专题3.1 坐标系与平移的综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题3.1 坐标系与平移的综合 · 典例分析 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且．现同时将点分别向右移2个单位，再向下平移3个单位，得到点的对应点，连接． （1）直接写出两点的坐标为：______，______； （2）若点是线段上的一个动点，是线段上的一点（不与点重合），连接、，当点在线段上移动时（不与点重合），请找出的数量关系，并证明你的结论； （3）在坐标轴上是否存在点，使三角形的面积是三角形的面积的三倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，试说明理由． 【思路点拨】 （1）根据平移规律即可得到C，D两点的坐标； （2）过P作，根据平行线的性质即可得出结论； （3）先求出的面积，再分点M在x轴上、点M在y轴上两种情况，根据三角形的面积公式分别求解即可． 【解题过程】 （1）∵ ∴， ∴， ∴， 将点分别向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点的对应点， ； （2）结论：； 证明如下：过作，如图： 点分别向右移2个单位，再向下平移3个单位，得到点的对应点 ， ， ， ； （3）在坐标轴上存在点，使三角形的面积是三角形的面积的三倍，理由如下： ， ， ①当在轴上时，如图： ， ， 或； ②当在轴上时，如图： ， 或； 综上所述，的坐标为或或或． · 学霸必刷 1．（24-25八年级下·全国·期中）将点向上平移1个单位得到点Q，且点Q在x轴上，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建漳州·期中）已知的一个顶点A的坐标为，将沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度后，点A恰好落在原点上，则平移前点A的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知在 内有任意一点经过平移后对应点为，又已知点在经过此次平移后的对应点为，设，则m的值是（        ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（23-24七年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边长与轴平行且，，点的坐标为，沿某一方向平移后，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式．若点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点，其中，按甲方式移动了m次，则（    ） A． B． C． D．30 7．（23-24七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，点，，，，其中且．线段由平移得到，点A的对应点为点C．则下列结论：①；②轴；③轴；④若点，则点P在线段上．正确的结论有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 8．（24-25九年级下·甘肃白银·开学考试）将点向右平移n个单位长度到达点Q，若点Q的横坐标和纵坐标相等，则 ． 9．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，把点向右平移5个单位得到点，则的值为 ． 10．（24-25九年级上·辽宁本溪·期末）在平面直角坐标系中，点，，将线段平移后，得到线段，点A与点C对应，若点，点，则 ． 11．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知两点，将线段平移，平移后对应线段的一个端点落在轴上，另一个端点落在经过点，且平行于轴的直线上，则点对应点的坐标是 ． 12．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图第一象限内有两点，，将线段平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴的正半轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 ． 13．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，的边在x轴的正半轴上，A的坐标为，B的坐标为，把沿x轴向右平移2个单位长度，得到，连接，若的面积为1，则点D的坐标为 ．    14．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，三角形在平面直角坐标系中，其中点，点，点，将三角形的A，B，C三点中的任意一点平移至点的位置后，那么点C的对应点的坐标是 ．    15．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点，线段向右平移4个单位到线段，线段与y轴交于点E，若图中阴影部分面积为24，则C点坐标为 ． 16．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，平移线段至线段，点Q在四边形内，满足，，则点Q的坐标为 ．    17．（23-24七年级下·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移，得到线段（点A的对应点为点C，点B的对应点为点D），线段上任一点向右平移s个单位，向下平移t个单位，对应点记为，其中，．    （1）若点C与点B恰好重合，则 ， ； （2）若，平移后三角形面积S的取值范围是 ． 18．（23-24七年级下·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知点,，连接，将向下平移5个单位得线段，其中点A的对应点为点C，连接．当将四边形的面积分成两部分时，那么点P的坐标为 ． 19．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为． （1）若点P在x轴上时，求点P的坐标； （2）若点P在过点且与y轴平行的直线上时，求点P的坐标； （3）将点P向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M，若点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7，求点M的坐标． 20．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）在如图所示的直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，， （1）把向右平移个单位长度得到，请在图中画出平移后的； （2）若点，求的面积； （3）在（2）的条件下，点在轴上，当的面积是的面积的倍时，求点的坐标． 21．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，其中，满足． （1）求，两点的坐标； （2）将线段平移到，点的对应点为第三象限中的点．若三角形的面积为，求点的坐标． 22．（23-24七年级下·湖北咸宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，点坐标满足，连接，，． （1）四边形的面积为 ； （2）点是轴上一个动点，当三角形的面积为时，求点的坐标； （3）将线段平移至线段（点的对应点为，点的对应点为），且点在线段上，当三角形的面积为时，求点的坐标． 23．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接． （1）直接写出点的坐标； （2）分别是线段上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴； （3）若是轴上的一个动点，当三角形的面积是三角形面积的2倍时，求点的坐标． 24．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，O为原点，已知点，且，将点B向右平移8个单位长度，得到对应点D． （1）点A的坐标为 ，点B的坐标为______； （2）求的面积； （3）若点P为x轴上的一个动点，是否存在点P，使的面积等于面积的2倍，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（23-24七年级下·辽宁·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D均在坐标轴上，其坐标分别是，，，，若，，，且． （1）求三角形的面积； （2）求证：； （3）如图2，若，延长到Q，使，线段交y轴于点K，求的值． 26．（23-24七年级下·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，点在x轴上，将点A向右平移5个单位长度，再向上平移m个单位长度得到点B，将点A向下平移个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点C，在此过程中m始终满足． （1） ______；A点的坐标是________； （2）写出点B、C的坐标：B________，C________；（用含m的式子表示） （3）若的面积是10，求m的值； （4）若交y轴于点N，的长度为1，请直接写出m的值． 27．（23-24七年级下·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，，且，满足．现将线段先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到线段，其中点的对应点为，点的对应点为，连接，． （1）求点，，，的坐标． （2）若是线段上的一个动点，是线段上的一个定点，连接，，当点在线段上移动时（不与点，重合），探究，，之间的数量关系，并说明理由． （3）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着轴向上运动，设运动时间为 ．问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于若存在，请求出的值和点的坐标；若不存在，请说明理由． 28．（23-24七年级下·湖北·期中）在平面直角坐标系中，，，，且． （1）请直接写出点，，的坐标； （2）如图（1），平移线段至，使点的对应点是点，求三角形的面积； （3）如图（2），点是轴正半轴上一点，当把四边形的面积分为的两部分时，求点的坐标． 29．（23-24七年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，将线段向上平移个单位，再向右平移1个单位得到线段（点与点对应，点与点对应），此时四边形为平行四边形，且面积为． （1）求点的坐标； （2）连接与轴交于点，求的值； （3）若点从点出发，以每秒个单位的速度向上平移运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，当点到达点后停止运动，若射线交轴于点，设与的面积差为，问：是否定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 30．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，其中a、b满足关系式． （1）求点A、B的坐标； （2）如图（1），将三角形先向上平移2个单位长度，再向左平移k个单位长度至三角形，线段交y轴于点，求k的值； （3）如图（2），在（2）的条件下，点是直线上一动点，且，求n的取值范围． 31．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为．且a，b满足．现同时将点A，B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接的延长线交y轴于点K． （1）点A的坐标________，点B的坐标________． （2）点P是线段上的一个动点，点Q是线段的中点，连接，当点P在线段上移动时（不与A，C重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论． （3）连接，在坐标轴上是否存在点M，使的面积与的面积相等？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，试说明理由． 32．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点C在x轴负半轴上，且．将线段沿线段方向平移，点A的对应点为点E，点C的对应点为点F，线段分别交x轴，y轴于点D，G，点D坐标为． （1）点C坐标为__________； （2）若，求点F的坐标； （3）点M从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向上平移，同时，点N从点F出发，以每秒3个单位长度的速度向上平移，设点M，N运动的时间为t秒．若，求t的值． 33．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴正半轴上，平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，连接，． （1）点的坐标为________，点的坐标为________； （2）如图2，连接，与轴交于点，连接，，求与的数量关系； （3）在2的条件下，若的面积为7，在轴上是否存在一点，使与的面积之比为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 34．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，满足． （1）______，______，______． （2）如图1，若点为轴负半轴上的一个动点，连接交轴于点，是否存在点，使得的面积等于的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，若将线段向上平移2个单位长度，点为轴上一点，点为第一象限内的一动点，连接，，，，若的面积等于由，，，四条线段围成的图形的面积，求点的横坐标的值（用含的式子表示）． 35．（23-24八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点，点，将点A向右平移3个长度单位，再向下平移4个长度单位得到点C． （1）用t 表示点C的坐标为 ；用t表示点B 到y轴的距离为 ． （2）若时，平移线段，使点A、B到坐标轴上的点、处，指出平移的方向和距离，并求出点、的坐标； （3）若时，如图，平移线段至（点A与点M对应），使点M落在x轴的负半轴上，的面积为4，试求点M、N的坐标． 36．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现同时将点，分别向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，分别得到点，的对应点，．连接，，． （1）直接写出点，的坐标； （2）若在轴上存在点，连接，，使，求点的坐标； （3）若点在直线上运动，连接，． ①当点在线段上时，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； ②当点不在线段上时，请直接写出，，之间的数量关系． 37．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）已知在平面直角坐标系中，，，将线段平移，使点的对应点为，点的对应点为． （1）________； （2）将线段向右平移个单位，已知，若，求的值； （3）若点恰好落在轴负半轴上，连交轴于点，当时，求点的坐标． 38．（23-24七年级下·福建龙岩·期末）如图1，在平面直角坐标系中，，，将线段沿轴向右平移12个单位得到线段，动点在直线上． （1）填空：点的坐标为______，点的坐标为______； （2）如图1，点是线段上一点（不与点、重合），连接，请用等式表示，，之间满足的数量关系，并说明理由； （3）如图2，点在轴上，且，连接，当的面积等于的面积时，请求出点P的坐标． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 坐标系与平移的综合 · 典例分析 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且．现同时将点分别向右移2个单位，再向下平移3个单位，得到点的对应点，连接． （1）直接写出两点的坐标为：______，______； （2）若点是线段上的一个动点，是线段上的一点（不与点重合），连接、，当点在线段上移动时（不与点重合），请找出的数量关系，并证明你的结论； （3）在坐标轴上是否存在点，使三角形的面积是三角形的面积的三倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，试说明理由． 【思路点拨】 （1）根据平移规律即可得到C，D两点的坐标； （2）过P作，根据平行线的性质即可得出结论； （3）先求出的面积，再分点M在x轴上、点M在y轴上两种情况，根据三角形的面积公式分别求解即可． 【解题过程】 （1）∵ ∴， ∴， ∴， 将点分别向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点的对应点， ； （2）结论：； 证明如下：过作，如图： 点分别向右移2个单位，再向下平移3个单位，得到点的对应点 ， ， ， ； （3）在坐标轴上存在点，使三角形的面积是三角形的面积的三倍，理由如下： ， ， ①当在轴上时，如图： ， ， 或； ②当在轴上时，如图： ， 或； 综上所述，的坐标为或或或． · 学霸必刷 1．（24-25八年级下·全国·期中）将点向上平移1个单位得到点Q，且点Q在x轴上，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查了点的平移，点在坐标轴上的特点，根据将点向上平移1个单位得到点Q，点Q在x轴上，可得出，进而可求出m的值，进一步即可求出点P的坐标． 【解题过程】 解：将点向上平移1个单位得到点Q， 则 ∵点Q在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点， 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了图形的平移变换，注意左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．直接利用点的平移变化规律求解即可． 【解题过程】 解：∵点横坐标从到，说明是向右移动了，纵坐标从2到，说明是向下移动了， 故线段是由线段经过向右移动4个单位，向下移动5个单位得到的， ∵点B的对应点的坐标为， ∴点的坐标为，即． 故选：A． 3．（24-25九年级上·福建漳州·期中）已知的一个顶点A的坐标为，将沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度后，点A恰好落在原点上，则平移前点A的坐标是（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 此题主要考查了坐标与平移，根据平移规则表示出平移后的坐标，结合平移后点A恰好落在原点上列方程求解即可． 【解题过程】 解：∵将沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度， ∴平移后坐标为， ∵平移后点A恰好落在原点上， ∴，， 解得，， ∴平移前点A的坐标是， 故选：C． 4．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知在 内有任意一点经过平移后对应点为，又已知点在经过此次平移后的对应点为，设，则m的值是（        ） A．5 B．6 C．7 D．8 【思路点拨】 本题考查的是坐标与图形变化—平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键． 【解题过程】 解：∵点在经过此次平移后的对应点为， ∴的平移规律为：向左平移个单位，向下平移个单位， ∴，， ∴， 故选B． 5．（23-24七年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边长与轴平行且，，点的坐标为，沿某一方向平移后，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了平面直角坐标系中图形的平移，掌握图形的平移规律是解题的关键．先求出点的坐标，再找到点的平移规律，利用点与点的平移规律相同即可得到点的坐标． 【解题过程】 解：长方形中，，，点的坐标为， 点的坐标是，即， 点坐标为，沿某一方向平移后其对应点的坐标为， 点是向左平移个单位，向上平移个单位得到点， 点的平移规律和点的平移规律相同， 点的坐标是，即点的坐标是． 故选：B． 6．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式．若点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点，其中，按甲方式移动了m次，则（    ） A． B． C． D．30 【思路点拨】 本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．由题意可得：点按照甲方式移动次后得到的点的坐标为，再得出点，按照乙方式移动次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果 【解题过程】 解：点按照甲方式移动了次，点从原点出发连续移动10次， 点按照乙方式移动了次， 点按照甲方式移动次后得到的点的坐标为， 点按照乙方式移动次后得到的点的横坐标为，纵坐标为， ，， ． 故选：D 7．（23-24七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，点，，，，其中且．线段由平移得到，点A的对应点为点C．则下列结论：①；②轴；③轴；④若点，则点P在线段上．正确的结论有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【思路点拨】 本题考查坐标与平移，根据平移的性质，得到，进而表示出的坐标，逐一进行判断即可． 【解题过程】 解：∵线段由平移得到，点A的对应点为点C， ∴；故①正确； ∴， ∴， ∴，，，， ∴轴；故②正确； ∵， ∴与轴不平行；故③错误； ∵点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在线段上，故④正确； 故选：B． 8．（24-25九年级下·甘肃白银·开学考试）将点向右平移n个单位长度到达点Q，若点Q的横坐标和纵坐标相等，则 ． 【思路点拨】 本题主要考查了坐标与图形变化－平移，熟知图形平移的性质是解题的关键．根据平移的性质，表示出点Q的坐标，再结合点Q的横坐标和纵坐标相等建立关于n的等式即可解决问题． 【解题过程】 解：由题知， 将点向右平移n个单位长度到达点Q， 则点Q的坐标为， 点Q的横坐标和纵坐标相等， ， 解得，， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，把点向右平移5个单位得到点，则的值为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了坐标系中点的平移规律，平移中点的坐标规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，熟知点的坐标平移规律是解题的关键．根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减即可得出答案． 【解题过程】 解：∵把点向右平移5个单位得到点， ∴，即： ∴． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·辽宁本溪·期末）在平面直角坐标系中，点，，将线段平移后，得到线段，点A与点C对应，若点，点，则 ． 【思路点拨】 本题考查了平移的性质、坐标与图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．点对应点C的坐标为，知道平移的轨迹为向右平移4个单位，点对应点，知道平移轨迹是向下平移3个单位，根据平移规律得出a、b的值，即可作答． 【解题过程】 解：∵点对应点C的坐标为，点对应点， ∴线段向右平移4个单位，向下平移3个单位得到线段， ∴，， ∴， 故答案为：1． 11．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知两点，将线段平移，平移后对应线段的一个端点落在轴上，另一个端点落在经过点，且平行于轴的直线上，则点对应点的坐标是 ． 【思路点拨】 本题主要考查了坐标与图形变化平移，根据平移后点或点在轴上，再结合平移的性质即可解决问题． 【解题过程】 解：当平移后点的对应点在轴上时， ， 解得． 因为点的对应点落在经过点，且平行于轴的直线上， 所以， 所以点对应点的坐标为． 当平移后点的对应点在轴上时， ， 因为点的对应点落在经过点，且平行于轴的直线上， 所以， 则， 所以点对应点的坐标为． 故答案为：或 12．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图第一象限内有两点，，将线段平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴的正半轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 ． 【思路点拨】 设平移后点P、Q的对应点分别是、，由点P、Q分别落在两条坐标轴的正半轴上，可知，在y轴上，在x轴上，根据平移的性质求解即可． 【解题过程】 解：设平移后点P、Q的对应点分别是、． 由题意可知，在y轴上，在x轴上， 则横坐标为0，纵坐标为0， ∴将线段向左平移，向下平移，可使点P、Q分别落在两条坐标轴的正半轴上， ∴点P的纵坐标为：， ∴点P平移后的对应点的坐标是， 故答案为：． 13．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，的边在x轴的正半轴上，A的坐标为，B的坐标为，把沿x轴向右平移2个单位长度，得到，连接，若的面积为1，则点D的坐标为 ．    【思路点拨】 本题考查了坐标与图形变化平移，三角形的面积，解题关键是由的面积求出a值． 先根据平移的性质和三我面积公式求出a值，再根据平移性质求出点D坐标即可． 【解题过程】 解：∵点的坐标为，把三角形沿轴向右平移2个单位长度， ，， ∵的面积为1，A的坐标为， ∴， ∴， ∴A的坐标为， ∵把三角形沿轴向右平移2个单位长度， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 14．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，三角形在平面直角坐标系中，其中点，点，点，将三角形的A，B，C三点中的任意一点平移至点的位置后，那么点C的对应点的坐标是 ．    【思路点拨】 本题考查了平移的性质，分点分别平移至点的位置三种情况讨论即可求解，得到平移的方向和距离是解答本题的关键． 【解题过程】 解：当点平移至点的位置时，即点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， ∴点向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度的对应点的坐标是，即， 当点平移至点的位置时，即点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴点向右平移8个单位长度，再向下平移3个单位长度的对应点的坐标是，即， 当点平移至点的位置时，即点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴点的对应点的坐标是， 故答案为：或或． 15．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点，线段向右平移4个单位到线段，线段与y轴交于点E，若图中阴影部分面积为24，则C点坐标为 ． 【思路点拨】 本题考查坐标与平移，过点作轴，根据平移的性质，得到，求出，设，根据，求出的值，即可得出结果． 【解题过程】 解：过点作轴， ∵线段向右平移4个单位到线段，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 16．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，平移线段至线段，点Q在四边形内，满足，，则点Q的坐标为 ．    【思路点拨】 设，由点平移可求，分别求出，，由已知可得，再分别求出，，再由已知可得，求出m即可求Q点坐标． 【解题过程】 解：设， ，，， ， ∵平移线段至线段， ∴， ∵，， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 17．（23-24七年级下·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移，得到线段（点A的对应点为点C，点B的对应点为点D），线段上任一点向右平移s个单位，向下平移t个单位，对应点记为，其中，．    （1）若点C与点B恰好重合，则 ， ； （2）若，平移后三角形面积S的取值范围是 【思路点拨】 本题主要考查了坐标的平移，解题的关键是数形结合，熟练掌握平移规律． （1）根据点与点恰好重合，得到线段向右平移4个单位，向下平移2个单位到线段，从而得出，； （2）根据题意得线段的长度不变，点B距离最近或最远时，面积最小或最大，根据，结合图形求解即可． 【解题过程】 解：（1）∵点与点恰好重合， ∴线段向右平移4个单位，向下平移2个单位得到线段， ∴线段上任一点在平移后的对应点为， ∴，； 故答案为：4；2； （2）∵线段上任一点在平移后的对应点为，，， ∴只能向右平移或向下平移， ∵无论如何平移，线段的长度不变， ∴当上的高最小时，面积最小， 即点B距离最近时，面积最小， ∵， ∴当向下平移2个单位，向右平移4个单位时， 和共线， ∴点B距离最近为0，面积最小为0， ∴当上的高最大时，面积最大， 即点B距离最远时，面积最大， ∵， ∴当向下平移个单位时，水平位置不动时，点B距离最远，面积最大，如图所示：    此时， ∴若，平移后三角形面积S的取值范围是． 故答案为：． 18．（23-24七年级下·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知点,，连接，将向下平移5个单位得线段，其中点A的对应点为点C，连接．当将四边形的面积分成两部分时，那么点P的坐标为 ． 【思路点拨】 本题考查了坐标与图形，平移的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想是解本题的关键．分交线段和交两种情况，利用面积之差求出和，最后用三角形面积公式即可得出结论． 【解题过程】 解：∵点,， ， 将向下平移5个单位得线段，得矩形， ， ， ， 如图1，当交线段于E，且将四边形分成面积为两部分时，连接，延长交y轴于点M， 则， ， 连接，则， ∵将四边形的面积分成两部分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 如图2，当交于点E，将四边形分成面积为两部分时， 连接，延长交y轴于点G， 则， ， 连接，则， ∵将四边形的面积分成两部分， ， ， ， 过P点作交的延长线于点H， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，点P坐标为或， 故答案为：或． 19．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为． （1）若点P在x轴上时，求点P的坐标； （2）若点P在过点且与y轴平行的直线上时，求点P的坐标； （3）将点P向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M，若点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7，求点M的坐标． 【思路点拨】 （1）由点在轴上，得出纵坐标为，解得值并带入横坐标的代数式中即可得出答案． （2）由过点且与轴平行的直线上，得出、两点的横坐标相同，令的横坐标为，解得值并代入纵坐标的代数式中，求值即可得出答案； （3）根据题意用含的代数式表示点的坐标，根据点的位置特征，解得m的值并带入点的坐标中，即可得出答案． 【解题过程】 （1）解：∵点在轴上， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得：， 把代入中得：， ∴点坐标为． （2）∵点在过点且与y轴平行的直线上， ∴点的横坐标为， ∴， 解得：， 把代入得：， ∴点坐标为． （3）∵将点向右平移个单位，再向上平移个单位后得到点， ∴的坐标为，即， ∵在第三象限，且到轴的距离为， ∴点的横坐标为， ∴， 解得：， ∴，， ∴． 20．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）在如图所示的直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，， （1）把向右平移个单位长度得到，请在图中画出平移后的； （2）若点，求的面积； （3）在（2）的条件下，点在轴上，当的面积是的面积的倍时，求点的坐标． 【思路点拨】 本题考查了作图—平移变换，坐标与图形，求三角形的面积，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据平移找出的对应点，然后连接各点即可； （2）先描出点，由坐标系可知，然后用三角形面积公式即可求解； （3）设，则，由题意可得，然后求出的值即可． 【解题过程】 （1）解：如图，找出的对应点，然后连接各点即可； ∴即为所求； （2）解：如图， 由网格可知， ∴的面积为； （3）解：∵点在轴上， ∴设，则， 由（）得：的面积为， ∵的面积是的面积的倍， ∴的面积是， ∴，解得：或， ∴点的坐标为或． 21．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，其中，满足． （1）求，两点的坐标； （2）将线段平移到，点的对应点为第三象限中的点．若三角形的面积为，求点的坐标． 【思路点拨】 本题主要考查了非负数的性质，平移的规律，解一元一次方程等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）利用非负数的性质，结合条件得：，，解出、的值即可； （2）根据 列出关于的方程，解方程求得的值，据此求解得出点的坐标，由平移的规律可得点的坐标． 【解题过程】 （1）解：， ， 解得：， 两点的坐标分别为，； （2）解：如图， ， 故由题意得：， 解得：， 点的坐标为，由点平移到点可知，横坐标向左移个单位长度，纵坐标向下移个单位长度， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为． 22．（23-24七年级下·湖北咸宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，点坐标满足，连接，，． （1）四边形的面积为 ； （2）点是轴上一个动点，当三角形的面积为时，求点的坐标； （3）将线段平移至线段（点的对应点为，点的对应点为），且点在线段上，当三角形的面积为时，求点的坐标． 【思路点拨】 本题考查了非负数的性质，坐标与图形，平移的性质； （1）根据算术平方根与绝对值的非负性求得的值，得出，如图所示，作轴于点，根据，即可求解； （2）根据三角形的面积为时，得出，进而即可求解； （3）根据，建立方程，解方程，进而根据平移的性质，即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵ ∴ ∴ ∴ 如图所示，作轴于点 ∴ ∵， ∴ ∴， 则 ； 故答案为：． （2）如图所示，作轴于点 ∵，即 解得： 若点在点的左侧，此时点的坐标为 若点在点的右侧，此时点的坐标为 综上点的坐标为或 （3）∵ 依题意， 即 解得： 即， ∴点先左移个单位，再下移3个单位得到， ∴点经过同样的平移得到点， 故点点的坐标为． 23．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接． （1）直接写出点的坐标； （2）分别是线段上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴； （3）若是轴上的一个动点，当三角形的面积是三角形面积的2倍时，求点的坐标． 【思路点拨】 本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）利用平移变换的性质求解； （2）设运动时间为秒，由点与点的纵坐标相同，构建方程，求解即可； （3）设点的坐标为，由进行分类讨论并分别求解即可． 【解题过程】 （1）解：由题意点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段， ，； （2）解：设运动时间为秒，当轴时，点与点的纵坐标相同， 即， 解得， 点同时出发，秒后轴； （3）解：设点的坐标为， ， 当在的左侧时， ， 解得， 此时； 当在到3之间时， ， 解得， 此时； 当在3的右侧时， ， 解得（舍）． 综上所述，点的坐标为或． 24．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，O为原点，已知点，且，将点B向右平移8个单位长度，得到对应点D． （1）点A的坐标为 ，点B的坐标为______； （2）求的面积； （3）若点P为x轴上的一个动点，是否存在点P，使的面积等于面积的2倍，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查了坐标与图形变化-平移，三角形的面积，非负数的性质和坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）直接根据非负数的性质得出的值即可得出答案； （2）根据题意得出点的坐标，然后根据三角形面积公式计算即可； （3）设点，分情况进行讨论：当点位于点左侧时，不合题意；当点位于之间时；当点位于点右侧时；根据题意表示出和的面积，根据的面积等于面积的2倍列式求解即可． 【解题过程】 （1）解：， ， 解得：， ∵点， ∴点，点， 故答案为：； （2）解：将点向右平移8个单位长度，得到点， 则； （3）解：设点的坐标为， 当点位于点左侧时，，不符合题意； 当点位于之间时， ，， 根据题意得：， 解得：， ∴点的坐标为； 当点位于点右侧时， ，， 根据题意得：， 解得：， ∴点的坐标为， 综上所述：点的坐标为或． 25．（23-24七年级下·辽宁·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D均在坐标轴上，其坐标分别是，，，，若，，，且． （1）求三角形的面积； （2）求证：； （3）如图2，若，延长到Q，使，线段交y轴于点K，求的值． 【思路点拨】 （1）根据非负数的性质求出a和b的值，得出，再根据三角形面积公式可解； （2）连接，根据得出，进而得到，即，代入数值即可求解； （3）线段可看作是由线段平移得到，根据平移到得出平移方式，进而表示出点Q的坐标，设K点的坐标为，根据列式求出，进而求出和，代入计算即可． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵， ∴线段可看作是由线段平移得到， ∵平移到， ∴平移得到， 设K点的坐标为， ，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ，， ∴． 26．（23-24七年级下·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，点在x轴上，将点A向右平移5个单位长度，再向上平移m个单位长度得到点B，将点A向下平移个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点C，在此过程中m始终满足． （1） ______；A点的坐标是________； （2）写出点B、C的坐标：B________，C________；（用含m的式子表示） （3）若的面积是10，求m的值； （4）若交y轴于点N，的长度为1，请直接写出m的值． 【思路点拨】 本题考查了两条直线相交或平行问题、坐标与图形变化中的平移、三角形的面积，解题的关键是根据点的坐标利用三角形的面积公式得出的方程． （1）由点在轴上可求出值，将其代入点的坐标中即可得出点的坐标； （2）依据点的平移可得出点、的坐标； （3）设直线与x轴的交点为D，则点D的坐标为，可求出根据三角形的面积公式结合，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值； （4）连接，根据可得出，再列出方程并求解即可． 【解题过程】 （1）解：点在轴上， ，解得：， 点． 故答案为：1，； （2）解：将将点A向右平移5个单位长度，再向上平移m个单位长度得到点B， 点，即， 将点A向下平移个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点C， 点，即， 故答案为：； （3）解：设直线与x轴的交点为D，则点D的坐标为， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴． （4）解：, 理由：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． 27．（23-24七年级下·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，，且，满足．现将线段先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到线段，其中点的对应点为，点的对应点为，连接，． （1）求点，，，的坐标． （2）若是线段上的一个动点，是线段上的一个定点，连接，，当点在线段上移动时（不与点，重合），探究，，之间的数量关系，并说明理由． （3）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着轴向上运动，设运动时间为 ．问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于若存在，请求出的值和点的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）根据非负数的性质求得的值，从而求得点的坐标，根据平移的性质即可求得的坐标； （2）过点.作直线，根据平行线的性质与判定即可得证； （3）根据题意先求得四边形的面积为28，进而可知点在点下方，结合图形可知，根据建立方程，解方程即可求解． 【解题过程】 （1）解： ， ， ， ，， 线段先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到线段，其中点对应点为，点对应点为， ， （2），理由如下， 如图，过点.作直线， ， 是由平移得到的， ， ， ， （3） ，， ， 四边形的面积为 ， 四边形的面积等于， 点在点下方，如图， 从点出发，以每秒个单位的速度沿着轴向上平移运动，设运动时间为秒 ， ， ， ， 解得， 此时， ． 28．（23-24七年级下·湖北·期中）在平面直角坐标系中，，，，且． （1）请直接写出点，，的坐标； （2）如图（1），平移线段至，使点的对应点是点，求三角形的面积； （3）如图（2），点是轴正半轴上一点，当把四边形的面积分为的两部分时，求点的坐标． 【思路点拨】 本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，非负数的性质等等： （1）根据非负数的性质得到，，则，，据此可得答案； （2）根据点A和点C的坐标得到平移方式为向右移动5个单位长度，向上移动1个单位长度，据此求出点D的坐标；过点C和点D分别作y轴的垂线，垂足分别为G、H，根据进行求解即可； （3）连接，设，根据求出，再分当时，，当时，，两种情况讨论求解即可． 【解题过程】 （1）解： ， ，， ，， ，，； （2）解：平移线段至，使点的对应点是点，点，， 平移方式为向右移动5个单位长度，向上移动1个单位长度， ， 点D的坐标为，即， 如图所示，过点C和点D分别作y轴的垂线，垂足分别为G、H， ∴， ∴ ； ∴三角形的面积． （3）解：如图：连接， 设， ，，， ， 当时，， ， 解得：， ； 当时，， ， 解得：， ； 综上，当把四边形的面积分为的两部分时，点的坐标为或． 29．（23-24七年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，将线段向上平移个单位，再向右平移1个单位得到线段（点与点对应，点与点对应），此时四边形为平行四边形，且面积为． （1）求点的坐标； （2）连接与轴交于点，求的值； （3）若点从点出发，以每秒个单位的速度向上平移运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，当点到达点后停止运动，若射线交轴于点，设与的面积差为，问：是否定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 【思路点拨】 本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形； （1）根据四边形的面积为8，求出，再由平移的性质得到，即可求出点D的坐标； （2）解法1：先求出，再由，得到，又由，求出，则；解法2：由，求出，则，即可得到； （3）分当点在线段上时，当点在上时，两种情况分别求出S的值即可得到答案． 【解题过程】 （1）解：∵点，，， ∴， ∵由平移性质可知，， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：解法1：∵和同底， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵和同高， ∴； 解法2：∵， ∴，即 ∴， ∴， ∴； （3）解：结论：的值是定值3，理由如下： ①如图，当点在线段上时，连接． 设运动时间为秒， 由题意： ∴， ， ∴， ∴， ∴ ②如图，当点在上时，连接． 由①可知， ∴ 综上所述，的值是定值3． 30．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，其中a、b满足关系式． （1）求点A、B的坐标； （2）如图（1），将三角形先向上平移2个单位长度，再向左平移k个单位长度至三角形，线段交y轴于点，求k的值； （3）如图（2），在（2）的条件下，点是直线上一动点，且，求n的取值范围． 【思路点拨】 （1）利用非负数的性质列式计算求得，，据此即可求解； （2）根据平移的性质得到，，由点得，据此求解即可； （3）作，，先求得，分三种情况讨论． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴点，； （2）解：由题意得，， ∵线段交y轴于点且， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴，， 作，，垂足分别为， ∵，， ∴，， ∴，，， ∴， 当点在线段上时，， ∴，， 由题意得， ∴， 解得(不合题意，舍去)； 当点在点上方时，， ∴，， 由题意得， ∴， 解得； 当点在点直线的下方时， ∴，， 由题意得， ∴， 解得； 综上，n的取值范围为或． 31．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为．且a，b满足．现同时将点A，B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接的延长线交y轴于点K． （1）点A的坐标________，点B的坐标________． （2）点P是线段上的一个动点，点Q是线段的中点，连接，当点P在线段上移动时（不与A，C重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论． （3）连接，在坐标轴上是否存在点M，使的面积与的面积相等？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，试说明理由． 【思路点拨】 （1）根据算式平方根的非负性质、偶次方的非负性质分别求出a、b的值，即可得到点A，B的坐标； （2）分点过在上和点在上，两种情况，进行讨论求解即可； （3）先求出的面积，再分点M在x轴上、点M在y轴上两种情况，根据三角形的面积公式分别求解即可． 【解题过程】 （1）∵ ， ∴ ， 解得：， ∴ 点A，B的坐标分别为． （2）当点在上时：．理由如下： 如图2，过P作， 由题意可知，， ∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∵， ∴ ． 当点在上时： 作，则， ∴ ∴； （3）由题意得：点C的坐标为，点D的坐标为， 则，当点M在x轴上时，设点M的坐标为， 则，由题意得：， 解得：， 此时点M的坐标为或； 当点M在y轴上时，设点M的坐标为， 则，由题意得：，解得：， 此时点M的坐标为或； 综上所述，在坐标轴上存在点M，使的面积与的面积相等，点M的坐标为或或或． 32．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点C在x轴负半轴上，且．将线段沿线段方向平移，点A的对应点为点E，点C的对应点为点F，线段分别交x轴，y轴于点D，G，点D坐标为． （1）点C坐标为__________； （2）若，求点F的坐标； （3）点M从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向上平移，同时，点N从点F出发，以每秒3个单位长度的速度向上平移，设点M，N运动的时间为t秒．若，求t的值． 【思路点拨】 （1）由，结合可得答案； （2）由，可得：，求解的中点坐标为，结合线段沿线段方向平移，点A的对应点为点E，点C的对应点为点F，可得，可得平移方式为：把向右平移4个单位，再向下平移3个单位；再进一步可得答案； （3）如图，设射线交直线于，设直线与轴交于，过作轴于，由，可得，即，可得，求解，再建立方程求解即可； 【解题过程】 （1）解：∵点，且， ∴； （2）解：∵点，点，， ∴， ∵点D坐标为，点， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵点，点， ∴的中点坐标为， ∵线段沿线段方向平移，点A的对应点为点E，点C的对应点为点F， ∴， ∴平移方式为：把向右平移4个单位，再向下平移3个单位； ∵， ∴； （3）解：如图，设射线交直线于，设直线与轴交于，过作轴于， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， 而， ∴， ∵， ∴， 解得：或. 33．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴正半轴上，平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，连接，． （1）点的坐标为________，点的坐标为________； （2）如图2，连接，与轴交于点，连接，，求与的数量关系； （3）在2的条件下，若的面积为7，在轴上是否存在一点，使与的面积之比为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查了平移的性质，坐标与图形，角的和差，割补法求图形面积等知识，注意分类讨论与数形结合． （1）设点，则可确定平移，从而可确定点D的坐标，由求得a的值，则可得C、D的坐标； （2）由平移得，得，结合已知与图形得；再由，可得，此即与的数量关系； （3）由已知面积关系可求得面积；分点P在x轴上方与下方两种情况，利用面积关系求得的长，即可求得点P的坐标． 【解题过程】 （1）解：设点， 由于平移线段到线段，点的对应点为，点的对应点为， 所以点B向左平移3个单位长度再向上平移a个单位长度得到点C，点A按此平移得到点D，点D的坐标为， 由于，则， 解得：， 则点C的坐标为，点D的坐标为； 故答案为：，； （2）解：由平移性质知：， ， ，， ； ， ， 即； （3）解：由（1）知，； ， ； ①当点P在x轴上方时，如图1， 由于， 解得：， ； ②当点P在x轴下方时，如图2， 由于， 解得：， ； 综上，点P的坐标为或． 34．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，满足． （1）______，______，______． （2）如图1，若点为轴负半轴上的一个动点，连接交轴于点，是否存在点，使得的面积等于的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，若将线段向上平移2个单位长度，点为轴上一点，点为第一象限内的一动点，连接，，，，若的面积等于由，，，四条线段围成的图形的面积，求点的横坐标的值（用含的式子表示）． 【思路点拨】 （1）利用绝对值的非负性、平方的非负性及二次根式的非负性即可求解． （2）连接交y轴于点M，作于点H，求出，由的面积等于的面积得，由求出，再根据即可求出点的坐标； （3）延长交x轴于点N，连接，设点，用割补法求出，根据求出，分别表示出的面积和四边形的面积，然后根据二者面积相等列式求解即可． 【解题过程】 （1）∵， ∴， ∴ 故答案为：，，； （2）连接交y轴于点M，作于点H， ∵， ∴， ∴． ∵的面积等于的面积， ∴． ∵， ∴， ∴ 设， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （3）延长交x轴于点N，连接，设点， 由平移的性质得点，点， ∵点 ∴， ∵ ， ∴， 解得， ∴点， ∵， ∴四边形的面积， 设， ， ∴， 解得 ， 设点 G的横坐标为x，则|， 解得或． 35．（23-24八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点，点，将点A向右平移3个长度单位，再向下平移4个长度单位得到点C． （1）用t 表示点C的坐标为 ；用t表示点B 到y轴的距离为 ． （2）若时，平移线段，使点A、B到坐标轴上的点、处，指出平移的方向和距离，并求出点、的坐标； （3）若时，如图，平移线段至（点A与点M对应），使点M落在x轴的负半轴上，的面积为4，试求点M、N的坐标． 【思路点拨】 考查了坐标与图形性质、平移的性质、三角形面积公式，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）由平移的性质得出点C的坐标，由点B的横坐标的绝对值即可得出点B到y轴的距离点B 到y轴的距离； （2）分两种情况分别讨论：①点在y轴上，点在x轴上；②点在x轴上，点在y轴上，由平移的性质即可解答； （3）设，由围矩法求出，得出，由平移的性质即可得出点N的坐标． 【解题过程】 （1）解：∵点，将点A向右平移3个长度单位，再向下平移4个长度单位得到点C． ∴点C的横坐标为，纵坐标为， ∴． 点到y轴的距离为． 故答案为：； （2）解：当，点，点， 分两种情况讨论： ①如图， 点A、点B同时向左平移2个单位，再向下平移2个单位，可得点，； ②如图， 点A、点B同时向左平移4个单位，再向下平移3个单位，可得点，． （3）解：当时，，， 过A作y轴的垂线，过M作x轴的垂线、过B作x轴的垂线，交x轴于G，交前面垂线点P、Q，如图所示： 设， ∴，，，，， ∵， ∴ 解得：， ∴， ∵点向左平移4个单位，再向下平移2个单位到M， ∴点向左平移4个单位，再向下平移2个单位到N， ∴点． 36．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现同时将点，分别向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，分别得到点，的对应点，．连接，，． （1）直接写出点，的坐标； （2）若在轴上存在点，连接，，使，求点的坐标； （3）若点在直线上运动，连接，． ①当点在线段上时，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； ②当点不在线段上时，请直接写出，，之间的数量关系． 【思路点拨】 本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查三角形面积公式和平行线的性质． （1）根据点的平移规律易得点，的坐标； （2）设点的坐标为，先求出，，，然后根据列方程求解即可； （3）①过点作交于点，由平行线的性质得，，进而可得出； ②分类讨论：当点在线段的延长线上时和当点在线段的延长线上时，画出图形，根据平行线的性质求解． 【解题过程】 （1）解：∵点，的坐标分别为，，将点，分别向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，分别得到点，的对应点，， ∴点的坐标为，点的坐标为． （2）解：设点的坐标为， ∵点，的坐标分别为，，点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ，． 当时，，解得， 点的坐标为或． （3）①． 理由：过点作交于点，如图①． 由平移，得， ， ，． ， ． ②或． 理由：分两种情况： Ⅰ．当点在线段的延长线上时，过点作交轴于点，如图②． ，， ，． ，； Ⅱ．当点在线段的延长线上时，过点作交轴于点，如图③． ， ， ，． ， ． 综上所述，当点不在线段上时， 或． 37．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）已知在平面直角坐标系中，，，将线段平移，使点的对应点为，点的对应点为． （1）________； （2）将线段向右平移个单位，已知，若，求的值； （3）若点恰好落在轴负半轴上，连交轴于点，当时，求点的坐标． 【思路点拨】 （1）连接，如图所示，根据平面直角坐标系中三角形面积的求法，由坐标表示代值求解即可得到答案； （2）根据题意，由点的位置分三种情况：当时；当时；当时；作出图形，由列方程求解即可得到答案； （3）根据题意，由点的位置分两种情况：当在右侧时；当在左侧时；作出图形，由列方程求解即可得到答案． 【解题过程】 （1）解：连接，如图所示： ，， ， 故答案为：； （2）解：如图所示： ，解得， 将线段向右平移个单位，， 点在轴上，且， 当时，，如图所示： 则三点共线，不能构成三角形，不满足题意； 当时，，如图所示： ， ，， ，， ， ，解得； 当时，，如图所示： ， ，， ，， ， ，解得（负值舍去）； 综上所述，； （3）解：当在右侧时，如图所示： ，设，则，即， ，， ，， 由点的平移可得， 由可得，，解得， ； 当在左侧时，如图所示： ，设，则，即， ，， ，， 由点的平移可得， 由可得，，解得， ； 综上所述，点的坐标或． 38．（23-24七年级下·福建龙岩·期末）如图1，在平面直角坐标系中，，，将线段沿轴向右平移12个单位得到线段，动点在直线上． （1）填空：点的坐标为______，点的坐标为______； （2）如图1，点是线段上一点（不与点、重合），连接，请用等式表示，，之间满足的数量关系，并说明理由； （3）如图2，点在轴上，且，连接，当的面积等于的面积时，请求出点P的坐标． 【思路点拨】 本题考查了平行线的判定和性质，坐标系中的几何面积关系，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据坐标平移的规律，即可解答； （2）分类讨论，根据点在点左边或者右边，两种情况，利用平行线的性质进行解答即可； （3）根据点在轴正半轴或负半轴两种情况，再考虑点在点A左边或者右边，利用的面积等于的面积列方程即可解答． 【解题过程】 （1）解：，，将线段沿轴向右平移12个单位得到线段， ， 故答案为：； （2）解：当点在点右边时，如图， ， ， ， 即； 当点在点左边时，如图， ， ， ， 即； （3）解：当点在轴正半轴时， ， ， ， ①点在点右边，如图， 可得， 设， 可得方程， 解得， ； ②点在点左边，如图，连接， 可得， 设，则， 可得方程， 解得， ； 当点在轴负半轴时， ③点在点左边，如图， 可得， 设， 可列方程， 解得， ； ④点在点右边，如图，连接， 可得， 设， 可列方程， 解得， ， 综上，点的坐标为，，． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$