第1章 数列 阶段复习提升课（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

数 列 第一章 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 C 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 C C 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 证 明 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 定义法 an＋1－an＝d(常数)⇔{an}是等差数列 ＝q(非零常数)⇔{an}是等比数列 中项公 式法 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔{an}是等差数列 a2n＋1＝anan＋2(an＋1anan＋2≠0)⇔{an}是等比数列 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 通项 公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列 an＝cqn(c，q均为非零常数)⇔{an}是等比数列 前n项 和公式法 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列 Sn＝kqn－k(k为常数，且q≠0，k≠0，q≠1)⇔{an}是等比数列 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 证 明 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 证 明 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 考点一　等差数列与等比数列的基本运算 　数列的基本运算以小题居多，但也可作为解答题第一步命题，主要考查利用数列的通项公式及求和公式，求数列中的项、公差、公比及前n项和等，一般试题难度较小． [例1] (1)(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　) A．25 B．22 C．20 D．15 (2)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为________. － (1)方法一　设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，依题意可得， a2＋a6＝a1＋d＋a1＋5d＝10，即a1＋3d＝5， 又a4a8＝(a1＋3d)(a1＋7d)＝45，解得d＝1，a1＝2， 所以S5＝5a1＋×d＝5×2＋10＝20. 方法二　因为a2＋a6＝2a4＝10，a4a8＝45，所以a4＝5，a8＝9， 所以d＝＝1，所以a3＝a4－d＝5－1＝4，所以S5＝5a3＝20. 故选C. (2)若q＝1，则由8S6＝7S3，得8×6a1＝7×3a1，则a1＝0，不合题意，所以q≠1. 当q≠1时，因为8S6＝7S3，所以8·＝7·， 即8·(1－q6)＝7·(1－q3)，即8·(1＋q3)·(1－q3)＝7·(1－q3)，即8·(1＋q3)＝7，解得q＝－. 在等差数列和等比数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首项a1和公比q(公差d)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，q(d)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量． [练1] (1)(2023·全国甲卷)已知正项等比数列{an}中，a1＝1，Sn为{an}前n项和，S5＝5S3－4，则S4＝(　　) A．7 B．9 C．15 D．30 (2)某单位组织全体党员在报告厅集体收看党的二十大开幕式，认真聆听习近平总书记向大会所作的报告．已知该报告厅共有10排座位，共有180个座位，并且从第二排起，每排比前一排多2个座位，则最后一排的座位数为(　　) A．23 B．25 C．27 D．29 (1)由题知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，即q3＋q4＝4q＋4q2，即q3＋q2－4q－4＝0，即(q－2)(q＋1)·(q＋2)＝0. 由题知q>0，所以q＝2，所以S4＝1＋2＋4＋8＝15.故选C. (2)根据题意，可将各排座位数看作等差数列，设等差数列通项为an，首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则d＝2，S10＝180， 因为S10＝10a1＋d＝10a1＋×2＝10a1＋90＝180，所以a1＝9，即得a10＝a1＋9d＝9＋9×2＝27. 考点二　等差数列与等比数列的判定 　判断等差或等比数列是数列中的重点内容，经常在解答题中出现，对给定条件进行变形是解题的关键所在，经常利用此类方法构造等差或等比数列． [例2] 已知数列{an}中，a1＝2，an＝2－(n≥2，n∈N＋)，设bn＝(n∈N＋). (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求{an}的通项公式． (1) 因为an＝2－，所以an＋1＝2－， 则bn＋1－bn＝－＝－＝＝1， 所以{bn}是首项为b1＝＝1，公差为1的等差数列． (2) 由(1)得bn＝1＋(n－1)×1＝n，又bn＝＝n(n∈N＋)，解得an＝1＋， 所以{an}的通项公式为an＝1＋(n∈N＋). 判定一个数列是等差或等比数列的方法 [练2] 数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N＋). (1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列； (2)设cn＝，求证：{cn}是等比数列． (1)由Sn＋1＝4an＋2(n∈N＋)可得当n＝1时，S2＝a1＋a2＝4a1＋2， 又a1＝1，则a2＝5； 当n≥2时，an＋1＝Sn＋1－Sn＝4an＋2－(4an－1＋2)， 即an＋1＝4an－4an－1，故an＋1－2an＝2(an－2an－1)， 即bn＝2bn－1，由b1＝a2－2a1＝3，可知bn≠0， 故＝2，故{bn}是首项为3，公比为2的等比数列． (2)由(1)可得bn＝3×2n－1，故an＋1－2an＝3×2n－1， 所以－＝，即为等差数列，首项为，公差为， 所以＝＋(n－1)，即an＝(3n－1)×2n－2， 所以cn＝＝2n－2，则＝＝2，故{cn}是公比为2的等比数列． 考点三　数列求和 　数列求和一直是考查的热点，在命题中，多与不等式的证明或求解相结合的形式出现．一般数列的求和，主要是将其转化为等差数列或等比数列的求和问题，题型多以解答题的形式出现，难度中等． [例3] (2023·全国甲卷)已知数列{an}中，a2＝1，设Sn为{an}前n项和，2Sn＝nan. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列前n项和Tn. (1)因为2Sn＝nan， 所以当n＝1时，2a1＝a1，即a1＝0； 当n＝3时，2(1＋a3)＝3a3，即a3＝2， 当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－1，所以2(Sn－Sn－1)＝nan－(n－1)an－1＝2an， 化简得(n－2)an＝(n－1)an－1，当n≥3时，＝＝…＝＝1，即an＝n－1， 当n＝1，2，3时都满足上式，所以an＝n－1(n∈N＋). (2)因为＝，所以Tn＝1×1＋2×2＋3×3＋…＋n×n， Tn＝1×2＋2×3＋…＋(n－1)×n＋n×n＋1， 两式相减得， Tn＝1＋2＋3＋…＋n－n×n＋1 ＝－n×n＋1 ＝1－n，即Tn＝2－(2＋n)n，n∈N＋. 数列求和的常用方法 (1)错位相减法：适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列．把Sn＝a1＋a2＋…＋an两边同乘以相应等比数列的公比q，得到qSn＝a1q＋a2q＋…＋anq，两式错位相减即可求出Sn. (2)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中{an}是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列． (3)拆项分组法：把数列的每一项拆成两项(或多项)，再重新组合成两个(或多个)简单的数列，最后分别求和． (4)并项求和法：与拆项分组相反，并项求和是把数列的两项(或多项)组合在一起，重新构成一个数列再求和，一般适用于正负相间排列的数列求和，注意对数列项数(是奇数还是偶数)的讨论． [练3] 已知等差数列{an}满足a1＝1，a2＋a5＝2(a3＋1). (1)求{an}的通项公式； (2)设{an}的前n项和为Sn，求数列的前n项和Tn. (1)设等差数列{an}的公差为d， 由a1＝1，a2＋a5＝2(a3＋1)，得2＋5d＝2(1＋2d＋1)，解得d＝2， 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1. (2)由(1)得Sn＝＝＝n2， 所以＝＝＝－， 所以Tn＝＋＋＋…＋＝1－＝. $$