动，当时，根据含的直角三角形的性质得到的最小值为． 【解题过程】 解：在射线上取点G，使，连接，， ∵平行四边形中， ，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在直线上运动， 当时，最小， 此时，， ∴, ∴的最小值为． 故选：D． 3．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，对角线相交于点，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，过点作于，过点作的延长线于，由可得，由勾股定理得，由平行四边形性质得，，进而得到，，，即可得到，，即得，由勾股定理即可求出的长，正确作出辅助线是解题的关键． 【解题过程】 解：如图，过点作于，过点作的延长线于，则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 4．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图所示，在中，，F是的中点，作，垂足E在线段上，连接，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】 本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是得出． 由在平行四边形中，，是的中点，易得，继而证得，可判断①；然后延长，交延长线于，分别利用平行四边形的性质与判定得出，可得，再证明，可判断②；由，可得，结合，则，可判断③；设，则，再分别表示：，，从而可判断④． 【解题过程】 解：①是的中点， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， ；故①正确； ②如图，延长，交延长线于， 四边形是平行四边形， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ，不一定与相等,故②不正确； ③， ， ， ，故③错误； ④设， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，正确的结论有①④，共2个， 故答案为：B. 5．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，的对角线，交于点，平分，交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④垂直平分；⑤，其中成立的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【思路点拨】 对于①，根据平行四边形的性质及角平分线的定义可证明是等边三角形，进一步可推得，从而可求得，即可求得； 对于②，根据勾股定理可证明，即，进一步可求出，即可判断②错误； 对于③，设，根据①②中的结论，及平行四边形的对角线互相平分，可分别求得，，由此即得结论③； 对于④，由①可知，，根据等腰三角形三线合一性质可得，即知结论④正确； 对于⑤，运用反证法证明，假设，逐步推理得到，这与②中的结论矛盾，从而得到证明． 【解题过程】 解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， 所以①正确； 四边形是平行四边形， ，，， 在中，， ， ， ， 所以②错误； 设， ， ，， ， ， ， ， ， ， 所以③正确； ，， ， 即垂直平分， 所以④正确； 假设，则， ， ， ， ， ， 这与矛盾， 假设不成立， 故， 所以⑤错误； 综上所述，成立的结论是①③④， 所以成立的个数是3个． 故选B． 6．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，是内一点，，，，连接，，，下列结论：①；②为等腰直角三角形； ③；④，其中正确的个数有 （       ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【思路点拨】 ①延长交于点，根据平行四边形性质和四边形内角和即可得到；②先证明，得，又有，可得，即可得到为等腰直角三角形；③过点作交延长线于点，证明，再根据勾股定理及等腰直角三角形的性质，可得成立；④过点作于，根据勾股定理即可证明，可知结论不成立． 【解题过程】 解：①延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故①正确； 在中，∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴为等腰直角三角形， 故②正确； ∵， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 过点作交延长线于点，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，，，则为等腰直角三角形， ∴， 由等腰直角三角形可知，， ∴， 故③正确； 由勾股定理可知，，则， 过点作于，则， ∵， ∴， ∴， 则，， ∴， 故④不正确； 故选：C． 7．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，直线过点，连接，交于点，连，的周长等于，下列说法正确的个数为（    ） ； ； ； ． A．个 B．个 C．个 D．个 【思路点拨】 由的周长等于，可得，即得到，根据等腰三角形三线合一得到，即可判断；过点作，交与，证明，得到，同理可得，，，再由三角形的面积即可判断；过点 于，交于，可得，即可判断；过点作的延长线于点，由平行线可得，进而可得，得到，由勾股定理可得，设，则，在中，由勾股定理可得，求出进而可得的长，即可判断；正确作出辅助线是解题的关键． 【解题过程】 解：∵的周长等于， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， 即， ∴，故正确； 过点作于M，交与， ∵， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∵，， ∴，故正确； 过点作于，交于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确； 过点作的延长线于点，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴，故正确； ∴说法正确的个数有个， 故选：． 8．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期末）如图，在平行四边形中，平分交于点E，若，则的度数是 【思路点拨】 根据平行四边形的性质得，，继而得到，，求出，再结合平分，可得，即可得到是等边三角形，进而可得，再证明，即可得出． 本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的性质和灵活证明三角形全等是解答本题的关键． 【解题过程】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∴ ∴， 故答案为：． 9．（23-24九年级下·重庆江北·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，为中点，为延长线上一点，若平分，则 ．    【思路点拨】 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得，的长，由勾股定理可求的长，即可求解． 【解题过程】 解：如图，延长，交于点，过点作于，    四边形是平行四边形，   ，，，， ， 点为中点， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·江西抚州·期中）在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，过F作的垂线交于E，则 ．    【思路点拨】 本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解．根据，不妨设，当在之间时，由翻折的性质知：，可得，，由三线合一得到，继而由可求解；当在的延长线上时，同理可求解． 【解题过程】 解：当在之间时，作下图，    根据，不妨设， 由翻折的性质知：， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 沿直线翻折至所在直线， ， ， ， ∵过作的垂线交于， ， ， 当在的延长线上时，作下图，    根据，不妨设， 同理知：， ∵过作的垂线交于， ， 故答案为：或． 11．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知在平行四边形中，，点在上，，将沿翻折到，连接．则的长为 ，的长为 ．      【思路点拨】 过B作交延长线于G，于H，先证明是等腰直角三角形求得，设，则，，然后在中，利用勾股定理求得，进而求得；由翻折性质和等腰三角形的性质，结合平行线的性质求得，证明是等腰直角三角形，∴，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【解题过程】 解：过B作交延长线于G，过E作于H，则，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 设，则，， 在中，由得， 解得， ∴； 由翻折性质得，， ∵，， ∴， ∴， ∵EH⊥BF， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，． 故答案为：5，． 12．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，平行四边形中，点在上，连接，交于点，平分，，若，，则线段的长为 ．    【思路点拨】 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，长方形的性质，勾股定理，解二元一次方程组等知识点．正确地作出辅助线是解题的关键． 首先利用证明，从而得；然后根据平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，证明；作于点，于点，则有四边形是长方形；最后根据勾股定理列出关于、的二元一次方程组求解即可． 【解题过程】 解：如图，连结， 四边形是平行四边形， ，，，． ， ， ， ， ， 又 ， ． ． 平分， ， ， ． 作于点，于点， 则有四边形是长方形， ． 设，，则，． 在中， ①； 在中， ②； 联立①②，解得． 则． 故线段的长为4． 13．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，点 E是边上一点， 且 交于点F， P是延长线上一点，给出下面四个结论：①平分 ；②；③；④当 时，， 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【思路点拨】 本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质，平行四边形的性质，掌握基础知识是解本题的关键．由四边形是平行四边形，可知，，则，由，可知是等腰三角形，由，可知，是的垂直平分线，平分 ，可判断①的正误；证明是的垂直平分线，可得，可得，故③正确；由，可得，如图，作的延长线于，则，可得，可判断④的正误；由题意知，无法判断的大小，可判断②的正误． 【解题过程】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴，是的垂直平分线，平分 ，①正确，故符合要求； ∴， ∴， ∴； 结合题意知，无法判断的大小，②错误，故不符合要求； ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴，故③正确； 如图，作的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∴，④正确，故符合要求； 故答案为：①③④． 14．（24-25九年级上·重庆北碚·开学考试）如图，在平行四边形中，，，，点，点是边上的一点，点是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，则的长度为 ． 【思路点拨】 本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．如图，作于，过点作于．可得，可得点到的距离是，证明；可得，设，则，，由勾股定理得，再求解即可，可得，最后根据求解即可． 【解题过程】 解：如图，作于，过点作于． ，， ∴， ，， 到的距离和到的距离都是平行线、间的距离， 点到的距离是， 四边形是平行四边形， ，，， 由折叠可知，，，， ，，， ， 在和中， ， ∴； ， ，， ， ， 设，则， ， 由折叠可知，， ， ， ， ， 在中， 由勾股定理得， 解得， ， ． ∴ 故答案为：． 15．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在平行四边形中，分别是边上动点．将四边形沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上，的对应点为，连接、，其中交于点．若，，，则的长度为 ． 【思路点拨】 连接，在上截取，连接，由折叠性质可知垂直平分，则，，，，根据等腰三角形的性质和内角和定理得，由四边形是平行四边形，得，，，，证明是等边三角形，再证明，则，，根据线段和差可得，过作，交延长线于点，由勾股定理得：，设，则，，最后通过勾股定理即可求解． 【解题过程】 解：连接，在上截取，连接， 由折叠性质可知，垂直平分， ∴，，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过作，交延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 16．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点作，交的延长线于点，交于点，若，，，，则下列所有正确结论的序号是 ①平分；②；③；④． 【思路点拨】 此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线等知识，掌握相关知识是解题的关键． ①根据平行四边形的性质得，则是线段的垂直平分线，进而得是等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质可对结论结论①进行判断；②根据得是等腰直角三角形，由此可对结论②进行判断；③过点作于点，先求出， ，证明是等腰直角三角形，可求出，根据勾股定理求得， ，进而得到，即可得到，据此可对结论③进行判断，④分别求出，进而可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【解题过程】 解：①四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴平分，故①正确； ②∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③过点作于点，如图： ∵，， ∴是等腰直角三角形， 又∵， 由勾股定理得：， ∵， ， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴在中，， ∵在中，， ∴， ∴，故③错误； ， ， ， ， ， ， ，故④正确． 综上所述：所有正确结论的序号是①②④． 故答案为：①②④． 17．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在中，，，，P为边上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B，C的对应点分别为，，过的中点E作交于点F，连接，若，则的面积是 ． 【思路点拨】 过交于，过作交的延长线于，过作交的延长线于，延长交于，连接、、，由直角三角形的特征得 ，，，由勾股定理得 ，同理可求：，， ，设， ， ，由勾股定理得，，可得，求出，由即可求解． 【解题过程】 解：如图，过交于，过作交的延长线于，过作交的延长线于，延长交于，连接、、， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可求：， ， ， ， 是的中点， ， ， ， 由折叠得：， 设， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ； 故答案：． 18．（2024九年级上·全国·专题练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线，画图结果用实线）．    （1）在图1中，先在上画点E，使，再在上画点F，使； （2）在图2中，先在上画点H，使，再在上画点G，使． 【思路点拨】 （1）取格点，连接交于点，点即为所求．连接交于点，连接，延长交于点，点即为所求； （2）如图，为的中点，取与格线的交点，则，再取格点，连接，取的中点，连接延长交于点，点即为所求． 【解题过程】 （1）解：如图，取格点，连接交于点，点即为所求．连接交于点，连接，延长交于点，点即为所求；    理由如下： ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，为的中点，取与格线的交点，则， 取格点，连接，取的中点，连接延长交于点，点即为所求．    理由如下： ∵为的中点，， ∴， ∵，为的中点， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（2024·上海嘉定·模拟预测）如图，在中，，过点C作于点F，交于点M，且，连接，使，连接． （1）求证：； （2）试判断的形状，并说明理由． 【思路点拨】 （1）利用证明，即可推导出； （2）根据平行四边形、平行线的性质先证，再利用证明，推出，进而得出，可知是等腰直角三角形． 【解题过程】 （1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 20．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，在中，，F是中点，，垂足为G，延长线交于点H，，连接． （1）若，求的值； （2）求证：． 【思路点拨】 （1）证明，推出，可得结论； （2）过点F作于J，交的延长线于K．过点D作交的延长线于T，连接，设交于N．证明是等腰直角三角形，即可解决问题． 【解题过程】 （1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵F是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过点F作于J，交的延长线于K．过点D作交的延长线于T，连接，设交于N． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 21．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知平行四边形为边上的中点，为边上的一点． （1）如图1，连接并延长交的延长线于点，求证：； （2）如图2，若，求； （3）如图3，若为的中点，为的中点，，求线段的长． 【思路点拨】 （1）证明，即可得证； （2）连接并延长交的延长线于点，易得，进而得到，利用，得到，即可得解； （3）连接并延长交的延长线于点，易得，进而得到，从而得到，再利用勾股定理进行求解即可． 【解题过程】 （1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 为边上的中点， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ， 连接并延长交的延长线于点， 由（1）可得， ∴， ，即 ， ∴； （3）解：连接并延长交的延长线于点， 由（1）可得， ， ， 为直角三角形， 为的中点，为的中点， 设， ， ， ． 22．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，为 的对角线，，平分，点F为射线上一点． （1）如图1，当点F在的延长线上，且，连接与交于点G． ①求证：； ②若，求的长； （2）如图2，当点F在线段上，连接与交于点H，若，，试探究三条线段之间的数量关系． 【思路点拨】 （1）①由，可得，，，则，，由，可得，则，由平分，可得，则，进而可证；②由勾股定理得，，如图1，过G作于，证明，则，，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解然后作答即可； （2）由，可得，由，可求，，由，可得，则，，如图2，以为顶点作，交的延长线于，则，，，由，，可得，即，可得． 【解题过程】 （1）①证明：∵， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②解：由勾股定理得，， 如图1，过G作于， 由①可知，平分， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴的长为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图2，以为顶点作，交的延长线于， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． 23．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，已知四边形为平行四边形，的平分线与相交于，与延长线相交于，过点分别作，的垂线，垂足为，． （1）求证：为等腰三角形； （2）如图1，连接，且． ①求证：； ②若，，求的长． （3）如图2，若，将线段绕点顺时针旋转至，连接、，请判断的形状，并说明理由． 【思路点拨】 （1）由平行四边形的性质得，，再根据角平分线得，进而得，，即可得证； （2）①由角平分线的性质得，进而证明（），即可得证；②先证明，得，由①得，即，求解即可； （3）连接，根据旋转的性质可得是等边三角形，再根据角平分线的定义以及平行线的性质求出，利用“边角边”证明和全等，得到，，然后求出，再求出，根据等边三角形的判定方法判断即可． 【解题过程】 （1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）①证明：∵平分，，， ∴， ∵， ∴（）， ∴； ②解：∵，，四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， 由①得， ∴，即， ∴； （3）解：是等边三角形，理由如下： 连接， ∵绕点顺时针旋转至， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中， ∴， ∴是等边三角形． 24．（24-25九年级上·湖北·期末）【提出问题】 如图1，在中，于点E，于点F．求证：； 【问题探究】 如图2，在四边形中， ，G是的中点，P是上的一点，连接，．若，．求证：； 【拓展延伸】 如图3，在四边形中， ，P是边上的一点，连接，．若，，，，，直接写出PD的长为 ． 【思路点拨】 本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理； 提出问题：由垂直可得，由，可得，，得到，即可证明； 问题探究：过作于，过作于，过作交延长线于，先证明，得，，再证明，得到，推出，即可证明，得到，； 拓展延伸：过作于，过作交延长线于，证明，得到，再由勾股定理得到，最后根据计算即可． 【解题过程】 解：提出问题：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； 问题探究：过作于，过作于，过作交延长线于，则， ∵G是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵ ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 拓展延伸：过作于，过作交延长线于，则， ∵ ， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 25．（23-24八年级下·四川成都·期末）在中，，对角线平分，点M为射线上一点，连接，将沿直线翻折得到，连接．    （1）如图1，点在边上，，求的度数； （2）射线与射线交于点F，在射线上取一点G，使，连接，交于点H． ①如图2，点M在线段上，求证：； ②点M在线段延长线上，和，之间有何数量关系？写出你的结论并证明． 【思路点拨】 （1）利用翻折和平行四边形性质得出：，，，，再证得和均为等边三角形，推出，利用等腰三角形性质和三角形内角和定理得出，即可求得答案； （2）①设，利用翻折的性质和三角形内角和定理可得，再利用等边三角形判定和性质得出，，即可证得，再由全等三角形的性质即可证得结论；②连接、，设，可证得，得出，再利用线段的和差关系即可求得答案． 【解题过程】 （1）解：如图1，    由翻折得：，， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①证明：设，    由翻折得：，，，， 由（1）知：，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：结论：，理由如下： 如图3，连接，，设，    由翻折得：，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 由翻折得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 26．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）数学课上张老师出示了一个问题：如图1，在中， E为边上一点，连接， 求证： ①小芳同学说：不必添画辅助线，可以直接利用图1进行证明． ②小芮同学说：可以添画图2中的辅助线，然后进行证明． （1）请你选择一名同学的想法，写出证明过程． 【问题探究】 （2）小迪同学在此问题基础上，过点E作 ，交于点F，如图3，小琳根据小迪的作法，写出了线段之间的数量关系：请你判断这一结论是否成立，如果成立，请你写出证明过程；若不成立，请你写出关于这三条线段数量关系的新结论，并证明． 【类比拓展】 （3）小怡同学突发奇想，过点E作交于点 F，如图4，若的面积为12，，请你直接写出线段的长． 【思路点拨】 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质，即可证明； （2）连接，可得，利用勾股定理，即可证明； （3）过点作，取的中点，连接，可得，设，利用勾股定理列方程，即可解得． 【解题过程】 解：（1）①小芳同学的解法 证明：如图1， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②小芮同学的解法： 证明：如图2，延长与的延长线相较于点 G ， ， ， ， ， ∵四边形是平行四边形 ， ， ， ， ； （2）成立，理由如下： 证明: 如图，连接 ， ， 由(1) 得， ∴在中, ∵四边形是平行四边形        ； （3）如图，过点作，取的中点，连接， ， ， ，， ， ，， 的面积为12，， , ， 是的中点， ，， ， 根据勾股定理可得， ， 设， 根据勾股定理可得， ， 即 解得， 27．（23-24八年级下·河南南阳·期中）中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接． （1）若， ①如图①，当点E在线段上时，易证，结合图形，请直接写出线段，，的数量关系是 ；（不需说明理由） ②如图②，当点E在线段的延长线上时，请写出线段，，的数量关系，并证明； （2）如图③，若，当点E在线段延长线上时，猜想并直接写出线段，，的数量关系是 ．（不需说明理由） （3）在（1）、（2）的情况下，若，，则_______．（不需说明理由） 【思路点拨】 （1）①根据全等三角形的性质和平行四边形的性质直接可以得出结论； ②利用等腰三角形的判定证，根据证明，根据全等三角形的性质，结合平行四边形的性质证明即可； （2）利用证，再证全等三角形，结合平行四边形的性质即可得出结论； （3）利用（1）、（2）的结论，把，代入计算即可． 【解题过程】 （1）①，证明如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即； ②线段，，的数量关系是：， 证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 由旋转可知：，， ∴， ∴ 在和中 ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∵， ∴． （2），证明如下： ∵ ∴， ∵， ∴，， ∴ ∴ 由旋转可知：，， ∴， ∴ 在和中 ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∵， ∴． （3）如图①，∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵ ∴ 中，，， 由，得； 如图②，，则， 中，， ∴，与矛盾，故图②中，不存在，的情况； 如图③， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴ 中，， ∴ 由知，． 综上，或7． 28．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）【问题背景】 某数学兴趣小组在学习了平行四边形后，对其进行了轴对称变换的操作，进一步研究平行四边形的性质．在中，，，，点是边上任意一点，连接，将四边形沿翻折得到四边形，射线与相交于点． 【操作发现】 （1）如图1，无论点在什么位置，图中都会有一条线段与相等，请猜想与相等的线段，并说明理由． 【问题延伸】 （2）当点的位置发生变化时，线段存在最小值，请求出线段的最小值． 【问题拓展】 （3）如图2，连接，当是以为一条直角边的直角三角形时，求线段的长． 【思路点拨】 本题考查了平行四边形的性质，图形的翻折，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质，翻折的特征是解题的关键． （1）根据点在边上的不同位置，画出图形，进行分类讨论，情况①，当射线与相交于点，点在线段上，根据平行四边形的性质，翻折的特征，可得，利用等角对等边，即可证明；当点在边上其他位置时，同理可证得； （2）根据，利用垂线段最短，可得当时，最短，故此时取得最小值，利用勾股定理即可求解； （3）根据点在边上的不同位置，当时，，以及当点与点重合时，分情况讨论，利用勾股定理即可求解； 【解题过程】 解：（1），理由如下， 情况①，当射线与相交于点，点在线段上，如图， 四边形是平行四边形， ， ， 将四边形沿翻折得到四边形， 根据翻折特征，得， ， ． 情况② 当射线与相交于点，点在线段延长线上，如图， 同理可得，， ． 情况③ 当点在如图位置，延长线与相交于点， 四边形是平行四边形， ， 将四边形沿翻折得到四边形， 根据翻折特征，得，， ， ， ． 综上，无论点在什么位置，都有． （2） ，根据垂线段最短， 当时，最短，故此时取得最小值，如图所示， ，，， 根据勾股定理得， ， 线段的最小值为． （3）情况① 当时，，是以为一条直角边的直角三角形，如图所示， 四边形是平行四边形， ，， 将四边形沿翻折得到四边形， 根据翻折特征，得， ， ，即， 是以为一条直角边的直角三角形， 根据第（2）结果，， ． 情况②，，是以为一条直角边的直角三角形，如图所示， 四边形是平行四边形， ，，，， 将四边形沿翻折得到四边形， 根据翻折特征，得，，，，， ，， ， 是等腰直角三角形， 根据勾股定理得，， ， ， 在中，， ． 情况③ 当点与点重合时，即将四边形沿翻折得到四边形， ，根据翻折特征，可得， ， 是以为一条直角边的直角三角形， 此时，． 综上，当是以为一条直角边的直角三角形，线段的长为或或． 29．（23-24八年级下·山东青岛·期末）综合实践课上，同学们展开了以“轴对称”为主题的探究活动． 实践操作： 四边形是平行四边形，，，在边上取一点，如图①，连接，点关于的对称点为点，连接，． 问题解决： （1）当与重合时，连接，与有何位置和数量关系，请说明理由； （2）如图②，当时，连接，与位置关系为______，数量关系为______； （3）若，时，求线段的长． 【思路点拨】 （1）由对称的性质可知，利用边角边证明即可得到． （2）由对称的性质可知，先证是等边三角形，可得，由直角三角形的性质可求，，，即可求解； （3）要考虑点在点两侧的情况：①当点在点的右侧时，，可证明，求出，再按照计算即可；②当点在点的左侧时，，过点作于点，利用三角函数求出即可． 【解题过程】 （1）解：，，理由如下： 四边形是平行四边形，， 且．， ， ．， ，， ， 当与重合时，如图，连接， 由对称的性质可知，， ， ， 在与中， ， ， ． ∴，． （2）解：如图②，连接，过点作于， ∵点关于的对称点为点， ∴，，，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为∶，； （3）解：由（）得，， ∴， ∴． 分两种情况讨论：①当点在点的右侧时，如图， ， ， 由对称的性质得：， ， ∵ ∴，即 ， ． ②当点在点的左侧时，如图， ， ， 由对称的性质得：， ， 过点作于点，设， 由（）得，， ∴， ，解得， ． 综上所述，的长为或． 30．（23-24九年级上·重庆北碚·期中）如图，在平行四边形中，平分，交于点E，点F是线段上一点，连接，点G是线段上一点，连接，交于点N． （1）如图1，若，，求的面积； （2）如图2，点H是线段的中点，连接，若，求证：； （3）如图3，若，，，，将绕着点A旋转，得到．连接．点O是线段的中点，连接．请直接写出线段长度的最小值． 【思路点拨】 （1）作，根据题中条件可求，利用角平分线的性质和平行四边形的性质可求，即可求解； （2）延长，交的延长线于点M，可证，得到；由可得，由，可得，由平分与，可得，又，得到，根据“等角对等边”得到，从而证明，因此，进而，，由得到，再由中，，从而得证； （3）取的中点K，连接，，则，即的最小值为．由，得到是等边三角形，从而，，又，证得，因此，由得到，又，因此，，，．设，过点G作于点P，在中，解直角三角形得，，在中，解直角三角形得，又，即，解得．过点G作于点Q，在中，解直角三角形得，在中，解直角三角形得，因此，由旋转可得，由中位线定理得．过点C作于点H，在中，解直角三角形得，在中，解直角三角形得．因此的最小值为． 【解题过程】 （1）解：作，如图所示，    ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：延长，交的延长线于点M，    ∵在中，， ∴，， ∵点H是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴； （3）解：取的中点K，连接，，则，即的最小值为，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 设，过点G作于点P，则和是直角三角形， ∵在中，， ∴， ∴， ， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， 解得：， 即， 过点G作于点Q，则和是直角三角形， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，即， ∵在中，，即， ∴， ∴， ∴由旋转可得， ∵点O是的中点，点K是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴在中，，，， 过点C作于点H，则和是直角三角形， ∵在中，， ∴， ∴， ， ∵点K是的中点， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$