精品解析：天津经济技术开发区第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

天津经济开发区第一中学2024-2025学年第二季度 高一年级数学学科 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据零向量的定义，可判断A项正确；根据共线向量和相等向量的定义，可判断B，C，D项均错. 【详解】模为零的向量是零向量，所以A项正确； 时，只说明向的长度相等，无法确定方向， 所以B，C均错； 时，只说明方向相同或相反，没有长度关系， 不能确定相等，所以D错. 故选：A. 【点睛】本题考查有关向量的基本概念的辨析，属于基础题. 2. 以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法和复数实部以及虚部的概念即可. 【详解】因为的虚部为，的实部为， 所以新复数实部，虚部为，即. 故选：A. 3. 已知，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据向量夹角公式直接求解得结果. 【详解】设向量与的夹角为，则， 由于，所以. 故选：C 【点睛】本题考查向量夹角，考查基本求解能力，属基础题. 4. 已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为（ ） A. 9 B. C. 21 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积的几何意义，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由题意，物体从点处移动到点处，可得, 因为力，所以力对物体所做的功为. 故选：C. 5. 设是平面内两个不共线的向量，则向量可作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐项判断向量是否共线，若不共线，则可以作为基底 【详解】解：对于A，因为，所以共线，所以不能作为基底，所以A不合题意； 对于B，因为，所以共线，所以不能作为基底，所以B不合题意； 对于C，若共线，则存在唯一实数，使，即，所以且，所以不存在，所以不共线，所以可以作为基底，所以C符合题意； 对于D，因为，所以共线，所以不能作为基底，所以D不合题意， 故选：C 6. 已知，， 且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算公式可得解. 【详解】设， 由，， 则，， 又， 则，解得， 即， 故选：D. 7. 已知向量，，且，若，则在方向上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直向量的坐标运算建立方程求得参数，结合投影的定义，可得答案. 【详解】，故，解得，所以， 则在方向上的投影向量为. 故选：A. 8. 在中，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】和的分别为和的方向向量，结合可判断的形状，再由数量积的运算可求，再根据三角形内角和为，即可求解. 【详解】因为，所以的角平分线与垂直，所以， 因为，,所以， 则． 故选：D 9. 如图，，与的夹角为，与的夹角为，若，则等于（ ）． A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】将沿与方向进行分解，易得，再在中，，代入相关值即可得到答案. 【详解】将沿与方向进行分解，如图， 由平行四边形法则有，且，所以 ，又，，在中，， 即. 故选：D 【点睛】本题考查平面向量的基本定理的应用，考查学生数形结合的思想，是一道中档题. 10. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：的面积， ， ， 则， ， ， ， ，，， ， ． 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 11. __. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量加法法则求解． 【详解】 故答案为： 12. 若实数满足，其中为虚数单位，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数相等来计算即可. 【详解】根据复数相等可得：，解得：，所以. 故答案为：. 13. 已知向量 ，若，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由向量的坐标运算即可得到向量的坐标，再由向量的模长公式，即可得到结果. 【详解】设，则， 由，可得，解得， 则，所以. 故答案为： 14. 在四边形中， 若且，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的加法运算可得相等向量，即可判断四边行是菱形，从而可求面积. 【详解】 由， 可得四边形是平行四边形，又因为， 所以四边形是菱形，可得， 所以是等边三角形，所以有，可得， 即的面积为：， 故答案为：. 15. 已知的内角的对边分别为，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理可得，再利用余弦定理即可得的值. 【详解】由余弦定理可得， 所以， 于是有. 故答案为：. 16. 在△ABC中，，， ， F为线段AB上一点，则 的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立直角坐标系，因为是线段上的点，所以，求出点的坐标，代入，由二次函数的性质即可求出答案. 【详解】 因为， 是以为坐标原点，建立直角坐标系， ，因为是线段上的点， 所以可设，所以， 所以，，所以， ， 当时，有最大值，当时，有最小值. 所以的取值范围是. 故答案为： 三、解答题：本题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知复数，其中i为虚数单位，． （1）若z为纯虚数，求； （2）若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知求出，再由模的意义求出结果. （2）由给定条件列出不等式组，求解即可得范围. 【小问1详解】 由z为纯虚数，得，解得，则， 所以. 【小问2详解】 由复数z在复平面内对应的点在第四象限，得，解得， 所以实数a取值范围是. 18. 已知向量 和 ，则 , 求： （1） 的值； （2） 的值； （3） 与 的夹角θ的余弦值． 【答案】（1）； （2）； （3） ． 【解析】 【分析】（1）（2）根据平面向量的数量积的定义即可求解； （3）根据平面向量的夹角公式即可求解． 【小问1详解】 ∵ ,, . ∴ ； 【小问2详解】 ∵, ∴ ； 【小问3详解】 ∵, ∴ 19. 如图，在矩形中，点是的中点，点是的三等分点， （1）用，表示，； （2）如果，，求的面积． 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】（1）将，作为基底，利用向量的加减法法则结合点是的中点，点是的三等分点可表示出，； （2）先计算可得，然后分别求出，从而可求出的面积． 【小问1详解】 因为是的三等分点， 所以 因为是的中点， 所以； 小问2详解】 ， 因为为矩形，所以， 又，， 所以，即， ， 同理可得， 所以，，即三角形面积为． 20. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且. （1）求角； （2）若，，求边及的面积； （3）在（2）的条件下，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平行向量的坐标关系得，结合正弦定理与角度关系，即可得角； （2）根据余弦定理求得边长，再利用面积公式求解即可. （3）利用正弦定理求出，再求出，再利用二倍角公式求出，最后再利用两角和与差的正弦公式即可. 【小问1详解】 因为向量，，且 所以，由正弦定理得， 又，则，显然， 则，又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理的， 整理得，解得或（舍）， 所以的面积. 【小问3详解】 由正弦定理得，即，解得， 因为，故角为锐角，故， ， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津经济开发区第一中学2024-2025学年第二季度 高一年级数学学科 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做功为（ ） A. 9 B. C. 21 D. 5. 设是平面内两个不共线的向量，则向量可作为基底的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，， 且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，且，若，则在方向上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，且，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，与的夹角为，与的夹角为，若，则等于（ ）． A. B. C. D. 2 10. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ） A B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 11. __. 12. 若实数满足，其中为虚数单位，则________. 13. 已知向量 ，若，，则________. 14. 在四边形中， 若且，则的面积为__________. 15. 已知的内角的对边分别为，若，则__________． 16. 在△ABC中，，， ， F为线段AB上一点，则 取值范围为_________. 三、解答题：本题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知复数，其中i虚数单位，． （1）若z为纯虚数，求； （2）若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围． 18. 已知向量 和 ，则 ,, 求： （1） 的值； （2） 值； （3） 与 的夹角θ的余弦值． 19. 如图，在矩形中，点是的中点，点是的三等分点， （1）用，表示，； （2）如果，，求的面积． 20. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且. （1）求角； （2）若，，求边及的面积； （3）在（2）的条件下，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$