精品解析：四川省绵阳市三台中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

三台中学2023级高二下期第一次教学质量检测 数学试题 （卷面分值：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.本试卷为问答分离式试卷，共8页，其中题卷4页，答卷4页.答题前，请考生务必将自己的姓名、班级、考号等信息填写在答题卡上. 2.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答卷的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题卡上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题卡卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损. 3.考试结束后，请将答题卡交回. 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 数列的递推公式可以是（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列为等差数列，且，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 4. 记为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 21 B. 18 C. 15 D. 12 5. 已知函数，满足当时，，若，则有（ ） A. B. C. D. 与大小关系不定 6. 设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知首项为1的数列，且对任意正整数恒成立，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（    ） A. 2022 B. 4044 C. 2023 D. 4046 二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 10. 下列命题正确有（ ） A. 已知函数上可导，若，则 B. 已知函数，若，则 C D. 设函数的导函数为，且，则 11. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足，，设数列的前 项和为 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 曲线在点在时的切线斜率为______. 13. 正项数列共有9项，前3项成等差，后7项成等比，．前项和为，则的值为 ___________． 14. 若分别是曲线与圆上的点，则的最小值为__________. 四、解答题：（本大题共5个小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分.） 15. 已知曲线． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若曲线在处的切线与曲线相切，求的取值． 16. 等差数列中，，． （1）求数列的通项公式： （2）已知数列是首项为1，公比为2等比数列，求的前n项和． 17. 已知函数，若曲线在点处的切线方程为. （1）求和的值； （2）求的单调区间. 18. 某企业年初在一个项目上投资千万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的，为了企业长远发展，每年底需要从利润中取出万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目．设经过年后，该项目的资金为万元． （1）写出一个递推公式，表示之间的关系，并求证：数列为等比数列； （2）若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？（，） 19. 如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形（为坐标原点）的边长为． （1）求的值； （2）求出的通项公式； （3）设曲线在点处的切线斜率为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三台中学2023级高二下期第一次教学质量检测 数学试题 （卷面分值：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.本试卷为问答分离式试卷，共8页，其中题卷4页，答卷4页.答题前，请考生务必将自己的姓名、班级、考号等信息填写在答题卡上. 2.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答卷的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题卡上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题卡卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损. 3.考试结束后，请将答题卡交回. 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 数列的递推公式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察数列可知，数列从第二项起，每一项是前一项的，由此可以得到递推公式，得出结果. 【详解】数列第一项是1，AB是通项公式的形式，故AB错误； 观察数列可知，数列从第二项起，每一项是前一项的， 所以递推公式为，故C正确，D错误. 故选：C. 2. 已知数列为等差数列，且，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质即可得解. 【详解】因为数列为等差数列，又， 所以，则，所以. 故选：B. 3. 函数单调增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，根据导函数的正负,确定函数的单调递增递减区间即得. 【详解】由求导得，， 则当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减， 故函数的单调递增区间为. 故选：D. 4. 记为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 21 B. 18 C. 15 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列性质得到成等比数列，求出，得到答案. 【详解】因为为等比数列的前项和且， 所以成等比数列，即3，6，成等比数列， 所以，所以． 故选：A． 5. 已知函数，满足当时，，若，则有（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不定 【答案】B 【解析】 【分析】由当时，，构造上的单调函数，再利用单调性去比较大小。 【详解】设，则，所以在上单调递增. 又因为，所以，即 故选：B 6. 设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据导数的概念求出函数的导数，然后根据导数的几何意义结合点P处切线倾斜角的取值范围是，列不等式可求出结果. 【详解】 又曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为， 所以其斜率， 所以，解得， 所以点P横坐标的取值范围为， 故选：D. 7. 已知首项为1的数列，且对任意正整数恒成立，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】变形得到，利用累乘法得到，故，利用裂项相消法求和得到答案． 【详解】由题意,易知，由变形为，故， 所以 ， 因为，所以，故， 所以． 故选：C 8. 已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（    ） A. 2022 B. 4044 C. 2023 D. 4046 【答案】D 【解析】 【分析】先得到，再用倒序相加法即可求解. 【详解】因为正数数列是公比不等于1的等比数列，且， 所以， 又∵函数， ∴， 令，则， ∴， ∴. 故选：D. 二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 递增数列 B. C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 【答案】CD 【解析】 【分析】根据表达式及时，的关系，算出数列通项公式，即可判断A、B、C选项的正误. 的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得. 【详解】当时，，又，所以，则是递减数列，故A错误； ，故B错误； 当时，，故C正确； 因为的对称轴为，开口向下，而是正整数，且或距离对称轴一样远，所以当或时，取得最大值，故D正确. 故选：CD. 10. 下列命题正确有（ ） A. 已知函数在上可导，若，则 B. 已知函数，若，则 C. D. 设函数的导函数为，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】通过导数的概念可判断选项，对复合函数求导然后计算可判断选项，直接用除法的求导法则可判断选项，对于选项直接求导然后代数解方程即可. 【详解】对于因为函数在上可导，且， 所以，故错误. 对于因为，若则，即，故正确. 对于因为，故错误. 对于因为,故，故，正确. 故选: 11. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足，，设数列的前 项和为 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出数列的前几项，可得数列中从第4项起以4，2，1循环，然后一一分析判断即可. 【详解】因为数列满足，， 所以 ， 所以， 所以AB正确，C错误， 因为数列中从第4项起以4，2，1循环，而， 所以，所以D正确， 故选：ABD 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 曲线在点在时的切线斜率为______. 【答案】3 【解析】 【分析】求导，将代入导函数即可求解. 【详解】，当时，，故曲线在点在时的切线斜率为3. 故答案为：3 13. 正项数列共有9项，前3项成等差，后7项成等比，．前项和为，则的值为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】设出正项数列成等比数列的后7项的公比，求出及，再分组求和即得． 【详解】正项数列成等比数列的后7项的首项为，设公比为， 则，而，解得， 于是，显然， 所以． 故答案为： 14. 若分别是曲线与圆上的点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意转化为求曲线上一点到圆心距离的最小值，找出取得最小值时候满足的条件，结合导数计算法则列式求解答案即可. 【详解】设圆圆心为，如下图所示， 由题意可知，取得最小值时，取得最小值， 当垂直于曲线在点处的切线时，最小， 设，则对求导得， 所以，即， 由于时满足上式，且在单调递增， 所以有唯一解， 所以，此时，所以 故答案为： 四、解答题：（本大题共5个小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分.） 15. 已知曲线． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若曲线在处的切线与曲线相切，求的取值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义，求出在处的导数值，即直线的斜率，由点斜式方程可得； （2）先求切线方程，再联立直线与曲线方程，最后由解出. 【小问1详解】 因为，又，， 故曲线在处切线方程：， 即. 【小问2详解】 因为， 则曲线在处的切线方程为：， 又直线与曲线相切， 联立方程消得：， 由题意有，即， 解得：. 16 等差数列中，，． （1）求数列的通项公式： （2）已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意得，解方程组即可求得结果; （2）由（1）可知，从而利用分组求和即可求出. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由题意得， 解得， 所以． 【小问2详解】 因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以， 所以， 所以 ． 17. 已知函数，若曲线在点处的切线方程为. （1）求和的值； （2）求的单调区间. 【答案】（1）；； （2）的单调递增区间为，单调递减区间为. 【解析】 【分析】（1）由导数几何意义得到切线斜率进而求出b和切线方程，再由切点在曲线上又在切线上建立关于a的等量关系即可求出a. （2）求出函数定义域，求导，由导数与函数单调性的关系即可求解. 【小问1详解】 由题可得， 所以，即，切线方程为， 所以. 所以；. 【小问2详解】 由（1）得，，函数定义域为， 所以当时，；当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 18. 某企业年初在一个项目上投资千万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的，为了企业长远发展，每年底需要从利润中取出万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目．设经过年后，该项目的资金为万元． （1）写出一个递推公式，表示之间的关系，并求证：数列为等比数列； （2）若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？（，） 【答案】（1），证明见解析； （2）年． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，即，利用等比数列的定义可证明出数列为等比数列； （2）由（1）中的结论求出数列的通项公式，令，解此不等式即可得出结论． 【小问1详解】 由题意知． 即，所以． 由题意知， 所以数列的首项为， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． 【小问2详解】 由（1）知数列的首项为1500，公比为． 所以，所以． 当，得． 两边取常用对数得，所以， 所以，因为，所以． 即至少经过年，该项目的资金达到翻一番． 19. 如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形（为坐标原点）的边长为． （1）求的值； （2）求出的通项公式； （3）设曲线在点处的切线斜率为，求证：． 【答案】（1），； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，用表示出点的坐标，再代入曲线方程，计算作答. （2）令为数列的前n项和，利用与表示出点的坐标，代入曲线方程即可得与的关系，再利用递推关系求出通项. （3）由（2）求出点的横坐标，利用导数的几何意义求出，再利用裂项相消法求和即得. 【小问1详解】 依题意，为正三角形，且，观察图象得，而点在曲线上， 即，解得，为正三角形，且，点在曲线上， ，整理得，解得， 所以，. 【小问2详解】 令为数列的前n项和，是正三角形，点， ，于是点在曲线上， 则，即，当时，， 两式相减得：，整理得， 则，而满足上式，因此，， 即数列是首项为，公差的等差数列，， 所以数列的通项公式是. 【小问3详解】 由（2）知，当时，， 则点的横坐标，显然满足上式，因此， 由求导得，，于是， 当时，， 所以. 【点睛】易错点睛：裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$