专题07 整式的乘除中档培优（11种类型46道题）-【名校压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题精讲精练（浙教版2024）

专题06 整式的乘除中档培优（11种类型46道题） 考点导航 考点清单 题型01 整式的化简求值问题 先化简，再求值：，其中，． 答案： ；2。 【思路点拨】整式的化简求值准确熟练地进行计算是解题的关键，先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 第一步：整式化简 解： ， 第二步：代入求值 当时， 原式 ． 1．先化简，再求值：，其中，． 2．（1）先化简，后求值：，其中． （2），其中，．． 3．先化简，再求值：，其中，    4．化简求值：，其中 5．先化简，再求值：，其中，． 题型02 缺项求参 计算的结果中不含关于字母的一次项，则 ． 答案：1 【思路点拨】缺项求参问题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式，再根据含字母的一次项的系数等于0求解即可得． 第一步：整式化简 解： ， 第二步：缺项系数为0 ∵计算的结果中不含关于字母的一次项， ∴， ∴， 总结：不含哪项或与哪个未知数无关，则化简合并同类项后其系数为“0”. 1．已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为，则的值为______． 2．若中不含x的二次项，则a的值为 ． 3．已知的乘积展开式中不含和项，则的值为 ． 4．若的积中不含x和项，则 ． 题型03 整体代入法求代数式的值 已知，则 ． 答案：-1012 【思路点拨】本题考查了整体代入法求代数式的值，单项式乘以多项式，根据已知可得，，代入代数式，即可求解． 第一步：已知变形 解：∵，则 ∴，则 即， ∴ 第二步：整体代入 ∴ 1．若，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 2．计算：的值（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 3．已知：x2-8x-3=0，则（x-1）（x-3）（x-5）（x-7）的值是 。 4．计算：． 题型04 降幂求值问题 已知，则 ． 答案：7 【思路点拨】解此类题型，只需将二次项用一次项表示出来，再代入到需要求值的式子，使得次数降低到我们熟悉的一次代数式即可；比如这道题，将，化为代入到中即可。 第一步：用低次幂表示高次幂 解：∵， ∴， 第二步：代入求值 ∴ = = =7 1．若 求代数式 的值． 2．若，求的值． 3．已知，求的值． 4．请先阅读下列解题过程，再仿做下面的题． 已知x2+x-1=0，求x3+2x2+3的值． 解：x3+2x2+3=x3+x2-x+x2+x+3 =x（x2+x-1）+x2+x-1+4 =0+0+4=4 如果1+x+x2+x3=0，求x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8的值． 题型05 将错就错问题 欢欢与乐乐两人共同计算，欢欢抄错了的符号，得到的结果为；乐乐抄漏了第二个因式中的系数，得到的结果为．请计算出原题的正确结果． 答案： 【思路点拨】代错问题，只需将错误结果代入，求出参数的值，再利用正确的参数值求出正确的解即可。 【详解】根据题意可知： 由于欢欢抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为， 那么， 即， 于是①， 乐乐由于漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为， 可得， 即， 于是②， 解关于①②的方程组，可得， 所以原式为， 计算得． 1．有这样一道题：“计算：”，小宇同学在解题时错误地把第一个多项式中的“”写成了“”，得到的结果为． (1)求a，b的值； (2)请你写出这道整式乘法题的正确运算结果． 2．在计算时，甲错把a看成了，得到结果是：；乙由于漏抄了第一个多项式中x的系数，得到结果：． (1)求出a，b的值； (2)在（1）的条件下，计算的结果． 3．数学课上，在计算时，琪琪把b看成6，得到的结果是，莹莹把a看成7，得到的结果是．根据以上提供的信息： (1)请求a、b的值． (2)请计算正确的结果． 题型06 对照求参问题 已知，若a，b都是整数，则的值不可能是（   ） A．1 B． C． D． 答案：D 【思路点拨】此题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的乘法法则，得到，，再根据和为整数，进行分类讨论是解题的关键． 第一步：整式化简 ∵， 第二步：左右两边对应系数相等 ∴， 则，， 第三步：分类讨论，求出参数 ∵和均为整数， ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上：或， 1．若，则 ． 2．若，则的值是 ． 3．红红学习完《多项式乘多项式》的知识后，打算练习习题巩固知识，请你帮红红解决下列问题： (1)如果，求和的值； (2)如果，求的值． 4．回答下列问题： (1)计算： ①______； ②______． ③______． (2)总结公式______ (3)已知，，均为整数，且．求的所有可能值． 题型07 赋值法求代数式的值 若，则： (1) ; (2) ; 答案：(1)；(2) 【思路点拨】解决这类多次项高次幂问题，可以通过特殊值法，控制系数的正负性来求值。 第一步：令 令，代入得 第二步：令 令，代入得 总结：①求常数项令；②求系数和令；③求奇次项系数和（或偶次项系数和），分别令，令；再加减消元。 1．代数式与乘积是一个六次多项式 ，则 ． 2．已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 题型08 整式的除法定义求参数 1．若关于x的多项式除以，所得商恰好为，则 ． 2．若被除后余2，则的值为 ． 3．已知多项式除以，商是，余式为1，的值为 ． 4．已知a，b，c为实数，且多项式能被多项式整除． (1)求的值； (2)求a、b、c之间的等量关系（写出一种即可）． 5．已知，若多项式被整除，说明=0时，多项式的值为0，即当时，多项式为0，我们可以把代入多项式，值为0，可得方程，求出的值为-28；若多项式去除以时，余数为6，说明时，多项式的值为6，即当时，多项式为6，我们可以把代入多项式，值为6，可得方程，求出k的值为-26.结合上述知识，解决下列问题： (1)若能被整除，则a的值为 ； (2)若除以时，余数为4，则a的值为 ； (3)若能被与整除，则的值为 ； (4)若去除时，余数为1，去除时，余数为-1，求的值为 ； 题型09 整式的乘除规律探究问题 1．阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： [观察] ①； ②； ③； [归纳]由此可得：______． [应用] （1）______． （2）计算：． 2．八年级数学兴趣小组成员在华师版数学教材37页《阅读材料》中查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】、【项目成效】和【拓展应用】． 【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘． 【核心概念】 素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”． 素材2：我们知道，，利用多项式的乘法运算，还可以得到：当时，将计算结果中多项式以a降次排序各项的系数排列成表，可得到如图2： 【任务规划】 （1）任务：请根据素材1和素材2直接写出： ①展开式中的系数是______； ②展开式中所有项的系数和为______； 【项目成效】 （2）成果展示：若，求的值． 【拓展应用】 （3）“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图3中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第n层的圆球数记，求的值． 3．观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… (1)根据上述规律，请写出第5个等式：_______． (2)猜想：_______． (3)利用（2）中的结论，求的值． 4．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如 (a、b为实数)的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如：；．根据以上信息，完成下列问题： (1)计算：， ； (2)计算：； (3)计算： 题型10 以形释数 思路引导：解决这类问题只需要将图形面积用两个不同的代数式表示出来就可以了。方法1：直接用图形面积公式；方法2：分别计算出不同图形面积和 1．一长方形如图所示，甲、乙、丙、丁四位同学给出了以下四种表示该长方形面积的算式： ；     ； ；     ． 其中正确算式的个数是（   ） A． B． C． D． 2．通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个等式．例如，由图1可得等式．小明利用图2完整的图形面积可以得到的等式为（   ） A． B． C． D． 3．数形结合是一种重要的数学思想．《周髀算经》中记载有“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一”，这表明当时人们已经将几何与代数结合在一起研究，其意义重大、影响深远．例如，对于等式，可由图1进行解释：整个大长方形的长为，宽为a，其面积可用长乘以宽得到，也可用1个小正方形的面积与2个小长方形的面积之和来表示．    (1)由图2，你能得到的数学等式为： ； (2)观察图3，解决以下问题：若，求的值． 4．我们知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这些形式表示，例如：，就可以用图甲或图乙等图形的面积表示． (1)请写出图丙所表示的代数恒等式； (2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为： 5．【数学实验】如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为a、宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类）．利用若干个图①中的图形可以拼出一些长方形来解释某些等式．例如：图②可以解释为． 【初步运用】 （1）图③可以解释为_______； （2）取图①中的若干个图形拼成一个长方形，使它的长和宽分别为和．不画图形，试通过计算说明需要多少个C类图形； 【拓展运用】 （3）若取图①中的若干个图形拼成一个长方形，使它的面积为，通过操作发现拼成的长方形的长为_______，宽为_______． 题型11 图形拼接问题 1．现有甲、乙、丙三张不同的正方形纸片，边长如图．将三张纸片按图，图两种不同方式放置于同一矩形中，记图中阴影部分周长为，面积为；图中阴影部分周长为，面积为．若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在长方形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为 ．（用a、b的代数式表示） 3．将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图①和图②所示的两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为．当时， ． 4．如图，在长方形中，放入个形状和大小都相同的小长方形，已知小长方形的长为，宽为，且． (1)用含、的代数式表示长方形的长______，宽______； (2)用含、的代数式表示阴影部分的面积． 5．如图是某住宅的平面结构示意图及有关尺寸（墙壁厚度忽略不计，单位：）． (1)求该住宅的面积（用含，的代数式表示）． (2)该住宅的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖，其中卫生间的地面面积为．如果地砖的价格是每平方米80元，那么购买地砖至少需要花费多少元？ 6．如图1，在长方形中放入边长分别为和的两张正方形纸片，，阴影部分面积分别记为． (1)如图2，当长方形为正方形时，， ①___________，___________，___________（用含，，的式子分别表示）；②若，试证明：； (2)如图3，若，且，试探究长方形的周长和正方形的周长之间的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 整式的乘除中档培优（11种类型46道题） 考点导航 考点清单 题型01 整式的化简求值问题 先化简，再求值：，其中，． 答案： ；2。 【思路点拨】整式的化简求值准确熟练地进行计算是解题的关键，先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 第一步：整式化简 解： ， 第二步：代入求值 当时， 原式 ． 1．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式 ． 2．（1）先化简，后求值：，其中． （2），其中，．． 【答案】（1）（2）， 【分析】（1）先利用多项式乘以多项式的法则展开，再合并同类项，再把字母的值代入化简结果计算即可； （2）先利用平方差公式、完全平方公式、单项式乘以多项式进行展开，再合并同类项后，再计算多项式除以单项式，再把字母的值代入化简结果计算即可． 本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴， 解得， ∴． （2） ， 当，时， 原式． 3．先化简，再求值：，其中，    【答案】； 【分析】本题考查了整式混合运算，化简求值，熟练掌握完全平方公式、平方差公式及相关运算法则是解题关键．先利用完全平方公式和平方差公式计算括号内的，再按照整式加减法则和整式除法法则化简，然后代入求值，即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 4．化简求值：，其中 【答案】， 【分析】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，将与的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当，时，原式． 5．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】首先去括号、合并同类项，得到最简式，把x、y的值代入最简式，求出即可． 【详解】                      当，时，原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，熟练掌握整式的混合运算和求值是解题的关键． 题型02 缺项求参 计算的结果中不含关于字母的一次项，则 ． 答案：1 【思路点拨】缺项求参问题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式，再根据含字母的一次项的系数等于0求解即可得． 第一步：整式化简 解： ， 第二步：缺项系数为0 ∵计算的结果中不含关于字母的一次项， ∴， ∴， 总结：不含哪项或与哪个未知数无关，则化简合并同类项后其系数为“0”. 1．已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，解二元一次方程组，解题的关键是明确不含的二次项，则二次项的系数为． 根据多项式乘以多项式法则进行运算，再将计算结果中，利用二次项是系数与一次项的系数的要求建立方程组，即可求解． 【详解】解：， ， ， ∵多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项系数为， 解得，， ， 故答案为：． 2．若中不含x的二次项，则a的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘以多项式的法则． 根据多项式乘以多项式的法则计算，再根据多项式中不含的二次项，即含x的二次项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ∵多项式不含x的二次项， ∴二次项系数为，即， 解得． 故答案为：9． 3．已知的乘积展开式中不含和项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，多项式不含某项问题，代数式求值，先根据多项式乘多项式的运算法则展开乘积，再根据展开式中不含和项，可得含和项的系数为，求出的值，最后代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解： ， ∵乘积展开式中不含和项， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 4．若的积中不含x和项，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、不含无关类问题及代数式求值，熟练掌握运算法则及不含无关类做题方法是解决本题关键．利用多项式乘以多项式的法则计算，再根据不含和的项，即可求出m与n的值，将m与n的值代入求解即可． 【详解】解： ∵展开后的结果中不含和的项， ∴， ∴，； ∵， ∴ ． 故答案为：． 题型03 整体代入法求代数式的值 已知，则 ． 答案：-1012 【思路点拨】本题考查了整体代入法求代数式的值，单项式乘以多项式，根据已知可得，，代入代数式，即可求解． 第一步：已知变形 解：∵，则 ∴，则 即， ∴ 第二步：整体代入 ∴ 1．若，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【分析】把变形后用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了代数式求值，代数式中字母的值没有明确告知，而是隐含在已知条件中，首先应从题设入手，寻找要求的代数式与已知条件之间的关系，然后利用“整体代入法”求代数式的值． 2．计算：的值（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】D 【分析】本题考查数字的变化规律，根据所给的式子，找到式子的规律，再利用整体思想解题是关键．可设，，用含x或y数分别表示出相应的数，再进行求解即可． 【详解】解：设，， ∴， ∴ ， 故选：D． 3．已知：x2-8x-3=0，则（x-1）（x-3）（x-5）（x-7）的值是 。 【答案】180 【分析】根据x2-8x-3=0，可以得到x2-8x=3，对所求的式子进行化简，第一个式子与最后一个相乘，中间的两个相乘，然后把x2-8x=3代入求解即可． 【详解】∵x2-8x-3=0， ∴x2-8x=3 （x-1）（x-3）（x-5）（x-7）=（x2-8x+7）（x2-8x+15）， 把x2-8x=3代入得：原式=（3+7）×（3+15）=180． 故答案是：180． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，正确理解乘法公式，对所求的式子进行变形是关键． 4．计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，整式的运算，设，将计算转化为：，得到最终结果为即可． 【详解】解：设， 则原式 题型04 降幂求值问题 已知，则 ． 答案：7 【思路点拨】解此类题型，只需将二次项用一次项表示出来，再代入到需要求值的式子，使得次数降低到我们熟悉的一次代数式即可；比如这道题，将，化为代入到中即可。 第一步：用低次幂表示高次幂 解：∵， ∴， 第二步：代入求值 ∴ = = =7 1．若 求代数式 的值． 【答案】2024 【分析】本题考查代数式求值，将进行降幂，利用整体思想，进行计算即可． 【详解】解：由 可得 ， ． 2．若，求的值． 【答案】5009 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据已知条件式得到，，再把原式变形为，进一步变形为，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ = ． 3．已知，求的值． 【答案】2022 【分析】把所求式子变形成含已知的代数式，结合整体代入的思想解答即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 【点睛】本题考查了代数式求值和整式的乘法，正确变形，灵活应用整体思想是解题的关键． 4．请先阅读下列解题过程，再仿做下面的题． 已知x2+x-1=0，求x3+2x2+3的值． 解：x3+2x2+3=x3+x2-x+x2+x+3 =x（x2+x-1）+x2+x-1+4 =0+0+4=4 如果1+x+x2+x3=0，求x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8的值． 【答案】0 【分析】先模仿例题将式子变形，再代入1+x+x2+x3=0求值． 【详解】x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8 =x(1+x+ x2+x3)+ x5(1+x+x2+x3) =x·0+ x5·0 =0 【点睛】本题考查单项式乘多项式，解题的关键是学会模仿例题，整体代入求解. 题型05 将错就错问题 欢欢与乐乐两人共同计算，欢欢抄错了的符号，得到的结果为；乐乐抄漏了第二个因式中的系数，得到的结果为．请计算出原题的正确结果． 答案： 【思路点拨】代错问题，只需将错误结果代入，求出参数的值，再利用正确的参数值求出正确的解即可。 【详解】根据题意可知： 由于欢欢抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为， 那么， 即， 于是①， 乐乐由于漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为， 可得， 即， 于是②， 解关于①②的方程组，可得， 所以原式为， 计算得． 1．有这样一道题：“计算：”，小宇同学在解题时错误地把第一个多项式中的“”写成了“”，得到的结果为． (1)求a，b的值； (2)请你写出这道整式乘法题的正确运算结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解二元一次方程，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解决本题的关键． （1）根据题意可得，应用多项式乘多项式的法则进行计算，可得，由已知常数项相等可得，计算即可得出答案； （2）由（1）可知a、b的值，代入应用多项式乘多项式进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解： ， 由题意可知，上式， ∴，， 解得：，． （2）解： ． 2．在计算时，甲错把a看成了，得到结果是：；乙由于漏抄了第一个多项式中x的系数，得到结果：． (1)求出a，b的值； (2)在（1）的条件下，计算的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，二元一次方程组，解题的关键是掌握多项式乘多项式的法则． （1）根据题意列出算式，再根据多项式乘多项式的法则计算，得出关于a，b的方程组即可求解； （2）根据多项式乘多项式的法则计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ， ， 解得：， ． （2）解：由（1）得， ． 3．数学课上，在计算时，琪琪把b看成6，得到的结果是，莹莹把a看成7，得到的结果是．根据以上提供的信息： (1)请求a、b的值． (2)请计算正确的结果． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式． （1）根据整式的乘法，即可得出正确的a、b的值； （2）将a、b的值代入式子，利用多项式乘多项式运算法则计算即可． 【详解】（1）解：∵琪琪把b看成6，得到的结果是， ∴， ∴， ∴，， 解得， ∵莹莹把a看成7，得到的结果是， ∴， ∴， ∴，， 解得； （2）解：当，时， ． 题型06 对照求参问题 已知，若a，b都是整数，则的值不可能是（   ） A．1 B． C． D． 答案：D 【思路点拨】此题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的乘法法则，得到，，再根据和为整数，进行分类讨论是解题的关键． 第一步：整式化简 ∵， 第二步：左右两边对应系数相等 ∴， 则，， 第三步：分类讨论，求出参数 ∵和均为整数， ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上：或， 1．若，则 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了求代数式的值及多项式乘以多项式运算，由多项式乘以多项式得 ，可得，，即可求解；能熟练进行多项式乘以多项式运算是解题的关键． 【详解】解：， ， ，， 解得，， ， 故答案为：． 2．若，则的值是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，根据多项式乘以多项式的计算法则得到，则，据此求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．红红学习完《多项式乘多项式》的知识后，打算练习习题巩固知识，请你帮红红解决下列问题： (1)如果，求和的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查多项式乘多项式， （1）先根据多项式乘多项式法则计算，然后根据求出，即可； （2）先根据多项式乘多项式法则计算，然后根据，求出、，然后把所求整式利用多项式乘多项式法则展开，再把和的值代入进行计算即可； 解题关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则． 【详解】（1）解：∵ ， 又∵， ∴，； （2）∵ ， 又∵， ∴，， ∴ ． 4．回答下列问题： (1)计算： ①______； ②______． ③______． (2)总结公式______ (3)已知，，均为整数，且．求的所有可能值． 【答案】(1)①；②；③ (2) (3)8或 【分析】本题主要考查整式运算的知识，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式的性质： （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （3）根据（2）可得，结合都是整数，通过计算即可得到答案． 【详解】（1）①； ②； ③； 故答案为：①；②；③； （2） ， 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴， ∵都是整数，， ∴或或或， ∴或． 题型07 赋值法求代数式的值 若，则： (1) ; (2) ; 答案：(1)；(2) 【思路点拨】解决这类多次项高次幂问题，可以通过特殊值法，控制系数的正负性来求值。 第一步：令 令，代入得 第二步：令 令，代入得 总结：①求常数项令；②求系数和令；③求奇次项系数和（或偶次项系数和），分别令，令；再加减消元。 1．代数式与乘积是一个六次多项式 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键； 选择了一个特殊的x值（在这里是）进行代入得出六次多项式，然后将代入两个多项式，然后计算它们的乘积．这个乘积应该等于六次多项式在时的值． 【详解】解：令，代入得 将代入与中得 ， 故答案为：． 2．已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)1 (2) (3)122 【分析】本题考查多项式的乘法，恒等式，解方程组，利用特殊值法进行求解，是解题的关键． （1）令，代入计算即可； （2）的展开式中的系数为：，令，求出，再根据（1）中的结果，进行求解即可； （3）令，得到，联立（1）中结果，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）令， 则：； ∴； （2）根据题意可知，的展开式中的系数为：， ∴， 令，并代入原式可得：， 由（1）知：， ∴； （3）令，并代入原式可得： ， 根据（1）可知， 联立方程组可得：， 得， ∴． 题型08 整式的除法定义求参数 1．若关于x的多项式除以，所得商恰好为，则 ． 【答案】 【分析】利用可求出，进一步可得：，，，进一步可求出，，，相加即可求出． 【详解】解：由题意可知： ， ∴， ∴，，， 解之得：，，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查多项式系数中的字母求值，单项式乘多项式，解题的关键是理解题意，找出，令其系数对应相等即可解答． 2．若被除后余2，则的值为 ． 【答案】 【分析】先根据被除后余2，判断出为的一个因式，再根据特殊值法求得k的值． 【详解】 被除后余2， 可被整除， 为的一个因式， 当 = 0时，= 0， 将代入= 0，得： ， 解得: k =-7， 故答案为：-7． 【点睛】本题主要考查了整式的除法，理解被除式、除式、商、余式之间的关系是解题的关键． 3．已知多项式除以，商是，余式为1，的值为 ． 【答案】4 【分析】先根据被除式=除式×商式+余式，列出式子，再将等式右边展开，合并同类项，利用两个多项式相等的条件即可求解． 【详解】由题意可知， 整理得， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了整式的除法以及多项式乘以多项式，用到的知识点：被除式=除式×商式+余式． 4．已知a，b，c为实数，且多项式能被多项式整除． (1)求的值； (2)求a、b、c之间的等量关系（写出一种即可）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是多项式除以多项式，注意理解整除的含义，比如A被B整除，另外一层意思也就是说，B是A的一个因式，方程组的应用； （1）设另外一个因式为，计算，再建立方程组可得答案； （2）由，建立方程组，消去m即可． 【详解】（1）解：∵是的一个因式， ∴设另外一个因式为， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴； 5． 已知，若多项式被整除，说明=0时，多项式的值为0，即当时，多项式为0，我们可以把代入多项式，值为0，可得方程，求出的值为-28；若多项式去除以时，余数为6，说明时，多项式的值为6，即当时，多项式为6，我们可以把代入多项式，值为6，可得方程，求出k的值为-26.结合上述知识，解决下列问题： (1)若能被整除，则a的值为 ； (2)若除以时，余数为4，则a的值为 ； (3)若能被与整除，则的值为 ； (4)若去除时，余数为1，去除时，余数为-1，求的值为 ； 【答案】；(2)；(3)；(4) 【详解】(1)解：由题意，将代入： =0 ∴， ∴， 故答案为： (2)解：由题意，将代入： =4 ∴， ∴， 故答案为： (3)解：由题意，将、代入： =0中得， ∴， ∴ 故答案为： (4)解：由题意，将、代入： 和中得， ∴， 题型09 整式的乘除规律探究问题 1．阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： [观察] ①； ②； ③； [归纳]由此可得：______． [应用] （1）______． （2）计算：． 【答案】[归纳] [应用]（1）；（2） 【分析】本题考查整式乘法的规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键． （1）根据题干中的等式总结规律即可； （2）根据规律将原式变形为，再计算即可； （3）根据规律将原式变形为，再计算即可． 【详解】解：[归纳]由题意得： ， 故答案为：； [应用]（1） ； 故答案为：； （2） ． 2．八年级数学兴趣小组成员在华师版数学教材37页《阅读材料》中查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】、【项目成效】和【拓展应用】． 【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘． 【核心概念】 素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”． 素材2：我们知道，，利用多项式的乘法运算，还可以得到：当时，将计算结果中多项式以a降次排序各项的系数排列成表，可得到如图2： 【任务规划】 （1）任务：请根据素材1和素材2直接写出： ①展开式中的系数是______； ②展开式中所有项的系数和为______； 【项目成效】 （2）成果展示：若，求的值． 【拓展应用】 （3）“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图3中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第n层的圆球数记，求的值． 【答案】（1）4；；（2）；（3） 【分析】本题主要考查多项式乘多项式、规律型：图形的变化、几何体的展开图，找到规律是解题的关键． （1）①根据已知条件即可得出答案；②根据已知条件即可得出答案； （2）当时，，当时，，进而得出答案； （3）先找到规律，再变形，进而得出答案． 【详解】解：（1）①根据已知可得，展开式中的系数是4； ②根据已知可得，展开式中所有项的系数和为， 的展开式中所有项的系数之和为， 展开式中所有项的系数和为， 展开式中所有项的系数和为， 展开式中所有项的系数和为， ⋯， 则展开式中所有项的系数和为． 故答案为：4； （2） ， 当时，， 当时，， ． （3）由题意可得：，，， ， ， ． 3．观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… (1)根据上述规律，请写出第5个等式：_______． (2)猜想：_______． (3)利用（2）中的结论，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键： （1）根据已知等式写成第个等式即可； （2）观察可知第n个式子左边的第一个多项式为，第二个多项式中是按照字母a的指数降序排列的，且每一项只含有a、b两个字母，每一项的系数都为1，字母的指数之和为n，等式右边是，据此可得答案； （3）令式子中，得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，第五个等式为； （2）解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． ……， 以此类推可知，； （3）解：由（2）可知， ∴． 4．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如 (a、b为实数)的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如：；．根据以上信息，完成下列问题： (1)计算：， ； (2)计算：； (3)计算： 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，多项式乘多项式法则，数字类规律，解答本题的关键是明确题意，发现相邻几个数相加的和的规律． （1）根据定义即可分别求得结果； （2）首先根据多项式乘多项式法则去括号，再根据定义及有理数的加减进行运算，即可求得结果； （3）首先根据复数的定义计算，找到规律，再根据规律进行运算，即可求得结果． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ； （3）解：，，，，，，，，…， 每4个为一循环，且， ， ． 题型10 以形释数 思路引导：解决这类问题只需要将图形面积用两个不同的代数式表示出来就可以了。方法1：直接用图形面积公式；方法2：分别计算出不同图形面积和 1．一长方形如图所示，甲、乙、丙、丁四位同学给出了以下四种表示该长方形面积的算式： ；     ； ；     ． 其中正确算式的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式乘法的应用，根据长方形面积公式判断各式是否正确即可，根据图形正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：长方形的面积由个长方形的面积之和，可表示为； 长方形的面积等于左边，中间及右边的长方形面积之和，可表示为，原算式不正确，不符合题意； 长方形的面积等于上下两个长方形面积之和，可表示为，原算式正确，符合题意； 大长方形的长为，宽为，根据长方形的面积公式可表示为，原算式正确，符合题意； 综上可知：正确，共个， 故选：． 2．通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个等式．例如，由图1可得等式．小明利用图2完整的图形面积可以得到的等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘法与图形面积；一方面图2是一个长为，宽为的长方形，另一方面，图2是由一个边长为a的大正方形、两个边长为b的小正方形加三个长为a、宽为b的相同长方形组成，分别计算出面积即可求解． 【详解】解：图2是一个长为，宽为的长方形，其面积为； 图2也是由一个边长为a的大正方形、两个边长为b的小正方形加三个长为a、宽为b的相同长方形组成，其面积为：， 根据面积相等得：； 故选：C． 3．数形结合是一种重要的数学思想．《周髀算经》中记载有“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一”，这表明当时人们已经将几何与代数结合在一起研究，其意义重大、影响深远．例如，对于等式，可由图1进行解释：整个大长方形的长为，宽为a，其面积可用长乘以宽得到，也可用1个小正方形的面积与2个小长方形的面积之和来表示．    (1)由图2，你能得到的数学等式为： ； (2)观察图3，解决以下问题：若，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查多项式乘以多项式与几何图形的面积： （1）两种方法表示出整个长方形的面积，即可得出结果； （2）两种方法表示出整个正方形的面积，得到关系式，变形求值即可． 【详解】（1）解：由图2可得：； 故答案为： （2）由图3，可得到： ， ， ， ， ． 4．我们知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这些形式表示，例如：，就可以用图甲或图乙等图形的面积表示． (1)请写出图丙所表示的代数恒等式； (2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为： 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了多项式乘法的几何背景，应从整体和部分两方面来理解多项式乘法的几何意义；主要围绕图形面积展开分析． （1）图丙中大长方形的长为，宽为，根据题意列出恒等式； （2）设计一个长方形的长为，宽为的大长方形即可 【详解】（1）解：； （2）解：如图所示： 5．【数学实验】如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为a、宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类）．利用若干个图①中的图形可以拼出一些长方形来解释某些等式．例如：图②可以解释为． 【初步运用】 （1）图③可以解释为_______； （2）取图①中的若干个图形拼成一个长方形，使它的长和宽分别为和．不画图形，试通过计算说明需要多少个C类图形； 【拓展运用】 （3）若取图①中的若干个图形拼成一个长方形，使它的面积为，通过操作发现拼成的长方形的长为_______，宽为_______． 【答案】（1）；（2）需要15个C类图形；（3）， 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的应用； （1）根据图③面积两种求法即可得到结论； （2）根据多项式乘多项式的法则即可得到结论； （3）根据已知条件可画出图形，于是得到长方形的两边． 【详解】解：（1）图③面积由面积公式可得，由四个图形拼成可得面积， ∴； 故答案为：； （2）∵，边长为b的大正方形（C类）面积为， ∴长方形的长和宽分别为和，需要15个C类图形； （3）图形如下： ∴长方形的面积为，它长是，宽是． 故答案为：，． 题型11 图形拼接问题 1．现有甲、乙、丙三张不同的正方形纸片，边长如图．将三张纸片按图，图两种不同方式放置于同一矩形中，记图中阴影部分周长为，面积为；图中阴影部分周长为，面积为．若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式混合运算在面积中的应用，分别用含的式子表示出，，，，进而求出，，最后代入计算即可求解，正确识图是解题的关键 【详解】解：由图可得，， ， 由图得，， ， ∴， ， ∵， ∴， 即， ∵, ∴， 故选：． 2．在长方形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为 ．（用a、b的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了列代数式和整式的混合运算，解题的关键是：能灵活运用整式的运算法则进行计算．设，则，根据图形得出，再根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：设，则， 故答案为：． 3．将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图①和图②所示的两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为．当时， ． 【答案】5 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，整体思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差得出，根据即可得出结果． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 4．如图，在长方形中，放入个形状和大小都相同的小长方形，已知小长方形的长为，宽为，且． (1)用含、的代数式表示长方形的长______，宽______； (2)用含、的代数式表示阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】此题考查了整式的混合运算以及列代数式，认真观察图形，弄清题意是解本题的关键． （1）根据图形的组合即可得出； （2）阴影部分的面积长方形的面积个小长方形的面积，利用长方形的面积公式表示出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：由图形得：，； （2）解： ． 5．如图是某住宅的平面结构示意图及有关尺寸（墙壁厚度忽略不计，单位：）． (1)求该住宅的面积（用含，的代数式表示）． (2)该住宅的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖，其中卫生间的地面面积为．如果地砖的价格是每平方米80元，那么购买地砖至少需要花费多少元？ 【答案】(1)该住宅的面积 (2)购买地砖至少需要花费4500元 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用，有理数乘法的应用，理解题意并正确列式是解题关键． （1）根据图形列式计算即可； （2）先根据卫生间的面积求出，再计算出卧室以外的面积，乘以地砖的价格求解即可． 【详解】（1）解： 即该住宅的面积； （2）解：由图形可知，卫生间的面积为， 卫生间的地面面积为， ， ， 卧室1的面积为， 卧室2的面积为， 卧室以外的面积为， （元）． 答：购买地砖至少需要花费4500元． 6．如图1，在长方形中放入边长分别为和的两张正方形纸片，，阴影部分面积分别记为． (1)如图2，当长方形为正方形时，， ①___________，___________，___________（用含，，的式子分别表示）；②若，试证明：； (2)如图3，若，且，试探究长方形的周长和正方形的周长之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①      ②见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查代数式和等式的基本性质： （1）①根据，，，即可求得答案；②根据题意可得，化简即可求得答案； （2）设，，可得，化简可得，进而可求得答案． 【详解】（1）①． ． ． 故答案为：     ②． ． 根据题意，得 （2），理由如下： 设，，则，． 根据题意，得 化简，得 因为，可得 根据题意，得 ，，， 则 ， 则 学科网（北京）股份有限公司 $$