专题01 二元一次方程组（考点串讲，4考点&3题型）七年级数学下学期新教材冀教版

七年级冀教版（2024）数学下册期中考点大串讲 串讲01 二元一次方程组(4考点&3题型) 冀教版2024 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 四大易错易混经典例题+针对训练 4道期末真题对应考点练 三大重难点题型典例剖析+强化训练+三类期末重难点突破 四大常考点：知识梳理+考点分类训练 考点透视 知识梳理 B 2 1 考点分类训练 C C 4 2 重难点题型典例剖析 D 强化训练 B C B C －1 期末重难点突破：选择恰当的方法找相等关系 2 易错易混 D 针对训练 易错点一 对二元一次方程组的概念理解有误 例1.下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） 正解：A 选项中第一个方程含未知数的项的次数是2； B选项中第二个方程分母中含有未知数，不是整式方程； C选项中共含有3个未知数.故选D. D 44 易错点二 运用加减法解方程组时出现错误 正解：①×2，得4x-2y=2.③ ②-③，得-3y=6. 解这个方程，得 y=-2. 把y=-2代入①，得x=- 所以这个方程组的解为 易错点三 三元一次方程组的消元目标不统一而出错 例3.解方程组 正解：①+③，得2x+2y=-1.④ ①×2-②，得 8x+3y=1.⑤ ④与⑤组成方程组 解这个方程组，得 把，代入②，得：. 因此，这个方程组的解为 易错点四 列方程组解决实际问题时单位不统一或理解有误 例4.某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，他打算开车前往，如果以50km/h的速度行驶，就会迟到24 min；如果以75 km/h的速度行驶，那么可以提前24 min到达求甲地到乙地的路程. 正解： 设甲地到乙地的路程为s km，由甲地到乙地的规定时间是 t h. 根据题意，得 解得 答：甲地到乙地的路程是120 km. 1.(2023春·任丘市期末)在下列方程中，是二元一次方程 的为( ____ ) A.2x-6=y B.y-1=5 C.yz=8 D. 【解析】解：A．该方程是二元一次方程，故符合题意； B．该方程是一元一次方程，故不符合题意； C．该方程符合二元二次方程的定义，故不符合题意； D．该方程不是整式方程，故不符合题意． A 押题预测 故选：A． 48 2.(2023春·湘潭县期末 )小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图(1)；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图(2)那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为3mm的小正方形，则每个小长方形的面积为( ____ ) A.120mm2 B.135mm2 C.108mm2 D.96mm2 B 【解析】解：设每个长方形的长为xmm,宽为 ymm,由题意， 得 ， 解得： ． 9×15=135(mm2)． 故选：B． 49 3.(2023春·蓬莱区期末)已知关于x、y的二元一次方程组 ． (1)当k=1时，解这个方程组； (2)若-1＜k≤1，设S=x-8y,求S的取值范围． 【解析】解：(1)k=1时，方程组为 ， ②×2得，2x+6y=10③， ③-①得，11y=11， 解得y=1， 将y=1代入②得，x+3=5，解得x=2， 所以，方程组的解是 ； 50 (2) ， ①-②得，x-8y=-3k-3， ∵-1＜k≤1， ∴-3≤-3k＜3， -6≤-3k-3＜0， ∴S的取值范围是-6≤S＜0． 3.(2023春·蓬莱区期末)已知关于x、y的二元一次方程组 ． (1)当k=1时，解这个方程组； (2)若-1＜k≤1，设S=x-8y,求S的取值范围． 51 4.(2023春·凉州区期末)为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量(人/辆) 45 60 租金(元/辆) 200 300 (1)参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ (2)若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？ 52 【解析】解：(1)设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车 根据题意，得 ， 解得 ． 答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车； (2)租45座客车：600÷45≈14(辆)，所以需租14辆，租金为200×14=2800(元)， 租60座客车：600÷60=10(辆)，所以需租10辆，租金为300×10=3000(元)， ∵2800＜3000， ∴租用14辆45座客车更合算． 53 考点一：二元一次方程及其特定解 1．下列是二元一次方程的是(　　) A．3x－6＝x　　 B．3x＝2y C.eq \f(x－1,y)＝0 D．2x－3y＝xy 2．若xa－b＋2ya＋b－2＝3是二元一次方程，那么a、b的值分别是 ， . 考点2：二元一次方程组及其解法 3．下列各方程组中，属于二元一次方程组的是(　　) A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2y＝3,x－z＝1)) B．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－3y＝6,xy＝5)) C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(y,3)＝4,4x＋3y＝2)) D．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(y,3)＝\f(1,2),x＋2y＝3)) 4．在方程eq \f(x,2)－eq \f(y,3)＝5中，用关于x的式子表示y，正确的是(　　) A．x＝eq \f(2,3)y－10 B．x＝eq \f(2,3)y＋10 C．y＝eq \f(3,2)x－15 D．y＝eq \f(3,2)x＋15 5．已知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝2))是二元一次方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＋2y＝m,nx－y＝1))的解，则m－n的值是 . 6．如果方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝7,5x－y＝9))的解是方程3x＋my＝8的一个解，则m＝ . 7．解下列方程组： (1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5x＋4y＝6 ①,2x＋3y＝1 ②))；　(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－0.3y－2＝\f(x＋1,5),\f(y－1,4)＝\f(4x＋9,20)－1)). 解：(1)①×2，得10x＋8y＝12 ③， ②×5，得10x＋15y＝5 ④， ④－③，得7y＝－7.解得y＝－1. 把y＝－1代入②，得 2x＋3×(－1)＝1.解得x＝2. ∴原方程组的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝－1))； (2)原方程组可化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1.5y＝7,4x－5y＝6))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝4,y＝2)). 考点3.二元一次方程组的应用 8．(江西中考)中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金x两、y 两，依题意，可列出方程组为　 　. eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5x＋2y＝10,2x＋5y＝8)) 9．胜利中学为表彰在教学上取得突出成绩的36名教师，准备组织这些优秀教师外出旅游．已知某旅游公司旅游线路的价格为：A种旅游线路3000元/人，B种旅游线路2000元/人，C种旅游线路1250元/人．若计划用50250元资金安排这次活动，并且要求有两种不同的旅游线路，你能设计出几种购票方案？说说你的理由． 解：∵2000×36＝72000＞50250，∴A和B不能同时为线路，故可行的线路有两种：①A和C；②B和C.①设参加线路A的有x人，线路C的有y人，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝36,3000x＋1250y＝50250))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝33)).即参加线路A的有3人，线路C的有33人；②设参加线路B的有m人，线路C的有n人，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋n＝36,2000m＋1250n＝50250))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝7,n＝29)).即参加线路B的有7人，线路C的有29人． 考点4：三元一次方程组 10．某少年活动中心备有足球、篮球、排球共100个，足球的个数比篮球与排球的个数之和多2个，篮球比排球少7个，求足球、篮球、排球的个数． 解：设少年活动中心有足球x个，篮球y个，排球z个．根据题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝100,x＝y＋z＋2,z－y＝7))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1()) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝51,y＝21,z＝28)).答：足球、篮球、排球分别有51个，21个，28个． 命题高频点1　二元一次方程组的解 【例1】在解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(mx＋2y＝6,2x＋ny＝8))时，由于粗心，小军看错了方程组中的n，得解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(7,3),y＝\f(2,3)))，小红看错了方程组中的m，得解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－2,y＝4)). (1)小军把n看成了什么数？小红把m看成了什么数？ (2)正确的解应该是怎样的？ 分析：将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(7,3),y＝\f(2,3)))代入第二个方程得错误的n值，将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－2,y＝4))代入第一个方程得错误的m值； (2)将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(7,3),y＝\f(2,3)))代入第一个方程得正确的m值，将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－2,y＝4))代入第二个方程得正确的n值． 解：(1)依题意，得2×eq \f(7,3)＋eq \f(2,3)n＝8，解得n＝5，同理，得－2m＋2×4＝6，解得m＝1.所以小军把n看成了5，小红把m看成了1；　 (2)依题意，得eq \f(7,3)m＋eq \f(4,3)＝6，解得m＝2，同理，得－4＋4n＝8，解得n＝3.∴原方程组为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋2y＝6,2x＋3y＝8))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝2)). 命题高频点2　二元一次方程组的应用 【例2】(南充中考)学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人，已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元． (1)求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元； (2)学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，送330名师生集体外出活动，最节省的租车费用是多少？ 分析：(1)可设1辆甲种客车的租金是x元，1辆乙种客车的租金是y元，根据等量关系：①1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元；②3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元，列出方程组求解即可；(2)所选车辆既要满足载客量不少于330，又必须满足8辆，有两种方案，经比较选取最少费用． 解：(1)设1辆甲种客车的租金是x元，1辆乙种客车的租金是y元．根据题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋3y＝1240,3x＋2y＝1760))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝400,y＝280)).故1辆甲种客车的租金是400元，1辆乙种客车的租金是280元；　 (2)设租用甲种客车m辆，租用乙种客车n辆，则m＋n＝8(m，n均为正整数)．经分析，只有当m＝6和m＝7时，满足载客量不少于330，即当m＝6，n＝2时，载客量为45×6＋30×2＝330(名)，租车费用为400×6＋280×2＝2960(元)；当m＝7，n＝1时，载客量为45×7＋30×1＝345(名)，租车费用为400×7＋280×1＝3080(元)．因为2960＜3080，所以租用甲种客车6辆，乙种客车2辆租车费用最少，为2960元． 命题高频点3　三元一次方程组的解法 【例3】解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5x－15y＋4z＝38 ①,x－3y＋2z＝10 ②,7x－9y＋14z＝58 ③)). 分析：注意到①中的5x－15y＝5(x－3y)，这就与②有了联系，因此，①可化为5(x－3y＋2z)－6z＝38，把②整体代入该方程中，可求出z的值，从而易得x与y的值． 解：由①得5(x－3y＋2z)－6z＝38 ④，把②整体代入④，得z＝2.把z＝2分别代入①、③，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5x－15y＝30,7x－9y＝30))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－1)).所以原方程组的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－1,z＝2)). 1．在下列方程组中，不是二元一次方程组的是(　　) A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3y＝3,y＝－1)) B．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1＝3,y＋2＝－1)) C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2y＝3,3x－2y＝－1)) D．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x,y)＝3,x－y＝4)) 2．用代入法解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝7,5x－y＝9))，最简便的是先消去未知数(　　) A．x B．y C．两个中的任何一个都一样 D．无法确定 3．解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x－y＋z＝4 ①,2x＋3y－z＝12 ②,x＋y＋z＝6 ③))时，第一次消去未知数的最佳方法是(　　) A．加减法消去x，将①－③×3与②－③×2 B．加减法消去y，将①＋③与①×3＋② C．加减法消去z，将①＋②与②＋③ D．代入法消去x、y、z中的任何一个 4．(眉山中考)已知关于x、y的二元一次方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2ax＋by＝3,ax－by＝1))的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝－1))，则a－2b的值是(　　) A．－2 B．2 C．3 D．－3 5．(台湾中考)某商店将巧克力包装成方形、圆形礼盒出售，且每盒方形礼盒的价钱相同，每盒圆形礼盒的价钱相同．阿郁原先想购买3盒方形礼盒和7盒圆形礼盒，但他身上的钱会不足240元，如果改成购买7盒方形礼盒和3盒圆形礼盒，他身上的钱会剩下240元，若阿郁最后购买10盒方形礼盒，则他身上的钱会剩下多少元？(　　) A．360 B．480 C．600 D．720 6．已知关于x、y的二元一次方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝k,x＋2y＝－1))的解互为相反数，则k的值是 . 7．(柳州中考)篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，艾美所在的球队在8场比赛中得14分．若设艾美所在的球队 胜x场，负y场，则可列出方程组为　 　. eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝8,2x＋y＝14)) 8．解方程组： (1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(7x－4y＝13 ①,5x－6y＝3 ②))； 解：①×3－②×2，得11x＝33，解得x＝3. 把x＝3代入②，得15－6y＝3，解得y＝2. 所以原方程组的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝2))； (2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x－y＋2z＝3 ①,2x＋y－3z＝11 ②,x＋y＋z＝12 ③)). 解：①＋②，得5x－z＝14 ④， ②－③，得x－4z＝－1 ⑤， ④－⑤×5，得19z＝19，解得z＝1. 把z＝1代入④，得x＝3. 把x＝3，z＝1代入③，得y＝8. 所以原方程组的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝8,z＝1)). 9．已知关于x、y的二元一次方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－3y＝a＋6,x＋2y＝2a－8))的解满足x－y＝a，求该方程组的解． 解：解方程组，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(8a－12,7),y＝\f(3a－22,7))).由题意，得eq \f(8a－12,7)－eq \f(3a－22,7)＝a，解得a＝5.所以原方程组的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝4,y＝－1)). 10．(宜昌中考)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何．”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛，是古代的一种容量单位)，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？请解答． 解：设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5x＋y＝3,x＋5y＝2))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(13,24),y＝\f(7,24))).答：1个大桶可以盛酒eq \f(13,24)斛，1个小桶可以盛酒eq \f(7,24)斛． 11．为庆祝六一儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演．甲、乙两所学校共92人(其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不足90人)准备统一购买服装参加演出．下面为某服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1～45套 46～90套 91套及以上 每套服装的价格(元/套) 60 50 40 如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5000元． (1)如果甲、乙两校联合购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？ (2)甲、乙两所学校各有多少学生准备参加演出？ (3)如果甲校有10名同学因故不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案． 解：(1)5000－40×92＝1320(元)，所以比各自购买服装共可以节省1320元；　 (2)设甲、乙两校分别有x人、y人准备参加演出，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝92,60y＋50x＝5000))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝52,y＝40))；　 (3)因为甲校有42人参加，乙校有40人参加，所以①联合购买费用：50×(42＋40)＝4100(元)；②各自购买：60×42＋40×60＝4920(元)；③联合买91套：40×91＝3640(元)，所以联合购买91套最省钱． 类型1：译式法 1．有一群鸽子，飞过一棵高高的树，一部分落在树上，其他的落在树下．树上一只鸽子对树下的鸽子说：“若你们飞上来一只，你们的数目就是鸽群的eq \f(1,3)，若我们飞下去一只，我们和你们的数目恰好相等．”问究竟有多少只鸽子在树上，多少只鸽子在树下？ 解：设有x只鸽子在树上，y只鸽子在树下，由题意知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y－1＝\f(1,3)x＋y,x－1＝y＋1))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝7,y＝5)).答：有7只鸽子在树上，5只鸽子在树下． 2．小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装修公司合作需6周完成，装修费用为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下由乙公司来做，还需9周才能完成，此时装修费用为4.8万元．若只选一个公司单独完成，从节约的角度考虑，小明家选择甲还是乙公司？请说明理由． 解：设甲、乙两家公司每周工作的效率分别为x、y.根据题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(6x＋6y＝1,4x＋9y＝1))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,10),y＝\f(1,15))).所以甲公司单独做，需10周完成，乙公司单独做，需15周完成．设甲、乙两公司一周的装修费用分别为x1万元、y1万元．根据题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(6x1＋6y1＝5.2,4x1＋9y1＝4.8))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＝\f(3,5),y1＝\f(4,15))).所以甲公司单独完成所需费用为10×eq \f(3,5)＝6(万元)，乙公司单独完成所需费用为15×eq \f(4,15)＝4(万元)，由于6＞4，故选乙公司更省钱．答：小明家应选乙公司． 3．甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙的西边300米，若甲、乙两人同时向东走，那么30分钟后，甲正好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行，2分钟后相遇，问甲、乙两人的速度各是多少？ 解：设甲的速度为x米/分，乙的速度为y米/分．根据题意，得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(30x－30y＝300,2x＋2y＝300))，解得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝80,y＝70)). 答：甲的速度为80米/分，乙的速度为70米/分． 类型2：图示法 4．在当地农业技术部门指导下，小明家增加种植菠萝的投资，使今年的菠萝喜获丰收．下图是小明爸爸、妈妈的一段对话． 请你用所学过的知识帮助李明算出他家今年菠萝的收入(收入－投资＝净赚)． 解：设小明家去年种植菠萝的收入为x元，投资y元，由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－y＝8000,1＋35%x－1＋10%y＝11800 )) ，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝12000,y＝4000)) ，所以(1＋35%)x＝1.35×12000＝16200.答：小明家今年的菠萝收入为16200元． 类型3.列表法 5．为了打造区域中心城市，实现攀枝花跨越式发展，我市花城新区建设正按投资计划有序推进．花城新区建设工程部，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方540m3，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如下表： 租金(单位： 元/台·时) 挖掘土石方量 (单位：m3/台·时) 甲型挖掘机 100 60 乙型挖掘机 120 80 (1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？ (2)如果每小时支付的租金不超过850元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有哪几种不同的租用方案？ 解：(1)设甲、乙两种型号的挖掘机各需x台、y台．依题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝8,60x＋80y＝540))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝5,y＝3)).答：甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台；　 (2)设租用m辆甲型挖掘机，n辆乙型挖掘机．依题意，得60m＋80n＝540，∴m＝9－eq \f(4,3)n，∵m、n为非负整数，∴m＝5，n＝3或m＝1，n＝6.当m＝5，n＝3时，100×5＋120×3＝860元＞850元，超出限额；当m＝1，n＝6时，100×1＋120×6＝820元＜850元，符合要求．答：有一种租车方案，即租用1辆甲型挖掘机和6辆乙型挖掘机． ●根据二元一次方程的定义，确定未知数的系数和次数中待定字母值的时候，易只关注未知数的次数是1，而忽略了系数不等于0的条件． 例1.若(m＋2)x|m|－1＋y2n＋m＝5是关于x、y的二元一次方程，则m＝ ， n＝　 　. ●判断二元一次方程组时，只关注组中每个方程，而忽略了组中共含有三个未知数． －eq \f(1,2) 例2.下列方程组中，是二元一次方程组的是(　　) A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,y)＝5,－5x－7y＝1))　 B．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(xy＝2,y－x＝3))　　　　 C．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x－2y＝0,y＋2z＝7))　　 D．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝4)) ●加减消元时，易漏乘某项系数而致错． 例3.解方程组：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(9x＋3y＝9 ①,7x＋5y＝－1 ②)). 解：①－②得2x－2y＝10，即x－y＝5，亦即5x－5y＝25 ③，②＋③得12x＝24，∴x＝2.把x＝2代入③，得y＝－3.∴原方程组的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝－3)). ●忽略集中消同一未知数导致不会解三元一次方程组． 例4.下面是小明解三元一次方程组的消元过程，当他解到第三步时，发现还是无法求出方程组的解，请帮小明分析解题的错因，并加以改正． 解方程组：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝27 ①,y＋z＝33 ②,x＋z＝30 ③)) [错解]第一步：①－②，得(消y)x－z＝－6 ④，第二步：②－③，得(消z)y－x＝3 ⑤，第三步：由④⑤组成方程组，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－z＝－6,y－x＝3))，此方程组无法求解． 解：错解原因是消元的目的不明确，消元时，应始终对同一个未知数进行，否则就达不到消元的目的． 正解：②－③，得y－x＝3 ④，由①④组成方程组，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝27,y－x＝3))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝12,y＝15))，将x＝12代入③，得z＝18. ∴方程组的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝12,y＝15,z＝18)). $$