专题14 转化思想与图形综合（8类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（陕西专用）

专题14 转化思想与图形综合（13题） 考点 考向 考点一 线段的等量代换 考向一 利用对称性转化线段 考向二 构造全等转化线段 考点二 转化面积 考向一 利用角平分线的性质进行等积变形 考向二 利用中心对称的性质进行等积变形 考向三 构造全等进行等积变形 考点三 距离最值 考向一 根据对称性转化线段再利用共线求最值（将军饮马问题） 考向二 圆外一点到圆上的点的距离最值 考向三 隐圆（辅助圆） 考点一 线段等量代换 ►考向一 利用对称性转化线段 1．（2023·陕西·中考真题）如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为 ．    ►考向二 构造全等转化线段 方法点拨：根据菱形的性质，构造两个相等的对应角（其中一个为直角） 2．（2022·陕西·中考真题）如图，在菱形中，．若M、N分别是边上的动点，且，作，垂足分别为E、F，则的值为 ． 考点二 转化面积 ►考向一 利用角平分线的性质进行等积变形 转化思想解读：①利用角平分线构造全等；②转化线段；③等底等高的两个三角形面积相等 如图，P是∠MON平分线上一点，PA⊥OM于点A. 如图，P是∠MON平分线上一点，AP⊥OP交OM于点A 如图，P是∠MON平分线上一点，A是射线OM上一点. 作法：过点P作PB⊥ON于点B. 结论：PB＝PA 作法：延长AP交ON于点B. 结论：AP=BP， △AOB是等腰三角形. 作点A关于OP的对称点B，连接PB. 结论：△PAO≌△PBO 其他模型：也可利用中线、垂直平分线构造全等转化线段 3．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． ►考向二 利用中心对称的性质进行等积变形 方法点拨：找对称中心解面积（周长）等分问题 n等分面积 方法与结论 图例 二等分面积 适合图形：平行四边形、矩形、菱形和正方形 （中心对称图形） 过其对称中心的任意一条直线，均可将它们的面积和周长分成相等的两部分 ①作四边形的对角线，确定对称中心； ②过对称中心作直线 ③原理：由对称性证明全等三角形 O为平行四边形的对称中心，EF为过点O的任意直线，有： C四边形AEFB＝C四边形DEFC； S四边形AEFB＝S四边形DEFC； *四等分平行四边形的面积图例 EF、GH四等均分平行四边形的面积满足条件AE:DH=AD:CD （也适用于矩形） 原理：两个三角形的底之比为高之比的倒数→面积相等 EF、GH四等均分菱形的面积满足条件：AE=DH（BE=AH） 原理：①对称中心点O到四条边的距离相等 ②等底等高的两个三角形的面积相等 【考查角度1】n等分平行四边形的面积 4．（2020·陕西·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为 ．    【考查角度2】三角形的面积比 5．（2018·陕西·中考真题）点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F分别是AB边上的点，且EF＝AB；G、H分别是BC边上的点，且GH＝BC；若S1,S2分别表示∆EOF和∆GOH的面积，则S1,S2之间的等量关系是 ►考向三 构造全等进行等积变形 方法点拨：构造全等 类型1.半角模型：在一个角内部(外部)含一个角等于该角的一半 正方形含半角：∠EDF＝45° 辅助线：旋转△ADE构全等 结论： △DEF≌△DMF； DC＝DG； EF＝MF＝CM＋CF＝AE＋CF 等腰直角三角形含半角：∠DAE＝45° 辅助线：旋转△ABD构全等 结论： △ADE≌△AFE；∠ECF＝90°； BD2＋CE2＝CF2＋CE2＝EF2＝DE2 等边三角形含半角：∠EDF＝60° 辅助线：旋转△BDE构全等 结论： △DEF≌△DGF； EF＝GF＝BE＋CF 类型2.对角互补模型：在一个四边形中，相对的两个角互补 含两个直角+一组邻边相等 含两个直角+邻边不相等 不含直角+一组邻边相等 不含直角+邻边不相等 类型3.共顶点等邻边(常见于等边三角形、等腰直角三角形、正方形中):利用邻边相等旋转三角形构造全等 P是等边三角形内一点，连接点P与三角形三个顶点，作旋转(旋转三个小三角形中的一个)构全等； △BPP'为等边三角形 △APP'为等腰直角三角形 P是等腰直角三角形内(外)一点，连接点P与三角形三个顶点，作旋转(旋转AB或AC一边所在的小三角形，使AB与AC重合)构全等；△APP'为等腰直角三角形 ※应用拓展：到三角形三个顶点距离之和最小的点（费马点）的位置 问题与方法 解题思路 图示 问题：在△ABC内有一动点P,求点P到三角形三个顶点的距离之和PA＋PB＋PC的最小值？ 方法：将点P与原三角形一边组成的三角形绕原三角形一顶点旋转60°，构造等边三角形并转化线段：将PA，PB，PC三条折线段转化为一条直线段 如图，将△APC绕点A逆时针旋转60°到△AQE，连接PQ，△APQ为等边三角形，PA＋PB＋PC＝PQ＋PB+QE即当B，P，Q，E四点共线时，PA＋PB＋PC的值最小，最小值为BE的长 6．（2017·陕西·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC．若AC=6，则四边形ABCD的面积为 ． 考点三 距离最值 ►考向一 根据对称性转化线段再利用共线求最值（将军饮马问题） n点共线求最值（原理：两点之间线段最短） 问题类型 问题与条件 方法与结论 线段和的最小值 动点所在的直线给定 条件：两定点在直线异侧，动点在直线上 问题：点A，B在直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小 结论：PA＋PB的最小值为AB的长 条件：两定点在直线同侧，动点在直线上 问题：点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小 结论：PA＋PB的最小值为AB'的长 线段和的最小值 动点所在的直线未给 条件：动点到两定点连线的距离为定长，两定点在直线同侧 问题：P是线段AB上方一动点且到AB的距离为定值，确定一点P，使AP＋BP的值最小 ①先确定动点所在的直线l ②作点A(B)关于l的对称点A'(B') 结论：PA＋PB的最小值为AB'(BA')的长 线段差的最大值 条件：两点在直线同侧，动点在直线上 问题：点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使|PA－PB|的值最大 结论：PA＋PB的最小值为AB的长 条件：两点在直线异侧， 问题：点A，B在直线l异侧，在直线l上找一点P，使|PA－PB|的值最大 结论：|PA－PB|的最大值为AB'的长 三角形与四边形 周长最小值 条件： 一定点在角内，两动点在角的两边上 问题： 点P在∠AOB内部，在射线OA，OB上分别求点M，N，使△PMN的周长最小 结论：△PMN周长的最小值为P'P″的长 其它模型 n点共线求最值（原理：垂线段最短） 定点与两动点求线段和的最小值 条件：一定点在角外，两动点在角的两边上 问题：P是∠AOB外(在水平直线上方)一定点，在OA， OB上分别求点M，N，使PM＋MN的值最小 PM＋MN的最小值为垂线段PN的长 条件：一定点在角内，两动点在角的两边上 问题：P是∠AOB内一定点，在OA上确定一点M，在OB上确定一点N，使PM＋MN的值最小 PM＋MN的最小值为垂线段P'N的长 条件：一定点一动点在角的同一边上，另一动点在角平分线上 问题：M是∠AOB的边OB上一定点，N是OB上一动点，在∠AOB的平分线上确定一点P，使PM＋PN的值最小 PM＋PN的最小值为垂线段MH的长 7．（2019·陕西·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6. P为对角线BD上一点，则PM—PN的最大值为 . ►考向二 圆外一点到圆上的点的距离最值 8．（2021·陕西·中考真题）如图，正方形的边长为4，的半径为1．若在正方形内平移（可以与该正方形的边相切），则点A到上的点的距离的最大值为 ． ►考向三 隐圆（辅助圆） 辅助圆（动点轨迹为圆的作图方法） 类型 条件和结论 图例 定点定长定圆 出现“定点、定长” 原理——圆的定义： 动点到定点(圆)）距离等于定长(半径) ①作辅助圆；②分析动点的运动轨迹：圆或圆中的一段弧； ③一般会结合点圆求最值. 翻折、对称、旋转变换中： 求FB’的最值 定角定边定圆 条件：C为动点，∠C为定角，AB为定边 结论：点C在的外接圆上 当CA=CB时，点C到AB距离最大， 此时，的面积最大。 ∠AOB=2∠ACB ∠AOB=2(180°-∠AOB) 定角定高不定圆 条件:D为动点，E，F为直线AB上的动点，∠EDF为定角，DC⊥EF，DC为定高 结论：点D在的外接圆上 当圆心在DC上，弦长EF取最小值， 此时△DEF面积、周长最小 → 此时DE＝DF，即△DEF为等腰三角形， 四点共圆 适用条件：出现两个三角形共用一条边且边所对的两个角相等或出现四边形对角互补 90°圆周角所对弦为直径： 共用边为直径   C、D为动点，A，B，C，D四点共圆，圆心是AB的中点 等圆周角所对的弦相等： ∠ACB＝∠ADB， C、D为动点， A，B，C，D四点共圆 圆内接四边形对角互补，或一个外角等于内对角 C、A为动点， A，B，C，D四点共圆 9．（2016·陕西·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为 ．    1．（2025·陕西·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，且，点M、N分别在线段、上，连接，，点P为的中点，连接、，则的最小值为 ． 2．如图，边长为2的正方形的边的中点为，正方形所在平面内有一个到点的距离始终为1的动点，以为直角边作等腰直角，则斜边的最大值为 ，最小值为 ． 3．点A为矩形的边延长线上一点，，，点F为边上的动点，连接，过点F作，垂足为G，点H是点A关于点D的对称点，则的最小值为 ． 4．（2025·陕西西安·二模）已知矩形，，，将矩形绕逆时针旋转，得到矩形，点、、的对应点分别是点，，．连接，点是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，点M 为边上一点，以点M为圆心，为半径作， 交x轴于点 D， 连接交于点E， 连接， 点 F 为中点，则的最小值为 ． 6．（2025·陕西·模拟预测）如图，在菱形中，，，点分别在边和上，且．当的面积最大时，的面积为 ． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，五边形，已知，，，，，，求出最小时四边形面积的最大值为 ． 8．如图所示， 在中，，， 点P是线段上的一个动点(点 P可与点A重合)， 过点P作于点 R， 作的平分线交于点G， 在线段上截取， 过点D作交于点E， 过点P作交于点F，此时四边形恰好为正方形，在点P从点A开始的运动过程中，正方形面积的最小值为 ，最大值为 ． 9．（2025·陕西西安·三模）如图，已知平行四边形，，E、F分别为、上的点，连接，若于点E，且平分平行四边形的面积，过E作于点P，连接，则的最大值为 ． 10．如图，工人师傅将一块锐角三角形的铁片通过切割加工成矩形铁片，已知的边长，高，若矩形铁片的一边在边上，点，分别在，边上，若满足，则矩形铁片的面积为 ． 11．如图，在矩形中，，点O是对角线的中点，点M在上且，点D关于的对称点为，直线交于点P，交于点Q，则 ． 12．（2025·陕西西安·二模）如图，在矩形中，点在上，连接，，过点作平分交于点，点是上的动点，过点分别作于点，作于点，过点作且，连接，若，则四边形的周长为 ． 13．（2024·陕西咸阳·三模）如图，分别以平行四边形的边和为直角边，向平行四边形内作等腰和等腰，在的斜边、的斜边上分别取点，连接，四边形为正方形，若平行四边形的面积为4，则的面积为 ．    14．如图，在矩形中，，点 E，F分别是线段的中点，将绕点 B 顺时针旋转至，点E，F 的对应点分别是，边与线段的交点为 O，当被分得的与中有一个是等腰三角形时，这个等腰三角形的面积是 ． 5．如图，点为线段上的动点（点不与点、重合），分别以、为斜边构造等腰直角三角形、等腰直角三角形，点与点在的同侧，于点，于点，点为的中点．若，则下列结论正确的有 ．（填序号） ①线段的长为定值；②四边形的面积为定值；③线段的长为定值；④周长的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 转化思想与图形综合（13题） 考点 考向 考点一 线段的等量代换 考向一 利用对称性转化线段 考向二 构造全等转化线段 考点二 转化面积 考向一 利用角平分线的性质进行等积变形 考向二 利用中心对称的性质进行等积变形 考向三 构造全等进行等积变形 考点三 距离最值 考向一 根据对称性转化线段再利用共线求最值（将军饮马问题） 考向二 圆外一点到圆上的点的距离最值 考向三 隐圆（辅助圆） 考点一 线段等量代换 ►考向一 利用对称性转化线段 1．（2023·陕西·中考真题）如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为 ．    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】由题意知是等腰直角三角形，作点关于的对称点，则在直线上，连接，，．即，，，所以此时、、三点共线且，点在的中点处，，可求出． 【详解】解：， 是等腰直角三角形， 作点关于的对称点，则在直线上，连接，如图：   ． ，即， 此时、、三点共线且，点在的中点处， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质和等腰直角三角形的性质，作出适当的辅助线是解题关键． ►考向二 构造全等转化线段 方法点拨：根据菱形的性质，构造两个相等的对应角（其中一个为直角） 2．（2022·陕西·中考真题）如图，在菱形中，．若M、N分别是边上的动点，且，作，垂足分别为E、F，则的值为 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长 【分析】连接AC交BD于点O，过点M作MG//BD交AC于点G，则可得四边形MEOG是矩形，以及，从而得NF=AG，ME=OG，即NR+ME=AO，运用勾股定理求出AO的长即可． 【详解】解：连接AC交BD于点O，如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BO=，AD//BC， ∴ 在Rt中，AB=4，BO=， ∵， ∴ 过点M作MG//BD交AC于点G， ∴, ∴ 又 ∴， ∴四边形MEOG是矩形， ∴ME=OG， 又 ∴ ∴ 在和中， , ∴≌ ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 考点二 转化面积 ►考向一 利用角平分线的性质进行等积变形 转化思想解读：①利用角平分线构造全等；②转化线段；③等底等高的两个三角形面积相等 如图，P是∠MON平分线上一点，PA⊥OM于点A. 如图，P是∠MON平分线上一点，AP⊥OP交OM于点A 如图，P是∠MON平分线上一点，A是射线OM上一点. 作法：过点P作PB⊥ON于点B. 结论：PB＝PA 作法：延长AP交ON于点B. 结论：AP=BP， △AOB是等腰三角形. 作点A关于OP的对称点B，连接PB. 结论：△PAO≌△PBO 其他模型：也可利用中线、垂直平分线构造全等转化线段 3．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】60 【知识点】角平分线的性质定理、等边对等角、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点作，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到，得到，进而得到四边形的面积等于，设，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 过点作，， 则：， ∵，且， ∴， ∴四边形的面积， ∵， ∴， 设，则：， 由勾股定理，得：， ∴， 解：， ∴， ∴， ∴四边形的面积为60． 故答案为：60． ►考向二 利用中心对称的性质进行等积变形 方法点拨：找对称中心解面积（周长）等分问题 n等分面积 方法与结论 图例 二等分面积 适合图形：平行四边形、矩形、菱形和正方形 （中心对称图形） 过其对称中心的任意一条直线，均可将它们的面积和周长分成相等的两部分 ①作四边形的对角线，确定对称中心； ②过对称中心作直线 ③原理：由对称性证明全等三角形 O为平行四边形的对称中心，EF为过点O的任意直线，有： C四边形AEFB＝C四边形DEFC； S四边形AEFB＝S四边形DEFC； *四等分平行四边形的面积图例 EF、GH四等均分平行四边形的面积满足条件AE:DH=AD:CD （也适用于矩形） 原理：两个三角形的底之比为高之比的倒数→面积相等 EF、GH四等均分菱形的面积满足条件：AE=DH（BE=AH） 原理：①对称中心点O到四条边的距离相等 ②等底等高的两个三角形的面积相等 【考查角度1】n等分平行四边形的面积 4．（2020·陕西·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为 ．    【答案】2． 【知识点】利用菱形的性质求线段长 【分析】过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，可得矩形AGHE，再根据菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，可得BG＝3，AG＝3＝EH，由题意可得，FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，进而根据勾股定理可得EF的长． 【详解】解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H， 得矩形AGHE， ∴GH＝AE＝2，    ∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°， ∴BG＝3，AG＝3＝EH， ∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1， ∵EF平分菱形面积， ∴FC＝AE＝2， ∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1， 在Rt△EFH中，根据勾股定理，得 EF＝＝＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 【考查角度2】三角形的面积比 5．（2018·陕西·中考真题）点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F分别是AB边上的点，且EF＝AB；G、H分别是BC边上的点，且GH＝BC；若S1,S2分别表示∆EOF和∆GOH的面积，则S1,S2之间的等量关系是 【答案】2S1＝3S2 【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】过点O分别作OM⊥BC，垂足为M，作ON⊥AB，垂足为N，根据点O是平行四边形ABCD的对称中心以及平行四边形的面积公式可得AB•ON=BC•OM，再根据S1=EF•ON，S2=GH•OM，EF＝AB，GH＝BC，则可得到答案． 【详解】过点O分别作OM⊥BC，垂足为M，作ON⊥AB，垂足为N， ∵点O是平行四边形ABCD的对称中心， ∴S平行四边形ABCD=AB•2ON， S平行四边形ABCD=BC•2OM， ∴AB•ON=BC•OM， ∵S1=EF•ON，S2=GH•OM，EF＝AB，GH＝BC， ∴S1=AB•ON，S2=BC•OM， ∴2S1＝3S2， 故答案为2S1＝3S2． 【点睛】本题考查了平行四边形的面积，中心对称的性质，正确添加辅助线、准确表示出图形面积是解题的关键． ►考向三 构造全等进行等积变形 方法点拨：构造全等 类型1.半角模型：在一个角内部(外部)含一个角等于该角的一半 正方形含半角：∠EDF＝45° 辅助线：旋转△ADE构全等 结论： △DEF≌△DMF； DC＝DG； EF＝MF＝CM＋CF＝AE＋CF 等腰直角三角形含半角：∠DAE＝45° 辅助线：旋转△ABD构全等 结论： △ADE≌△AFE；∠ECF＝90°； BD2＋CE2＝CF2＋CE2＝EF2＝DE2 等边三角形含半角：∠EDF＝60° 辅助线：旋转△BDE构全等 结论： △DEF≌△DGF； EF＝GF＝BE＋CF 类型2.对角互补模型：在一个四边形中，相对的两个角互补 含两个直角+一组邻边相等 含两个直角+邻边不相等 不含直角+一组邻边相等 不含直角+邻边不相等 类型3.共顶点等邻边(常见于等边三角形、等腰直角三角形、正方形中):利用邻边相等旋转三角形构造全等 P是等边三角形内一点，连接点P与三角形三个顶点，作旋转(旋转三个小三角形中的一个)构全等； △BPP'为等边三角形 △APP'为等腰直角三角形 P是等腰直角三角形内(外)一点，连接点P与三角形三个顶点，作旋转(旋转AB或AC一边所在的小三角形，使AB与AC重合)构全等；△APP'为等腰直角三角形 ※应用拓展：到三角形三个顶点距离之和最小的点（费马点）的位置 问题与方法 解题思路 图示 问题：在△ABC内有一动点P,求点P到三角形三个顶点的距离之和PA＋PB＋PC的最小值？ 方法：将点P与原三角形一边组成的三角形绕原三角形一顶点旋转60°，构造等边三角形并转化线段：将PA，PB，PC三条折线段转化为一条直线段 如图，将△APC绕点A逆时针旋转60°到△AQE，连接PQ，△APQ为等边三角形，PA＋PB＋PC＝PQ＋PB+QE即当B，P，Q，E四点共线时，PA＋PB＋PC的值最小，最小值为BE的长 6．（2017·陕西·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC．若AC=6，则四边形ABCD的面积为 ． 【答案】18 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质与判定求面积 【详解】解：如图，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延长线于点N； ∵∠BAD=∠BCD=90°， ∴四边形AMCN为矩形，∠MAN=90°； ∵∠BAD=90°， ∴∠BAM=∠DAN； 在△ABM与△ADN中， ∵∠BAM=∠DAN，∠AMB=∠AND，AB=AD， ∴△ABM≌△ADN（AAS）， ∴AM=AN，△ABM与△ADN的面积相等； ∴四边形AMCN为正方形， ∴四边形ABCD的面积=正方形AMCN的面积； ∵AC2=AM2+MC2， AC=6； ∴2AM2=36，即AM2=18， 即四边形ABCD的面积为18． 故答案为18 考点三 距离最值 ►考向一 根据对称性转化线段再利用共线求最值（将军饮马问题） n点共线求最值（原理：两点之间线段最短） 问题类型 问题与条件 方法与结论 线段和的最小值 动点所在的直线给定 条件：两定点在直线异侧，动点在直线上 问题：点A，B在直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小 结论：PA＋PB的最小值为AB的长 条件：两定点在直线同侧，动点在直线上 问题：点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小 结论：PA＋PB的最小值为AB'的长 线段和的最小值 动点所在的直线未给 条件：动点到两定点连线的距离为定长，两定点在直线同侧 问题：P是线段AB上方一动点且到AB的距离为定值，确定一点P，使AP＋BP的值最小 ①先确定动点所在的直线l ②作点A(B)关于l的对称点A'(B') 结论：PA＋PB的最小值为AB'(BA')的长 线段差的最大值 条件：两点在直线同侧，动点在直线上 问题：点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使|PA－PB|的值最大 结论：PA＋PB的最小值为AB的长 条件：两点在直线异侧， 问题：点A，B在直线l异侧，在直线l上找一点P，使|PA－PB|的值最大 结论：|PA－PB|的最大值为AB'的长 三角形与四边形 周长最小值 条件： 一定点在角内，两动点在角的两边上 问题： 点P在∠AOB内部，在射线OA，OB上分别求点M，N，使△PMN的周长最小 结论：△PMN周长的最小值为P'P″的长 其它模型 n点共线求最值（原理：垂线段最短） 定点与两动点求线段和的最小值 条件：一定点在角外，两动点在角的两边上 问题：P是∠AOB外(在水平直线上方)一定点，在OA， OB上分别求点M，N，使PM＋MN的值最小 PM＋MN的最小值为垂线段PN的长 条件：一定点在角内，两动点在角的两边上 问题：P是∠AOB内一定点，在OA上确定一点M，在OB上确定一点N，使PM＋MN的值最小 PM＋MN的最小值为垂线段P'N的长 条件：一定点一动点在角的同一边上，另一动点在角平分线上 问题：M是∠AOB的边OB上一定点，N是OB上一动点，在∠AOB的平分线上确定一点P，使PM＋PN的值最小 PM＋PN的最小值为垂线段MH的长 7．（2019·陕西·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6. P为对角线BD上一点，则PM—PN的最大值为 . 【答案】2. 【知识点】四边形中的线段最值问题、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】如图所示，以BD为对称轴作N的对称点，连接，根据对称性质可知，，由此可得，当三点共线时，取“=”，此时即PM—PN的值最大，由正方形的性质求出AC的长，继而可得，，再证明，可得PM∥AB∥CD，∠90°，判断出△为等腰直角三角形，求得长即可得答案. 【详解】如图所示，以BD为对称轴作N的对称点，连接，根据对称性质可知，，∴，当三点共线时，取“=”， ∵正方形边长为8， ∴AC=AB=， ∵O为AC中点， ∴AO=OC=， ∵N为OA中点， ∴ON=， ∴， ∴， ∵BM=6， ∴CM=AB-BM=8-6=2， ∴， ∴PM∥AB∥CD，∠90°， ∵∠=45°， ∴△为等腰直角三角形， ∴CM==2， 故答案为2. 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的判定与性质，最值问题等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. ►考向二 圆外一点到圆上的点的距离最值 8．（2021·陕西·中考真题）如图，正方形的边长为4，的半径为1．若在正方形内平移（可以与该正方形的边相切），则点A到上的点的距离的最大值为 ． 【答案】 【知识点】圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【分析】由题意易得当与BC、CD相切时，切点分别为F、G，点A到上的点的距离取得最大，进而根据题意作图，则连接AC，交于点E，然后可得AE的长即为点A到上的点的距离为最大，由题意易得，则有△OFC是等腰直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质可得，最后问题可求解． 【详解】解：由题意得当与BC、CD相切时，切点分别为F、G，点A到上的点的距离取得最大，如图所示： 连接AC，OF，AC交于点E，此时AE的长即为点A到上的点的距离为最大，如图所示， ∵四边形是正方形，且边长为4， ∴， ∴△OFC是等腰直角三角形，， ∵的半径为1， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点A到上的点的距离的最大值为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、切点的性质定理及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、切点的性质定理及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键． ►考向三 隐圆（辅助圆） 辅助圆（动点轨迹为圆的作图方法） 类型 条件和结论 图例 定点定长定圆 出现“定点、定长” 原理——圆的定义： 动点到定点(圆)）距离等于定长(半径) ①作辅助圆；②分析动点的运动轨迹：圆或圆中的一段弧； ③一般会结合点圆求最值. 翻折、对称、旋转变换中： 求FB’的最值 定角定边定圆 条件：C为动点，∠C为定角，AB为定边 结论：点C在的外接圆上 当CA=CB时，点C到AB距离最大， 此时，的面积最大。 ∠AOB=2∠ACB ∠AOB=2(180°-∠AOB) 定角定高不定圆 条件:D为动点，E，F为直线AB上的动点，∠EDF为定角，DC⊥EF，DC为定高 结论：点D在的外接圆上 当圆心在DC上，弦长EF取最小值， 此时△DEF面积、周长最小 → 此时DE＝DF，即△DEF为等腰三角形， 四点共圆 适用条件：出现两个三角形共用一条边且边所对的两个角相等或出现四边形对角互补 90°圆周角所对弦为直径： 共用边为直径   C、D为动点，A，B，C，D四点共圆，圆心是AB的中点 等圆周角所对的弦相等： ∠ACB＝∠ADB， C、D为动点， A，B，C，D四点共圆 圆内接四边形对角互补，或一个外角等于内对角 C、A为动点， A，B，C，D四点共圆 9．（2016·陕西·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为 ．    【答案】． 【知识点】利用菱形的性质证明、解直角三角形的相关计算 【详解】解：如图连接AC、BD交于点O，以B为圆心BC为半径画圆交BD于P．此时△PBC是等腰三角形，线段PD最短， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， ∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠ADC=60°， ∴△ABC，△ADC是等边三角形， ∴BO=DO=×2=，∴BD=2BO=， ∴PD最小值=BD﹣BP=． 故答案为．    【点睛】本题考查菱形的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的性质；最值问题． 1．（2025·陕西·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，且，点M、N分别在线段、上，连接，，点P为的中点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】12 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质求线段长、其他问题(轴对称综合题) 【分析】本题涉及到矩形的性质及判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及利用轴对称求最短路径的知识点． 连接，，作点关于直线的对称点，交的延长线于，连接，，先根据矩形性质和已知条件得出四边形是平行四边形，进而得到四边形是矩形，将转化为；再利用点P是中点及长度固定，确定点P的运动轨迹；最后根据两点之间线段最短，用勾股定理求出的最小值． 【详解】解：连接，，作点关于直线的对称点，交的延长线于，连接，， ， 矩形中，，， ， ， 四边形 是平行四边形， 是矩形， ， ， ， ， ， ， 中，， ，点P为的中点，， ， 点在以点为圆心，为半径的弧上， ， 四点共线时，最小， 此时，最小， 即最小， ， 故答案为：12． 2．如图，边长为2的正方形的边的中点为，正方形所在平面内有一个到点的距离始终为1的动点，以为直角边作等腰直角，则斜边的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、求一点到圆上点距离的最值 【分析】此题考查了正方形的性质、圆外一点到圆上点的距离的最值等知识， 先确定点位于以点为圆心，半径为1的圆上．连接交于点，延长交于点，则，进一步求解即可． 【详解】解：由题意可知，点位于以点为圆心，半径为1的圆上．如图，连接交于点，延长交于点，则， ∵边长为2的正方形的边的中点为， ∴ ∴， ∴， 由图可知，的最大值为，最小值为， ∵以为直角边作等腰直角， ∴斜边始终为的倍． 的最大值为，最小值为． 故答案为：， 3．点A为矩形的边延长线上一点，，，点F为边上的动点，连接，过点F作，垂足为G，点H是点A关于点D的对称点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据成轴对称图形的特征进行求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，连接，，过H作于K，证明四边形是平行四边形，得出，则，故当三点共线时，最小，最小值为，证明，根据相似的性质求出，，然后在中，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，，过H作于K， ∵矩形， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当三点共线时，最小，最小值为， 在中，，，， ∴， ∵点H是点A关于点D的对称点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 4．（2025·陕西西安·二模）已知矩形，，，将矩形绕逆时针旋转，得到矩形，点、、的对应点分别是点，，．连接，点是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、圆的基本概念辨析、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转，矩形的性质，勾股定理，圆的概念等知识，连接，相交于O，连接，，根据矩形的性质和勾股定理可求出，，，根据旋转的性质可求出，根据三角形中位线定理可求出，则点P在以O为圆心，为半径的圆上运动，故当点O在上时，最大，最大值为，即可求解． 【详解】解：连接，相交于O，连接，， 在矩形，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴点P在以O为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点O在上时，最大，最大值为， 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，点M 为边上一点，以点M为圆心，为半径作， 交x轴于点 D， 连接交于点E， 连接， 点 F 为中点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、求一点到圆上点距离的最值、根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】如图所示，连接，取中点H，连接，取中点G，连接，由矩形的性质得到，进而得到，，证明，则，再证明为的中位线，得到，则点F在以点G为圆心，半径为1的圆上运动，故当三点共线且点F在上时，有最小值，利用勾股定理得到，则． 【详解】解；如图所示，连接，取中点H，连接，取中点G，连接， ∵四边形为矩形，， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴点F在以点G为圆心，半径为1的圆上运动， ∴当三点共线且点F在上时，有最小值， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，矩形的性质，三角形中位线定理，圆周角定理，直角三角形的性质，坐标与图形，勾股定理等等，正确作出辅助线推出点F的运动轨迹是解题的关键． 6．（2025·陕西·模拟预测）如图，在菱形中，，，点分别在边和上，且．当的面积最大时，的面积为 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、利用垂径定理求值、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查菱形的性质、垂径定理、锐角三角函数、隐形圆求最值问题等知识，利用圆的相关知识得到的面积最大是解答的关键．作的外接圆，设圆心为O，过O作于H，过A作于P，由，当A、O、H共线时取等号，此时最大，点P、H重合，，则的面积最大；设、相交于，由菱形的性质和锐角三角函数分别求得，再由垂径定理和等腰三角形的性质证得点A、O、P、、C共线，进而求得，则，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴作的外接圆，设圆心为O，过O作于H，过A作于P，如图，则， ∴，当A、O、H共线时取等号，此时最大，点P、H重合，， ∵， ∴最大时，的面积最大； 如图1，设、相交于， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴点A、O、P、、C共线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，五边形，已知，，，，，，求出最小时四边形面积的最大值为 ． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、圆周角定理、利用平行四边形的判定与性质求解、等边三角形的判定和性质 【分析】过点F作的垂线，垂足为P，令，用含的代数式表示，利用配方法可求出的最小值，连接，证明是等边三角形，再证四边形是平行四边形，可得，，在中，，求得，同理可得，，得，由，，以为斜边构造等腰直角三角形，再根据及的长，利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】解：过点F作的垂线，垂足为P， 令， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， 则． 在中， ． 在中， ， ∴当时，取得最小值9，即的最小值为3． 则，， ∴，． 连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ∴，． 在中，， ∴， 同理可得，． ∴． ∵，， ∴以为斜边构造等腰直角三角形， 如图所示，点N在以点O为圆心的圆上， ∵， ∴． 在中，． 当点N在点处时，的面积取得最大值， 此时． ∴四边形面积的最大值为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查四边形面积的最值问题，等边三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理等知识，利用数形结合的数学思想，构造辅助圆是解决问题的关键． 8．如图所示， 在中，，， 点P是线段上的一个动点(点 P可与点A重合)， 过点P作于点 R， 作的平分线交于点G， 在线段上截取， 过点D作交于点E， 过点P作交于点F，此时四边形恰好为正方形，在点P从点A开始的运动过程中，正方形面积的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】设，则，，根据等腰直角三角形的性质和三线合一的性质可得出，然后再根据勾股定理将正方形表示为，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴G为的中点， ∴， 在中， ∵四边形为正方形， 则面积 当，其面积最小为： 当点D与点R重合时，， 即，解得：， 若时，无法构成正方形， 即， ∵的对称轴为：，开口向上，且， ∴当时，正方形面积有最大值，最大值为， 综上：当时，正方形面积有最大值，最大值为 当时，正方形面积有最小值，最小值为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、角平分线的性质、正方形的性质，勾股定理以及二次函数的性质，属于常考题型，灵活应用上述知识是解题的关键． 9．（2025·陕西西安·三模）如图，已知平行四边形，，E、F分别为、上的点，连接，若于点E，且平分平行四边形的面积，过E作于点P，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、求角的正弦值 【分析】本题考查配方法的应用，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，求正弦，设、交于点，过作于，设，，则，先证明，得到，再由平分平行四边形的面积，得到，利用勾股定理得到，则，利用配方得到当时，最小，此时最大． 【详解】解：设、交于点，过作于， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 设，， ∴，， ∴， ∵平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∵平分平行四边形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴中，， ∴， ∵， ∴当时，最小，此时最大， 故答案为：． 10．如图，工人师傅将一块锐角三角形的铁片通过切割加工成矩形铁片，已知的边长，高，若矩形铁片的一边在边上，点，分别在，边上，若满足，则矩形铁片的面积为 ． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的应用，设与的交点为点，设，则，证明，推出，代入数据求出的值即可推出结果．熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．也考查了矩形的判定和性质． 【详解】解：如图，设与的交点为点， 设， ∵， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴，， ∴，，， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴，， ∴ ∴矩形铁片的面积为， 故答案为：． 11．如图，在矩形中，，点O是对角线的中点，点M在上且，点D关于的对称点为，直线交于点P，交于点Q，则 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题是一道几何综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数定义的应用等知识，解题的关键是构造辅助线，引入两个参数表示线段的长度．点过点P作于E，交于F，依题意可得，设，则，用x表示出的面积，过点O作于点G，设根据三角函数的定义，可以把用表示出来，通过列方程求出的关系，根据把用表示出来，进而问题得以解决． 【详解】解：过点P作于E，交于F，则四边形为矩形， 由对称性，得， 在矩形中，， ， 在中，，设，则，由勾股定理得， ， ， 在中，， ， ， 点是的中点，过点O作于点G，则， 是的中位线，设， 在中，， 在中，， 在中，， ， ， 解得，， ， ， ， 故答案为：． 12．（2025·陕西西安·二模）如图，在矩形中，点在上，连接，，过点作平分交于点，点是上的动点，过点分别作于点，作于点，过点作且，连接，若，则四边形的周长为 ． 【答案】24 【知识点】根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理等．连接，过点作于点，先根据、平分，证明，推出，再用勾股定理计算出，再根据计算出，再证四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 在矩形中，，，， ， 平分， ， ， ， 又，， ． ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 四边形的周长为． 故答案为：24． 13．（2024·陕西咸阳·三模）如图，分别以平行四边形的边和为直角边，向平行四边形内作等腰和等腰，在的斜边、的斜边上分别取点，连接，四边形为正方形，若平行四边形的面积为4，则的面积为 ．    【答案】1 【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了中心对称的性质以及平行四边形的面积问题，先结合题意“以平行四边形的边和为直角边，向平行四边形内作等腰和等腰，在的斜边、的斜边上分别取点，连接，四边形为正方形，”得出整个图形是以点为对称中心的中心对称图形，结合四边形的面积之间的关系，列式计算，即可作答． 【详解】解：连接，并延长分别交于两点为，连接与相交于一点O，    ∵分别以平行四边形的边和为直角边，向平行四边形内作等腰和等腰，在的斜边、的斜边上分别取点，连接，四边形为正方形， ∴整个图形是以点为对称中心的中心对称图形， ∴， 则的面积， 故答案为：1． 14．如图，在矩形中，，点 E，F分别是线段的中点，将绕点 B 顺时针旋转至，点E，F 的对应点分别是，边与线段的交点为 O，当被分得的与中有一个是等腰三角形时，这个等腰三角形的面积是 ． 【答案】或2/2或 【知识点】根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、正切的概念辨析、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、正切的定义等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键 根据矩形的性质及勾股定理可得，再根据中点的定义、中位线的性质可得、；再根据旋转的性质可得,,，然后再分解或是等腰三角形两种情况解答即可． 【详解】解：∵矩形中，， ∴, ∵点 E，F分别是线段的中点， ∴,, ∵将绕点 B 顺时针旋转至， ∴,,； 当是等腰三角形，即, ∵， ∴； 当是等腰三角形，即, 如图：过O作, ∴, ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴． 故答案为：2或． 5．如图，点为线段上的动点（点不与点、重合），分别以、为斜边构造等腰直角三角形、等腰直角三角形，点与点在的同侧，于点，于点，点为的中点．若，则下列结论正确的有 ．（填序号） ①线段的长为定值；②四边形的面积为定值；③线段的长为定值；④周长的最小值为． 【答案】①②④ 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】①根据等腰直角三角形的性质及线段的和差求解；②根梯形的面积公式求解；②根据勾股定理求解；④先找到最小值，再根据勾股定理求解． 【详解】解：等腰直角三角形、等腰直角三角形，于点，， ，，，， ，，故①是正确的； 于点，，， ，， 四边形的面积为：，故②是正确的； 点为的中点， ， 过作于点，延长到，使得，连接交于， 则四边形是矩形，，， ， ，（当时取等号） 为动点， 为变量， 为变量，故③是错误的； 由作图得，垂直平分， ， ， ， 周长为：，故④是正确的， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了轴对称最小路径问题，掌握等腰直角三角形的性质、勾股定理、轴对称的性质及梯形的面积公式是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$