精品解析：2025年山东省枣庄市台儿庄区九年级中考一调考试数学试题

2024~2025学年度第一次调研考试九年级数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号填在答题纸上． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 央视新闻年月日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超度，我国经济社会绿色发展提供了强劲动能．将数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是　　 A. 圆 B. 菱形 C. 平行四边形 D. 等腰三角形 4. 一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ） A B. C. D. 5. 一个不透明盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上，若，，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 已知关于x的不等式组无实数解，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数经过A，B两点，若菱形面积为8，则k值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则或；④．其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：每题3分，共18分，将答案填在答题纸上． 11. 分解因式：______． 12. 在函数中，自变量的取值范围是______． 13. 如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，的延长线交于点F．如果，那么FC的长是_______． 14. 如图，在中，，点D、E分别在、上，点F在内．若四边形是边长为1的正方形，则________． 15. 如图，一次函数与坐标轴分别交于，两点，点，分别是线段，上的点，且，，则点的坐标为________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点B，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点B的对应点B1落在直线上，再将绕点B1逆时针旋转到的位置，使点O1的对应点O2也落在直线上，如此下去，…，若点B的坐标为，则点的坐标为_____． 三、解答题（满分72分） 17. （1）计算：； （2）先化简，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 18. 某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下： 收集数据 77 78 76 72 84 75 91 85 78 79 82 78 76 79 91 91 76 74 75 85 75 91 80 77 75 75 87 85 76 77 整理、描述数据 成绩/分 72 74 75 76 77 78 79 80 82 84 85 87 91 人数/人 1 1 a 4 3 3 b 1 1 1 3 1 4 分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 80 c 78 解决问题 （1）表格中的______；______；______； （2）分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为______分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为______分； （3）学校要从91分A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率． 19. 如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．（结果保留小数点后一位） （1）若，，求点到直线的距离； （2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点逆时针旋转后，再将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度．（参考数据：，，，，） 20. 如图，是直径，点在上，，点在线段的延长线上，且． （1）求证：EF与相切； （2）若，求的长． 21. 矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y=（k＞0）的图象与边AC交于点E． （1）当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标； （2）连接EF，求∠EFC的正切值； （3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式． 22. 数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F． （1）当点D在线段上时，如图①，求证：； 分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论： 推理证明：写出图①的证明过程： 探究问题：　　 （2）当点D在线段的延长线上时，如图②：当点D在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系； 拓展思考： （3）在（1）（2）的条件下，若，，则______． 23. 已知二次函数的图象过点，，且与轴交于点． （1）求此二次函数的表达式及图象顶点的坐标； （2）在此抛物线的对称轴上是否存在点，使为直角三角形，若存在，试求点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）在平面直角坐标系中，存在点，满足，求线段的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一次调研考试九年级数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号填在答题纸上． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了单项式的乘除法，多项式乘多项式，负整数指数幂，根据运算法则进行逐项计算，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项计算错误； B、，故该选项计算错误； C、，故该选项计算正确； D、，故该选项计算错误； 故选：C． 2. 央视新闻年月日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能．将数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 3. 下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是　　 A. 圆 B. 菱形 C. 平行四边形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可. 【详解】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确， 故选D． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.辨别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；.辨别中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 4. 一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了组合体的三视图，解题的关键是根据从上面看到的图形是几何体的俯视图即可解答． 【详解】解：从上面看，如图所示： 故选：C． 5. 一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用列表法或树状图法求概率，掌握列表法或树状图法求概率是解题关键．求出摸到的两个球的所有情况，再找出两个摸到的球恰好有一个红球的情况，根据概率公式求解即可． 【详解】解：用A、B、C分别表示红球，白球，绿球，列表如下： 第一次 第二次 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中两次摸到的球恰好有一个红球的概率为4种， ∴两次摸到的球恰好有一个红球的概率是 故选：B． 6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点B作轴，垂足为点D，先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性质得到轴，最后由平移即可求解． 【详解】解：过点B作轴，垂足为点D， ∵顶点在直线上，点的横坐标是8， ∴，即， ∴， ∵轴， ∴由勾股定理得：， ∵四边形是菱形， ∴轴， ∴将点B向左平移10个单位得到点C， ∴点， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图像，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 7. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上，若，，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得，，，推出是等腰直角三角形，，过点A作于点H，得到，利用勾股定理求出的长． 【详解】解：由旋转得，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形，， 过点A作于点H， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8. 已知关于x的不等式组无实数解，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先解出两个不等式，根据题目该不等式组无实数解，那么两个解集没有公共部分，列出关于a的不等式，即可求解． 详解】解：解不等式得， ， 解不等式得， ， ∵该不等式组无实数解， ∴， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的解法和不等式组解集的确定，解题关键是熟练掌握不等式解集的确定，即“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”． 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数经过A，B两点，若菱形面积为8，则k值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点A作，设，，根据菱形的面积得到AB的长度，在中应用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点A作， ∵A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数经过A，B两点， ∴设，， ∴，， ∵菱形面积为8， ∴，解得， ∴， 在中，， 即，解得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质等内容，根据提示做出辅助线是解题的关键． 10. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则或；④．其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据开口方向、对称轴，判断a、b的符号及数量关系，根据抛物线与y轴的交点判断c的符号，根据图象与轴交于和对称轴判断抛物线与x轴的另一个交点，则可判断x=2时y的正负，取x=1，x=-1时，函数的表达式，进行相关计算即可证明的正确性． 详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在负半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴交于，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， 当x=2时，位于x轴上方， ∴，故②正确； 若，当y=c时，x=-2或0， 根据二次函数对称性， 则或，故③正确； 当时，① ， 当时，② ， ①+②得：， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故④错误； 综上：②③正确， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，根据开口方向，对称轴，与坐标轴的交点坐标等判断所给式子的正确性，解题关键是熟悉函数图像与解析式的对应关系． 二、填空题：每题3分，共18分，将答案填在答题纸上． 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 12. 在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得且， 故答案为：且． 13. 如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，的延长线交于点F．如果，那么FC的长是_______． 【答案】10 【解析】 【分析】由OE⊥AB，得AD=BD，且OD是△ABC的中位线，OE是三角形AFC的中位线，根据勾股定理求出圆的半径即可． 【详解】∵OE⊥AB， ∴AD=BD=AB=×8=4， ∵OA=OC， ∴OD为三角形ABC中位线， ∴OD//BC， 又∵OD=3， ∴ ∴OE=OA=5， ∵OE∥CF，点O是AC中点， ∴AE：EF=AO：OC=1， 即E为AF中点， ∴OE是三角形ACF的中位线， ∴CF=2OE=2×5=10， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角形中位线等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形中位线的性质是解题的关键． 14. 如图，在中，，点D、E分别在、上，点F在内．若四边形是边长为1的正方形，则________． 【答案】 【解析】 【分析】连接AF，CF，过点F作FM⊥AB，由，可得FM=1，再根据锐角三角函数的定义，即可求解． 【详解】解：连接AF，CF，过点F作FM⊥AB， ∵四边形是边长为1的正方形， ∴∠C=90°， ∴AB=， ∵， ∴， ∴ FM=1， ∵BF=， ∴． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握”等积法“是解题的关键． 15. 如图，一次函数与坐标轴分别交于，两点，点，分别是线段，上的点，且，，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】过P作PD⊥OC于D，先求出A，B 的坐标，得∠ABO=∠OAB=45°，再证明△PCB≌△OPA，从而求出BD＝2，OD＝4−2，进而即可求解． 【详解】如图所示，过P作PD⊥OC于D， ∵一次函数与坐标轴分别交于A，两点， ∴A(-4，0)，B(0，4)，即：OA=OB， ∴∠ABO=∠OAB=45°， ∴△BDP是等腰直角三角形， ∵∠PBC＝∠CPO＝∠OAP＝45°， ∴∠PCB＋∠BPC＝135°＝∠OPA＋∠BPC， ∴∠PCB＝∠OPA， 又∵PC＝OP， ∴△PCB≌△OPA（AAS）， ∴AO＝BP＝4， ∴Rt△BDP中，BD＝PD＝BP÷＝2， ∴OD＝OB−BD＝4−2， ∴P（-2，4−2）． 故答案是：P（-2，4−2）． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质，结合等腰三角形的性质，判定全等三角形是解决问题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点B，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点B的对应点B1落在直线上，再将绕点B1逆时针旋转到的位置，使点O1的对应点O2也落在直线上，如此下去，…，若点B的坐标为，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标变化规律，勾股定理等知识，先求出点的坐标，进而得出的周长，根据所给旋转方式发现点（为正整数）都在直线上，依次求出的长度，发现规律即可解决问题，能根据所给旋转方式发现（为正整数）长度的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题知， 将代入得，， ∴点的坐标为， ∴， ， 在中，， ∴， 由所给旋转方式可知，点（为正整数）在直线上， ∴， ， ， …， ∴， 令， 解得：， ∴， 即 令点的坐标为， ∴， 解得：（舍正）， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（满分72分） 17. （1）计算：； （2）先化简，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 【答案】（1）6；（2），当时，原式 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂公式，负整数指数幂公式，特殊角的三角函数值，绝对值的化简，解答即可； （2）先利用分式的乘除化简，后结合分式有意义的条件，确定不能选的数，再选择适当数，求值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， 由 ， 得， 当时 原式． 【点睛】本题考查了零指数幂公式，负整数指数幂公式，特殊角的三角函数值，绝对值的化简，分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握公式，熟记三角函数值，化简求值是解题的关键． 18. 某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下： 收集数据 77 78 76 72 84 75 91 85 78 79 82 78 76 79 91 91 76 74 75 85 75 91 80 77 75 75 87 85 76 77 整理、描述数据 成绩/分 72 74 75 76 77 78 79 80 82 84 85 87 91 人数/人 1 1 a 4 3 3 b 1 1 1 3 1 4 分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 80 c 78 解决问题 （1）表格中______；______；______； （2）分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为______分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为______分； （3）学校要从91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率． 【答案】（1）5；2；75 （2）78；80 （3）A，B两名队员恰好同时被选中的概率为． 【解析】 【分析】本题主要考查画树状图或列表法求随机事件的概率，统计表，众数和中位数的意义． （1）根据统计表直接写出a和b的值，根据众数的意义可求解c的值； （2）根据中位数和平均数的意义即可求解； （3）画树状图或列表法把所有等可能结果表示出来，再运用概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：根据收集的数据知；； 出现最多的是75分，有5人，众数为75分，则； 故答案为：5；2；75； 【小问2详解】 解：∵由统计图可知中位数为78分， ∴如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，成绩目标应定为78分， 如果想确定一个较高的目标，成绩目标应定为80分， 因为在样本的众数，中位数和平均数中，平均数最大， 可以估计，如果成绩目标定为80分，努力一下都能达到成绩目标． 故答案为：78；80； 【小问3详解】 解：画树状图表示所有等可能结果如图所示， 共有种等可能结果，A，B两名队员恰好同时被选中的情况有种， ∴A，B两名队员恰好同时被选中的概率为， 答：A，B两名队员恰好同时被选中的概率为． 19. 如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．（结果保留小数点后一位） （1）若，，求点到直线的距离； （2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点逆时针旋转后，再将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度．（参考数据：，，，，） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）过点A作，，，根据已知条件分别求出AP和PM，再相加即可； （2）根据已知条件可得，根据三角函数的定义进行判断求解即可得到结论； 【详解】（1）如图所示，过点A作，，， 则, ∵，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴, ∴， 又∵,， ∴mm， ∴． ∴点到直线的距离是． （2）如图所示， 根据题意可得，，， ∴， ∴， 根据（1）可得， ∴旋转的角度=． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，准确的构造直角三角形，利用三角函数的定义求解是解题的关键． 20. 如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且． （1）求证：EF与相切； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理得到，结合已知推出，再证明，推出，即可证明结论成立； （2）设半径为x，则，在中，利用正弦函数求得半径的长，再在中，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵，∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴EF与相切； 【小问2详解】 解：设半径为x，则， ∵，， ∴， 在中，，， ∴，即， 解得， 经检验，是所列方程的解， ∴半径为4，则， 在中，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键． 21. 矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y=（k＞0）的图象与边AC交于点E． （1）当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标； （2）连接EF，求∠EFC的正切值； （3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式． 【答案】（1）E（2，3）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）先确定出点C坐标，进而得出点F坐标，即可得出结论； （2）先确定出点F的横坐标，进而表示出点F的坐标，得出CF，同理表示出CE，即可得出结论； （3）先判断出△EHG∽△GBF，即可求出BG，最后用勾股定理求出k，即可得出结论． 【详解】（1）∵OA=3，OB=4， ∴B（4，0），C（4，3）， ∵F是BC的中点， ∴F（4，）， ∵F在反比例y=函数图象上， ∴k=4×=6， ∴反比例函数的解析式为y=， ∵E点的坐标为3， ∴E（2，3）； （2）∵F点的横坐标为4， ∴F（4，）， ∴CF=BC﹣BF=3﹣= ∵E的纵坐标为3， ∴E（，3）， ∴CE=AC﹣AE=4﹣=， 在Rt△CEF中，tan∠EFC=， （3）如图，由（2）知，CF=，CE=，， 过点E作EH⊥OB于H， ∴EH=OA=3，∠EHG=∠GBF=90°， ∴∠EGH+∠HEG=90°， 由折叠知，EG=CE，FG=CF，∠EGF=∠C=90°， ∴∠EGH+∠BGF=90°， ∴∠HEG=∠BGF， ∵∠EHG=∠GBF=90°， ∴△EHG∽△GBF， ∴， ∴， ∴BG=， 在Rt△FBG中，FG2﹣BF2=BG2， ∴（）2﹣（）2=， ∴k=， ∴反比例函数解析式为y=． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，中点坐标公式，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，求出CE：CF是解本题的关键． 22. 数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F． （1）当点D在线段上时，如图①，求证：； 分析问题：某同学思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论： 推理证明：写出图①的证明过程： 探究问题：　　 （2）当点D在线段的延长线上时，如图②：当点D在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系； 拓展思考： （3）在（1）（2）的条件下，若，，则______． 【答案】（1）见解析；（2）图②：，图③：；（3）10或18 【解析】 【分析】（1）在边上截取，连接，根据题意证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； （2）图②：在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，首先证明出是等边三角形，得到，然后求出，然后证明出，得到，，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； 图③：在上取点H使，同理证明出，得到，，进而求解即可； （3）根据勾股定理和含角直角三角形的性质求出，，然后结合，分别（1）（2）的条件下求出的长度，进而求解即可． 【详解】（1）证明：在边上截取，连接． 在中，． ， ． 又， ． 又，， ． 又， ． ． ． ． ， ． 是等边三角形． ， ， ； （2）图②：当点D在线段的延长线上时，，证明如下： 如图所示，在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 图③：当点D在线段的延长线上时，，证明如下∶ 如图所示，在上取点H使， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）如图所示， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（1）可知，， ∴； 如图所示，当点D在线段的延长线上时， ∵，与矛盾， ∴不符合题意； 如图所示，当点D在线段的延长线上时， ∵，， ∴， 由（2）可知，， ∵， ∴． 综上所述，或18． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 已知二次函数的图象过点，，且与轴交于点． （1）求此二次函数的表达式及图象顶点的坐标； （2）在此抛物线的对称轴上是否存在点，使为直角三角形，若存在，试求点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）在平面直角坐标系中，存在点，满足，求线段的最大值． 【答案】（1）， （2）存在，或或或 （3） 【解析】 【分析】（）设二次函数表达式为，再利用待定系数法解答即可； （）设点，由两点间距离公式得，，，再分，，三种情况，利用勾股定理解答即可求解； （）设的中点为，可得，，由圆周角定理得点在以的中点为圆心，为半径的圆上，利用勾股定理得，进而即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，圆周角定理，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：设二次函数表达式为， 把代入得，， ∴， ∴， 即二次函数的表达式为， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：存在点，使是直角三角形，理由如下： 设点， ∵，， ∴，，， 当时，， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴或， ∴或； 综上所述，存在点或或或，使为直角三角形； 【小问3详解】 解：设的中点为， ∵，， ，， ∵， ∴， ∴点在以的中点为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$