第17章 三角形（考点串讲，5大常考点+6大重难点题型+10大易错+押题预测）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（沪教版2024）

七年级数学下学期·期中复习大串讲 沪教版2024 第17章 三角形（5考点&6题型） 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 五大常考点：知识梳理+针对训练 六大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 十大易错易混经典例题+针对训练 精选7道期中真题对应考点练 知识点01三角形有关概念 知识梳理 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形. 三角形的基本元素：顶点、边、内角、外角； 三角形两边的公共点叫顶点；组成三角形的三条线段叫三角形的边；在三角形中，每两条相邻边所组成的角，叫三角形的内角；三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫三角形的外角. 三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段 知识点02 三角形基本元素的定理 (1)三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边. (2)三角形的内角和等于180° (3)三角形的外角和等于360° (4)三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 知识点03 三角形的分类 (1)按边分类可以分为 (2)按角分类可以分为 知识点04 全等三角形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形；两个三角形是全等形,它们就是全等三角形；相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角是对应角； 知识点05 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 知识点06 画三角形 （1）两角及其夹边；（2）两边及夹角；（3）三边；（4）两角及一角对边. 知识点07 全等三角形的判定 三角形全等判定方法1： 在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等； 三角形全等判定方法2： 在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等；      三角形全等判定方法3： 在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等； 三角形全等判定方法4： 在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等. 1.如图所示. (1)图中共有几个三角形？请分别表示出来. 【解】图中共有8个三角形，分别是△ABC，△ABD，△AEO，△AEC，△ADC，△AOC，△ODC，△EBC. 考点1　四个概念 概念1　与三角形有关的概念 针对训练 (2)以∠AEC为内角的三角形有哪些？ 【解】以∠AEC为内角的三角形有△AEO，△AEC. (3)以∠ADC为内角的三角形有哪些？ 【解】以∠ADC为内角的三角形有△ADC，△ODC. (4)以BD为边的三角形有哪些？ 【解】以BD为边的三角形只有△ABD. 概念2　三角形中的重要线段 2.如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AD⊥BC于点D，AE平分∠DAC，∠B＝60°，求∠DAE的度数. 【解】因为AD⊥BC，所以∠BDA＝90°. 因为∠B＝60°， 所以∠BAD＝180°－90°－60°＝30°， 所以∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝80°－30°＝50°. 因为AE平分∠DAC，所以∠DAE＝∠DAC＝25°. 概念3　全等图形 3.(母题：教材P95习题T1)下列图形中，是全等图形的有(　C　) A.2组 C.4组 B.3组 D.5组 C 概念4　全等三角形 4.(母题：教材P94随堂练习T1)如图，已知△ABE与△ACD全等，∠1＝∠2，∠B＝∠C.指出这组全等三角形中的对应边和对应角. 【解】AB与AC，AE与AD，BE与CD是对应边；∠B与∠C，∠2与∠1，∠BAE与∠CAD是对应角. 考点2　一个关系——三角形的三边关系 5.[情境题 游戏活动型]如图，第二次龟兔赛跑时，聪明的乌龟设计的比赛规则是从A点跑到B点，因A，B之间有猎人的陷阱，乌龟让兔子沿路线A→C→B前进，而它沿路线A→D→E→B前进.乌龟告诉兔子说，兔子只跑三角形的两边(AC＋CB)，而它要跑四边形的三边(AD＋DE＋EB)，这样自己跑的路程比兔子跑的路程长，请你用所学的知识说明它们谁跑的路程长. 【解】如图，设直线DE交AC于点M，交BC于点N. 在△ADM中，AM＋MD＞AD. 在△CMN中，CM＋CN＞MN， 即CM＋CN＞MD＋DE＋NE. 在△BNE中，BN＋NE＞BE， 所以AM＋MD＋CM＋CN＋BN＋NE＞AD＋MD＋DE＋NE＋BE， 所以AM＋CM＋CN＋BN＞AD＋DE＋BE， 即AC＋CB＞AD＋DE＋BE， 所以兔子跑的路程长. 考点3　两个性质 性质1　三角形内角和的性质 6.[2023·东营]如图，AB∥CD，点E在线段BC上(不与点B，C重合)，连接DE，若∠D＝40°，∠BED＝60°，则∠B＝(　B　) A.10° C.40° B.20° D.60° B 性质2　全等三角形的性质 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，且AC＝BC＝4 cm.已知△BCD≌△ACE，求四边形AECD的面积. 【解】因为△BCD≌△ACE，所以S△BCD＝S△ACE. 又因为S四边形AECD＝S△ACE＋S△ACD， 所以S四边形AECD＝S△BCD＋S△ACD＝S△ABC＝×4×4＝8(cm2). 考点4　四个判定 判定1　SSS 8.如图，已知AB＝DC，AD＝BC，O是DB的中点，过点O的直线分别交DA和BC的延长线于点E，F.试说明：∠E＝∠F. 【解】在△ABD和△CDB中，​ 所以△ABD≌△CDB(SSS)， 所以∠ADB＝∠CBD， 所以DE∥BF， 所以∠E＝∠F. 判定2　ASA 9.[2022·衢州]如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4.试说明：AB＝AD. 【解】因为∠3＝∠4，所以∠ACB＝∠ACD. 在△ACB和△ACD中， 所以△ACB≌△ACD(ASA)，所以AB＝AD. 10.[2023·温州八中模拟]如图，在△ABC和△ECD中，∠ABC＝∠EDC＝90°，B为CE中点，BC＝CD. (1)试说明：△ABC≌△EDC； 【解】因为∠ABC＝∠EDC＝90°，BC＝DC，∠C＝∠C， 所以△ABC≌△EDC(ASA). (2)若CD＝2，求AC的长. 【解】因为CD＝2，△ABC≌△EDC， 所以BC＝CD＝2，AC＝CE. 因为B为CE中点， 所以BE＝BC＝2， 所以CE＝4，所以AC＝4. 判定3　AAS 11.[2023·乐山]如图，已知AB与CD相交于点O，AC∥BD，AO＝BO，试说明：AC＝BD. 【解】因为AC∥BD， 所以∠A＝∠B，∠C＝∠D. 在△AOC和△BOD中，​ 所以△AOC≌△BOD(AAS)，所以AC＝BD. 判定4　SAS 12.[2023·天津一中期末]如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，试说明：AF＝DE. 【解】因为BE＝CF，所以BE＋EF＝CF＋EF， 即BF＝CE. 在△ABF和△DCE中， 所以△ABF≌△DCE(SAS)，所以AF＝DE. 考点5　两个技巧 技巧1　说明线段数量关系的方法 13.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，过点C作BD的垂线交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F.试说明： 【解】因为BE平分∠ABC， 所以∠FBE＝∠CBE. 因为CE⊥BE，所以∠FEB＝∠CEB＝90°. 又因为BE＝BE， 所以△FBE≌△CBE(ASA)，所以BF＝BC. (1)BF＝BC； (2)BD＝2CE. 【解】因为∠BAC＝∠FAC＝∠FEB＝90°， 所以∠ABD＋∠F＝∠ACF＋∠F＝90°， 所以∠ABD＝∠ACF. 又因为AB＝AC，∠BAD＝∠CAF， 所以△BDA≌△CFA(ASA)，所以BD＝CF. 又因为△FBE≌△CBE， 所以EF＝EC，即CF＝2EC，所以BD＝2CE. 技巧2　添加辅助线的方法 14.如图，AB＝DC，∠A＝∠D.试说明：∠ABC＝∠DCB. 【解】如图，分别取AD，BC的中点N，M，连接BN，CN，MN，则有AN＝DN，BM＝CM. 在△ABN和△DCN中， 所以△ABN≌△DCN(SAS)， 所以∠ABN＝∠DCN，NB＝NC. 在△NBM和△NCM中， 所以△NBM≌△NCM(SSS)， 所以∠NBM＝∠NCM， 所以∠NBM＋∠ABN＝∠NCM＋∠DCN， 即∠ABC＝∠DCB. 题型剖析 应用1 三角形的高在求线段长中的应用 1.[2023·安徽 新考向·传承数学文化]清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD＝.当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，CD＝ ⁠. 1　 【点拨】 因为BD＝，AB＝7， BC＝6，AC＝5， 所以BD＝＝5.所以CD＝BC－BD＝6－5＝1. 题型1三角形的高、中线、角平分线的七种常见应用 应用2 三角形的高与角平分线在求角的度数中的应用 2.如图，已知AE⊥BC，AD平分∠BAE，∠ADB＝110°，∠CAE＝20°，求∠BAC和∠B的度数. 【解】因为AE⊥BC，∠CAE＝20°， 所以∠C＝90°－20°＝70°. 因为∠ADB＋∠ADC＝180°，∠C＋∠DAC＋∠ADC＝180°， 所以∠ADB＝∠C＋∠DAC. 因为∠ADB＝110°，所以∠DAC＝110°－70°＝40°. 所以∠DAE＝∠DAC－∠CAE＝40°－20°＝20°. 因为AD平分∠BAE，所以∠BAD＝∠DAE＝20°. 所以∠BAC＝20°＋20°＋20°＝60°. 在△ABD中，因为∠BAD＝20°，∠ADB＝110°， 所以∠B＝180°－20°－110°＝50°. 应用3 三角形的高在求相关线段的比值中的应用 3.如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，若BC边上的高AD＝4，求： (1)△ABC的面积及AC边上的高BE的长； 【解】S△ABC＝BC·AD＝×4×4＝8. 因为S△ABC＝AC·BE＝×5·BE＝8， 所以BE＝. (2)AD∶BE的值. 【解】AD∶BE＝4∶＝. 应用4 三角形的高在求相关线段和的问题中的应用 4.[新考法 等面积法]如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为E，F，G.试说明：DE＋DF＝BG. 【解】连接AD. 因为S△ABC＝S△ABD＋S△ADC， 所以AC·BG＝AB·DE＋AC·DF. 因为AB＝AC，所以DE＋DF＝BG. 应用5 三角形的中线在求面积中的应用 5.如图，已知AD，AE分别是Rt△ABC的高和中线，∠BAC＝90°，AB＝6 cm，AC＝8 cm，BC＝10 cm.求： (1)AD的长度； 【解】因为∠BAC＝90°，AD是边BC上的高， 所以S△ABC＝AB·AC＝BC·AD. 所以AD＝＝＝4.8(cm). (2)△ACE的面积； 【解】因为S△ABC＝AB·AC，AB＝6cm，AC＝8 cm，所以S△ABC＝×6×8＝24(cm2). 因为AE是△ABC的中线，所以BE＝EC. 所以BE·AD＝EC·AD， 即S△ABE＝S△ACE. 又因为S△ABC＝S△ABE＋S△ACE， 所以S△ACE＝S△ABC＝12 cm2. (3)△ACE和△ABE的周长的差. 【解】因为BE＝CE， 所以C△ACE－C△ABE＝(AC＋AE＋CE)－ (AB＋BE＋AE)＝AC－AB＝8－6＝ 2(cm). 即△ACE和△ABE的周长的差是2 cm. 应用6 三角形的中线在求线段长中的应用 6.如图，已知BE＝CE，ED为△EBC的中线，BD＝8，△AEC的周长为24，则△ABC的周长为(　A　) A.40 B.46 C.50 D.56 A 【点拨】 因为△AEC的周长为24，所以AE＋CE＋AC＝24.又因为BE＝CE，所以AE＋BE＋AC＝AB＋AC＝24.因为ED为△EBC的中线，所以BC＝2BD＝2×8＝16.所以△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝24＋16＝40. 应用7 三角形的中线与高在说明线段相等中的应用 7.如图，△ABC中，D，E分别为BC，AD的中点，且S△ABC＝40，CM⊥AD于M. (1)S△ABD＝ ⁠； 20　 (2)若AE＝5，求CM的长； 【解】由题知S△AEC＝S△ACD＝S△ABC＝10. 因为S△AEC＝AE·CM， 所以×5·CM＝10. 所以CM＝4. (3)若BN⊥AD交AD的延长线于N，试说明：CM＝BN. 【解】由题知S△ABD＝S△ACD＝S△ABC. 因为S△ABD＝AD·BN，S△ACD＝AD·CM， 所以AD·BN＝AD·CM. 所以CM＝BN. 模型一平移型 1.[2023·重庆一中月考]如图，在△ABC和△DEF中，边AC，DE交于点H，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF. (1)若∠B＝55°，∠ACB＝100°，求∠CHE的度数； 【解】因为∠B＝55°，∠ACB＝100°， 所以∠A＝180°－∠B－∠ACB＝25°. 因为AB∥DE，所以∠CHE＝∠A＝25°. 题型2 全等三角形的四种基本模型 (2)试说明：△ABC≌△DEF. 【解】因为AB∥DE，所以∠B＝∠DEF. 因为BE＝CF， 所以BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF. 在△ABC和△DEF中， 所以△ABC≌△DEF(SAS). 模型二翻折型 2.[2023·福建]如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB.试说明：AB＝CD. 【证明】因为∠AOD＝∠COB， 所以∠AOD－∠BOD＝∠COB－∠BOD， 即∠AOB＝∠COD. 在△AOB和△COD中， 所以△AOB≌△COD(SAS).所以AB＝CD. 模型三旋转型 3.如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E在同一直线上，连接BD. (1)试说明：△BAD≌△CAE； 【解】因为∠BAC＝∠DAE＝90°， 所以∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE. 在△BAD和△CAE中， 所以△BAD≌△CAE(SAS). (2)请判断BD，CE有何数量、位置关系，并说明理由. 【解】BD＝CE，BD⊥CE.理由如下： 由(1)知△BAD≌△CAE， 所以BD＝CE，∠ABD＝∠ACE. 因为∠ABD＋∠DBC＋∠ACB＝90°， 所以∠DBC＋∠ACE＋∠ACB＝90°. 所以∠BDC＝90°.所以BD⊥CE. 模型四一线三等角型 4.[新考法 等线段代换法]如图，AD⊥AB于点A，BE⊥AB于点B，点C在AB上，且CD⊥CE，CD＝CE.试说明：AB＝AD＋BE. 【解】因为AD⊥AB，BE⊥AB，CD⊥CE， 所以∠A＝∠B＝∠DCE＝90°. 所以∠D＋∠ACD＝90°，∠ECB＋∠ACD＝90°. 所以∠D＝∠ECB. 在△ACD和△BEC中， 所以△ACD≌△BEC(AAS). 所以AC＝BE，AD＝BC. 所以AB＝AC＋BC＝AD＋BE. 已知一边一角型 一次全等型 1.如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE， 且∠ABD＝∠ACE，试说明：BD＝CE. 【解】因为AB⊥AC，AD⊥AE， 所以∠BAE＋∠CAE＝90°，∠BAE＋∠BAD＝90°. 所以∠BAD＝∠CAE. 在△ABD和△ACE中， 所以△ABD≌△ACE(ASA).所以BD＝CE. 题型3 全等三角形判定的三种类型 两次全等型 2.如图，已知AB＝AD，∠DAC＝∠BAC，若E是AC上一点，试说明：∠CBE＝∠CDE. 【解】因为AB＝AD， ∠BAE＝∠DAE，AE＝AE， 所以△ABE≌△ADE(SAS). 所以BE＝DE，∠AEB＝∠AED. 所以∠BEC＝∠DEC. 又因为EC＝EC，所以△BEC≌△DEC(SAS). 所以∠CBE＝∠CDE. 3.[新考法 构造全等三角形法]如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝45°，AB＝AC，D是AC边的中点，AE⊥BD于点F，交BC于点E，连接DE.试说明：∠ADB＝∠CDE. 【解】如图，作CG⊥AC，交AE的延长线于点G. 易得∠BAC＝∠DAE＋∠BAE＝90°， ∠ABF＋∠BAE＝90°，所以∠DAE＝∠ABF. 因为CG⊥AC，所以∠BAD＝∠ACG＝90°. 在△ABD和△CAG中， 所以△ABD≌△CAG(ASA). 所以∠ADB＝∠G，AD＝CG. 又因为D是AC的中点，所以AD＝CD＝CG. 因为∠ACG＝90°，∠ACB＝45°， 所以∠GCE＝∠ACB＝45°. 在△DEC和△GEC中， 所以△DEC≌△GEC(SAS). 所以∠CDE＝∠G.所以∠ADB＝∠CDE. 已知两边型 一次全等型 4.[2023·厦门双十中学期中]如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF.试说明：△ABC≌△DEF. 【解】因为AD＝CF，所以AD＋DC＝CF＋DC，即AC＝DF. 在△ABC和△DEF中， 所以△ABC≌△DEF(SSS). 两次全等型 5.如图，AB＝CB，AD＝CD，E是BD上任意一点.试说明：AE＝CE. 【解】在△ABD和△CBD中，​ 所以△ABD≌△CBD(SSS). 所以∠ABE＝∠CBE. 在△ABE和△CBE中， 所以△ABE≌△CBE(SAS).所以AE＝CE. 6.[2023·南京鼓楼区模拟]如图，在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A'B'，BC＝B'C'，D，D'分别是BC，B'C'的中点，且AD＝A'D'. 试说明：△ABC≌△A'B'C'. 【解】因为AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，BC＝B'C'，所以BD＝B'D'. 在△ABD和△A'B'D'中， 所以△ABD≌△A'B'D'(SSS). 所以∠B＝∠B'. 在△ABC和△A'B'C'中， 所以△ABC≌△A'B'C'(SAS). 已知两角型 一次全等型 7.如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC. 试说明：OB＝OC. 【解】在△DOB和△EOC中， ∠BDC＝∠CEB＝90°，∠DOB＝∠EOC，所以∠B＝∠C. 因为AO平分∠BAC，所以∠BAO＝∠CAO. 在△ABO和△ACO中， 所以△ABO≌△ACO(AAS). 所以OB＝OC. 两次全等型 8.如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠BAC＝∠CDB，∠ACB＝∠DBC，分别延长BA与CD交于点F. 试说明：BF＝CF. 【解】在△ABC和△DCB中，​ 所以△ABC≌△DCB(AAS).所以AC＝DB. 因为∠BAC＝∠CDB，所以∠FAC＝∠FDB. 在△FAC和△FDB中， 所以△FAC≌△FDB(AAS).所以BF＝CF. 技巧1 运用全等三角形法说明线段相等 1.[2023·天津一中期末]如图，在五边形ABCDE中，∠BCD＝∠EDC＝90°，BC＝ED，AC＝AD.试说明：AB＝AE. 【解】因为AC＝AD，所以∠ACD＝∠ADC. 又因为∠BCD＝∠EDC＝90°， 所以∠ACB＝∠ADE. 在△ABC和△AED中， 所以△ABC≌△AED(SAS). 所以AB＝AE. 题型4 用全等三角形说明五种常见结论的技巧 技巧2 运用全等三角形法说明线段的数量关系 2.在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB交AB于点D，E，F分别在AC，BC上，且∠EDF＝108°. (1)求∠ADC的度数； 【解】因为AB＝AC，∠A＝36°， 所以∠B＝∠ACB＝×(180°－36°)＝72°. 因为CD平分∠ACB， 所以∠ACD＝∠BCD＝36°. 所以∠ADC＝180°－(∠A＋∠ACD)＝180°－(36°＋36°)＝108°. (2)试说明：AE＋BF＝BC. 【解】由(1)得∠ACD＝∠BCD＝36°＝∠A，∠ADC＝108°，易知AD＝CD.因为∠EDF＝108°，所以∠ADC＝∠EDF. 所以∠ADE＝∠CDF. 在△ADE和△CDF中， 所以△ADE≌△CDF(ASA).所以AE＝CF. 因为CF＋BF＝BC，所以AE＋BF＝BC. 技巧3 运用等线段代换法说明线段的和差关系 3.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为BC延长线上一点，BF⊥AD于点F，交AC于点E. 【解】因为BF⊥AD，∠ACB＝90°， 所以∠CBF＋∠D＝∠CAD＋∠D＝90°. 所以∠CBE＝∠CAD. 在△CBE和△CAD中 所以△CBE≌△CAD(ASA).所以BE＝AD. (1)试说明：BE＝AD； (2)过点C作CM∥AB交AD于点M，连接EM，试说明：BE＝AM＋EM. 【解】因为△CBE≌△CAD，所以CE＝CD. 因为AC＝BC，∠ACB＝90°，所以∠ABC＝45°. 因为CM∥AB，所以∠DCM＝∠ABC＝45°. 所以∠ACM＝45°.所以∠DCM＝∠ECM. 在△ECM和△DCM中， 所以△ECM≌△DCM(SAS).所以EM＝DM. 所以BE＝AD＝AM＋MD＝AM＋EM. 技巧4 运用截长补短法说明线段的和差关系 4.如图，在四边形ABDE中，C是BD边的中点.若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，猜想线段AE，AB，DE满足的数量关系，并说明理由. 【解】AE＝AB＋DE. 理由：如图，在AE上截取AF＝AB，连接CF. 因为AC平分∠BAE，所以∠BAC＝∠FAC. 又因为AC＝AC，所以△BAC≌△FAC(SAS). 所以BC＝FC，∠ACB＝∠ACF. 因为∠ACE＝90°， 所以∠ACF＋∠FCE＝90°，∠ACB＋∠DCE＝90°. 所以∠FCE＝∠DCE. 因为C为BD边的中点，所以BC＝DC. 所以DC＝FC. 又因为CE＝CE， 所以△FCE≌△DCE(SAS).所以DE＝FE. 所以AE＝AF＋FE＝AB＋DE. 技巧5 运用倍长中线法说明三边关系 5.如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的中线. 试说明：(AB－AC)＜AD＜(AB＋AC). 【解】如图，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE. 因为AD是BC边上的中线，所以CD＝BD. 在△ACD和△EBD中， 所以△ACD≌△EBD(SAS).所以AC＝EB. 在△ABE中，AB－BE＜AE＜AB＋BE， 即AB－AC＜2AD＜AB＋AC， 所以(AB－AC)＜AD＜(AB＋AC). 翻折法 1.如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.试说明：∠2＝∠1＋∠C. 题型5 构造全等三角形的七种常用方法 【解】如图，延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BD) 因为BE平分∠ABC，所以∠ABE＝∠CBE. 因为AD⊥BE，所以∠ADB＝∠BDF＝90°. 在△ABD和△FBD中， 所以△ABD≌△FBD(ASA).所以∠2＝∠DFB. 又因为∠DFB＝180°－∠AFC＝∠1＋∠C， 所以∠2＝∠1＋∠C. 补形法 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF. 试说明：∠ADC＝∠BDF. 【解】如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G，则∠CBG＝90°. 因为∠ACB＝90°， 所以∠2＋∠ACF＝90°. 因为CE⊥AD，所以∠AEC＝90°. 所以∠1＋∠ACF＝90°.所以∠1＝∠2. 在△ACD和△CBG中， 所以△ACD≌△CBG(ASA). 所以∠ADC＝∠G，CD＝BG. 因为点D为BC的中点，所以CD＝BD. 所以BD＝BG. 因为∠ACB＝90°，AC＝BC，所以∠DBF＝45°. 又因为∠DBG＝90°，所以∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.所以∠DBF＝∠GBF. 在△BDF和△BGF中， 所以△BDF≌△BGF(SAS). 所以∠BDF＝∠G.所以∠ADC＝∠BDF. 旋转法 3.如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为CD边上一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数. 【解】如图，延长CB到点H， 使得BH＝DF，连接AH. 在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABE＝90°， ∠D＝90°，所以∠ABH＝∠D＝90°. 在△ABH和△ADF中， 所以△ABH≌△ADF(SAS).所以AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.所以∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF，即∠HAF＝∠BAD＝90°. 因为BE＋DF＝EF，所以BE＋BH＝EF，即EH＝EF. 在△AEH和△AEF中， 所以△AEH≌△AEF(SSS). 所以∠EAH＝∠EAF.所以∠EAF＝∠HAF＝45°. 【点拨】 图中所作辅助线，相当于将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD边与AB边重合，得到△ABH. 倍长中线法 4.[2023·北京四中期中]在△ABC中，AB＝3，AC＝5，延长BC至D，使CD＝BC，连接AD，则AD的长度的取值范围是(　A　) A.7＜AD＜13 C.2＜AD＜7 B.2＜AD＜14 D.5＜AD＜11 A 【点拨】 如图，延长AC，使CE＝AC，连接DE. 在△ABC和△EDC中， 所以△ABC≌△EDC(SAS). 所以AB＝DE. 因为AB＝3，AC＝5， 所以AE＝2AC＝10，DE＝3. 所以10－3＜AD＜10＋3，即7＜AD＜13. 截长(补短)法 5.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，并加以说明. 【解】EF＝BE＋FD. 如图，延长FD到点G， 使DG＝BE，连接AG. 因为∠B＝∠ADC＝90°， 所以∠B＝∠ADG＝90°. 在△ABE和△ADG中， 所以△ABE≌△ADG(SAS). 所以AE＝AG，∠BAE＝∠DAG. 又因为∠BAD＝120°，∠EAF＝60°， 所以∠BAE＋∠FAD＝60°.所以∠DAG＋∠FAD＝60°，即∠GAF＝60°.所以∠EAF＝∠GAF. 在△EAF和△GAF中， 所以△EAF≌△GAF(SAS). 所以EF＝GF＝FD＋DG.所以EF＝FD＋BE. 作垂线法 6.如图，P为OC上的一点，PD＝PE，∠ODP与∠OEP互补.试说明：OP平分∠AOB. (提示：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上) 【解】如图，过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M，N， 则∠PMD＝∠PNE＝90°. 因为∠ODP与∠OEP互补， 所以∠ODP＋∠OEP＝180°. 又因为∠ODP＋∠PDA＝180°， 所以∠OEP＝∠PDA. 在△PMD和△PNE中， 所以△PMD≌△PNE(AAS). 所以PM＝PN.所以OP平分∠AOB. 作平行线法 7.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC交AC于点Q. 试说明：AB＋BP＝BQ＋AQ. 【解】因为∠BAC＝60°， ∠C＝40°，所以∠ABC＝80°. 因为BQ平分∠ABC， 所以∠CBQ＝∠ABC＝×80°＝40°. 所以∠CBQ＝∠C.易得BQ＝CQ， 所以BQ＋AQ＝CQ＋AQ＝AC.① 如图，过点P作PD∥BQ交CQ于点D，则∠CPD＝∠CBQ ＝40°，所以∠CPD＝∠C＝40°. 易得PD＝CD， ∠ADP＝180°－∠PDC＝∠CPD＋∠C＝40°＋40°＝80°. 因为∠ABC＝80°，所以∠ABC＝∠ADP. 因为AP平分∠BAC，所以∠BAP＝∠CAP. 在△ABP和△ADP中， 所以△ABP≌△ADP(AAS).所以AB＝AD，BP＝PD. 所以AB＋BP＝AD＋PD＝AD＋CD＝AC.② 由①②可得AB＋BP＝BQ＋AQ. 题型6　两种思想 思想1　方程思想 15.如图，在△ABC中，∠BAC＝4∠ABC＝4∠C，BD⊥CA交CA的延长线于点D，求∠ABD的度数. 【解】设∠C＝x°， 则∠ABC＝x°，∠BAC＝4x°. 在△ABC中，x＋x＋4x＝180，解得x＝30. 所以∠BAC＝120°，所以∠DAB＝60°. 因为BD⊥AC， 所以∠ABD＝90°－∠DAB＝90°－60°＝30°. 思想2　转化思想 16.农科所有一块五边形的试验田如图所示，已知在五边形ABCDE中，∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝20 m，求这块试验田的面积. 【解】如图，延长DE至点F，使EF＝BC，连接AC，AD，AF，易得CD＝FD. 在△ABC和△AEF中， 所以△ABC≌△AEF(SAS)，所以AC＝AF. 在△ACD和△AFD中， 所以△ACD≌△AFD(SSS). 所以五边形ABCDE的面积是2S△ADF＝2×·DF·AE＝2××20×20＝400(m2). 易错点1. 忽略三角形存在的条件 【例1】一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A. 7 C. 12 B. 9 D. 9或12 错解：D. ①设腰为2，底为5，则周长为9；②设腰为5，底为2，则周长为12.所以等腰三角形的周长为9或12. 错解分析：错解中分类讨论后忽略了①中2＋2＜5，不满足三角形的三边关系，因此不能组成三角形，而5＋5＞2，所以只有②符合情况，故三角形的周长为5＋5＋2＝12. 正解：C. 易错易混 1. 用一根长为24 cm的铁丝围成一个等腰三角形. （1）如果腰长是底边长的2倍，那么底边长是多少？ 解：设底边长为 x cm，则腰长为2 x cm. 由题意，得 x ＋2 x ＋2 x ＝24.解得 x ＝4.8. ∴底边长为4.8 cm. （2）能围成一边是6 cm的等腰三角形吗？请说明理由. 解：能.理由如下： ①当底边长为6 cm时，腰长为（24－6）÷2＝9（cm），因为9＋6＞9，所以此时能围成三角形； ②当腰长为6 cm时，底边长为24－6×2＝12（cm），因为6＋6＝12，所以此时不能围成三角形. 综上所述，能围成底边长为6 cm，腰长为9 cm的等腰三角形. 易错点2. 未完全掌握高的定义 【例2】数学课上，同学们在练习本上画钝角三角形 ABC 的高 BE 时，有一部分学生画出如图所示的四种图形，其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 错解：B. 错解分析：错解中只认为图②和图③出现了错误，而图④的高实际上也不符合高的定义，高是从顶点向对边做垂线段，其中垂足落在对边上或对边的延长线上. 正解：A. 2. 如图， AE ⊥ BC 于点 E ， BF ⊥ AC 于点 F ， CD ⊥ AB 于点 D ，则△ ABC 中 AC 边上的高是（　 　） C A. 线段 AE C. 线段 BF B. 线段 CD D. 线段 AF 易错点3. 未完全理解三角形内角、外角的性质 【例3】如图，直线 a ， b ， c ， d 互不平行，对它们截出的一些角的数量关系描述错误的是（　　） A. ∠1＋∠6＝∠2 B. ∠4＋∠5＝∠2 C. ∠1＋∠3＋∠6＝180° D. ∠1＋∠5＋∠4＝180° 错解：B或C或D. 错解分析：∠1＋∠6与∠2没有关系，结论不成立，故A选项描述错误；由三角形的外角性质，∠4＋∠5＝∠2成立，故B选项描述正确；由三角形的内角和定理与对顶角相等，∠1＋∠3＋∠6＝180°，∠1＋∠5＋∠4=180°成立，故C，D选项描述正确.故选A. 正解：A. （1）如果∠ D ＞∠ A ，比较∠ AEF 与∠ A 的大小，并说明理由； 解：∠ AEF ＞∠ A . 理由如下：∵∠ AEF 为△ BED 的外角， ∴∠ AEF ＝∠ B ＋∠ D . ∴∠ AEF ＞∠ D . 又∵∠ D ＞∠ A ，∴∠ AEF ＞∠ A . 3. 如图，在△ ABC 中， E 是 AB 上的一点， D 是 BC 延长线上的一点， DE 交 AC 于点 F . （2）试探究∠ AFD 与∠ A ，∠ B ，∠ D 之间的关系. 解：∵∠ AFD ＝∠ A ＋∠ AEF ， ∠ AEF ＝∠ B ＋∠ D ， ∴∠ AFD ＝∠ A ＋∠ B ＋∠ D . 易错点4. 多边形内角和公式使用不当 【例4】某同学在计算多边形的内角和时少加了一个内角的度数，得到的答案是1 125°，这个多边形的边数是多少？ 错解：1 125÷180＝6……45，6＋1＝7， ∴这个多边形是七边形. 错解分析：未能正确使用多边形的内角和公式，解答此题的关键是题目所给的1 125°是少加一个内角的度数求得的，所以正确的多边形内角和应该是1 125°加上一个小于180°的角的形式，再根据多边形的内角和公式求解. 正解：设少加的度数为 x °，这个多边形为 n 边形. 由题意，得1 125＋ x ＝（ n －2）·180. ∴ x ＝（ n －2）·180－1 125. ∵0＜ x ＜180， ∴0＜（ n －2）·180－1 125＜180. 解得8.25＜ n ＜9.25. ∵ n 是正整数， ∴ n ＝9. ∴这个多边形的边数是9. 4. 小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1 840°，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍，发现其中一个内角多算了一次，这个多边形的边数是多少？ 解：设这个多边形的边数是 n ，重复计算的内角的度数是 x °. 由题意，得（ n －2）·180＝1 840－ x . ∴ x ＝1 840－（ n －2）·180.∵0＜ x ＜180， ∴0＜1 840－（ n －2）·180＜180. 易错点5. 不规则多边形的内角和 【例5】如图，求∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＋∠ D ＋∠ E 的度数. 错解：∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＋∠ D ＋∠ E ＝（5－2）×180°＝540°. 错解分析：此图形不属于规则的多边形，故不能直接利用多边形的内角和公式求解，但是可通过三角形外角的性质转化为多边形的内角和问题. 正解：如图 ∵∠1＝∠ B ＋∠2，∠2＝∠ D ＋∠ E ，∠ A ＋∠1＋∠ C ＝180°， ∴∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＋∠ D ＋∠ E ＝180°.　　　　 5. 如图Z11－1－7，∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＋∠ D ＋∠ E 等于（　 　） A. 90° C. 180° B. 120° D. 360° C 易错点6. 因考虑不全面出现漏解或增加不符合题意的解 【例6】在△ ABC 中，∠ ABC ＝∠ ACB ， BD 是 AC 边上的高，且∠ ABD ＝30°，求∠ BAC 的度数. 错解：如图Z11－1－8，∠ BAC ＝90°－30°＝60°. 错解分析：错解中只考虑了△ ABC 是锐角三角形的情况，遗漏了△ ABC 还可能是钝角三角形的情况. 正解：有以下两种情况： 若△ ABC 是锐角三角形，如图Z11－1－9①，∠ BAC ＝90°－30°＝60°； 若△ ABC 是钝角三角形，如图Z11－1－9②，易得∠ BAC ＝90°＋30°＝120°. 综上所述，∠ BAC 的度数为60°或120°. 6. 在△ ABC 中，∠ ACB 为最大角且∠ ACB ≠90°，高 BD 和 CE 所在的直线交于点 H . （1）∠ BHC 与∠ A 有什么关系？写出探究过程； 解：∠ BHC ＋∠ A ＝180°或∠ BHC ＝∠ A . 当∠ ACB ＜90°时，△ ABC 为锐角三角形，如答图①. ∵ CE ⊥ AB ， BD ⊥ AC ， ∴∠ ABD ＋∠ BHE ＝90°，∠ ABD ＋∠ A ＝90°. ∴∠ BHE ＝∠ A . ∵∠ BHC ＋∠ BHE ＝180°， ∴∠ BHC ＋∠ A ＝180°； 当∠ ACB ＞90°时，△ ABC 为钝角三角形，如答图②. ∵ CE ⊥ AB ， BD ⊥ AC ， ∴∠ BHC ＋∠ ABD ＝90°，∠ A ＋∠ ABD ＝90°. ∴∠ BHC ＝∠ A . （2）探究归纳：非直角三角形的两条边上高线所夹的角与第三边所对的角 ​； 相等或互补　 （3）模型应用：在钝角三角形 ABC 中，∠ A ＝45°，高 BD 和 CE 所在的直线交于点 H ，则∠ BHC 的度数为 ​. 45°　 易错点7. 找错对应关系 【例7】已知△ ABC 与△A'B'C'全等，且∠ A ＝70°，∠B'＝30°，∠A'＝80°， BC ＝3，则A'B'的值为（　　） A. 3 C. 5 B. 4 D. 不确定 错解：D. 错解分析：本题容易受惯性思维影响，把∠ A 的对应角看成∠A'，把 ∠ B 的对应角看成∠B'.本题根据已知条件，应该得到△ ABC ≌△C'A'B'或△ ABC ≌△C'B'A'，因此对应边相等，即A'B'＝ BC ＝3. 正解：A. 7. 如图，已知△ ABC ≌△ DCB ，点 A ， B 的对应顶点分别为点 D ， C . 若 AB ＝7 cm， BC ＝12 cm， AC ＝9 cm，则 BD 的长为 ​. 9cm  8. 如图，如果图中的两个三角形全等，根据图中所标数据，可以推理得到∠α的度数为 ​. 68°　 易错点8. 判定全等时找错对应角 【例8】如图， AC ⊥ BC ， DC ⊥ EC ， AC ＝ BC ， DC ＝ EC . 求证：∠ D ＝∠ E . ∴∠ D ＝∠ E . 9. 如图，∠ BAC ＝∠ DAE ＝90°，∠ B ＝∠ C ， AD ＝ AE . 求证：△ ABD ≌△ ACE . 易错点9. 错误套用等式性质 【例3】如图，已知 AC ， BD 相交于点 E ，∠ A ＝∠ B ， ∠1＝∠2. 求证： AE ＝ BE . 10. 如图， AB ＝ AC ， AD ⊥ BC . 求证： BE ＝ CE . 易错点10. 把“AAA”或“SSA”当成判定三角形全等的条件来使用 【例4】如图， ∠ CAB ＝∠ DBA ， ∠ C ＝∠ D ， E 为 AC 和 BD 的交点.△ ADB 与△ BCA 全等吗？请说明理由. 11. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， D ， E 分别是 AB ， AC 的中点，且 CD ＝ BE ，△ ADC 与△ AEB 全等吗？请说明理由. 解：△ ADC ≌△ AEB . 理由如下： ∵ AB ＝ AC ， D ， E 分别是 AB ， AC 的中点， ∴ AD ＝ AE . 1.(2023春·黄浦区期末 )现有2cm,3cm,5cm,6cm长的四根木棒，任选其中的三根组成三角形，那么可以组成三角形的个数有( ____ ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】解：四条木棒的所有组合：2，3，5和2，3，6和2，5，6和3，5，6； 只有2，5，6和3，5，6能组成三角形． 故选：B． B 押题预测 2.(2023春·黄浦区期末)如图，点P是AB上任一点，∠ABC=∠ABD，从下列各条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是( ____ ) A.BC=BD B.∠ACB=∠ADB C.AC=AD D.∠CAB=∠DAB 【解析】解：A、补充BC=BD，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故此选项错误； B、补充∠ACB=∠ADB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故此选项错误． C、补充AC=AD，不能推出△APC≌△APD，故此选项正确； D、补充∠CAB=∠DAB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故此选项错误； 故选：C． C 3.(2023春·浦东新区校级期末)将一副三角板如图所示摆放(其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一直线上)，那么图中∠α= ____ 度． 【解析】解：∵∠1=45°，∠2=60°， ∴∠α=180°-45°-60°=75°， 故答案为75． 75 4.(2023春·嘉定区期末)如图，已知△ABC≌△ADE，且点B与点D对应，点C与点E对应，点D在BC上，∠BAE=114°，∠BAD=40°，则∠E的度数是 ____ °． 【解析】解：∵△ABC≌△ADE，∴AB=AD，∴∠ABD=∠ADB， ∵∠BAD=40°，∴∠ABD=∠ADB= (180°-∠BAD)=70°， ∵△ABC≌△ADE， ∴∠ADE=∠ABD=70°，∵∠BAE=114°，∠BAD=40°， ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=114°-40°=74°， ∴∠E=180°-∠ADE-∠DAE=180°-70°-74°=36°， 故答案为：36． 36 5.(2023春·虹口区期末)已知等腰三角形的两条边长分别是3cm、7cm,那么这个等腰三角形的周长是 ____ cm. 【解析】解：∵等腰三角形的两条边长分别是3cm、7cm, ∴当此三角形的腰长为3cm时，3+3＜7，不能构成三角形，故排除， ∴此三角形的腰长为7cm,底边长为3cm, ∴此等腰三角形的周长=7+7+3=17cm, 故答案为：17． 17 6.(2023春·黄浦区期末)阅读并填空： 如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，D是边AC延长线上的一点，E在边AB上，且连接DE交BC于O，如果OE=OD，那么CD=BE，为什么？ 解：过点E作EF∥AC交BC于F， 所以∠ACB=∠EFB(两直线平行，同位角相等)， ∠D=∠OEF( ___________________________ )， 在△OCD与△OFE中， ， 两直线平行，内错角相等 所以△OCD≌OFE，( _____ )， 所以CD=FE( ____________________________ )， 因为AB=AC(已知)， 所以∠ACB=∠B( _____________ )， 所以∠EFB=∠B(等量代换)， 所以BE=FE， 所以CD=BE． 【解析】解：过点E作EF∥AC交BC于F， 所以∠ACB=∠EFB(两直线平行，同位角相等)， ∠D=∠OEF(两直线平行，内错角相等)， ASA 全等三角形的对应边相等 等边对等角 在△OCD与△OFE中， ， 所以△OCD≌OFE(ASA)， 所以CD=FE(全等三角形的对应边相等)， 因为AB=AC(已知)， 所以∠ACB=∠B(等边对等角)， 所以∠EFB=∠B(等量代换)， 所以BE=FE， 所以CD=BE． 故答案为：两直线平行，内错角相等；对顶角相等；ASA；全等三角形的对应边相等；等边对等角． 7.(2023春·杨浦区期末 )已知在△ABC中，AB=AC，点D是边AB上一点，∠BCD=∠A． (1)如图1，试说明CD=CB的理由； (2)如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD=2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． ________ 【解析】解：(1)∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB， ∵∠BDC是△ADC的一个外角， ∴∠BDC=∠A+∠ACD， ∵∠ACB=∠BCD+∠ACD，∠BCD=∠A， ∴∠BDC=∠ACB， ∴∠ABC=∠BDC． ∴CD=CB； (2)①∵BE⊥AC， ∴∠BEC=90°， ∴∠CBE+∠ACB=90°， 设∠CBE=α，则∠ACB=90°-α， ∴∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°-α， ∴∠BCD=180°-∠BDC-∠ABC=180°-(90°-α)-(90°-α)=2α， ∴∠BCD=2∠CBE； 7.(2023春·杨浦区期末 )已知在△ABC中，AB=AC，点D是边AB上一点，∠BCD=∠A． (1)如图1，试说明CD=CB的理由； (2)如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD=2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． ________ ②∵∠BFD是△CBF的一个外角， ∴∠BFD=∠CBE+∠BCD=α+2α=3α， 分三种情况：当BD=BF时，∴∠BDC=∠BFD=3α， ∵∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°-α，∴90°-α=3α， ∴α=22.5°，∴∠A=∠BCD=2α=45°； 当DB=DF时，∴∠DBE=∠BFD=3α， ∵∠DBE=∠ABC-∠CBE=90°-α-α=90°-2α， ∴90°-2α=3α，∴α=18°，∴∠A=∠BCD=2α=36°； 当FB=FD时，∴∠DBE=∠BDF， ∵∠BDF=∠ABC＞∠DBF，∴不存在FB=FD，综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°．