专题7.2 期中模拟测试卷（范围：1～3章）（压轴题综合测试卷）-2024-2025学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（北师大版2024）

期中模拟测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）一只不透明的袋中装有除颜色外都相同的红球、黄球、白球共50个．通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是．则可估计袋中白球的个数是（    ） A．10 B．15 C．25 D．20 2．（24-25七年级下·全国·周测）设，则M与N的关系是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．在学习整式乘法公式的过程中，每个公式的推导，教材编写者都安排了运用图形面积来加以验证的过程．如图，现有四种方案，其中能借助图形面积验证的正确性的方案是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）实数ab，c满足，，，则代数式的值为（   ） A．2023 B．2024 C．4048 D．4049 5．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）如图，下列条件中，能判断直线的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（23-24七年级下·四川绵阳·期中）如图，已知直线，则、、之间的关系是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（    ） A．3 B．19 C．21 D．28 8．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）观察下列等式： ； ； ； …… 根据以上规律计算的值是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束CH与天花板所形成的角（）不可能取到的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一、用“杨辉三角”可以解释（为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数．．．．．．，小明经过仔细观察，还发现（为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ③当时，的计算结果为； ④当除以2025，余数为2023． 上述结论中，正确的个数为（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（2025七年级下·全国·专题练习）从背面相同的同一副扑克牌中取出10张黑桃牌和11张方块牌．从这些牌中取出m（）张黑桃牌，剩下的牌洗匀，背面朝上放在桌面上，再从桌面上随机抽出一张牌．若此时“抽出的这张牌是方块牌”为随机事件，则该事件的概率是 ． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）代数式的末尾数字是 ． 13．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为 ． 14．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，为上一点，且，垂足为F，，平分，且，则下列结论：①；②；③；④∠；其中正确的有 ．（请填写序号） 15．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）下列说法中正确的有 ．（填序号） ①若a，b，c满足，则的最小值为1． ②若a，b，c满足，则的值是13． ③关于x的多项式的展开式中的系数为． ④若x，y满足，，则的值为． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共8小题，满分55分） 16．（8分）（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 17．（4分）（24-25七年级下·全国·期中）先化简后求值： （1），其中，． （2），其中，． 18．（6分）（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）补充下面命题的说理过程，横线上填写结果，括号内填写依据． 已知：如图，直线相交于点O，，垂足为O，平分．请说明的理由． 理由：因为直线相交于点O（已知）， 所以（   ）． 因为平分（   ）， 所以__________（          ）， 因为（         ）， 所以， 因为（已知）， 所以_________（                  ）， 因为（                 ）， 所以（　　　　）． 19．（6分）（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，一个转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“是”“附”“中”“人”“我”“骄”“傲”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． （1）转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是____________，指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是____________； （2）明明和红红利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于7画时明明获胜，否则红红获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 20．（6分）（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空： ； （2）若，，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系； （3）①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明： 设，，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算： ． 21．（8分）（23-24七年级下·甘肃白银·期中）阅读材料： 若满足，求的值． 解：设，，则，， ∴ 请仿照上面的方法求解下列问题： （1）若满足，求的值． （2），求． （3）已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积． 22．（8分）（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线，是一条折线段，平分． （1）如图①，若，探究和的数量关系； （2）平分，直线交于点F ①如图②，探究和的数量关系，并说明理由； ②当点E在直线之间时，若，直接写出的度数． 23．（9分）（24-25七年级下·重庆九龙坡·阶段练习）如图，已知直线与直线相交于点，于点，且，为射线上一点，过点作的平行线，与直线相交于点，直线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，旋转所得的直线与直线相交于点，设旋转时间为． （1）求的度数； （2）为延长线上一点，分别为，的三等分线，且，． ①如图，当时，探究与的数量关系； ②当时，以上数量关系是否仍然成立？若成立，请写出推理过程，若不成立，请直接写出此时与的数量关系． （3）如图，作的角平分线，与的角平分线交于点．当直线开始旋转的同时，三角形也开始绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，得到三角形，当停止旋转时，三角形也同时停止旋转，在旋转过程中，直接写出当直线与三角形的某一边所在直线垂直时的值． 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中模拟测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）一只不透明的袋中装有除颜色外都相同的红球、黄球、白球共50个．通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是．则可估计袋中白球的个数是（    ） A．10 B．15 C．25 D．20 【思路点拨】 本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到红球和摸到黄球的概率，进而求出黄球和红球的个数，据此可得白球的个数． 【解题过程】 解：∵通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是， ∴摸到红球、黄球的概率分别是， ∴红球和黄球各有个，个， ∴可估计袋中白球的个数是个， 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·周测）设，则M与N的关系是（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用； ，由平方差公式和完全平方公式进行运算，即可求解；能熟练利用平方差公式和完全平方公式进行运算是解题的关键． 【解题过程】 解： ， ， 故选：B． 3．（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．在学习整式乘法公式的过程中，每个公式的推导，教材编写者都安排了运用图形面积来加以验证的过程．如图，现有四种方案，其中能借助图形面积验证的正确性的方案是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【思路点拨】 本题主要考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． 根据各个图形中各个部分面积之间的关系，用代数式表示各自的面积即可得出结论． 【解题过程】 解：方案①中阴影部分面积可以看做两个正方形的面积差，即，也可以看作四个梯形的面积和，即，因此，方案①符合题意； 方案②中阴影部分面积可以看做两个正方形的面积差，即，阴影部分也可以看作一个长为，宽为的长方形，则面积为，因此，故方案②符合题意； 方案③中阴影部分面积表示为两个正方形的面积差，即，阴影部分也可以看作底为，高为的大平行四边形的面积，则面积为，因此，故方案③符合题意； 方案④中阴影部分面积表示为两个正方形的面积差，即，阴影部分也可以看作四个长为，宽为的长方形面积和，即为，因此，故方案④不符合题意， 故选：C． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）实数ab，c满足，，，则代数式的值为（   ） A．2023 B．2024 C．4048 D．4049 【思路点拨】 本题考查同底数幂的除法运算，代数式求值．正确掌握运算法则是解题关键．根据，得，，得，代入计算即得． 【解题过程】 解：∵，， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， 则， ∴ ． 故选：D． 5．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）如图，下列条件中，能判断直线的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】 本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法即可得出结论． 【解题过程】 解：①由，内错角相等，可得，符合题意； ②由，不能得到，不符合题意； ③由，同位角相等，可得，符合题意； ④由，不能得到，不符合题意； ⑤由，得，内错角相等，即可得到，符合题意； ⑥由，同旁内角互补，即可得到，符合题意； 综上，能判断直线的有4个． 故选：C． 6．（23-24七年级下·四川绵阳·期中）如图，已知直线，则、、之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查平行线的应用，添加辅助线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键 ．过向左作射线，把分成和，然后根据平行线的性质即可得到解答 ． 【解题过程】 解：过向左作射线， 则， ∴ ， ， ， ． 故选：D． 7．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（    ） A．3 B．19 C．21 D．28 【思路点拨】 本题考查了完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是灵活应用完全平方公式的变形．设甲正方形边长为，乙正方形边长为，根据题意分别得到，，两式相加可得，在图中利用两正方形的面积之和减去两个三角形的面积之和，代入计算可得阴影部分面积． 【解题过程】 解：设甲正方形边长为，乙正方形边长为，则，，， ， ， 点为的中点， ， 图的阴影部分面积， ， ， 图的阴影部分面积 ， 故选：B． 8．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）观察下列等式： ； ； ； …… 根据以上规律计算的值是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律． 根据规律求出的值，再减去1即可解答． 【解题过程】 解：∵； ； ； …… （为正整数） 当时， ∴ ． 故选：A． 9．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束CH与天花板所形成的角（）不可能取到的度数为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线和利用分类讨论的思想是解题的关键． 分和，分别利用平行线的性质求解即可． 【解题过程】 解：当时，如图1所示，过点C作， ∵， ∴， ∴， ∴， 由反射定理可知，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图2所示，过点C作， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或． 故选B． 10．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一、用“杨辉三角”可以解释（为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数．．．．．．，小明经过仔细观察，还发现（为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ③当时，的计算结果为； ④当除以2025，余数为2023． 上述结论中，正确的个数为（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】 本题考查了“杨辉三角”的理解与运用，多项式乘多项式的规律问题，掌握相关知识是解题的关键． 对于①，项为，其中为第2026行的第2个数2025，则系数为； 对于②，通过“杨辉三角”得到规律：第行系数的绝对值之和为，所以所在的第行系数的绝对值之和为； 对于③，第行计算结果为，所以的计算结果为； 对于④，“杨辉三角”奇数行除以余数为1，偶数行除以余数为，所以除以余数为， 【解题过程】 解：①观察“杨辉三角”可知， 各项系数对应“杨辉三角”中第行的数，该行共有个数， 项的系数对应“杨辉三角”所在行的第1个数，项的系数对应第2个数，a项的系数对应第个数， 各项系数对应“杨辉三角”中第行的数， 项的系数对应“杨辉三角”所在行的第2个数，即， 由于中，， ∴项的系数为，故①符合题意， ②首先在“杨辉三角”中找规律， 第3行系数的绝对值之和为， 第4行系数的绝对值之和为， 第5行系数的绝对值之和为， ∴第行系数的绝对值之和为， ∴所在的第行系数的绝对值之和为，故②符合题意， ③在“杨辉三角”中找规律，当时， 第3行计算结果为， 第4行计算结果为， 第5行计算结果为， 因此第n行计算结果为 ， ∴的计算结果为，故③符合题意， ④，在“杨辉三角”中找规律，当时， 计算第3行除以，，余数为1， 计算第4行除以，，余数为， 计算第5行除以，，余数为， 因此得出规律，奇数行除以，余数为，偶数行除以，余数为， 系数所在行为行，为偶数行， ∴除以余数为，故④不符合题意， 综上所述，①②③符合题意，共个， 故选：C． 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（2025七年级下·全国·专题练习）从背面相同的同一副扑克牌中取出10张黑桃牌和11张方块牌．从这些牌中取出m（）张黑桃牌，剩下的牌洗匀，背面朝上放在桌面上，再从桌面上随机抽出一张牌．若此时“抽出的这张牌是方块牌”为随机事件，则该事件的概率是 ． 【思路点拨】 本题考查概率，事件的分类．熟练掌握事件的分类，以及概率公式，是解题的关键．根据随机事件的定义和概率公式进行求解即可． 【解题过程】 解：∵“再抽出的这张牌是方块牌”为随机事件， ∴， 即：， 当时：剩余3张黑桃，∴； 当时：剩余2张黑桃，∴； 当时：剩余1张黑桃，∴． 故答案为或或． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）代数式的末尾数字是 ． 【思路点拨】 本题考查平方差公式的计算，利用平方差公式得到式子结果为，再根据末尾数字规律求解即可． 【解题过程】 解： …… ， ∵的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是， ∴末尾数字按，，，的顺序依次出现， ∵， ∴的末尾数字是， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为 ． 【思路点拨】 此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．过点作，过点作，根据平行线的性质求解即可． 【解题过程】 解：， ， 如图，过点作，过点作， ， ， ，，， ，， ，， ， 故答案为：． 14．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，为上一点，且，垂足为F，，平分，且，则下列结论： ①； ②； ③； ④∠；其中正确的有 ．（请填写序号） 【思路点拨】 本题考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，先由平行线的性质得到 ，，，再由角平分线的定义得到，则由平角的定义可得，据此可判断②；由垂线的定义得到，则，再由平行线的性质得到，据此可判断①；先证明，得到，则，据此可判断③；分别求出，，，据此可判断④． 【解题过程】 解：，， ，，， 平分， ， ∴，故②错误； ，即， ， ， ∵， ∴，故①正确 ，， ∴， ， ， ，故③错误； ， ， ，， ，故④正确； 综上所述，正确的有①④， 故答案为：①④． 15．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）下列说法中正确的有 ．（填序号） ①若a，b，c满足，则的最小值为1． ②若a，b，c满足，则的值是13． ③关于x的多项式的展开式中的系数为． ④若x，y满足，，则的值为． 【思路点拨】 本题考查了求整式的值，完全平方公式变形运算，整式混合运算等； ①由得，即可求解； ②设，，， ，由完全平方公式即可求解； ③分别求出的系数，即可求解； ④可得，由此可求，整体代入，即可求解； 能熟练进行整式混合运算并利用完全平方公式变形进行运算是解题的关键． 【解题过程】 解：① ， ， ， ， ， ， 的最小值为， 故此项错误； ②设，， ， ， ， 的值是13， 故此项正确． ③， ， ， ， 关于x的多项式的展开式中的系数为， 故此项错误； ④ ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 故此项正确； 故答案为：②④． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共8小题，满分55分） 16．（8分）（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 【思路点拨】 本题考查了整式的混合运算，零指数幂、负整数指数幂，正确计算是解题的关键． （1）先计算幂的、积的乘方，再进行单项式与单项式的乘除计算； （2）先计算零指数幂、负整数指数幂，和有理数的乘方，再进行加减计算； （3）先提取负号，再用完全平方公式计算； （4）先计算平方差公式和多项式乘以多项式，再进行加减计算； （5）连续运用平方差公式计算； （6）利用多项式除以单项式法则计算； （7）先将后一项变形，再用平方差公式和完全平方公式计算； （8）先变形，再由完全平方公式计算． 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 17．（4分）（24-25七年级下·全国·期中）先化简后求值： （1），其中，． （2），其中，． 【思路点拨】 本题主要考查整式的混合运算，关键是掌握运算法则是解题的关键； （1）根据完全平方公式、平方差公式，单项式乘多项式求解得化简结果，然后代值求解即可． （2）先利用平方差公式、完全平方公式原式进行计算、合并同类项，再代入进行计算即可． 【解题过程】 （1） ； 将，代入，得 原式 ； （2） ； 将，代入化简后的式子： 原式 ． 18．（6分）（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）补充下面命题的说理过程，横线上填写结果，括号内填写依据． 已知：如图，直线相交于点O，，垂足为O，平分．请说明的理由． 理由：因为直线相交于点O（已知）， 所以（   ）． 因为平分（   ）， 所以__________（          ）， 因为（         ）， 所以， 因为（已知）， 所以_________（                  ）， 因为（                 ）， 所以（　　　　）． 【思路点拨】 本题考查了对顶角、邻补角，垂线及角平分线的定义，根据对顶角相等可得，由角平分线的定义得到，由垂直的定义得到，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【解题过程】 解：因为直线相交于点O（已知）， 所以（对顶角相等）， 因为平分（已知）， 所以（角平分线的定义）， 因为（平角的定义）， 所以， 因为（已知）， 所以（垂直的定义）， 因为（两角差的定义）， 所以（等量代换）， 故答案为：已知，对顶角相等，，角平分线的定义，平角的定义，，垂直的定义，两角差的定义，等量代换． 19．（6分）（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，一个转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“是”“附”“中”“人”“我”“骄”“傲”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． （1）转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是____________，指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是____________； （2）明明和红红利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于7画时明明获胜，否则红红获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 【思路点拨】 本题考查的是游戏公平性的判断．实际考查概率的计算与游戏公平性的理解，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）分别计算出明明、红红获胜的概率，判断大小关系即可得出答案． 【解题过程】 （1）解：转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是， “我”的笔画数是7， “是”的笔画数是9， “附”的笔画数是7， “中”的笔画数是4， “人”的笔画数是2， “我”的笔画数是7， “骄”的笔画数是9， “傲”的笔画数是12， 8个汉字中笔画数是奇数的汉字有5个， ∴指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是， 故答案为：，； （2）解：游戏不公平，理由如下： 8个汉字中笔画多于7画的有：“是”、“骄”、“傲”， 8个汉字中笔画不多于7画的有：“我”、“附”、中、人、“我”， 所以明明获胜的概率为， 红红获胜的概率为， ∴明明获胜的概率红红获胜的概率， 所以游戏不公平． 20．（6分）（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空： ； （2）若，，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系； （3）①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明： 设，，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算： ． 【思路点拨】 （1）由题意可得，然后根据定义的新运算即可直接得出答案； （2）由，可得，，由同底数幂的乘法可得，由同底数幂的除法可得，由幂的乘方可得，于是可得，由此即可得出x与y之间的关系； （3）①由，，可得，，，由可得，然后由同底数幂的乘法即可得出结论；②由可得，设，，，由探索的结论可得，即，由于，因而可得，由此即可得出答案． 【解题过程】 （1）解：由题意可得：， ， 故答案为：； （2）解：，， ，， ，， ， ， ； （3）①证明：，，， ，，， ， ， 即：， ； ②解： ， 设，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 21．（8分）（23-24七年级下·甘肃白银·期中）阅读材料： 若满足，求的值． 解：设，，则，， ∴ 请仿照上面的方法求解下列问题： （1）若满足，求的值． （2），求． （3）已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积． 【思路点拨】 （1）设，，则可得出，根据代入计算即可得出答案； （2）设，，则可得出，由，可计算出的值，则代入计算即可得出答案； （3）根据题意可得，，，由已知条件可得，阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形的面积，可得，设，，则可得出，由，即可算出的值，由代入计算即可得出答案． 【解题过程】 （1）解：（1）设，， 则， ； （2）解：设，， 则， ， ， ， ； （3）解：根据题意可得，，， ， ， 设，， 则， ， ， ． 22．（8分）（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线，是一条折线段，平分． （1）如图①，若，探究和的数量关系； （2）平分，直线交于点F ①如图②，探究和的数量关系，并说明理由； ②当点E在直线之间时，若，直接写出的度数． 【思路点拨】 本题考查了平行公理推论、平行线的性质、角平分线的定义，综合较强，正确分情况讨论，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质可得，从而可得，由此即可得； （2）①先根据角平分线的定义可得，，再过点作，过点作，则，根据平行线的性质可得，，，，从而可得，然后根据求解即可得； ②分四种情况：（Ⅰ）当点在直线之间，且为锐角，为钝角时，（Ⅱ）当点在直线之间，且和均为钝角时，（Ⅲ）当点在直线之间，且和均为锐角时，（Ⅳ）当点在直线之间，且为钝角，为锐角时，参照（2）①的方法，根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可得． 【解题过程】 （1）解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． （2）解：①，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， 如图，过点作，过点作， ∴， ∴，， ，， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴． ②∵平分，平分， ∴，． （Ⅰ）如图1，当点在直线之间，且为锐角，为钝角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅱ）如图2，当点在直线之间，且和均为钝角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅲ）如图3，当点在直线之间，且和均为锐角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅳ）如图4，当点在直线之间，且为钝角，为锐角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； 综上，的度数为或或． 23．（9分）（24-25七年级下·重庆九龙坡·阶段练习）如图，已知直线与直线相交于点，于点，且，为射线上一点，过点作的平行线，与直线相交于点，直线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，旋转所得的直线与直线相交于点，设旋转时间为． （1）求的度数； （2）为延长线上一点，分别为，的三等分线，且，． ①如图，当时，探究与的数量关系； ②当时，以上数量关系是否仍然成立？若成立，请写出推理过程，若不成立，请直接写出此时与的数量关系． （3）如图，作的角平分线，与的角平分线交于点．当直线开始旋转的同时，三角形也开始绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，得到三角形，当停止旋转时，三角形也同时停止旋转，在旋转过程中，直接写出当直线与三角形的某一边所在直线垂直时的值． 【思路点拨】 （1）证明，结合，证明，可得，再进一步可得答案； （2）①当时，如图，由题意得，可得，求解，求解，进一步可得答案； ②如图，设与相交于点，同理①可得，，，证明，整理即可； （3）分四种情况讨论：如图，当于时，如图，当于时，记与于，如图，当于时，如图，当第二次于时，再利用数形结合建立方程求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①当时，如图，由题意得， ∴， ∵， ∴， 由（），得， ∵， ∴， ∴ ， 即； ②不成立，，理由如下： 如图，设与相交于点， 同理①可得，，， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，，，作的角平分线，与的角平分线交于点． ∴，，， ∴， ∵，， 如图，当于时， ∴，， ∴， ∴， 解得：， 如图，当于时，记与于， 此时，， ∵， ∴， 解得：， 如图，当于时， 同理：，， ∴， 解得：， 如图，当第二次于时， 由对顶角相等可得：，，， ∴， 解得：， 综上：当或或或时，直线与三角形的某一边所在直线垂直． 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $$