精品解析：天津市河西区2024-2025学年高三下学期数学总复习质量调查试卷一

河西区2024-2025学年度第二学期高三年级总复习质量调查（一） 数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第I卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第I卷1至3页，第II卷4至8页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利! 第I卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式： ·如果事件 ， 互斥，那么． ·如果事件 ， 相互独立，那么． ·锥体的体积公式，其中表示锥体的底面面积，表示锥体的高． 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 对变量 ， 有观测数据，得散点图；对变量， 有观测数据，得散点图2．由这两个散点图可以判断（ ） A. 变量 与 正相关，与 正相关 B. 变量 与 正相关，与 负相关 C. 变量 与 负相关，与 正相关 D. 变量 与 负相关，与 负相关 4. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 若 、，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 为偶函数 7. 已知函数图象的一条对称轴是，且在上有且仅有两个对称中心，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的渐近线上的点，满足，且，的面积为，则双曲线 的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在体积为 的正四棱锥中，，，设平面与直线 交于点，记四棱锥的体积为，则（ ） A. B. C. D. 第II卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分． 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10. i是虚数单位，复数_____． 11. 二项式展开式中，项的系数为________． 12. 已知抛物线上位于第一象限内的点 到抛物线的焦点 的距离为5，过点 作圆的切线，切点为，则_____________． 13. 某体育器材商店经营三种型号的组合器械，三种型号组合器械的优质率分别为0.9，0.8，0.7，市场占有比例为，某健身中心从该商店任意购买一种型号的组合器械，则买到的组合器械是优质产品的概率为_____；若该健身中心从三种型号的组合器械各买一件，则恰好买到两件优质产品的概率为_____． 14. 如图所示，四边形内接于圆 ，，，则_____；设，且，则四边形的面积为_____． 15. 定义函数，，若至少有 个不同的实数解，则实数 的取值范围是_____． 三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，内角 ， ， 所对的边分别为 ，，，已知． （1）求角 的大小； （2）设 ，． （i）求 的值； （ii）求的值． 17. 如图所示，在几何体中，底面，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线 与平面所成角的正弦值； （3）若平面与平面所成角的余弦值为，求线段的长． 18. 已知椭圆的左、右顶点为 、 ，左焦点为 ，离心率为，过点 且垂直于 轴的直线被椭圆 截得的线段长为． （1）求椭圆 的标准方程； （2）过点 的直线交椭圆 于 ， 两点（其中点 在 轴上方），求与的面积之比的取值范围． 19. 已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，，． （1）求数列和的通项公式； （2）已知，求数列的前项和； （3）当时，设集合，集合中元素的个数记为，求数列的通项公式． 20. 已知函数. （1）若在处的切线方程为，求实数 ，的值； （2）求证：当时，在上有两个极值点； （3）设，若在单调递减，求实数 的取值范围.（其中为自然对数的底数） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河西区2024-2025学年度第二学期高三年级总复习质量调查（一） 数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第I卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第I卷1至3页，第II卷4至8页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利! 第I卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式： ·如果事件， 互斥，那么． ·如果事件， 相互独立，那么． ·锥体的体积公式，其中表示锥体的底面面积，表示锥体的高． 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用并集、补集的定义求解. 【详解】由，得，而， 所以. 故选：D 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的判定方法结合对数运算即可判断. 【详解】若，此时，但，即，所以“”不是“”的充分条件； 若，则，得，所以“”是“”的必要条件； 故选：B. 3. 对变量 ， 有观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图2．由这两个散点图可以判断（ ） A. 变量 与 正相关，与正相关 B. 变量 与 正相关，与负相关 C. 变量 与 负相关，与正相关 D. 变量 与 负相关，与负相关 【答案】B 【解析】 【分析】根据散点图点的变化关系确定正负相关性即可. 【详解】由变量 ， 的散点图，知随 增大， 也增大，变量 与 正相关， 由变量，的散点图，知随增大，减小，与负相关. 故选：B 4. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用换底公式即可化简；利用对数函数的性质；利用正弦函数的值域即可. 【详解】； ；， 则 故选：A 5. 若 、，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过举反例判断ABD；根据基本不等式判断C. 【详解】对于A，当时，满足， 而，故A错误； 对于B，当时，满足， 而，故B错误； 对于C，由，得，， 则，当且仅当时等号成立，故C正确； 当时，满足， 而，故D错误. 故选：C. 6. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 为偶函数 【答案】D 【解析】 【分析】利用判断A；利用判断C；利用判断B；利用来判断D选项. 【详解】，则，即故A错误； ，故C错误； ，，则，故B错误； ，，则，故D正确. 故选择：D. 7. 已知函数图象的一条对称轴是，且在上有且仅有两个对称中心，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的对称性可得出，解出的表达式，由可求出的取值范围，结合题意可得出关于的不等式，解出的取值范围，可得出的值，由此可得出函数的解析式. 【详解】因为函数图象的一条对称轴是， 则，解得， 当时，， 因为函数在上有且仅有两个对称中心，则，解得， 故，所以， . 故选：B. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的渐近线上的点，满足，且，的面积为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件可得，利用三角形面积求出半焦距，再利用直角三角形性质，结合二倍角的正切求出即可得解. 【详解】由，得，而，的面积为， 则，， 令双曲线的半焦距为，则，即，直线方程为， ，而，则， 联立解得，所以双曲线的方程为. 故选：A 9. 如图，在体积为 的正四棱锥中，，，设平面与直线 交于点，记四棱锥的体积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用四点共面中的向量关系来求解，再利用三棱锥体积变换来求比值，从而解答问题. 【详解】如图所示，    由四点共面，且四边形为正方形， 可得， 由，，设， 可得：，即， 根据四点共面，可得， 即， 设，分别是点 到平面和点 到平面的距离，则， 所以， ，， 同理，， ，， 则四棱锥与四棱锥的体积比为. 故选：D. 第II卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分． 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10. i是虚数单位，复数_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据复数的除法运算法则计算即可. 【详解】， 故答案为：. 11. 二项式展开式中，项的系数为________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：二项式的通项为，令得，则，其系数为，故填. 考点：二项式定理． 12. 已知抛物线上位于第一象限内的点 到抛物线的焦点 的距离为5，过点 作圆的切线，切点为，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据抛物线的定义求出点 的坐标，再将圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标和半径，最后根据切线的性质，利用勾股定理求值. 【详解】在抛物线中，，则，所以焦点，准线方程为． 设点，根据抛物线的定义，可得， 解得．把代入，得， 因为，所以，即． 圆，圆心为，半径， 故． 故答案为： ． 13. 某体育器材商店经营三种型号的组合器械，三种型号组合器械的优质率分别为0.9，0.8，0.7，市场占有比例为，某健身中心从该商店任意购买一种型号的组合器械，则买到的组合器械是优质产品的概率为_____；若该健身中心从三种型号的组合器械各买一件，则恰好买到两件优质产品的概率为_____． 【答案】 ①. 0.82 ②. 0.398 【解析】 【分析】依据题意，分析事件关系，利用全概率公式求解第一空，利用互斥事件与相互独立事件求解第二空即可. 【详解】第一空：由全概率公式可得：； 第二空：恰好买到两件优质产品是“AB优C不优，AC优B不优，BC优A不优”这三个互斥事件的和，故所求概率为：， 故答案为：0.82；0.398. 14. 如图所示，四边形内接于圆 ，，，则_____；设，且，则四边形的面积为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）过 作垂足为，则，再用数量积的运算律结合垂直向量求解即可； （2）在延长线上取点，使，取中点，由已知可得过圆心 ，求得，进而可求得梯形的高与上底，从而可求面积. 【详解】（1）过 作垂足为，则， 所以； （2）在延长线上取点，使，取中点， 又因为，所以， 由，可得，所以直线MN过圆心 ， 在中，，，所以，， 因为，所以,所以， 所以等腰梯形高为， ， 所以等腰梯形面积为． 故答案为：①；②. 15. 定义函数，，若至少有 个不同的实数解，则实数 的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，函数至少有一个零点，可得出，求出 的取值范围，然后对实数 的取值进行分类讨论，数形结合，结合函数的零点个数，可得出关于实数 的等式或不等式，综合可得出实数 的取值范围. 【详解】由，可得， 设，则函数至少有一个零点， 则，解得或， 当时，设函数两个零点分别为、且， 由韦达定理可得，则必有，则必为函数的一个零点， 若使得函数至少有三个零点，则必有，即，解得，所以，， 且当时，， 作出函数的图象如下图中的实线所示： 由图可知，此时函数只有两个零点，不合乎题意； 若，设函数两个零点分别为、且， 由韦达定理可得，则必有， 从而可知，必为函数的一个零点，作出函数的图象如下图中的实线所示， 若使得函数至少有三个零点，则，所以，，解得，此时，. 综上所述， 的取值范围是. 故答案为：. 三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，内角， ，所对的边分别为 ，，，已知． （1）求角的大小； （2）设 ，． （i）求 的值； （ii）求的值． 【答案】（1） （2） ； 【解析】 【分析】根据余弦定理化简求出角. 根据已知条件套用余弦定理求 . 根据二倍角，两角和与差公式代入求解即可. 【小问1详解】 因为得； 即，得； 所以，因为； 所以. 【小问2详解】 ，则. ，则，. 所以. 17. 如图所示，在几何体中，底面，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线 与平面所成角的正弦值； （3）若平面与平面所成角的余弦值为，求线段的长． 【答案】（1）证明：由底面，，得直线两两垂直， 以点为原点，直线两两垂直分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设，则， 显然是平面的一个法向量，而，， 即，因此平面，又平面， 所以平面. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）由（1）求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解. （3）由（1）（2）求出平面的法向量，再利用面面角的向量法列式求出的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 设平面的法向量，则，令，得， 所以直线 与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（1）知，，设平面的法向量， 则，令，得， 由（2）知平面的法向量，由平面与平面所成角的余弦值为， 得，解得， 所以线段的长为. 18. 已知椭圆的左、右顶点为、 ，左焦点为 ，离心率为，过点 且垂直于 轴的直线被椭圆截得的线段长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点 的直线交椭圆于 ， 两点（其中点 在 轴上方），求与的面积之比的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由离心率可得，再由弦长求出即可. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出三角形面积的比，再结合韦达定理求出的纵坐标的比值即可得解. 【小问1详解】 由椭圆的离心率为，得，则，半焦距， 又过点且垂直于 轴的直线被椭圆截得的线段长为， 由，得，于是，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，，直线不垂直于 轴， 设直线的方程为，， 由消去 得，，， ， 于是，而， ，因此，设， 则，解得， 于是， 所以与的面积之比的取值范围是. 19. 已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，，． （1）求数列和的通项公式； （2）已知，求数列的前项和； （3）当时，设集合，集合中元素的个数记为，求数列的通项公式． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可求出等差数列的公差的值，结合等差数列的通项公式可求出的表达式，设等比数列的公比为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出等比数列的通项公式； （2）分别利用裂项求和法、错位相减法求出数列的前项中的奇数项、偶数项的和，即可得出； （3）分析可知，集合中元素个数等价于满足的不同解的个数，、进行讨论，推出矛盾，可得出，然后利用不等式的基本性质可得出解的个数，即可得出数列的通项公式. 【小问1详解】 因为数列为等差数列，所以，该数列的公差为， 所以，， 设等比数列的公比为， 由可得，解得，则. 【小问2详解】 当 为奇数时，， 设数列奇数项的和为， 则. 当 为偶数时，，设数列的偶数项的和为， 则， 可得， 上述两个等式作差得 ， 整理可得， 所以，. 【小问3详解】 集合中元素个数等价于满足的不同解的个数， 若，则，与已知矛盾； 若，则，与已知矛盾，所以，， 又因为， 所以，， 即、 、 、、 ，共 个解，故. 20. 已知函数. （1）若在处的切线方程为，求实数 ，的值； （2）求证：当时，在上有两个极值点； （3）设，若在单调递减，求实数 的取值范围.（其中为自然对数的底数） 【答案】（1）； . （2）证明：令， 则，所以在单调递减，在单调递增. 因为，所以. 又，所以在有一个零点. 又， 令，则， 所以在单调递减，故， 即，所以在有一个零点. 于是可知：当时，，单调递增； 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 因此，在上有两个极值点（在处取得极大值，在处取得极小值）. （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式，先求得导函数，将横坐标带入结合切线方程的斜率即可求得 的值，进而可得切点坐标，将切点坐标代入切线方程即可得的值. （2）令，再求得，由导函数与函数单调性关系可得的单调区间.由可得的最小值符号，再由及零点存在定理可判断在有一个零点；表示出，并构造函数，由的符号可得的单调递减区间，根据零点存在定理可知在有一个零点，从而证明出结论. （3）由题意可得的表达式，构造函数，并求得，再构造函数，并由的符号可判断的单调情况，从而由的最值判断出的符号，即可得 的单调情况.对 分类讨论，从而由的符号得符合题意的 的取值范围. 【详解】（1）函数. 则， 由条件知，所以， ，所以切点坐标为. 把代入， 解得 . （2）略 （3）， 令， 则， 令，当时，， 单调递增，， 所以，在单调递增， 于是可得， ①若，则，， 因为在单调递减， 所以 ， 令， 当时，， 故单调递减，所以，解得， ②若，则， ， 因为在单调递减，所以， 当，时， ， 所以，即，满足题设. ③若，则存在唯一确定的，使得. 当时，，即存在，， 但，这与在单调递减矛盾，不合题意. 综上所述，. 【点睛】本题考查了导数的几何意义及由切线方程求参数，利用导函数分析函数的极值情况，构造函数法分析函数的单调性与最值情况，分类讨论思想的综合应用，是高考的热点和难点，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $